第第頁2025年高考數學總復習《圓錐曲線》專項測試卷附答案學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________01阿波羅尼斯圓與圓錐曲線1．（2024·江西贛州·統考模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，圓、點和點，M為圓O上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高三專題練習）已知平面內兩個定點，及動點，若（且），則點的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．3．（2024·全國·校聯考模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值，且的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，，點滿足.設點的軌跡為曲線，則下列說法錯誤的是（

）A．的方程為B．當三點不共線時，則C．在C上存在點M，使得D．若，則的最小值為02蒙日圓4．（2024·青海西寧·統考）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：（）的蒙日圓為，則橢圓Γ的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西西安·長安一中?？迹懊扇請A”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日圓的方程為（

）A． B． C． D．6．（2024·江西·統考模擬預測）定義：圓錐曲線的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓的方程為，是直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于、兩點，是坐標原點，連接，當為直角時，則（

）A．或 B．或 C．或 D．或03阿基米德三角形7．（2024·陜西銅川·統考）古希臘哲學家、百科式科學家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為，，是橢圓的兩個焦點，為橢圓上的動點，則下列結論正確的是（

）①橢圓的標準方程可以為

②若，則③存在點，使得

④的最小值為A．①③ B．②④ C．②③ D．①④8．（2024·河北·校聯考）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數學發展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質．已知拋物線，過焦點的弦的兩個端點的切線相交于點，則下列說法正確的是（

）A．點必在直線上，且以為直徑的圓過點B．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點C．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點D．點必在直線上，且以為直徑的圓過點9．（2024·青海西寧·統考）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的斜率之積為定值．設拋物線，弦AB過焦點，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（

）A． B． C． D．04仿射變換問題10．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓，分別為橢圓左右焦點，過作兩條互相平行的弦，分別與橢圓交于四點，若當兩條弦垂直于軸時，點所形成的平行四邊形面積最大，則橢圓離心率的取值范圍為.11．（2024·江蘇·高二專題練習）已知橢圓左頂點為，為橢圓上兩動點，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且，（是非零實數），求.12．（2024·全國·高三專題練習）如圖，作斜率為的直線與橢圓交于兩點，且在直線的上方，則△內切圓的圓心所在的定直線方程為．05圓錐曲線第二定義13．（2024·四川眉山·?？寄M預測）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．14．（2024·江蘇南京·高三南京市第一中學?？奸_學考試）已知以F為焦點的拋物線上的兩點A，B，滿足，則弦AB的中點到C的準線的距離的最大值是（

）A．2 B． C． D．415．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓=1內有一點P（1，-1），F為橢圓的右焦點，在橢圓上有一點M，使|MP|+2|MF|取得最小值，則點M坐標為（

）A． B．，C． D．，16．（2024·山東濟寧·統考）過拋物線焦點F的直線與該拋物線及其準線都相交，交點從左到右依次為A，B，C.若，則線段BC的中點到準線的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．606焦半徑問題17．（2024·安徽·高二統考期末）過拋物線(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于（）A．2 B． C． D．18．（2024·全國·高三專題練習）長為11的線段AB的兩端點都在雙曲線的右支上，則AB中點M的橫坐標的最小值為（

）A． B． C． D．19．（2024·全國·高三專題練習）拋物線的焦點弦被焦點分成長是m和n的兩部分，則m與n的關系是（

）A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．無法確定20．已知為拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為（）A． B． C． D．07圓錐曲線第三定義21．（2024·貴州貴陽·高三統考期末）過拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，若的中點的縱坐標為2，則等于（

）A．4 B．6 C．8 D．1022．（2024·河北石家莊·高三石家莊二中?？奸_學考試）過橢圓上一點作圓的切線，且切線的斜率小于，切點為，交橢圓另一點，若是線段的中點，則直線的斜率（

）A．為定值 B．為定值 C．為定值 D．隨變化而變化23．（2024·陜西咸陽·統考）已知雙曲線上存在兩點，關于直線對稱，且線段的中點坐標為，則雙曲線的離心率為（

）．A． B． C．2 D．08定比點差法與點差法24．（2024·浙江溫州·高三溫州中學?？茧A段練習）如圖，P為橢圓上的一動點，過點P作橢圓的兩條切線PA，PB，斜率分別為，.若為定值，則（

）A． B． C． D．25．（2024·江蘇南京·高二南京市秦淮中學?？计谀┮阎甭蕿榈闹本€與橢圓交于，兩點，線段的中點為（），那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．，或26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）已知橢圓內有一定點，過點P的兩條直線，分別與橢圓交于A、C和B、D兩點，且滿足，，若變化時，直線CD的斜率總為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．27．（2024·全國·高三專題練習）設、分別為橢圓的左、右焦點，點A、在橢圓上，若，則點A的坐標是．09切線問題28．（2024·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）已知O為坐標原點，點P在標準單位圓上，過點P作圓C：的切線，切點為Q，則的最小值為．29．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為，直線為：，設點為上的一個動點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點，則的最小值為．30．（2024·山東濰坊·統考模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線：的焦點為，過上一點（異于原點）作的切線，與軸交于點．若，，則．31．（2024·全國·高三專題練習）過橢圓上一動點分別向圓：和圓：作切線，切點分別為，，則的取值范圍為.10焦點三角形問題32．（2024·河北張家口·高二張家口市第四中學校考階段練習）已知是雙曲線的一個焦點，點在上，為坐標原點，若，則的面積為（）A． B． C． D．33．（2024·全國·高三專題練習）已知在雙曲線上，其左、右焦點分別為、，三角形的內切圓切x軸于點M，則的值為（

）A． B． C． D．34．（2024·江西宜春·上高二中校考模擬預測）已知雙曲線()的左?右焦點分別為為雙曲線上的一點，為的內心，且，則的離心率為（）A． B． C． D．11焦點弦問題35．（2024·四川內江·高三威遠中學校?？茧A段練習）橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點，交軸于點，若，是線段的三等分點，的周長為，則橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．36．（2024·浙江金華·高二浙江金華第一中學校考期末）設雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線上，下列說法正確的是（

）A．若為直角三角形，則的周長是B．若為直角三角形，則的面積是6C．若為銳角三角形，則的取值范圍是D．若為鈍角三角形，則的取值范圍是12圓錐曲線與張角問題37．（2024·山東棗莊·統考）設、是橢圓：的兩個焦點，若上存在點滿足，則的取值范圍是A． B．C． D．38．（2024·遼寧朝陽·高二統考期末）設分別為橢圓的左?右焦點，點是橢圓上異于頂點的兩點，，則，若點還滿足，則的面積為.39．（2024·浙江杭州·高三浙江大學附屬中學?？茧A段練習）已知O為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別是，過點且斜率為k的直線與圓交于A，B兩點（點B在x軸上方），線段與橢圓交于點M，延長線與橢圓交于點N，且，則橢圓的離心率為，直線的斜率為．13圓錐曲線與角平分線問題40．（2024·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）已知拋物線上橫坐標為4的點到拋物線焦點的距離為，點是拋物線上的點，為坐標原點，的平分線交拋物線于點，且，都在軸的上方，則直線的斜率為.41．（2024·重慶萬州·統考模擬預測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P是C在第一象限上的一點，且直線的斜率為，的平分線交x軸于點A，點B滿足，，則雙曲線C的漸近線方程為．42．（2024·黑龍江·黑龍江實驗中學?？迹┮阎p曲線的左、右焦點分別為、，離心率為，點是雙曲線上的任意一點，滿足，的平分線與相交于點，則分所得的兩個三角形的面積之比.43．（2024·湖南·高三長郡中學校聯考階段練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，點是橢圓上的任意一點，滿足的平分線與相交于點，則分所得的兩個三角形的面積之比.44．（2024·全國·高三專題練習）已知點是橢圓：上異于頂點的動點，，分別為橢圓的左、右焦點，為坐標原點，為的中點，的平分線與直線交于點，則四邊形的面積的最大值為.14圓錐曲線與通徑問題45．已知直線過拋物線的焦點，且與的對稱軸垂直，與交于兩點，為的準線上一點，則的面積為（）A．18 B．24 C．36 D．4846．以軸為對稱軸，拋物線通徑的長為8，頂點在坐標原點的拋物線的方程是（

）A． B．C．或 D．或47．（2024·貴州黔東南·統考）過雙曲線的焦點與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段的長稱為雙曲線的通徑，其長等于(、分別為雙曲線的實半軸長與虛半軸長).已知雙曲線（）的左、右焦點分別為、，若點是雙曲線上位于第四象限的任意一點，直線是雙曲線的經過第二、四象限的漸近線，于點，且的最小值為3，則雙曲線的通徑為.15圓錐曲線的光學性質問題48．（2024·四川巴中·高三統考開學考試）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則．49．（2024·山東青島·統考）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線與交于點、，直線為在點處的切線，點關于的對稱點為.由橢圓的光學性質知，、、三點共線.若，，則.50．（2024·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習）如圖所示，橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點．已知橢圓的左、右焦點為,，P為橢圓上不與頂點重合的任一點，I為的內心，記直線OP，PI（O為坐標原點）的斜率分別為，，若，則橢圓的離心率為．16圓錐曲線與四心問題51．（2024·海南?？凇ば？寄M預測）已知、是橢圓的左右焦點，點為上一動點，且，若為的內心，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．52．（2024·江西·校聯考模擬預測）已知橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上異于長軸端點的動點，，分別為的重心和內心，則（

）A． B． C．2 D．53．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知的三個頂點均在拋物線上，則下列命題正確的有（

）A．若直線BC過點，則存在點A使為直角三角形；B．若直線BC過點，則存在使拋物線的焦點恰為的重心；C．存在，使拋物線的焦點恰為的外心；D．若邊AC的中線軸，，則的面積為54．（多選題）（2024·福建三明·統考）瑞士著名數學家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線與軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點構成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（

）A． B． C． D．55．（多選題）（2024·山東濰坊·統考模擬預測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，右頂點為，過的直線交雙曲線的右支于，兩點（其中點在第一象限內），設，分別為，的內心，則（

）A．點的橫坐標為2B．當時，C．當時，內切圓的半徑為D．參考答案01阿波羅尼斯圓與圓錐曲線1．（2024·江西贛州·統考模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點A，B的距離之比為，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，圓、點和點，M為圓O上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，令，則，由題知圓是關于點A、C的阿波羅尼斯圓，且，設點，則，整理得：，比較兩方程可得：，，，即，，點，當點M位于圖中的位置時，的值最大，最大為.故選：B.2．（2024·全國·高三專題練習）已知平面內兩個定點，及動點，若（且），則點的軌跡是圓.后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】由已知過定點，過定點，因為，，所以，即，所以點的軌跡是以為直徑的圓，除去點，故圓心為，半徑為3，則的軌跡方程為，即，易知O、Q在該圓內，又，即，取，則，又，所以，所以的最小值為.故選：A.3．（2024·全國·校聯考模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點的距離之比為定值，且的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，，點滿足.設點的軌跡為曲線，則下列說法錯誤的是（

）A．的方程為B．當三點不共線時，則C．在C上存在點M，使得D．若，則的最小值為【答案】C【解析】設，由，得，化簡得，故A正確；當三點不共線時，，所以是的角平分線，所以，故B正確；設,則，化簡得，因為，所以C上不存在點M，使得，故C錯誤；因為，所以，所以，當且僅當在線段上時，等號成立，故D正確.故選：C.02蒙日圓4．（2024·青海西寧·統考）法國數學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創始人”“微分幾何之父”．他發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：（）的蒙日圓為，則橢圓Γ的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，分別與橢圓相切，顯然.所以點在蒙日圓上，所以，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：D5．（2024·陜西西安·長安一中?？迹懊扇請A”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為橢圓：的離心率為，則，解得，即橢圓的方程為，于是橢圓的上頂點，右頂點，經過兩點的橢圓切線方程分別為，，則兩條切線的交點坐標為，顯然這兩條切線互相垂直，因此點在橢圓的蒙日圓上，圓心為橢圓的中心O，橢圓的蒙日圓半徑，所以橢圓的蒙日圓方程為.故選：B6．（2024·江西·統考模擬預測）定義：圓錐曲線的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓的方程為，是直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于、兩點，是坐標原點，連接，當為直角時，則（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【解析】根據蒙日圓定義，圓方程為，因為直線與圓交于、兩點，聯立，可得或，即點、，當點與點或重合時，為直角，且，，所以，直線的斜率為或.故選：D.03阿基米德三角形7．（2024·陜西銅川·統考）古希臘哲學家、百科式科學家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為，，是橢圓的兩個焦點，為橢圓上的動點，則下列結論正確的是（

）①橢圓的標準方程可以為

②若，則③存在點，使得

④的最小值為A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【答案】D【解析】對于①：由，解得，則橢圓的標準方程為，故①正確；對于②：由定義可知，由余弦定理可得：，整理得，則，故②錯誤；對于③：設，，，由于，，則不存在點，使得，故③錯誤；對于④：，當且僅當，即時，等號成立，故④正確；故選：D8．（2024·河北·校聯考）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數學發展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質．已知拋物線，過焦點的弦的兩個端點的切線相交于點，則下列說法正確的是（

）A．點必在直線上，且以為直徑的圓過點B．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點C．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點D．點必在直線上，且以為直徑的圓過點【答案】D【解析】設為拋物線上一點，當時，由得：，在處的切線方程為：，即，；同理可得：當時，在處的切線方程切線方程為；經檢驗，當，時，切線方程為，滿足，過拋物線上一點的切線方程為：；設，則拋物線在處的切線方程為和，，點滿足直線方程：，又直線過焦點，，解得：，點必在直線上；AC錯誤；由題意知：，，，，；設直線方程為：，由得：，，，即，以為直徑的圓過點；B錯誤，D正確.故選：D.9．（2024·青海西寧·統考）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的斜率之積為定值．設拋物線，弦AB過焦點，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設且，直線，聯立，整理得，則．設過點的切線方程為，聯立，整理得，由，可得，則過A的切線為：，即，即，即，同理可得過點的切線斜率為，過點B的切線方程為：，聯立兩切線，則，所以兩條切線的交點在準線上，則，兩式相減得，，可得，，又因為直線的斜率為，（也成立），如圖，設準線與軸的交點為，的面積，當軸時，最短（最短為），也最短（最短為），此時的面積取最小值．故選：B04仿射變換問題10．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓，分別為橢圓左右焦點，過作兩條互相平行的弦，分別與橢圓交于四點，若當兩條弦垂直于軸時，點所形成的平行四邊形面積最大，則橢圓離心率的取值范圍為.【答案】【解析】作仿射變換，令，可得仿射坐標系，在此坐標系中，上述橢圓變換為圓，點坐標分別為，過作兩條平行的弦分別與圓交于四點.由平行四邊形性質易知，三角形的面積為四點所形成的平行四邊形面積的，故只需令三角形面積的最大值在弦與軸垂直時取到即可.當時，三角形面積的最大值在弦與軸垂直時取到.故此題離心率的取值范圍為.故答案為：.11．（2024·江蘇·高二專題練習）已知橢圓左頂點為，為橢圓上兩動點，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且，（是非零實數），求.【答案】1【解析】解法1：可得點，設，則，由可得，即有，，，兩邊同乘以，可得，解得，將代入橢圓方程可得，由可得，可得；故答案為：．解法2：作變換之后橢圓變為圓，方程為，，設，則，，∴，，∴.故答案為：．12．（2024·全國·高三專題練習）如圖，作斜率為的直線與橢圓交于兩點，且在直線的上方，則△內切圓的圓心所在的定直線方程為．【答案】【解析】如圖，作仿射變換：，橢圓變為，直線的斜率變為直線的斜率，變為，由垂徑定理平分，其方程為，平分，△內切圓的圓心所在的定直線方程為．故答案為：05圓錐曲線第二定義13．（2024·四川眉山·?？寄M預測）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設雙曲線的右準線為，過、分別作于，于，于，如圖所示：因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，∴，，由雙曲線的第二定義得：，又∵，∴，∴故選：B14．（2024·江蘇南京·高三南京市第一中學?？奸_學考試）已知以F為焦點的拋物線上的兩點A，B，滿足，則弦AB的中點到C的準線的距離的最大值是（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【解析】解法1：拋物線的焦點坐標為，準線方程為，設，，則∵，由拋物線定義可知，∴，又因為，所以即，由①②可得：所以.∵，當時，，當時，，∴，則弦AB的中點到C的準線的距離，d最大值是.∴弦AB的中點到C的準線的距離的最大值是，故選：B.解法2：弦AB的中點到C的準線的距離，根據結論，，，故選：B.15．（2024·全國·高三專題練習）已知橢圓=1內有一點P（1，-1），F為橢圓的右焦點，在橢圓上有一點M，使|MP|+2|MF|取得最小值，則點M坐標為（

）A． B．，C． D．，【答案】A【解析】因為橢圓方程為=1，所以橢圓得離心率，設點M到橢圓右準線的距離為d，根據橢圓第二定義有：，所以，所以表示橢圓上一點M到橢圓內定點P和到橢圓右準線的距離之和，當垂直于右準線時，取得最小值.此時的縱坐標為-1，代入橢圓方程=1，求得的橫坐標為.所以點M坐標為，故B，C，D錯誤.故選：A.16．（2024·山東濟寧·統考）過拋物線焦點F的直線與該拋物線及其準線都相交，交點從左到右依次為A，B，C.若，則線段BC的中點到準線的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由拋物線的方程可得焦點，漸近線的方程為：，由，可得由于拋物線的對稱性，不妨假設直線和拋物線位置關系如圖示：作垂直于準線于，準線交x軸與N,則,故，故,而x軸，故,所以直線的傾斜角為，所以直線的方程為，設，，，，聯立，整理可得：，可得，所以的中點的橫坐標為3，則線段的中點到準線的距離為，故選：B．06焦半徑問題17．（2024·安徽·高二統考期末）過拋物線(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于（）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】拋物線轉化成標準方程：，焦點坐標，準線方程為，設過的直線方程為，，整理得．設，，，由韋達定理可知：，，，，根據拋物線性質可知，，，，的值為，故選：C．18．（2024·全國·高三專題練習）長為11的線段AB的兩端點都在雙曲線的右支上，則AB中點M的橫坐標的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由雙曲線可知，a＝3，b＝4，c＝5，設AB中點M的橫坐標為m，，則，，，當且僅當F、A、B共線且不垂直軸時，m取得最小值，此時．檢驗:如圖，當F、A、B共線且軸時，為雙曲線的通徑，則根據通徑公式得,所以軸不滿足題意.綜上，當F、A、B共線且不垂直軸時，m取得最小值，此時．故選：B．19．（2024·全國·高三專題練習）拋物線的焦點弦被焦點分成長是m和n的兩部分，則m與n的關系是（

）A．m＋n＝mn B．m＋n＝4 C．mn＝4 D．無法確定【答案】A【解析】拋物線的焦點，準線x＝－1，設，把它代入得，設，，則，由拋物線定義可得，，∴，，∴m＋n＝mn．故選:A20．已知為拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】拋物線的準線為，過作準線的垂線，垂足為，的中點為，過作準線的垂線，垂足為，因為是該拋物線上的兩點，故，所以，又為梯形的中位線，所以，故到軸的距離為，故選C.07圓錐曲線第三定義21．（2024·貴州貴陽·高三統考期末）過拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，若的中點的縱坐標為2，則等于（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】先根據拋物線的定義將焦點弦長問題轉化為中點到準線距離的兩倍，進而用中點橫坐標表示，設直線AB的方程為：(m為常數),與拋物線方程聯立消去,得到關于y的一元二次方程，利用中點公式和韋達定理求得m的值，進而得到中點的橫坐標，從而求得線段AB的長度.拋物線的焦點坐標F(1,0),準線方程,

設AB的中點為M,過A,B,M作準線l的垂線，垂足分別為C,D,N,則MN為梯形ABDC的中位線，,∵直線AB過拋物線的焦點F,∴可設直線AB的方程為：(m為常數),代入拋物線的方程消去x并整理得：,設A,B的縱坐標分別為,線段AB中點,則,,∴直線AB的方程為,,，故選：C.22．（2024·河北石家莊·高三石家莊二中?？奸_學考試）過橢圓上一點作圓的切線，且切線的斜率小于，切點為，交橢圓另一點，若是線段的中點，則直線的斜率（

）A．為定值 B．為定值 C．為定值 D．隨變化而變化【答案】C【解析】設,,則,化簡可得.因為是線段的中點,故.代入化簡可得的斜率.又直線與垂直,故,解得,代入圓可得.故直線的斜率為為定值.故選：C23．（2024·陜西咸陽·統考）已知雙曲線上存在兩點，關于直線對稱，且線段的中點坐標為，則雙曲線的離心率為（

）．A． B． C．2 D．【答案】B【解析】設，，根據線段的中點坐標為，且，關于直線對稱，，在雙曲線上，整理可得，進而可得到離心率.設，，且線段的中點坐標為，則，又，關于直線對稱，所以，且，在雙曲線上，，，相減可得，即，故，即，離心率為，故選：B.08定比點差法與點差法24．（2024·浙江溫州·高三溫州中學校考階段練習）如圖，P為橢圓上的一動點，過點P作橢圓的兩條切線PA，PB，斜率分別為，.若為定值，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設則過的直線方程為將直線方程與橢圓聯立可得化簡可得因為相切,所以判別式展開得同時除以可得合并可得同除以,得展開化簡成關于的方程可得因為有兩條直線,所以有兩個不等的實數根.因為為定值,可設由韋達定理,化簡得又因為在橢圓上,代入可得化簡可得則,化簡可得解得故選:C25．（2024·江蘇南京·高二南京市秦淮中學校考期末）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為（），那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．，或【答案】A【解析】先設，，再由點差法求出，再由點，在橢圓內，求出的范圍即可得解.設，，又點，在橢圓上，則，，兩式相減可得：，又，則，又點，在橢圓內，則，則，所以，故選：A.26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中學?？茧A段練習）已知橢圓內有一定點，過點P的兩條直線，分別與橢圓交于A、C和B、D兩點，且滿足，，若變化時，直線CD的斜率總為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】A【解析】設因為，且，所以，同理.將兩點坐標代入橢圓方程并化簡得，即，同理，由于，，所以，即，即，兩式相加得，即，所以，所以，故選A.27．（2024·全國·高三專題練習）設、分別為橢圓的左、右焦點，點A、在橢圓上，若，則點A的坐標是．【答案】，或，【解析】橢圓中，，，則左焦點，，右焦點，，設，，，．則，，則有，解得由點，在橢圓上，則有解之得，或故有或即，或，故答案為：，或，09切線問題28．（2024·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）已知O為坐標原點，點P在標準單位圓上，過點P作圓C：的切線，切點為Q，則的最小值為．【答案】【解析】圓C的圓心為，半徑，標準單位圓的圓心為，半徑，因為，可知圓C與標準單位圓外離，即點P在圓C外，由題意可知：，且，當且僅當在線段上時，等號成立，所以，即的最小值為.故答案為：.29．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學校考階段練習）已知拋物線的焦點為，直線為：，設點為上的一個動點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點，則的最小值為．【答案】/4.5【解析】設切點為，，，即，，則，整理得到，恒成立.設，，則，是方程的兩個根，，，則，當時，的最小值為.故答案為：.30．（2024·山東濰坊·統考模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線：的焦點為，過上一點（異于原點）作的切線，與軸交于點．若，，則．【答案】1【解析】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：即，焦點，設，因為，所以拋物線在M處的切線方程為，（另法：設拋物線在M處的切線方程為與聯立消去y，得到：，利用亦可求出）.令，得，即，由題，，解得.故答案為：.31．（2024·全國·高三專題練習）過橢圓上一動點分別向圓：和圓：作切線，切點分別為，，則的取值范圍為.【答案】【解析】，，，易知、為橢圓的兩個焦點，，根據橢圓定義，設，則，即，則，當時，取到最小值．當時，取到最大值．故的取值范圍為：.故答案為：.10焦點三角形問題32．（2024·河北張家口·高二張家口市第四中學校考階段練習）已知是雙曲線的一個焦點，點在上，為坐標原點，若，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，因為再結合雙曲線方程可解出，再利用三角形面積公式可求出結果.設點，則①．又，②．由①②得，即，，故選B．33．（2024·全國·高三專題練習）已知在雙曲線上，其左、右焦點分別為、，三角形的內切圓切x軸于點M，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在雙曲線上，可得，∴、，如圖，設，內切圓與x軸的切點是點M，、與內切圓的切點分別為N、H，∵由雙曲線的定義可得，由圓的切線長定理知，，故，即，設內切圓的圓心橫坐標為x，則點M的橫坐標為x，故，∴，∴，故選：C．34．（2024·江西宜春·上高二中?？寄M預測）已知雙曲線()的左?右焦點分別為為雙曲線上的一點，為的內心，且，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖示，延長到且，延長到且，所以，即，故是△的重心，即，又，所以，而是的內心，則，由，則，故，即.故選：D11焦點弦問題35．（2024·四川內江·高三威遠中學校?？茧A段練習）橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點，交軸于點，若，是線段的三等分點，的周長為，則橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由橢圓的定義，得，的周長，所以，所以橢圓.不妨令點C是的中點，點A在第一象限，因為，所以點A的橫坐標為c，所以，可得，所以，由中點坐標公式可得，把點B的坐標代入橢圓E的方程，得，，化簡得，又，所以，得，所以.所以，橢圓的方程為.故選：A.36．（2024·浙江金華·高二浙江金華第一中學校考期末）設雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線上，下列說法正確的是（

）A．若為直角三角形，則的周長是B．若為直角三角形，則的面積是6C．若為銳角三角形，則的取值范圍是D．若為鈍角三角形，則的取值范圍是【答案】C【解析】因為雙曲線，所以，不妨設點P在第一象限，則，若為直角三角形，當時，則，又，即，所以，，所以，所以的周長是，的面積是；當時，設，代入方程解得（負值舍去），所以，故，所以，所以的周長是，的面積是6，綜上所述，若為直角三角形，則的周長是或8，的面積是3或6，故A、B錯誤；若為銳角三角形，根據上述，則的取值范圍是，故C正確；若為鈍角三角形，根據上述，則的取值范圍是，故D錯誤.故選：C.12圓錐曲線與張角問題37．（2024·山東棗莊·統考）設、是橢圓：的兩個焦點，若上存在點滿足，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【解析】要使得橢圓上存在點滿足，則，即，當時，，解得，當時，，解得，所以實數的取值范圍是，故選A.38．（2024·遼寧朝陽·高二統考期末）設分別為橢圓的左?右焦點，點是橢圓上異于頂點的兩點，，則，若點還滿足，則的面積為.【答案】1【解析】由知，由橢圓的對稱性得關于原點對稱，所以-1.若，則四邊形為矩形，所以故答案為：，1.39．（2024·浙江杭州·高三浙江大學附屬中學?？茧A段練習）已知O為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別是，過點且斜率為k的直線與圓交于A，B兩點（點B在x軸上方），線段與橢圓交于點M，延長線與橢圓交于點N，且，則橢圓的離心率為，直線的斜率為．【答案】【解析】過原點作于點,則為的中點，又∵,

∴,

即的中點，∴∥,

∴,連接,設，則，，，在△中，，解得，在△中，，整理得，解得，.故答案為：；.13圓錐曲線與角平分線問題40．（2024·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）已知拋物線上橫坐標為4的點到拋物線焦點的距離為，點是拋物線上的點，為坐標原點，的平分線交拋物線于點，且，都在軸的上方，則直線的斜率為.【答案】/【解析】由拋物線上橫坐標為4的點到拋物線焦點的距離為，根據拋物線的定義，可得，解得，所以，如圖所示，因為，可得，所以直線的斜率為，可得直線的方程為，聯立方程組，整理得，解得或（舍去），因為都在軸的上方，所以點，又由的平分線交拋物線于點，可得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為聯立方程組，整理得，解得或（舍去），因為都在軸的上方，所以點，所以的斜率為.故答案為：.41．（2024·重慶萬州·統考模擬預測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P是C在第一象限上的一點，且直線的斜率為，的平分線交x軸于點A，點B滿足，，則雙曲線C的漸近線方程為．【答案】【解析】過作，由點滿足，則在方向上的投影與在方向上的投影長度相等,即，則,即，即為的平分線,則為的內心，連接，又點滿足,,,又，則,又直線的斜率為，,在中結合余弦定理，可得，化簡得，則，即，即雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.42．（2024·黑龍江·黑龍江實驗中學?？迹┮阎p曲線的左、右焦點分別為、，離心率為，點是雙曲線上的任意一點，滿足，的平分線與相交于點，則分所得的兩個三角形的面積之比.【答案】或【解析】如下圖所示：因為雙曲線的離心率為，則，所以，，若點在右支上，且，則，解得，因為的平分線與相交于點，由角平分線的性質可知，點到直線、的距離相等，此時，；若點在左支上，同理可求得，則.綜上所述，或.故答案為：或.43．（2024·湖南·高三長郡中學校聯考階段練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，點是橢圓上的任意一點，滿足的平分線與相交于點，則分所得的兩個三角形的面積之比.【答案】或【解析】設，因為所以，在Rt中，由勾股定理，得，①又因為，所以由橢圓的定義得，②聯立①②并化簡得：，顯然點不在坐標軸上，若點在第一或第四象限，則，因為是的平分線，所以；若點在第二或第三象限，則，因為是的平分線，所以.故答案為：或44．（2024·全國·高三專題練習）已知點是橢圓：上異于頂點的動點，，分別為橢圓的左、右焦點，為坐標原點，為的中點，的平分線與直線交于點，則四邊形的面積的最大值為.【答案】2【解析】由橢圓的方程可得，，所以，故，，又平分，則到、的距離相等，設為，則，設，則，，由是的中位線，易得，即，由橢圓性質易知，存在點為橢圓上異于頂點的動點，使，此時最大，且為.故答案為：14圓錐曲線與通徑問題45．已知直線過拋物線的焦點，且與的對稱軸垂直，與交于兩點，為的準線上一點，則的面積為（）A．18 B．24 C．36 D．48【答案】C【解析】設拋物線的解析式為y2=2px（p＞0），則焦點為F（，0），對稱軸為x軸，準線為x=-∵直線l經過拋物線的焦點，A、B是l與C的交點，又∵AB⊥x軸∴|AB|=2p=12∴p=6又∵點P在準線上∴DP=（+|-|）=p=6∴S△ABP=（DP?AB）=×6×12=36故選:C．46．以軸為對稱軸，拋物線通徑的長為8，頂點在坐標原點的拋物線的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】由題意，拋物線的頂點在原點，以軸為對稱軸，且通經長為8，當拋物線的焦點在軸的正半軸上時，設拋物線的方程為，可得，解得，所以拋物線方程為；當拋物線的焦點在軸的負半軸上時，設拋物線的方程為，可得，解得，所以拋物線方程為，所以所求拋物線的方程為.故選：C.47．（2024·貴州黔東南·統考）過雙曲線的焦點與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段的長稱為雙曲線的通徑，其長等于(、分別為雙曲線的實半軸長與虛半軸長).已知雙曲線（）的左、右焦點分別為、，若點是雙曲線上位于第四象限的任意一點，直線是雙曲線的經過第二、四象限的漸近線，于點，且的最小值為3，則雙曲線的通徑為.【答案】【解析】如圖所示，連接，由雙曲線的定義知，當且僅當三點共線時取得最小值，此時，由到直線的距離，，由定義知通徑等于，故答案為：.15圓錐曲線的光學性質問題48．（2024·四川巴中·高三統考開學考試）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為，一條平行于軸的光線從點射出，經過拋物線上的點反射后，再經拋物線上的另一點射出，則．【答案】【解析】如圖，由題意可知軸，，將代入中得，即,又，則，故的方程為，聯立，可得，解得，或（此時C與B關于