第4章反饋控制系統(tǒng)的特性

基礎(chǔ)練習(xí)題

E4.1通常采用閉環(huán)控制系統(tǒng)來跟蹤太陽的方位，以便使太陽能電池陣列的功率最大。比環(huán)跟

蹤系統(tǒng)如圖4.3所示，其中開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=署且參數(shù)的標(biāo)稱值為

z=3s。試求

(a)丁發(fā)生微小變化時(shí)，系統(tǒng)的靈敏度S。

(b)閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間常數(shù)。

【解析】(a)系統(tǒng)的靈敏度為5；=54'；,

r發(fā)生微小變化時(shí)S，=—!—13s+1$_TS_-3s

=

G1+G〃(s)"100~35+101rrs+i3s+1

1+-----

35+1

故S：=-3s

35+101

G(s)_100_100/101_0.99

(b)閉環(huán)傳遞函數(shù)為T(§)=

l+GH(s)35+1017

_3_5+I

101

其中時(shí)間常數(shù)13/101=0.0297So

E4.2圖E4.2所示的數(shù)字音響系統(tǒng)旨在降低干擾和噪聲的影響。受控對(duì)象G(s)可以近似為

G(s)=K>

(a)計(jì)算系統(tǒng)對(duì)h變化的靈敏度,、

(b)計(jì)算干擾4(。對(duì)吃的影響。

(c)所取何值時(shí)，才能使干擾對(duì)系統(tǒng)的影響最小？

噪聲

「心)

圖E4.2數(shù)字音響系統(tǒng)

【解析】(a)系統(tǒng)對(duì)&變化的靈敏度為瞟,二不丁?二10。

CK2T1+K]K?

(b)從/(s)到。的傳遞函數(shù)為匕(s)=1d)

1IKjK

(c)當(dāng)K|>1時(shí)，從q(s)到匕，的傳遞函數(shù)才會(huì)非常小，即使干擾對(duì)系統(tǒng)的影響也最小。

E4.3考慮圖E4.3(a)所示的果實(shí)采摘機(jī)器人，它通過機(jī)械臂和攝像機(jī)的相互配合，完成采

摘水果的工作。攝像機(jī)用于提供水果的位置信號(hào)。位置信號(hào)通過反饋后，再由微機(jī)來控制機(jī)

械臂。受控對(duì)象的傳遞函數(shù)為G(s)二一

(s+5y

(a)試計(jì)算在階躍指令A(yù)的作用下，采摘機(jī)器人的穩(wěn)態(tài)誤差(以K為可變參數(shù))。

(b)列舉一種可能的干擾信號(hào)。

受控對(duì)象

R⑸丫($)

采摘器的G(s)采摘器的

預(yù)期位置實(shí)際位置

圖E4.3果實(shí)采摘機(jī)器人

R(s)_

［解析］(a)跟蹤誤差為E(s)=R(s)—Y(s),E(5)A/s

-1+G(s)-1+K/(S+5『

4A

穩(wěn)態(tài)誤差為紇=lim(s)=lim--------：--------=-----：—

S,…㈠-O[1+K/($+5)[l-K/25

(b)一種可能的干擾是風(fēng)搖晃機(jī)器人的機(jī)械臂。

E4.4如圖E4.4所示，磁盤驅(qū)動(dòng)器利用電機(jī)驅(qū)動(dòng)讀/寫磁頭，以便使磁頭在旋轉(zhuǎn)的磁盤上能夠

準(zhǔn)確定位到預(yù)定的磁道。電機(jī)和磁頭的組合可以表示為。卜)=石｝行其中，7=0.00卜。

控制器將磁頭的實(shí)際位置與預(yù)期位置之差，即偏差信號(hào)作為控制信號(hào)。這一偏差信號(hào)再由放

大器放大了K倍。

(a)當(dāng)預(yù)期輸入發(fā)生階躍性變化時(shí)，試求磁頭位置的穩(wěn)態(tài)誤差。

(b)選擇K的合適取值，在斜坡輸入指令的幅值為A=10。%/s時(shí)，使磁頭的穩(wěn)態(tài)位置

誤差小于0.1mm。

圖E4.4磁盤驅(qū)動(dòng)器的控制

R(s)

【解析】(a)跟蹤誤差為E(，)=R(s)-y(s),E(5)=

l+KG(s)

A/sA

穩(wěn)態(tài)誤差為《=1叫s丫=hm-------——

ST。1+KG(S)ST。_

(b)0.1rn/scc的斜坡輸入為7?(5)

2

o.iA0.10.10.01

由終值定理可得4L吧$=lim，即『

10K10K

1+s+-7OK~~K~

S(TS+1)工$+1

0.01

若要使《40.0001m,則KN

=100o

O.OOO1

E4.5反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為T(s)=『+2］：￡二；3_P)當(dāng)〃>0時(shí)，計(jì)算閉環(huán)傳

遞函數(shù)對(duì)〃的靈敏度，并以〃為參數(shù)，計(jì)算系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。

【解析】靈敏度為腎T=由dTp畀P丁⑴。

(52+ps+10)

跟蹤誤差為￡(s)=[l—T(s)]R(s)

53+2ps2+4$+3-〃?1

由終值定理可得穩(wěn)態(tài)誤差為<=limsE(s)=二3。

10K

E4.6單位反饋系統(tǒng)的開球傳遞函數(shù)為"5)=G,(s)G(s)=確定系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入

s(s+b)

信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差與增益K和參數(shù)b之間的關(guān)系式。當(dāng)K和6取何值時(shí),能夠保證系統(tǒng)對(duì)斜坡

輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1?

10K

【解析】閉環(huán)傳遞函數(shù)為7(s)=

/+加+10K

$(5十人)1其中刈口二士。

跟蹤誤差為E(s)=[1—T(.v)J/?(.?)=

.N+H+IOKT7s~

由終值定理可得穩(wěn)態(tài)誤差為《，=limsf(s)=—也

當(dāng)b<K時(shí)，能夠保證系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差小于O.lo

E4.7很多人都遇到過幻燈片投影機(jī)不能聚焦的情況，這是系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差的實(shí)例之一。投

影機(jī)配備了自動(dòng)聚焦裝置之后,能夠不受幻燈片位置的變化和環(huán)境溫度的干擾而使投影機(jī)保

持聚焦。試據(jù)此繪制自動(dòng)聚焦系統(tǒng)的框圖，并闡述系統(tǒng)的工作原理。

【解析】光線從載玻片表面反射，進(jìn)入探測器。如果光線沒有擊中探測器的死點(diǎn)，不平衡的

電信號(hào)會(huì)導(dǎo)致電機(jī)調(diào)整光源的位置，同時(shí)調(diào)整透鏡。

E4.8冬天,很多地區(qū)的路面都被冰雪覆蓋,汽車在這樣的路面上行駛經(jīng)常打滑。在這些地區(qū)，

四輪驅(qū)動(dòng)汽車很受歡迎。四輪驅(qū)動(dòng)汽車帶有防抱死剎車裝置，通過傳感器來保持每個(gè)車輪的

轉(zhuǎn)速和牽引力。單個(gè)車輪控制系統(tǒng)的簡要框圖如圖E4.8所示。如果預(yù)期轉(zhuǎn)速為維持恒速，

當(dāng)輸入信號(hào)為R(s)=4/s時(shí)，確定系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)。

KK、

【解析】(a)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為7(s)=

5+用(犬+《)

,、-,NdiIs+K.K.ers

K,=

(b)靈敏度為、=GK/K=s+K《K+K)且S+K1(K+K2)

(c)從](s)到y(tǒng)($)的傳遞函數(shù)為=4二------二-------,因此當(dāng)R(s)=O時(shí)

4⑴S+K.[K2+K)

E(s\=-KY(s},貝ijf(s)=-----工--74(s)，%=limsE(s)=——----

')v7v7s+K\(K1+K)八)ssJ。v7KK+K)o

5+ZA?,S十，A.1S2u」

其中〃(/)為單位階躍函數(shù)。因此，選擇%=10可以獲得最快的響應(yīng)。

E4.10考慮圖E4.10所示的反饋控制系統(tǒng)，

(a)試求系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差(以增益K為可變參數(shù))。

(b)當(dāng)40WKW400時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的超調(diào)量。

(c)當(dāng)增益K變化時(shí)，繪制超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差隨K的變化曲線°

y(s)

圖E4.10反饋控制系統(tǒng)

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

46.24K(s+50)(5+425)

⑴一(s+200)($+425)(./+16.7s+72.9)+19652K(s+50)

穩(wěn)態(tài)誤差為=1吧s石($)=吧50-7(s))1=l一咄/(5)=1-7(°)=—

(b)(c)穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)量隨K的變化曲線如下：

100200300400

K

E4.11考慮圖E4.11所不的閉環(huán)系統(tǒng)，其中G(s)=

54-10

(a)試求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)T(s)=y(s)/R(s)。

(b)定義跟蹤誤差為E(s)=R(s)-Y(s),試求系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入信號(hào)R(s)=1/5的

跟蹤誤差E(s)及其穩(wěn)態(tài)值。

(c)試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)y(s)/4(s),當(dāng)干擾信號(hào)為單位階躍信號(hào)，即7；(s)=l/s時(shí)，

計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

(d)試求系統(tǒng)的靈敏度S1

式(?

H(s)

圖E4.ll閉環(huán)反饋系統(tǒng)

皿、G(s)K(『+5S+6)

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為75、=3s

1+G(s)H(s)s+15丁+56s+60+14K

(b)由E(s)=R(s)-y(s)可得

E(.V)41——")"代人竺))R(s)小+。5產(chǎn).：+(56-5辦+(60+8陰,

l+G(.y)W(5)J'>1+G(.s)//(.s),)sy+15s-+56.v+60+14K$

由終值定理得lims￡(s)=60+8K

2。'760+14K

(c)從干擾信號(hào)q(s)到輸出的傳遞函數(shù)為

53+1552+5654-60

y(s)=1+G(s)”(s)'(s)=

/+15S2+56S+60+14K

當(dāng)干擾信號(hào)為單位階躍信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

+15s2+56$+6060

limsY(s)=lini5

$->O'75->0/+15/+56S+60+14長60+14K

(d)系統(tǒng)的靈敏度為

空區(qū)_87^5G_K_1(K]l+G(s)H(s)_]

=

領(lǐng)亍=而額斤(1+G(.S)H(5))21^+10J--=1+G(s)”(s)

100

E4.12考慮圖E4.12所示的閉環(huán)系統(tǒng),其中包含有測量噪聲N(s),并且有G(S)=

5+100

Gc(s)=K],〃($)=K2

s+5

(a)試求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)T(s)=y(s)/R(s)；假定N(s)=0,試求系統(tǒng)對(duì)單位階

躍輸入信號(hào)R(s)=1/s的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。

(b)試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)7(s)=y(s)/N(s);假定R(s)=0,試求系統(tǒng)對(duì)單位階躍噪

聲信號(hào)N(s)=l/s的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差；需要注意的是，此時(shí)系統(tǒng)的預(yù)期輸出為零。

(c)如果系統(tǒng)的目標(biāo)在于既跟蹤系統(tǒng)輸入，又盡可能地衰減測量噪聲的影響，即使噪聲

N(s)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響最小化，那么應(yīng)該如何選擇參數(shù)&和a的值？

Ms)

圖E4.12含有測量噪聲的閉環(huán)反饋系統(tǒng)

G(s)G(s)100K"s+5)

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為T(5)=

1+GC(S)G(S)H(S)/+1。55+(500+100空2)

穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為

I—G(s)G(s)(l—"(s))『+(105-1008)5+500-100%(5-七)1

E(s)=R(s)/s)=R(s)=

1+G、(S)G(S)，($)2+1055+500+100^,^

5用(5-6)

則=

5+K(

(b)從噪聲信號(hào)N($)到輸出的傳遞函數(shù)為

-G(s)G(s)，(s)-100%(

丫($)=N(s)

1+G,(S)G(S)H(S)?+1055+(5(X)+100^/C2)

系統(tǒng)對(duì)單位階躍噪聲信號(hào)N(s)=i/s的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為

2($).—一翠巫—-，=二^

72

ST。's-＞。|_5+1051s'+(500+100/CI/C2)j55+用勺

(c)當(dāng)&K2盡可能小的時(shí)候，噪聲N(s)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響也越小。

E4.13高速軋鋼機(jī)采用閉環(huán)控制系統(tǒng)來精確控制鋼帶的厚度。該系統(tǒng)的框圖模型如圖E4.13

所示，其中受控對(duì)象G(s)的傳遞函數(shù)為G(s)=7■焉試求該閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)控制器增益

S(S+/U)

K變化的靈敏度。

圖E4.13高速軋鋼機(jī)的厚度控制系統(tǒng)。(a)信號(hào)流圖；(b)框圖模型

【解析】閉環(huán)傳遞函數(shù)為7(s)=

/+20s+K

靈敏度為梟=與，?+205

cK：K-SFOS+K

E4.14考慮圖E4.14所示的單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)中存在兩個(gè)參數(shù)，分別為控制器增益K和受

控對(duì)象中的

(a)試求閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)參數(shù)人變化的靈敏度，

(b)參數(shù)K取何值時(shí)，才能使外部干擾9(s)的影響最小？

G(s)G(s)K

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為T(s)=

2

l+G,(s)G(s)H(s)S+K1S+K

dT/T

靈敏度為

2

dKjK}S+K}S+K

(b)為了降低對(duì)周變化的敏感度，需使K盡可能地大。但設(shè)計(jì)上的折衷是使K盡可能小,

以抑制噪聲。

E4.15繼續(xù)考慮圖E4.15所示的單位反饋系統(tǒng)，并取參數(shù)K=120,%=10,如圖E4.15所

(a)定義跟蹤誤差為E(s)=R(s)-y(s),令4(s)=。，試求閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入

信號(hào)R(s)=l/s的穩(wěn)態(tài)誤差。

(b)令R(s)=O,試求閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)單位階躍干擾信號(hào)4(s)=l/s的穩(wěn)態(tài)誤差

%=%如)。

圖E4.15參數(shù)K=120和4=10確定后的閉環(huán)控制系統(tǒng)

G,(S)G(S)120

【解析】(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為7(s)=

1+(s)G(s)”(s)52+105+120

穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為碼)=A(s)-y(s)=[i+G『(1s)G(/R(s)\+C2],O|s-1+O1?20t1.

由終值定理可得lim.y￡(.y)=Oo

(b)從干擾信號(hào)(/(s)到輸出y($)的傳遞函數(shù)為y(s)=2//I)

S+1US+IZU

對(duì)單位階躍干擾信號(hào)7；(5)=1/5的穩(wěn)態(tài)誤差為

lim$y(s)=lims----!------=-^—o

1。')-0|_$2+]0$+]20」5120

一般習(xí)題

P4.1某液流控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為6(5)=箸斗=±其中，r=RC,R是出水

孔的阻力常數(shù)，故有l(wèi)/Rul/ZZHokiC是水箱的底面積。由于兇二/?八。2,因此可以得

△”(s)

到水位高度變化量與注水流量變化量之間的開環(huán)傳遞函數(shù)為G,(s)=

△Q\CO占

圖P4.1所示，為系統(tǒng)配備浮球式水位傳感器和捷聯(lián)式閥門之后，就構(gòu)成了閉環(huán)反饋液流控

制系統(tǒng)。假設(shè)浮球的質(zhì)量可以忽略，通過控制閥門可以使注水流量的減小量Ag與液面高度

的增加量之間成比例，即AQ|=-KAH°試據(jù)此繪制閉環(huán)系統(tǒng)的信號(hào)流圖或框圖八此

外，試從以下幾個(gè)方面，計(jì)算并比較開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的性能：

(a)對(duì)參數(shù)R和反饋系數(shù)K的靈敏度。

(b)降低干擾對(duì)兇⑴的影響能力。

(c)AQ(5)為階躍信號(hào)時(shí)、液面高度的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖P4.1液流控制系統(tǒng)

【解析】液位控制框圖如下：

dH

OQITQ-------*GG)—aDH

---------K*-----------

(a)對(duì)于開環(huán)系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為5(5)=丁77,因此Sf=..5=工工7

/\C5+1CK5/\C5+I

對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為丁卜)=居7=〃小;KR則

1+AU^|/\C5+1+i\K

_dTR_1T=5TK=-KR

一標(biāo)斤-RCs+l+KRK一灰亍-RCs+l+KR

△H(s)

對(duì)于開環(huán)系統(tǒng)

(b)7H(7)=1,所有的干擾都直接表現(xiàn)在輸出中，因此開環(huán)系統(tǒng)沒有抑制

干擾的能力。另一方面，對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)，有怨上/、=/0：十=

bH(s)l+KG"s)RCs+\+KR

通過增大K值，可以減少任何擾動(dòng)的影響。例如，考慮階躍擾動(dòng)，擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為

(_(RCs+l)、A—A

4=lims二、=1"n，隨著K的增大，穩(wěn)態(tài)誤差也會(huì)減小。

sSf。［RCs-^-\+KR)s1+KR

AA

(c)考慮階躍輸入AQ(s)=一,對(duì)于開環(huán)系統(tǒng)有&=1盤s(l—Gj—=(l—R)A

當(dāng)R=1時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為零，但對(duì)R的變化敏感。對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)有

1\AA

%=lims---------------=----------,通過增大K值，可以減少擾動(dòng)的影響，并且對(duì)H的變化

1。(1+KGjsT+KR

相對(duì)不敏感。

P4.2為了提高旅客乘船時(shí)的舒適度，必須減小船體因波浪而產(chǎn)生的晃動(dòng)。大多數(shù)輪船都采用

了安裝鰭或噴射水流的方式來設(shè)計(jì)穩(wěn)定系統(tǒng)，它們能夠產(chǎn)生所需要的穩(wěn)定力矩。圖P4.2提

供了一個(gè)輪船穩(wěn)定系統(tǒng)的簡要框圖°輪船的晃動(dòng)可以等價(jià)為單擺的振蕩，其垂直偏離角為也

2

擺動(dòng)周期一般為3so普通輪船自身的傳遞函數(shù)為G(s)=7+21”+叱其中，

"二3憶d/s,4=0.20。由于阻尼比，較小，因此，如果不加以控制，輪船的晃動(dòng)將要

持續(xù)幾個(gè)周期；即使在正常的海浪情況下，晃動(dòng)的幅度也可以高達(dá)18.。試從以下兩個(gè)方面，

計(jì)算并比較開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的特性：

(a)對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)常數(shù)片和傳感器常數(shù)8的靈敏度。

(b)降低階躍干擾影響的能力，需要注意的是，此時(shí)的預(yù)期晃動(dòng)角4(s)=0°

波浪的影響

Td（s）

牝a

動(dòng)

執(zhí)行機(jī)構(gòu):船體晃

度

減搖解G⑸角

搖擺

感

傳

器

昭

圖P4.2輪船穩(wěn)定系統(tǒng)，波浪的效應(yīng)是作用在輪船上的干擾力矩（/（S）

【解析】⑸開環(huán)傳遞函數(shù)為7（s）=K,G（s）,因此用無定義，S"=1。

閉環(huán)傳遞函數(shù)為r（s）=黑因此黑啜堯二然緇,

1+7A;AjO^5IOi\l11+AjO（5J

1+K"(s)

（b）跟蹤誤差七（s）=4（s）—〃（s）=-0（s）,因此2（s）=。。從波動(dòng)干擾到輸出的傳遞

函數(shù)為,⑶\+U產(chǎn)力

A

考慮開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的階躍擾動(dòng)輸入，對(duì)于開環(huán)系統(tǒng)有％=-1,吧sG（s）］=-A,因此開

環(huán)系統(tǒng)沒有抗干擾能力。對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)有%=lims「因

~。U（+K二KG（s）卜1+I&）K?.砥

此增大波動(dòng)干擾對(duì)穩(wěn)態(tài)輸出的影響就越小。

P4.3在工業(yè)系統(tǒng)，尤其是優(yōu)化系統(tǒng)中，溫度是最需要重點(diǎn)控制的變量之一。圖P4.3給出了

一個(gè)簡單的溫度控制系統(tǒng)框圖，該系統(tǒng)利用電阻為火的加熱器來控制受控對(duì)象的溫度，O

在溫差較小，且加熱器和管壁吸收的熱量可以忽略時(shí)，可以近似認(rèn)為受控對(duì)象所損失的熱量

與溫度差《一4之間呈線性關(guān)系。此外，假設(shè)加熱器的電壓e力與預(yù)期電壓。弧加d成比例，即

eh=kEh=kaEhe（t）,其中（為執(zhí)行機(jī)構(gòu)常數(shù)。因此，經(jīng)過線性化近似之后，得到的溫度控

k&E,,七（5）+芻號(hào)其中，r=MC/（pA）

制系統(tǒng)的開環(huán)響應(yīng)為7（s）=M為容器內(nèi)介質(zhì)

TS+\

的質(zhì)量，A為容器的內(nèi)表面，夕為熱傳尋常數(shù)，。為介質(zhì)的熱力系數(shù)，匕為昆綱轉(zhuǎn)換常

數(shù)，〃為溫差電偶的輸出電壓。

在所給條件下，試從以下3個(gè)方面計(jì)算并比較開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的性能：

(a)對(duì)參數(shù)K=k、kaEb的變化的靈敏度。

(b)當(dāng)環(huán)境溫度干擾A4(s)為單位階躍信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)抑制干擾的能力。

(c)當(dāng)預(yù)期輸入％?門四為單位階躍信號(hào)時(shí)，溫度控制器的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖P4.3溫度控制系統(tǒng)

K

【解析】(a)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)=--，其中K=k,kaEb。計(jì)算靈敏度為S於1。

rs+1

K1T、，+]

閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為r(s)=方/■.靈敏度為s?=-/、=■o

'，TS+KKlh+]1+K小G(s)F5+1+KKlh

(b)對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)丁⑸二；,*丁)卜袈，其中KK出》1。因此，KK小

\+KKlhj[TS+\)KKth

越大，干擾影響越小。而開環(huán)系統(tǒng)沒有降低干擾的功能"

A

(c)考慮階躍輸入耳齷(§)=一,開環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差為E(s)=耳依(s)-d(s),因此

S

KA

%=lims1---------=(1一陰4所以當(dāng)K=1時(shí)分=(),但是對(duì)K的變化靈敏。

ST。TS+1S'，

閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差為E(s)=------一~E<fes(s),因此

r5+1+KKfh

仃+1+K(K1)1A_A(1+K(KM-1))

=limsE(s)=lims-----------------------------------------------■■

7

s->0's->0TS+I+KK”，JS1+KK所

選擇K小=1且K，1可以降低穩(wěn)態(tài)誤差。

P4.4圖P4.4所示的控制系統(tǒng)有兩條前向通路。

(a)確定整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)r(s)=y(s)/R(s)。

(b)利用式(4.16),計(jì)算系統(tǒng)的靈敏度必。

(c)分析靈敏度是否依賴于U(s)或M(5)。

M(s)

Y(s)

R(s)輸出

輸入

圖P4.4具有兩條前向通路的系統(tǒng)

y(s)MG(s)+UQG(s)

【解析】(a)整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為7(s)

R(s)1+QG(5)

(b)SET，由于S"L且小黑畜因此

QG(s)=1

l+QG(s)-l+QG(s)

(c)靈敏度與U(s)或M(s)無關(guān)。

P4.5在射電天文學(xué)和衛(wèi)星跟蹤等領(lǐng)域，大型微波天線變得越來越重要。風(fēng)產(chǎn)生的扭矩能夠?qū)?/p>

大型天線(如直徑超過60ft的天線)產(chǎn)生不利影響。對(duì)天線精度的要求為，當(dāng)風(fēng)速為35mph

時(shí)，天線的指向誤差應(yīng)小于0.10。實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)風(fēng)速為35mph時(shí)，天線所承受的干擾扭矩

最大可以達(dá)到200000ftlb,這相當(dāng)于電機(jī)放大器承受高達(dá)10V的干擾輸入信號(hào)7；(5)。大型

天線存在的另一個(gè)問題是，系統(tǒng)中存在產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性共振的隱患。大型天線的伺服機(jī)構(gòu)如圖

P4.5所示，天線、驅(qū)動(dòng)電機(jī)和電機(jī)放大器的傳遞函數(shù)近似為G(s)=——U-------其

中，＜=0.707,例=15。功率放大器的傳遞函數(shù)近似為G(S)=—H—其中，r=0.15s。

TS+1

(a)確定系統(tǒng)對(duì)(的靈敏度。

(b)當(dāng)干擾信號(hào)為4(s)=10/s,輸入為R(s)=0時(shí)，選擇(的合適取值，使系統(tǒng)的穩(wěn)

態(tài)誤差小于0.10,

(c)當(dāng)系統(tǒng)工作在開環(huán)狀態(tài)下(即(=°),且輸入為R(s)=0時(shí)，試計(jì)算干擾信號(hào)

7；($)=10/，導(dǎo)致的系統(tǒng)誤差。

冰）

R⑸優(yōu)s）

曲良（強(qiáng)度）

圖P4.5天線控制系統(tǒng)

【解析】閉環(huán)傳遞函數(shù)為r（s）=m、

l+G］G（s）

（a）系統(tǒng)對(duì)幺的靈敏度為黑二忌⑺

（b）從今卜）到。（S）的傳遞函數(shù)為。（s）=［［（；）、Z/（s），E（s）=—/s）,

1+G1G（5）

<-G（5）^10-10

=limsE（s）=limJ+GQ（小丁

s's->0'7s-?O

由于最大期望誤差幅度為％="u=0.001745山5勺25730。

（c）開環(huán)傳遞函數(shù)為8（,',）=G（s）q（3）,故%=-liiusG（s）（3->8。

P4.6行駛在未來的自動(dòng)高速公路上的汽車，必須配備車速自動(dòng)控制系統(tǒng)。這樣一種典型的車

速反饋控制系統(tǒng)如圖P4.6所示，其中將負(fù)載視為干擾△/；（，），其強(qiáng)度采用負(fù)載占汽車自重

的比例來表示。對(duì)于不同型號(hào)的汽車，發(fā)動(dòng)機(jī)增益（的取值在10到1000之間；發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)

間常數(shù)n=20s°

（a）試求系統(tǒng)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)增益（的靈敏度。

（b）分析負(fù)載干擾力矩對(duì)汽車行駛速度的影響。

（c）假定R（s）=30/s（單位為km/h）,KeK>l,KJK、=2,負(fù)載干擾力矩為

=試以各增益值為參數(shù)，分析可能導(dǎo)致汽車失速［即丫（s）=0］的負(fù)載

干擾力矩的幅值4/。由于一旦裝上負(fù)載,汽車所承受的負(fù)載干擾強(qiáng)度便保持不變，

所以本題只需要考慮穩(wěn)態(tài)解°

負(fù)載力矩

△兀⑸

R(s)V(s)

預(yù)置的速度速度

圖P4.6汽車速度反饋控制系統(tǒng)

GQ(s)

【解析】閉環(huán)傳遞函數(shù)為r(s)=

1+G,G(5)

⑶靈敏度為鼠=1^麗=島器%

(b)負(fù)載干擾力矩對(duì)汽車行駛速度的影響為V($)=3

(c)令R(s)=30/s,KeK1?l,當(dāng)汽車失速時(shí)v(s)=o。由終值定理有

GG(s)忸…/K人

lini.yJ+GG(s)Js卜linis+30

5->05->0U+GG。U+K,KJ

(K、

當(dāng)K￡?l時(shí)有匕=_“/+30。

卜K、，

30KK

當(dāng)匕=0時(shí)，Ad=丁_L,因此如果」=2,A/=15%坡度，即每100英尺地平線上

￡￡

升15英尺，將會(huì)使汽車失速。

P4.7機(jī)器人應(yīng)用反饋原理來控制每個(gè)關(guān)節(jié)的方向。由于負(fù)載的不同及機(jī)械臂伸展位置的變

化，負(fù)載對(duì)機(jī)器人的影響也隨之變化。例如，機(jī)械手抓持負(fù)載后，就可能使機(jī)器人系統(tǒng)產(chǎn)生

偏差。機(jī)器人關(guān)節(jié)指向控制系統(tǒng)如圖P4.7所示，其中負(fù)載力矩為《(5)=。/$。

(a)令R(S)=0,試求Td(S)對(duì)Y(S)的影響。

(b)試求閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)內(nèi)的靈敏度。

(c)當(dāng)R(s)=l/s,7；(s)=0時(shí)，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

負(fù)載力矩

Y⑶

R（s）關(guān)節(jié)的

預(yù)置的實(shí)際角度

關(guān)節(jié)角度

圖P4.7機(jī)器人控制系統(tǒng)

【解析】令KL匕。則從到丫⑸的

(a)G"s)=K，G2(S)=H(s)=&+s7(s)

.S(TS+1I

傳遞函數(shù)為y(s)=——GJ'L\乙(s)=--(----------------------------(s)

1+G1G2//(5)S(7S+l)+"2(公+&S)

(b)閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)*2的靈敏度為S；=]+G["(S)'其中丁($)為閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù),

IN\/

7(6=G]，2(s)_________^2________

I尸]+GG2"('廠s(rs+l)+g(a+&s)。

（c）誤差為E（S）=R（S）_T（S）R（S）,當(dāng)R（s）二1時(shí)有

S

“理心丁（呢一1一,（°"一￡。

P4.8溫度變化過于劇烈可能會(huì)導(dǎo)致電路出現(xiàn)故障。溫度反饋控制系統(tǒng)能夠利用加熱器來降

低戶外低溫的影響，減小電路溫度的變化幅度“溫度控制系統(tǒng)的框圖如圖P4.8所示，其中，

可以將環(huán)境溫度的降低看成一個(gè)負(fù)的階躍干擾信號(hào)41），而電路的實(shí)際溫度則記為y（s）。

若電路溫度變化的動(dòng)態(tài)模型為G（$）=,18°——試求

'7/+205+18（）

（a）系統(tǒng)對(duì)K的靈敏度.

（b）干擾4（S）對(duì)輸出丫（$）的影響。

冰)

Ti(O.h+l)(?+2Oy+18O)

【解析】⑶靈敏度為S；一近西飛2皿，孫+18。)+黑

(b)從4(s)到y(tǒng)(s)的傳遞函數(shù)為

y⑺一G(s)180(0.15+1)

[)"1+G0G(s)八"一(0.Is+嶺+205+180)+180K八”

P4.9光電傳感器是一種用途非常廣泛的單向傳感器。光弓傳感需的光源對(duì)電流非常敏感，并

能夠及時(shí)改變另一側(cè)光電導(dǎo)體的電阻。光源和光電導(dǎo)體都封裝在一個(gè)四端裝置內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)

具有較大增益且完全獨(dú)立的系統(tǒng)。以RaytheonCK1116型光電傳感器為例，其非線性阻流

特性如圖P4.9(b)所示，該非線性特性的公式為log|°R=—0」75其中z?為光源等

(Z-0.005)

的電流。圖P4.9(a)給出了一個(gè)反饋電路，其中應(yīng)用了光電傳感器。該電路的標(biāo)稱工作參

數(shù)是以二35V,%=2.0/。針對(duì)該反饋電路系統(tǒng)，試求

(a)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

(b)系統(tǒng)對(duì)增益K的靈敏度。

圖P4.9光電傳感器

【解析】(a)計(jì)算析對(duì)，?的導(dǎo)數(shù)”=/'-IK當(dāng)%“/=35V時(shí)，i=W；=7mA

di(Z-0.005)-5000

在工作點(diǎn)i=7mA時(shí)，從圖(b)可得Rp20K(注：如果使用給定公式，當(dāng)i=7mA時(shí)

Rx82K,因此可以看出該公式只是對(duì)曲線的近似)，當(dāng)A=20K時(shí)有

<//?-0.402xlQ4

=-45KQ/mA

~di~0.896x1O-4

傳遞函數(shù)為(在工作點(diǎn)附近有效)

匕“卜)_K_K

匕心廠(附+1)+《率廣+1+9K/

TS+\

(b)系統(tǒng)對(duì)增益K的靈敏度為S；=

rs+l+9A7

P4.10在造紙廠的卷紙過程中，紙張?jiān)诰黹_軸和卷進(jìn)軸之間承受的張力應(yīng)該保持恒定°而隨

著紙卷厚度的變化，紙上駒張力將會(huì)發(fā)生變化，因此必須調(diào)整電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，如圖P4.10

所示。如果不對(duì)卷進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)速進(jìn)行控制，當(dāng)紙張不斷地從卷開軸向卷進(jìn)軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，線速度

%將下降，而紙張所承受的張力也會(huì)相應(yīng)地減小。通常利用由三個(gè)滑輪和一個(gè)彈簧組成的

系統(tǒng)來測量紙上的張力。記彈簧彈力為仁)'，因此張力可以表示為2T(s)=《y,其中y為

彈簧偏離平衡位置的距離，丁(§)是張力增量的垂直分量。此外，假設(shè)線性偏差轉(zhuǎn)換器、整

流器和放大器合在一起后，可以表示為“=一區(qū)〉'，電機(jī)的時(shí)間常數(shù)為7二乙〃/(，卷進(jìn)軸

的線速度是電機(jī)角轉(zhuǎn)速的兩倍，即%(。=2母)(。，于是可以得到電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程為

=Xs/(s)+g(s)]+&AT(s)其中，△丁為張力的干擾增量。

(a)繪制閉環(huán)系統(tǒng)的框圖，其中應(yīng)該包含干擾信號(hào)Ara)。

(b)考慮卷開軸轉(zhuǎn)速干擾AM(s)對(duì)系統(tǒng)的影響，進(jìn)一步完善框圖。

(c)確定系統(tǒng)對(duì)電機(jī)常數(shù)的靈敏度。

(d)當(dāng)輸入為階躍干擾AK($)=A/s時(shí),計(jì)算張力的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖P4.10卷紙過程中的張力控制

【解析】(a)(b)紙張張力控制框圖如下：

匕+。片($)

15(r5+l)

系統(tǒng)對(duì)電機(jī)常數(shù)K,“的靈敏度S"=

nr

1+——「2TS-+5+——

4s(7S+1)&

(d)從AV；(s)到7(s)的傳遞函數(shù)為

-1

T(')=:K,“k、N(S)=4MA—G)

b(丁s+1)&(rs+l)

心

當(dāng)△匕(s)=4時(shí)，有丁(，)=-----4,iimT(/)=lim5T(5)=o

sJ?一4K*2SJ"ST。''4m

8

P4.ll保持一定的紙漿濃度是造紙過程中的重要控制目標(biāo)之一。只有紙漿濃度保持恒定，才

能順利地烘干并成卷。紙漿濃度控制系統(tǒng)如圖P4.ll(a)所示，紙漿的濃度取決于兌水量。

系統(tǒng)的框圖如圖P4.ll(b)所示，其中=LG,(s)=-^~,G(s)=—!—

''7854-1'73s+l

(a)試求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)7(s)=Y(s)/R(s)o

(b)試求閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)參數(shù)K變化的靈敏度S；。

(c)當(dāng)預(yù)期濃度為階躍信號(hào)R(s)=A/s時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

選擇K的合適取值,使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差小于2吼