統計概率解答題鞏固練習三1．（2023·河南·襄城高中校聯考模擬預測）某公司是一家集無人機特種裝備的研發、制造與技術服務的綜合型科技創新企業．該公司生產的甲、乙兩種類型無人運輸機性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發揮更大的作用．已知在單位時間內，甲、乙兩種類型的無人運輸機操作成功的概率分別為和，假設每次操作能否成功相互獨立．(1)該公司分別收集了甲型無人運輸機在5個不同的地點測試的兩項指標數，（），數據如下表所示：地點1地點2地點3地點4地點5甲型無人運輸機指標數24568甲型無人運輸機指標數34445試求與間的相關系數，并利用說明與是否具有較強的線性相關關系；（若，則線性相關程度很高）(2)操作員連續進行兩次無人機的操作有兩種方案：方案一：在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續使用該類型設備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進行操作．方案二：在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，無論初次操作是否成功，第二次均使用初次所選擇的無人運輸機進行操作．假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數的期望值．附：參考公式及數據：，．【答案】(1)，是；(2)方案一操作成功的次數的期望值大于方案二操作成功的次數的期望值【解析】（1），，，，相關系數，因為，所以與具有較強的線性相關關系．（2）設方案一和方案二操作成功的次數分別為，，則，的所有可能取值均為0，1，2，方案一：，，，所以．方案二：選擇其中一種操作設備后，進行2次獨立重復試驗，所以，所以，即方案一操作成功的次數的期望值大于方案二操作成功的次數的期望值．2．（2023·江西·校聯考二模）2023年高考進入倒計時，為了幫助學子們在緊張的備考中放松身心，某重點高中通過開展形式多樣的減壓游戲，確保同學們以穩定心態，良好地狀態迎戰高考，游戲規則如下：盒子中初始裝有2個白球和1個紅球各一個，每次有放回的任取一個，連續取兩次，將以上過程記為一輪.如果每一輪取到的兩個球都是紅球，則記該輪為成功，否則記為失敗.在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個白球，然后接著進行下一輪抽球，如此不斷繼續下去，直至成功.(1)如果某同學進行該抽球游戲時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進行抽球試驗的輪次數為隨機變量，求的分布列和數學期望；(2)為驗證抽球試驗成功的概率不超過，假設有1000名學生獨立的進行該抽球試驗，記表示成功時抽球試驗的輪次數，表示對應的人數，部分統計數據如下：1234512062332015求關于的回歸方程，并通過回歸方程預測成功的總人數（取整數部分）；(3)證明：．附：經驗回歸方程系數：，；參考數據：，，（其中，）．【答案】(1)分布列見解析，；(2)，270；(3)證明見解析.【解析】（1）依題意，X的取值可能為1，2，3，則；；，所以X的分布列為：X123P所以數學期望為．（2）令，則，依題意，，于是，則，所以所求的回歸方程為：，估計t=6時，；估計t=7時，；估計t=8時，；估計t=9時，；估計t≥10時，，從而，所以預測成功的總人數為270．（3）依題意，在前n輪就成功的概率為，又因為在前n輪沒有成功的概率為，則，所以．3．（2023·遼寧鞍山·統考二模）2020年，是人類首次成功從北坡登頂珠峰60周年，也是中國首次精確測定并公布珠峰高程的45周年.華為幫助中國移動開通珠峰峰頂5G，有助于測量信號的實時開通，為珠峰高程測量提供通信保障，也驗證了超高海拔地區5G信號覆蓋的可能性，在持續高風速下5G信號的穩定性，在條件惡劣地區通過簡易設備傳輸視頻信號的可能性.正如任總在一次采訪中所說：“華為公司價值體系的理想是為人類服務.”有人曾問，在珠峰開通5G的意義在哪里？“我認為它是科學技術的一次珠峰登頂，告訴全世界，華為5G、中國5G的底氣來自哪里.現在，5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革，某IT公司基于領先技術的支持，5G經濟收入在短期內逐月攀升，該IT公司在1月份至6月份的5G經濟收入y（單位：百萬元）關于月份x的數據如下表所示，并根據數據繪制了如圖所示的散點圖.月份x123456收入y（百萬元）6.68.616.121.633.041.0(1)根據散點圖判斷，與（a，b，c，d均為常數）哪一個更適宜作為5G經濟收入y關于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據（1）的結果及表中的數據，求出y關于x的回歸方程，并預測該公司7月份的5G經濟收入.（結果保留小數點后兩位）(3)從前6個月的收入中抽取2個，記收入超過20百萬元的個數為X，求X的分布列和數學期望.參考數據：3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，設（i=1，2，3，4，5，6）.參考公式：對于一組具有線性相關關系的數據（，）（i=1，2，3，…，n），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】(1)更適宜；(2)，65.35百萬元；(3)分布列見解析，1【解析】（1）根據散點圖判斷，更適宜作為5G經濟收入y關于月份x的回歸方程類型；（2）因為，所以兩邊同時取常用對數，得，設，所以，因為，所以所以.所以，即，所以.令，得，故預測該公司7月份的5G經濟收入大約為65.35百萬元.（3）前6個月的收入中，收入超過20百萬元的有3個，所以X的取值為0，1，2，所以X的分布列為：012P所以.4．（2023·河北秦皇島·校聯考模擬預測）某班從6名男生和4名女生中，隨機抽取5人組成數學興趣小組，另5人組成物理興趣小組．(1)求數學興趣小組中包含男生A，但不包含女生a的概率；(2)用X表示物理興趣小組中的女生人數，求X的分布列與數學期望．【答案】(1).(2)分布列見解析，.【解析】（1）從6名男生和4名女生中，隨機抽取5人組成數學興趣小組，另5人組成物理興趣小組，共有種，其中數學興趣小組中包含男生A，但不包含女生a的有種，所以所求概率為.（2）的所有可能取值為，，，，，，所以的分布列為：01234.5．（2023·江西南昌·江西師大附中校考三模）足球運動的發展離不開足球文化與足球運動興趣的培養.2022年世界杯的開賽像春風一樣吹暖了大地，某足球隊的訓練趁機搞得熱火朝天.同時又開展“贏積分換獎勵”的趣味活動：將球門分為9個區域（如圖），在點球區將球踢中①、③、⑦、⑨號區域積3分，踢中②、④、⑥、⑧號區域積2分，踢中⑤號區域積1分，末踢中球門區域不積分.有甲乙兩名球員踢中①、③、⑦、⑨號區域的概率都是，踢中②、④、⑥、⑧號區域的概率都是，踢中⑤號區域的概率為.①②③④⑤⑥⑦⑧⑨(1)設甲連踢3球的積分和為