第八章第4講[A級基礎達標]1．(2021年天水月考)設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，則()A．若α∥β，則l∥m B．若m∥α，則α∥βC．若m⊥α，則α⊥β D．若α⊥β，則l∥m【答案】C2．(2021年河南豫西名校聯考)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列條件中能推出m⊥n的是()A．m⊥α，n∥β，α⊥β B．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m?α，n⊥β，α∥β D．m?α，n∥β，α⊥β【答案】C3．(2021年蘭州期末)在三棱錐A－BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有()A．平面ADC⊥平面BCDB．平面ABC⊥平面BCDC．平面ABD⊥平面ADCD．平面ABD⊥平面ABC【答案】A4．(2021年銀川期末)已知PA⊥矩形ABCD所在平面，如圖所示，圖中互相垂直的平面有()A．1對 B．2對C．3對 D．5對【答案】D5．(2021年合肥一模)我國古代數學名著《九章算術》第五卷“商功”中，把底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．今有“陽馬”P－ABCD，PA＝AB＝AD，E，F分別為棱PB，PD的中點．以下四個結論：①PB⊥平面AEF；②EF⊥平面PAC；③平面PBD⊥平面AEF；④平面AEF⊥平面PCD.其中正確的是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④【答案】D6．(2021年鹽城月考)(多選)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，則下列說法正確的是()A．A，M，N，B四點共面B．直線BN與B1M所成的角為60°C．BN∥平面ADMD．平面ADM⊥平面CDD1C1【答案】BD【解析】對于A，A，B，M在平面ABC1D1內，N在平面ABC1D1外，故A錯誤；對于B，如圖，取CD中點E，連接BE，NE，可得BE∥B1M，∠EBN為直線BN與B1M所成角，由題意可得△BEN為邊長為2eq\r(2)的等邊三角形，則∠EBN＝60°，故B正確；對于C，若BN∥平面ADM，又BC∥平面ADM，則平面BCC1B1∥平面ADM，而平面BCC1B1∥平面ADD1A1，矛盾，故C錯誤；對于D，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面CDD1C1，AD?平面ADM，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故D正確．故選BD．7．(2021年重慶八中月考)(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為線段A1D1上的動點(不包括兩個端點)，M為線段AP的中點，則()A．CM與PN是異面直線B．存在P點使得PN∥平面CC1D1DC．平面PAN⊥平面BDD1B1D．過P，A，C三點的正方體的截面一定是等腰梯形【答案】BCD【解析】對于A，因為C，N，A共線，又CN，PM交于點A，即P，M，N，C共面，因此CM與PN共面，故選項A不正確；對于B，當P為A1D1的中點時，PN∥平面CC1D1D，故選項B正確；對于C，因為AN⊥BD，AN⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD，BB1?平面BDD1B1，所以AN⊥平面BDD1B1，AN?平面PAN，所以平面PAN⊥平面BDD1B1，故選項C正確；對于D，過P，A，C三點的正方體的截面與C1D1相交于點Q，則AC∥PQ，且PQ＜AC，因此一定是等腰梯形，故選項D正確．故選BCD．8．(2021年臨沂月考)把邊長為4的正方形ABCD沿對角線BD折成空間四邊形ABCD，使得平面ABD⊥平面CBD.則空間四邊形ABCD的對角線AC的長為________．【答案】4【解析】取BD中點O，連接AO，CO，因為把邊長為4的正方形ABCD沿對角線BD折成空間四邊形ABCD，使得平面ABD⊥平面CBD，所以AO⊥BD，CO⊥BD，所以∠AOC是平面ABD與平面CBD所成的二面角，因為平面ABD⊥平面CBD，所以∠AOC＝90°，因為AO＝CO＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)eq\r(16＋16)＝2eq\r(2)，所以空間四邊形ABCD的對角線AC的長為AC＝eq\r(2\r(2)2＋2\r(2)2)＝4.9．(2021年南陽期末)已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿對角線AC將三角形ABC折起，使得點B在平面ACD上的射影在線段AD上，此時cos∠BAD的值是________．【答案】eq\f(3,4)【解析】如圖，設點B在平面ACD上的射影在線段AD上為H，則BH⊥平面ADC，所以BH⊥DC，又DC⊥AD，且AD∩BH＝H，所以DC⊥平面ABD，可得CD⊥BD，在Rt△BDC中，由BC＝4，CD＝3，可得BD＝eq\r(BC2－CD2)＝eq\r(42－32)＝eq\r(7)，設DH＝x，則AH＝4－x，所以BD2－DH2＝AB2－AH2，即7－x2＝9－(4－x)2，解得x＝eq\f(7,4)，可得cos∠BAD＝eq\f(AH,AB)＝eq\f(\f(9,4),3)＝eq\f(3,4).10．(2021年乙卷)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點，且PB⊥AM.(1)證明：平面PAM⊥平面PBD；(2)若PD＝DC＝1，求四棱錐P－ABCD的體積．(1)證明：因為PD⊥底面ABCD，AM?平面ABCD，所以PD⊥AM，又因為PB⊥AM，PD∩PB＝P，PB，PD?平面PBD.所以AM⊥平面PBD.因為AM?平面PAM，所以平面PAM⊥平面PBD.(2)解：由PD⊥底面ABCD，所以PD即為四棱錐P－ABCD的高，△DPB是直角三角形；因為ABCD底面是矩形，PD＝DC＝1，M為BC的中點，且PB⊥AM.設AD＝BC＝2a，取CP的中點為F.連接MF，AF，EF，AE，可得MF∥PB，EF∥DP，那么AM⊥MF.且EF＝eq\f(1,2).則可得AE＝eq\r(\f(1,4)＋4a2)，AM＝eq\r(a2＋1)，AF＝eq\r(EF2＋AE2)＝eq\r(\f(1,4)＋4a2＋\f(1,4))＝eq\r(\f(1,2)＋4a2).那么△AMF是直角三角形，因為△DPB是直角三角形，所以根據勾股定理可得BP＝eq\r(2＋4a2)，則MF＝eq\f(\r(2＋4a2),2)；由△AMF是直角三角形，可得AM2＋MF2＝AF2，解得a＝eq\f(\r(2),2).底面ABCD的面積S＝eq\r(2)，則四棱錐P－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)·h·S＝eq\f(1,3)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).[B級能力提升]11．(2021年駐馬店期末)如圖，在四棱錐E－ABCD中，底面ABCD是正方形，且平面ABCD⊥平面AEB，則()A．∠DEC可能為90°B．若△AEB是等邊三角形，則△DEC也是等邊三角形C．若△AEB是等邊三角形，則異面直線DE和AB所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4)D．若△AEB是直角三角形，則BE⊥平面ADE【答案】C【解析】由題意知，底面ABCD是正方形，所以BC⊥AB，又BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面AEB＝AB，平面ABCD⊥平面AEB，故BC⊥平面AEB.對于A，若∠DEC＝90°，則DC＞EC，但EC＞BC＝CD，所以產生矛盾，則∠DEC≠90°，故A錯誤；對于B，若△AEB是等邊三角形，則有EC＞EB＝DC，所以△DEC不是等邊三角形，故B錯誤；對于C，若△AEB是等邊三角形，設邊長為2，則DE＝EC＝2eq\r(2)，因為AB∥CD，則∠CDE即為異面直線DE與AB所成的角，所以cos∠CDE＝eq\f(\r(2),4)，故C正確；對于D，當△AEB是以∠AEB為直角的直角三角形時，BE⊥平面ADE，當△AEB是以∠EAB(或∠EBA)為直角的直角三角形時，BE與平面ADE不垂直，故選項D錯誤．故選C．12．(2021年佛山一模)(多選)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，M為AA1的中點，過B1M作長方體的截面α交棱CC1于N，則()A．截面α可能為六邊形B．存在點N，使得BN⊥截面αC．若截面α為平行四邊形，則1≤CN≤2D．當N與C重合時，截面面積為eq\f(3\r(6),4)【答案】CD【解析】長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，M為AA1的中點，如圖1，過B1M作長方體的截面α交棱CC1于N，設N0為CC1的中點，根據點N的位置的變化分析可得，當1≤CN≤2時，截面α為平行四邊形，當0＜CN＜1時，截面α為五邊形，當CN＝0，即點N與點C重合時，截面α為梯形，故選項A錯誤，選項C正確；設BN⊥截面α，因為B1M?截面α，所以BN⊥B1M，所以N只能與C重合才能使BN⊥B1M，因為此時BN不垂直平面B1CQM，故選項B錯誤；圖1因為當N與C重合時，截面α為梯形，如圖2所示，過M作MM′垂直于B1C于點M′，設梯形的高為h，B1M′＝x，則由平面幾何知識可得h2＝(eq\r(2))2－x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)－x))2，解得x＝eq\f(2\r(5),5)，h＝eq\r(\f(6,5))，所以截面α的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)＋\f(\r(5),2)))·h＝eq\f(1,2)×eq\f(3\r(5),2)×eq\r(\f(6,5))＝eq\f(3\r(6),4)，故選項D正確．故選CD．圖213．(2021年徐州期中)平行四邊形ABCD中，AB＞AD，將三角形ABD沿著BD翻折至三角形A′BD處，則下列直線中有可能與直線A′B垂直的是________(填所有符合條件的序號)．①直線BC；②直線CD；③直線BD；④直線A′C.【答案】①②【解析】對于①，若BC⊥BD，當平面ABD⊥平面BCD時，BC⊥平面A′BD，則此時BC⊥A′B，故①成立；對于②，若∠ABD＞45°，則在翻折的過程中，∠A′BA超過90°，故存在∠A′BA＝90°，因為AB∥CD，所以CD⊥A′B，故②成立；對于③，在△ABD中，因為AB＞AD，所以∠ABD為銳角，即∠A′BD為銳角，故直線BD不可能和直線A′B垂直，故③不成立；對于④，因為AB＞AD，所以在△A′BC中，A′B＞BC，所以∠BA′C始終為銳角，故直線A′C不可能和直線A′B垂直，故④不成立．14．(2021年南寧一模)如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面均為菱形，點G，H，M分別為AC，B1C1，BC的中點．(1)求證：GH∥平面CDD1C1；(2)若∠ABC＝eq\f(π,3)，求證：B1C1⊥平面A1AM.證明：(1)如圖，取A1D1中點M′，AD中點N，連接NM′，GN，因為在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面均為菱形，點G，H，M′分別為AC，B1C1，A1D1的中點，所以HM′∥C1D1，M′N∥D1D，NG∥DC，因為HM′∩M′N＝M′，M′N∩NG＝N，C1D1∩D1D＝D1，D1D∩DC＝D，所以平面GNM′H∥平面CDD1C1，因為HG?平面GNM′H，所以GH∥平面CDD1C1.(2)因為在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面均為菱形，∠ABC＝eq\f(π,3)，所以△ABC是等邊三角形，BC∥B1C1，因為M是BC中點，所以AM⊥BC，所以B1C1⊥AM，因為在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，因為B1C1?平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1C1，因為AM∩AA1＝A，AM，AA1?平面A1AM，所以B1C1⊥平面A1AM.[C級創新突破]15．(2021年衡水模擬)如圖，DA⊥平面ABC，DA＝AC＝1，O是AB的中點，△ACO為等邊三角形．(1)證明：平面ACD⊥平面BCE；(2)若AD∥BE，P為CE的中點，Q為線段OP上的動點，判斷三棱錐Q－ACD的體積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．(1)證明：因為DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以DA⊥BC，又因為DA＝AC＝1，O是AB的中點，△ACO為等邊三角形，所以OC＝eq\f(1,2)AB，所以BC⊥AC，因為DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ACD，因為BC?平面BCE，所以平面ACD⊥平面BCE.(2)解：如圖，取BC的中點R，連接OR，PR，在△ACB，△BCE中，OR，PR分別為中位線，所以OR∥AC，PR∥BE，因為AD∥B