第=page11頁，共=sectionpages11頁福建省福州市連江一中2024-2025學年高二（下）3月適應性數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設f(x)=xlnx，若f′(x0)=2，則xA.e2 B.ln2 C.ln222.函數y=12x2A.(?1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)3.設函數f(x)的導函數f′(x)圖象如圖，則函數y=f(x)的圖象可能為(

)A.B.

C.D.4.如圖1，現有一個底面直徑為10cm高為25cm的圓錐容器，以2cm3/s的速度向該容器內注入溶液，隨著時間(單位：s)的增加，圓錐容器內的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當t=π時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為(

)A.33006πcm/s

B.33005πcm/s5.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，側面A1ADD1是正方形，且∠A1AB=120°A.9 B.7 C.3 D.6.若定義在R上的函數f(x)滿足f′(x)?3f(x)<0，f(0)=1，則不等式f(x)>e3x的解集為(

)A.[0,+∞) B.(?∞,0) C.(1,+∞) D.(?∞,0]7.已知點P為直線y=x+1上的一點，M、N分別為圓C1：(x?4)2+(y?1)2=4與圓：C2A.5 B.6 C.2 D.18.已知函數f(x)=x2+ax，若函數f(x)在x∈[2,+∞)上是單調遞增的，則實數A.(?∞,8) B.(?∞,16]

C.(?∞,?8)∪(8,+∞) D.(?∞,?16]∪[16,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=x3?3x+1，則過點(1,?1)且與曲線y=f(x)相切的直線方程可以為A.2x+y?1=0 B.y=?1 C.9x+4y?5=0 D.3x+2y?1=010.已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1(n∈A.{an?12}是等比數列 B.{a11.已知函數f(x)=ln(x+1)?asinx，a∈R，則下列結論正確的是(

)A.當a=1時，f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y=0

B.當a=1時，f′(x)在(?1,π2)上存在唯一極大值點x0

C.存在a，使得f(x)有且僅有2個零點

D.存在三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若f(x)=3xf′(1)+x4，則f′(0)=______．13.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為4，直線l過點F且與拋物線交于A、B兩點，若M(m,2)是線段AB的中點，則m的值為______．14.已知函數f(x)=x(lnx?ax)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知函數f(x)=ax3+bx在x=1處有極值2．

(1)求a，b的值；

(2)求函數f(x)在區間16.(本小題12分)

在等差數列{an}中，a3=5，且a2n=2an+1．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)已知數列{bn}的前17.(本小題12分)

某產品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格，銷售量將會增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．

(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成關于x的函數y=f(x)．

(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？18.(本小題12分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為62，右頂點為E(2,0)，A，B為雙曲線C右支上兩點，且點A在第一象限，以AB19.(本小題12分)

函數f(x)=lnx?ax(a∈R)，g(x)=12ax2?x．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)當a>0時，若不等式答案解析1.D

【解析】解：∵f′(x)=lnx+1；

故f′(x0)=2可化為lnx0+1=2；

故2.B

【解析】解：∵y=12x2?lnx的定義域為(0,+∞)，

y′=x2?1x，

∴由y′≤0得：0<x≤1，

∴3.C

【解析】解：設f′(x)的兩個零點為a，b，a<0，b>0，且b=?a，

由導數圖象知當x<a時，f′(x)<0，函數為減函數，當a<x<b，f′(x)>0，函數f(x)為增函數，當x>b時，f′(x)<0，f(x)為減函數，

即當x=a時，f(x)取得極小值，當x=b時，函數f(x)取得極大值，

則對應的圖象為C，

故選：C．

先設f′(x)的兩個兩個零點，結合導數符號與單調性的關系進行判斷即可．

本題主要考查函數圖象的識別和判斷，結合函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．比較基礎．4.C

【解析】解：設注入溶液的時間為t(單位：s)時，溶液的高為?cm，

則13π?(15?)2??=2t，得?=3150tπ．

因為?′=1331505.D

【解析】解：在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，側面A1ADD1是正方形，

且∠A1AB=120°，∠DAB=60°，AB=2，P是C1D與CD1的交點，

∴四邊形DD1C1C是平行四邊形，∴P是C1D的中點，

∴AP6.B

【解析】解：構造函數g(x)=f(x)e3x?1，g(0)=f(0)?1=0，

則不等式不等式f(x)>e3x，即為g(x)>g(0)．

∵g′(x)=e3xf′(x)?3e3xf(x)e6x=f′(x)?3f(x)e3x<0，

∴函數g(x)在R上單調遞減，

∴不等式g(x)>g(0)的解集為：{x|x<0}7.C

【解析】解：如圖所示，由圓C1：(x?4)2+(y?1)2=4，可得圓心C1(4,1)，半徑為r1=2，

圓C2：x2+(y?4)2=1，可得圓心C2(0,4)，半徑為r2=1，

可得圓心距|C1C2|=(4?0)2+(1?4)2=5，8.B

【解析】解：根據題意，函數f(x)=x2+ax，其導數f′(x)=2x?ax2，

若函數f(x)在x∈[2,+∞)上是單調遞增的，則f′(x)=2x?ax2≥0在[2,+∞)上恒成立，

變形可得a≤2x3在[2,+∞)上恒成立，

則必有a≤16，即a的取值范圍為(?∞,16]；

故選：9.BC

【解析】解：由f(x)=x3?3x+1，得f′(x)=3x2?3，

設切點坐標為(t,t3?3t+1)，則f′(t)=3t2?3，

則過切點的切線方程為y=(3t2?3)(x?t)+t3?3t+1，

把點(1,?1)代入，可得?1=(3t2?3)(1?t)+t3?3t+1，

整理得：(t?1)10.BC

【解析】解：∵an+1=3an+1(n∈N?)，

∴an+1+12=3(an+12)，

又a1=1，則a1+12=32，

∴數列{an+11.ACD

【解析】解：f(x)=ln(x+1)?asinx，

對于A中，當a=1時，可得f(x)=ln(x+1)?sinx，f(0)=0，

由f′(x)=1x+1?cosx，可得切線的斜率為k=f′(0)=0，

所以f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y=0，所以A正確；

對于B中，當a=1時，可得f′(x)=1x+1?cosx，

令g(x)=1x+1?cosx，可得g′(x)=?1(x+1)2+sinx在(?1,π2)為單調遞增函數，

由g′(π2)=?1(π2+1)2+1>0,g′(0)=?1<0，所以存在x0∈(0,π2)，使得g′(x0)=0，

當(?1,x0)時，g′(x)<0，函數g(x)單調遞減；當(x0,π2)時，g′(x)>0，函數g(x)單調遞增，

所以f′(x)在區間(?1,π2)上有唯一的極小值點x0，所以B錯誤；

對于C中，當a=1時，函數f(x)=ln(x+1)?sinx，且f′(x)=1x+1?cosx，

當x∈(?1,0)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增，

所以f(x)<f(0)=0，即函數f(x)在(?1,0)沒有零點；

在x∈[0,+∞)，令f(x)=0，即ln(x+1)=sinx，

由函數?(x)=ln(x+1)和y=sinx的圖象，可得?(0)=sin0=0，?(π2)<sinπ2=1，?(5π12.?6

【解析】解：因為f(x)=3xf′(1)+x4，

所以f′(x)=3f′(1)+4x3，

所以f′(1)=3f′(1)+4，

即f′(1)=?2，

所以f′(0)=3×(?2)=?6，

故答案為：?6．13.3

【解析】解：已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為4，

則p=4，

故拋物線方程為y2=8x．

又直線l過點F且與拋物線交于A、B兩點，若M(m,2)是線段AB的中點，

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，易知x1≠x2，

則y12=8x1y22=8x2，

由點差法可得y1?y2x1?x2=8y1+y2，

又M(m,2)是線段AB的中點，

14.(0,1【解析】解：f(x)=xlnx?ax2(x>0)，f′(x)=lnx+1?2ax．

令g(x)=lnx+1?2ax，

∵函數f(x)=x(lnx?ax)有兩個極值點，則g(x)=0在區間(0,+∞)上有兩個實數根．

g′(x)=1x?2a=1?2axx，

當a≤0時，g′(x)>0，則函數g(x)在區間(0,+∞)單調遞增，因此g(x)=0在區間(0,+∞)上不可能有兩個實數根，應舍去．

當a>0時，令g′(x)=0，解得x=12a．

令g′(x)>0，解得0<x<12a，此時函數g(x)單調遞增；

令g′(x)<0，解得x>12a，此時函數g(x)單調遞減．

∴當x=12a時，函數g(x)取得極大值．

當x趨近于0與x趨近于+∞時，g(x)→?∞，

要使g(x)=0在區間(0,+∞)上有兩個實數根，則g(12a)=ln12a>0，解得0<a<12．

∴實數a的取值范圍是(0,12)．

故答案為：(0,12)．

f(x)=xlnx?a15.解：(1)∵函數f(x)=ax3+bx在x=1處取得極值2，

∴f′(1)=3a+b=0f(1)=a+b=2，解得a=?1b=3，

(2)由(1)得：f(x)=?x3+3x，

f′(x)=?3x2+3=?3(x+1)(x?1)，

令f′(x)>0，解得：?1<x<1，

令f′(x)<0，解得：x>1或x<?1，

故f(x)在[?2,?1)遞減，在(?1,12]遞增，

故f(x)的最大值是【解析】本題考查了函數的單調性，最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道常規題．

(1)根據極值的定義得到關于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出f(x)的表達式；

(2)求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的最值即可．16.解：(1)在等差數列{an}中，設公差為d，

由a3=5，可得a1+2d=5，

由a2n=2an+1，可得a2=a1+d=2a1+1，

解得a1=1，d=2，

則an=1+2(n?1)=2n?1；

(2)數列{bn}的前n項和為Sn，且2Sn=3bn?1，

可得n=1時，2b1=2S1=3b1?1，解得【解析】(1)根據已知條件求得等差數列{an}的首項和公差，由此求得an．

(2)先求得bn17.解：(1)設一星期多賣出的商品件數為t件，設t=kx2，

由題意知24=k×22，解得k=6．

由題意知，f(x)=(30?9?x)(432+6x2)，

x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)?0+0?f(x)9072單調遞減極小值單調遞增極大值11664單調遞減且f(0)=6×72×21=9072，f(12)=6×216×9=11664，

因為11664>9072，所以當x=12時，商品銷售利潤最大，此時定價為30?12=18元．

所以當定價為18元時，一個星期的商品銷售利潤最大．

【解析】(1)根據已知條件先確定出每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x之間的關系，然后根據(售價?成本?降價值)×(432+多賣出的商品件數)得到f(x)解析式，同時注意定義域；

(2)根據f′(x)=0列出關于x，f′(x)，f(x)的表格，分析出f(x)的單調性和極值，再結合端點值確定出f(x)取最大值時對應的x的值即可．

本題主要考查根據實際問題選擇合適的函數模型，屬于中檔題．18.解：(1)右頂點E(2,0)，所以a=2，

設焦距為2c，由于e=ca=62，

解得c=3，所以b=c2?a2=1，所以雙曲線C：x22?y2=1；

(2)證明：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，由于A，B為雙曲線C右支