安徽師范大學附中2025屆高三第二學期期中練習（一模）數學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．2．如圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖．則下列結論中表述不正確的是()A．從2000年至2016年，該地區環境基礎設施投資額逐年增加；B．2011年該地區環境基礎設施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；C．2012年該地區基礎設施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；D．為了預測該地區2019年的環境基礎設施投資額，根據2010年至2016年的數據（時間變量t的值依次為）建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型，根據該模型預測該地區2019的環境基礎設施投資額為256.5億元.3．隨著人民生活水平的提高，對城市空氣質量的關注度也逐步增大，下圖是某城市月至月的空氣質量檢測情況，圖中一、二、三、四級是空氣質量等級，一級空氣質量最好，一級和二級都是質量合格天氣，下面敘述不正確的是（）A．1月至8月空氣合格天數超過天的月份有個B．第二季度與第一季度相比，空氣達標天數的比重下降了C．8月是空氣質量最好的一個月D．6月份的空氣質量最差.4．已知，則的取值范圍是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]5．連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為，連接4個焦點的四邊形的面積為，則當取得最大值時，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．函數的部分圖像如圖所示，若，點的坐標為，若將函數向右平移個單位后函數圖像關于軸對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知，，則等于（）．A． B． C． D．8．已知數列是以1為首項，2為公差的等差數列，是以1為首項，2為公比的等比數列，設，，則當時，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．119．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．從拋物線上一點(點在軸上方)引拋物線準線的垂線，垂足為，且，設拋物線的焦點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．11．在原點附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．12．已知集合，，且、都是全集（為實數集）的子集，則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B．或C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，則球的表面積為__________.14．設為銳角，若，則的值為____________．15．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，則a1=_____，a1+a2+…+a5=____16．已知函數，若函數有個不同的零點，則的取值范圍是___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知關于的不等式有解.（1）求實數的最大值；（2）若，，均為正實數，且滿足.證明：.18．（12分）已知函數（）（1）函數在點處的切線方程為，求函數的極值；（2）當時，對于任意，當時，不等式恒成立，求出實數的取值范圍.19．（12分）已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．20．（12分）設橢圓：的右焦點為，右頂點為，已知橢圓離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線斜率的取值范圍.21．（12分）新型冠狀病毒肺炎疫情發生以來，電子購物平臺成為人們的熱門選擇.為提高市場銷售業績，某公司設計了一套產品促銷方案，并在某地區部分營銷網點進行試點.運作一年后，對“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網點各選取了50個，對比上一年度的銷售情況，分別統計了它們的年銷售總額，并按年銷售總額增長的百分點分成5組：，分別統計后制成如圖所示的頻率分布直方圖，并規定年銷售總額增長10個百分點及以上的營銷網點為“精英店”.（1）請你根據題中信息填充下面的列聯表，并判斷是否有的把握認為“精英店與采用促銷活動有關”；采用促銷沒有采用促銷合計精英店非精英店合計5050100（2）某“精英店”為了創造更大的利潤，通過分析上一年度的售價(單位：元)和日銷量(單位：件)的一組數據后決定選擇作為回歸模型進行擬合.具體數據如下表，表中的：①根據上表數據計算的值；②已知該公司成本為10元/件，促銷費用平均5元/件，根據所求出的回歸模型，分析售價定為多少時日利潤可以達到最大.附①：附②：對應一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.22．（10分）如圖，橢圓的長軸長為，點、、為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，過中心，且，．（1）求橢圓的標準方程；（2）設、是橢圓上位于直線同側的兩個動點（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關系，并求證直線的斜率為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

首先找出與面所成角，根據所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據同角三角函數關系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設中點為，連接，，可知，，同時易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎題.2．D【解析】

根據圖像所給的數據，對四個選項逐一進行分析排除，由此得到表述不正確的選項.【詳解】對于選項，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對于選項，投資總額為億元，小于年的億元，故描述正確.年的投資額為億，翻兩翻得到，故描述正確.對于選項，令代入回歸直線方程得億元，故選項描述不正確.所以本題選D.本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進行預測的方法，屬于基礎題.3．D【解析】由圖表可知月空氣質量合格天氣只有天，月份的空氣質量最差．故本題答案選．4．D【解析】

設，可得，構造（）22，結合，可得，根據向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設，則，，∴（）2?2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又則[0，2]．故選：D．本題考查了向量的運算綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.5．D【解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標，四個頂點構成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個頂點的坐標為，四個焦點的坐標為，四個頂點形成的四邊形的面積，四個焦點連線形成的四邊形的面積，所以，當取得最大值時有，，離心率，故選：D.該題考查的是有關雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.6．B【解析】

根據圖象以及題中所給的條件，求出和，即可求得的解析式，再通過平移變換函數圖象關于軸對稱，求得的最小值.【詳解】由于，函數最高點與最低點的高度差為，所以函數的半個周期，所以，又，，則有，可得，所以，將函數向右平移個單位后函數圖像關于軸對稱，即平移后為偶函數，所以的最小值為1，故選：B.該題主要考查三角函數的圖象和性質，根據圖象求出函數的解析式是解決該題的關鍵，要求熟練掌握函數圖象之間的變換關系，屬于簡單題目.7．B【解析】

由已知條件利用誘導公式得，再利用三角函數的平方關系和象限角的符號，即可得到答案.【詳解】由題意得，又，所以，結合解得，所以，故選B.本題考查三角函數的誘導公式、同角三角函數的平方關系以及三角函數的符號與位置關系，屬于基礎題.8．B【解析】

根據題意計算，，，解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項，2為公差的等差數列，∴.∵是以1為首項，2為公比的等比數列，∴.∴.∵，∴，解得.則當時，的最大值是9.故選：.本題考查了等差數列，等比數列，f分組求和，意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.9．B【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設的中點為，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.10．A【解析】

根據拋物線的性質求出點坐標和焦點坐標，進而求出點的坐標，代入斜率公式即可求解.【詳解】設點的坐標為，由題意知，焦點,準線方程，所以，解得，把點代入拋物線方程可得，，因為，所以，所以點坐標為，代入斜率公式可得，.故選：A本題考查拋物線的性質，考查運算求解能力；屬于基礎題.11．A【解析】

分析函數的奇偶性，以及該函數在區間上的函數值符號，結合排除法可得出正確選項.【詳解】令，可得，即函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，則函數為奇函數，排除C、D選項；當時，，，則，排除B選項.故選：A.本題考查利用函數解析式選擇函數圖象，一般要分析函數的定義域、奇偶性、單調性、零點以及函數值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12．C【解析】

根據韋恩圖可確定所表示集合為，根據一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合，根據補集和交集定義可求得結果.【詳解】由韋恩圖可知：陰影部分表示，，，.故選：.本題考查集合運算中的補集和交集運算，涉及到一元二次不等式和函數定義域的求解；關鍵是能夠根據韋恩圖確定所求集合.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

如圖所示，將三棱錐補成長方體，球為長方體的外接球，長、寬、高分別為，計算得到，得到答案.【詳解】如圖所示，將三棱錐補成長方體，球為長方體的外接球，長、寬、高分別為，則，所以，所以球的半徑，則球的表面積為.故答案為：.本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力，將三棱錐補成長方體是解題的關鍵.14．【解析】

∵為銳角，，∴，∴，，故.15．80211【解析】

由，利用二項式定理即可得，分別令、后，作差即可得.【詳解】由題意，則，令，得，令，得，故.故答案為：80，211.本題考查了二項式定理的應用，屬于中檔題.16．【解析】

作出函數的圖象及直線，如下圖所示，因為函數有個不同的零點，所以由圖象可知，，，所以．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）見解析【解析】

（1）由題意，只需找到的最大值即可；（2），構造并利用基本不等式可得，即.【詳解】（1），∴的最大值為4.關于的不等式有解等價于，（?。┊敃r，上述不等式轉化為，解得，（ⅱ）當時，上述不等式轉化為，解得，綜上所述，實數的取值范圍為，則實數的最大值為3，即.（2）證明：根據（1）求解知，所以，又∵，，，，，當且僅當時，等號成立，即，∴，所以，.本題考查絕對值不等式中的能成立問題以及綜合法證明不等式問題，是一道中檔題.18．（1）極小值為，極大值為.（2）【解析】

（1）根據斜線的斜率即可求得參數，再對函數求導，即可求得函數的極值；（2）根據題意，對目標式進行變形，構造函數，根據是單調減函數，分離參數，求函數的最值即可求得結果.【詳解】（1）函數的定義域為，，，，可知，，解得，，可知在，時，，函數單調遞增，在時，，函數單調遞減，可知函數的極小值為，極大值為.（2）可以變形為，可得，可知函數在上單調遞減，，可得，設，，可知函數在單調遞減，，可知，可知參數的取值范圍為.本題考查由切線的斜率求參數的值，以及對具體函數極值的求解，涉及構造函數法，以及利用導數求函數的值域；第二問的難點在于對目標式的變形，屬綜合性中檔題.19．（1）；（2）【解析】

（1）,對函數求導,分別求出和,即可求出在點處的切線方程;（2）對求導,分、和三種情況討論的單調性,再結合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,所以,則,故曲線在點處的切線方程為.（2）因為,所以,①當時,在上恒成立,則在上單調遞增,從而成立,故符合題意;②當時,令,解得,即在上單調遞減,則,故不符合題意;③當時,在上恒成立,即在上單調遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導數研究函數的單調性,考查了不等式恒成立問題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.20．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由題意可得，，，解得即可求出橢圓的C的方程；（Ⅱ）由已知設直線l的方程為y=k(x-2)，(k≠0)，聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求得B的坐標，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標，由BF⊥HF,解得.由方程組消去y，解得，由,得到,轉化為關于k的不等式，求得k的范圍.【詳解】（Ⅰ）因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3，所以，因為橢圓離心率為，所以，又，解得，，，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）設直線的斜率為，則，設，由得，解得，或，由題意得，從而，由（Ⅰ）知，，設，所以，，因為，所以，所以，解得，所以直線的方程為，設，由消去，解得，在中，，即，所以，即，解得，或.所以直線的斜率的取值范圍為.本題考查在直線與橢圓的位置關系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題，還考查了由離心率求橢圓的標準方程，屬于難題.21．（1）列聯表見解析，有把握；（2）①；②元時【解析】

（1）直接由題意列出列聯表，通過計算，可判斷精英店與采用促銷活動是否有關.（2）①代入表中數據，結合公式求出；②由①中所得的線性回歸