用二次函數解決問題知識點一、建立二次函數模型求生活中的最值問題 在日常生活中，經常會遇到求最大面積或最大利潤類問題，我們可以利用二次函數的圖像和性質解決此類問題，步驟如下：1. 找：找等量，分析題目中的數量關系；2. 列：列出函數表達式；3. 求：利用配方法把y＝ax2＋bx＋c化為y＝a（x－h）2＋k的形式或利用公式法明確確定最值.例：用一段20米長的鐵絲在平地上圍成一個長方形，求長方形的面積y（平方米）和長方形的一邊的長x（米）的關系式為（）A．y＝﹣x2+20x B．y＝x2﹣20x C．y＝﹣x2+10x D．y＝x2﹣10x【解答】C【解析】∵長方形一邊的長度為x米，周長為20米，∴長方形的另外一邊的長度為（10﹣x）米，則長方形的面積y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，故選C．知識點二、建立二次函數模型解決生活中的拋物線型問題 常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等，對此類問題要正確地建立模型，選擇合理的位置建立平面直角坐標系是解決此類問題的關鍵，然后用待定系數法求出函數表達式，利用函數性質解決問題.例：如圖1，是某次比賽中墊球時的動作，若將墊球后排球的運動路線近似的看作拋物線，在如圖2所示的平面直角坐標系中，已知運動員墊球時（圖中點A）離球網的水平距離為5米，排球與地面的垂直距離為0.5米，排球在球網上端0.26米處（圖中點B）越過球網（女子排球賽中球網上端距地面的高度為2.24米），落地時（圖中點C）距球網的水平距離為2.5米，則排球運動路線的函數表達式為（）A． B．C． D．【解答】A【解析】方法一：0.26+2.24＝2.5＝（米）根據題意和所建立的坐標系可知，A（﹣5，），B（0，），C（，0），設排球運動路線的函數關系式為y＝ax2+bx+c，將A、B、C的坐標代入得：，解得，a＝，b＝，c＝，∴排球運動路線的函數關系式為，故選：A．方法二：排球運動路線的函數關系式為y＝ax2+bx+c，由圖象可知，a＜0，a、b同號，即b＜0，c＝，故選A．鞏固練習一．選擇題1． 三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同．當水面剛好淹沒小孔時，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當水位下降，大孔水面寬度為14米時，單個小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個小孔的水面寬度為（）A．43米 B．52米 C．213米 D．7米【解答】B【解析】如圖，建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO=3設大孔所在拋物線解析式為y＝ax2+3∵BC＝10，∴點B（﹣5，0），∴0＝a×（﹣5）2+3∴a=?∴大孔所在拋物線解析式為y=?350x設點A（b，0），則設頂點為A的小孔所在拋物線的解析式為y＝m（x﹣b）2，∵EF＝14，∴點E的橫坐標為﹣7，∴點E坐標為（﹣7，?36∴?3625=m（x﹣b∴x1=65?1m+b∴MN＝4，∴|65?1m+∴m=?∴頂點為A的小孔所在拋物線的解析式為y=?925（x﹣b∵大孔水面寬度為20米，∴當x＝﹣10時，y=?∴?92=?925（x∴x1=522+b，x∴單個小孔的水面寬度＝|（522+b）﹣（?5故選B．2． 豎直上拋物體離地面的高度h（m）與運動時間t（s）之間的關系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物體拋出時離地面的高度，v0（m/s）是物體拋出時的速度．某人將一個小球從距地面1.5m的高處以20m/s的速度豎直向上拋出，小球達到的離地面的最大高度為（）A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m【解答】C【解析】由題意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，因為a＝﹣5＜0，故當t＝2時，h取得最大值，此時h＝21.5，故選C．3． 某農場擬建一間矩形種牛飼養室，飼養室的一面靠現有墻（墻足夠長），并在如圖所示位置留2m寬的門，已知計劃中的建筑材料可建圍墻（不包括門）的總長度為50m．設飼養室長為xm，占地面積為ym2，則y關于x的函數表達式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y=?12x2C．y=?12x2+25x D．y=?【解答】D【解析】設飼養室長為xm，占地面積為ym2，則y關于x的函數表達式是：y＝x?12（50+2﹣x）=?12x故選D．4． 向上拋出的小球離地面的高度是其運動時間的二次函數，小甬相隔2秒依次拋出兩個小球，假設兩個小球出手時離地面高度相同，在各自拋出后1.2秒時達到相同的離地面最大高度．若第一個小球拋出后t秒時在空中與第二個小球離地面高度相同，則t＝（）A．2.2 B．2.5 C．2.6 D．2.7【解答】A【解析】設各自拋出后1.2秒時到達相同的最大離地高度為h，這個最大高度為h，則小球的高度y＝a（t﹣1.2）2+h，由題意a（t﹣1.2）2+h＝a（t﹣2﹣1.2）2+h，解得t＝2.2．故第一個小球拋出后2.2秒時在空中與第二個小球的離地高度相同．故選A．5． 如圖1所示的是山西大同北都橋的照片，橋上面的部分是以拋物線為模型設計而成的，從正面觀察該橋的上面部分是一條拋物線，如圖2，若AB＝60，OC＝15，以AB所在直線為x軸，拋物線的頂點C在y軸上建立平面直角坐標系，則此橋上半部分所在拋物線的解析式為（）A．y=?160x2+15 C．y=?1240x2+15【解答】A【解析】由題意可得：A（﹣30，0），C（0，15），設二次函數解析式為：y＝ax2+c，則0=900a+cc=15解得：a=?故此橋上半部分所在拋物線的解析式為：y=?故選A．6． 小悅乘座中國最高的摩天輪“南昌之星”，從最低點開始旋轉一圈，她離地面的高度y（米）與旋轉時間x（分）之間的關系可以近似地用二次函數來刻畫．經測試得出部分數據如表．根據函數模型和數據，可推斷出南昌之星旋轉一圈的時間大約是（）x（分）…13.514.716.0…y（米）…156.25159.85158.33…A．32分 B．30分 C．15分 D．13分【解答】B【解析】最值在自變量大于13.5小于14.7之間，所以最接近摩天輪轉一圈的時間的是15×2＝30分鐘．故選B．7． 記某商品銷售單價為x元，商家銷售此種商品每月獲得的銷售利潤為y元，且y是關于x的二次函數．已知當商家將此種商品銷售單價分別定為55元或75元時，他每月均可獲得銷售利潤1800元；當商家將此種商品銷售單價定為80元時，他每月可獲得銷售利潤1550元，則y與x的函數關系式是（）A．y＝﹣（x﹣60）2+1825 B．y＝﹣2（x﹣60）2+1850 C．y＝﹣（x﹣65）2+1900 D．y＝﹣2（x﹣65）2+2000【解答】D【解析】設二次函數的解析式為：y＝ax2+bx+c，∵當x＝55，75，80時，y＝1800，1800，1550，∴55解得a=?∴y與x的函數關系式是y＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，故選D．8． 如圖是拋物線形拱橋，當拱頂高離水面2m時，水面寬4m，水面下降2.5m，水面寬度增加（）A．1m B．2m C．3m D．6m【解答】B【解析】建立平面直角坐標系，設橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，拋物線以y軸為對稱軸，且經過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標為（0，2），設頂點式y＝ax2+2，把A點坐標（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴拋物線解析式為y＝﹣0.5x2+2，當水面下降2.5米，通過拋物線在圖上的觀察可轉化為：當y＝﹣2.5時，對應的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y＝﹣2.5與拋物線相交的兩點之間的距離，可以通過把y＝﹣2.5代入拋物線解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降2.5m，水面寬度增加2米．故選B．9． 設等邊三角形的邊長為x（x＞0），面積為y，則y與x的函數關系式是（）A．y=12x2 B．y=14x2 C．y【解答】D【解析】作出BC邊上的高AD．∵△ABC是等邊三角形，邊長為x，∴CD=12∴高為h=32∴y=12x×h=3故選D．10．在西寧市中考體考前，某初三學生對自己某次實心球訓練的錄像進行分析，發現實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間滿足函數解析式y=?112x2+A．6米 B．8米 C．10米 D．12米【解答】C【解析】當y＝0時，即y=?112x2+解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．故選C．11．從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運動時間t（單位：s）之間的函數關系如圖所示．下列結論：①小球在空中經過的路程是40m；②小球運動的時間為6s；③小球拋出3秒時，速度為0；④當t＝1.5s時，小球的高度h＝30m．其中正確的是（）A．①④ B．①② C．②③④ D．②④【解答】C【解析】①由圖象可知，小球在空中達到的最大高度為40m，則小球在空中經過的路程一定大于40m，故①錯誤；②由圖象可知，小球6s時落地，故小球運動的時間為6s，故②正確；③小球拋出3秒時達到最高點，即速度為0，故③正確；④設函數解析式為h＝a（t﹣3）2+40，將（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，解得a=?∴函數解析式為h=?409（t∴當t＝1.5s時，h=?409∴④正確．綜上，正確的有②③④．故選C．12．某廣場有一個小型噴泉，水流從垂直于地面的水管OA噴出，OA長為1.5m．水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落到地面上，某方向上拋物線路徑的形狀如圖所示，落點B到O的距離為3m．建立平面直角坐標系，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間近似滿足函數關系y＝ax2+x+c（a≠0），則水流噴出的最大高度為（）A．1米 B．32米 C．2米 D．13【解答】C【解析】由題意可得，拋物線經過點（0，1.5）和（3，0），把上述兩個點坐標代入二次函數表達式得：c=1.59a+3+c=0解得：a=?∴函數表達式為：y=?12x2+=?12（x∵a＜0，故函數有最大值，∴當x＝1時，y取得最大值，此時y＝2，答：水流噴出的最大高度為2米．故選C．13．如圖是王阿姨晚飯后步行的路程S（單位：m）與時間t（單位：min）的函數圖象，其中曲線段AB是以B為頂點的拋物線一部分．下列說法不正確的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程為800m B．線段CD的函數解析式為S＝32t+400（25≤t≤50） C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲線段AB的函數解析式為S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）【解答】C【解析】A、25min～50min，王阿姨步行的路程為2000﹣1200＝800m，故A沒錯；B、設線段CD的函數解析式為s＝kt+b，把（25，1200），（50，2000）代入得，1200=25k+b解得：k=32b=400∴線段CD的函數解析式為S＝32t+400（25≤t≤50），故B沒錯；C、在A點的速度為5255=105m/min，在B點的速度為1200?52520?5=67515=D、當t＝20時，由圖象可得s＝1200m，將t＝20代入S＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得S＝1200，故D沒錯．故選C．二．填空題14．已知某商品每箱盈利10元．現每天可售出50箱，如果每箱商品每漲價1元，日銷售量就減少2箱．設每箱漲價x元時（其中x為正整數），每天的總利潤為y元，則y與x之間的關系式為．【解答】y＝﹣2x2+30x+500（x為正整數）．【解析】設每箱漲價x元時（其中x為正整數），每天可售出50箱，每箱漲價1元，日銷售量將減少2箱，則每天的銷量為50﹣2x，則y與x之間的關系式為：y＝（50﹣2x）（10+x）＝﹣2x2+30x+500（x為正整數），故答案為y＝﹣2x2+30x+500（x為正整數）．15．某商店銷售一批頭盔，售價為每頂80元，每月可售出200頂．在“創建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，經調查發現：每降價1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進價為每頂50元，則該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為元．【解答】70【解析】設每頂頭盔的售價為x元，獲得的利潤為w元，w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，∴當x＝70時，w取得最大值，此時w＝8000，故答案為70．16．如圖，有一個矩形苗圃園、其中一邊靠墻（墻長為15m），另外三邊用長為16m的籬笆圍成，則這個苗圃園面積的最大值為．【解答】32m2【解析】設垂直于墻面的長為xm，則平行于墻面的長為（16﹣2x）m，由題意可知：y＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32，且x＜8，∵墻長為15m，∴16﹣2x≤15，∴0.5≤x＜8，∴當x＝4時，y取得最大值，最大值為32m2；故答案為32m2．17．如圖，有一座拋物線拱橋，在正常水位時水面AB的寬為20m，如果水位上升3m達到警戒水位時，水面CD的寬是10米，建立如圖所示的平面直角坐標系，O為坐標原點，如果水位以0.2m/h的速度勻速上漲，那么達到警戒水位后，再過h水位達到橋拱最高點O．【解答】5【解析】設拋物線解析式為y＝ax2，因為拋物線關于y軸對稱，AB＝20，所以點B的橫坐標為10，CD＝10米，所以D點橫坐標為5，設點B（10，n），點D（5，n+3），n=100an+3=25a解得：a=?∴拋物線解析式為y=?125當x＝5時，y＝﹣1，則t＝1÷0.2＝5，故答案為5．18．若把一根長200cm的鐵絲分成兩部分，分別圍成兩個正方形，則這兩個正方形的面積的和最小值為．【解答】1250cm2【解析】如圖，設將鐵絲分成xcm和（200﹣x）cm兩部分，列方程得：y＝（x4）2+（200?x4）2=18（由于18＞0，故其最小值為1250cm故答案為1250cm2．19．如圖，某大橋有一段拋物線形的拱梁，拋物線的解析式為y＝ax2+bx，小強騎自行車從拱梁一端O勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當小強騎自行車行駛到6分鐘和14分鐘時拱梁的高度相同，則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需分鐘．【解答】20．【解析】如圖所示：設在6分鐘時到達A點，在14分鐘時到達B，∵6分鐘時和14分鐘時拱梁的高度相同，∴A，B關于對稱軸對稱．則從A到B需要8分鐘，則從A到D需要4分鐘．∴從O到D需要6+4＝10分鐘．∴從O到C需要2×10＝20分鐘．故答案為20．20．某公司新產品上市30天全部售完，圖1表示產品的市場日銷售量與上市時間之間的關系，圖2表示單件產品的銷售利潤與上市時間之間的關系，則最大日銷售利潤是元．【解答】1800．【解析】設日銷售量y與銷售天數t之間的函數關系式為y＝kx，30k＝60，得k＝2，即日銷售量y與銷售天數t之間的函數關系式為y＝2t，當0＜t≤20時，設單件的利潤w與t之間的函數關系式為w＝at，20a＝30，得a＝1.5，即當0＜t≤20時，單件的利潤w與t之間的函數關系式為w＝1.5t，當20＜t≤30時，單件的利潤w與t之間的函數關系式為w＝30，設日銷售利潤為W元，當0＜t≤20時，W＝1.5t×2t＝3t2，故當t＝20時，W取得最大值，此時W＝1200，當20＜t≤30時，W＝30×2t＝60t，故當t＝30時，W取得最大值，此時W＝1800，綜上所述，最大日銷售利潤為1800元，故答案為1800．21．如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端A點安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為3m處達到最高，高度為5m，水柱落地處離池中心距離為9m，則水管的長度OA是m．【解答】15【解析】設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣3）2+5，將點（9，0）代入上式并解得：a=?故拋物線的表達式為：y=?536（x令x＝0，則y=154，即OA故答案為15422．抗擊疫情，我們每個人都要做到講衛生，勤洗手，科學消毒，如右圖（1）是一瓶消毒洗手液．圖（2）是它的示意圖，當手按住頂部A下壓時，洗手液瞬間從噴口B流出，路線從拋物線經過C，E兩點．瓶子上部分是由弧CE和弧FD組成，其圓心分別為D，C．下部分的是矩形CGHD的視圖，CG＝8cm，GH＝10cm，點E到臺面GH的距離為14cm，點B到臺面的距離為20cm，且B，D，H三點共線．若手心距DH的水平距離為2cm時剛好接洗手液，此時手心距水平臺面的高度為cm．【解答】17【解析】如圖：∵CD＝DE＝10，根據題意，得C（﹣5，8），E（﹣3，14），B（5，20）．設拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，因為拋物線經過C、E、B三點，∴25a解得a=所以拋物線解析式為y=?940x2+當x＝7時，y＝17．∴Q（7，17）所以手心距水平臺面的高度為17cm．故答案為17．23．某旅社有客房144間，每間房的日租金為200元時，每天都客滿，經市場調查發現，如果每間房的日租金每增加10元時，則每天客房出租數會減少6間，不考慮其他因素，旅社將每間客房的日租金提高到元時，客房的日租金總收入最高．【解答】220【解析】設租金提高x元，則房間租住的數量為144﹣6×x10=144根據題意知，總收入y＝（200+x）（144?35=?35x2=?35（x∴當x＝20時，總收入取得最大值，此時日租金為220元，故答案為220．24．某超市銷售某種玩具，進貨價為20元．根據市場調查：在一段時間內，銷售單價是30元時，銷售量是400件，而銷售單價每上漲1元，就會少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的銷售任務，又要獲得最大利潤，則銷售單價應定為元．【解答】40【解析】設銷售單價應定為x元，根據題意可得：利潤＝（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）]＝（x﹣20）（700﹣10x）＝﹣10x2+900x﹣14000＝﹣10（x﹣45）2+6250，∵超市要完成不少于300件的銷售任務，∴400﹣10（x﹣30）≥300，解得：x≤40，即x＝40時，銷量為300件，此時利潤最大為：﹣10（40﹣45）2+6250＝6000（元），故銷售單價應定為40元．故答案為40．三．解答題25．某經銷店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結算，未售出的由廠家負責處理）．當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸．該經銷店為提高經營利潤，準備采取降價的方式進行促銷．經市場調查發現：當每噸售價每降低10元時，月銷售量就會增加7.5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元．（1）當每噸售價為x元時，月銷售量為y噸，求出y與x之間的函數解析式；（2）在遵循“薄利多銷”的原則下，問每噸材料售價為多少時，該經銷店的月利潤為9000元；（3）若在規定每噸售價不得超過320元的情況下，當每噸售價定為多少元時，經銷店的月利潤最大？【解答】（1）y=?3【解析】（1）當售價定為每噸x元時，月銷量y=45+260?x即y=?3（2）由題意得：（x﹣100））（45+260?x化簡得x2﹣420x+44000＝0，解得x1＝200，x2＝220，因為要遵循“薄利多銷”的原則，所以x＝200（元），答：每噸材料售價為200元；（3）設當每噸原料售價為x元時，月利潤為W元，根據題意得：W=(x?100)(?∵a=?∴W有最大值，∴當x＝210時，W的值最大，∵210＜320，∴每噸售價定為210元符合要求．答：當每噸售價定為210元時，經銷店的月利潤最大．26．小紅經營的網店以銷售文具為主，其中一款筆記本進價為每本10元，該網店在試銷售期間發現，每周銷售數量y（本）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，三對對應值如下表：銷售單價x（元）121416每周的銷售量y（本）500400300（1）求y與x之間的函數關系式；（2）通過與其他網店對比，小紅將這款筆記本的單價定為x元（12≤x≤15，且x為整數），設每周銷售該款筆記本所獲利潤為w元，當銷售單價定為多少元時每周所獲利潤最大，最大利潤是多少元？【解答】（1）y與x之間的函數關系式為y＝﹣50x+1100；（2）銷售單價為15元時，每周獲利最大，最大利潤是1750元．【解析】（1）設y與x之間的函數關系式是y＝kx+b（k≠0），12k+b=50014k+b=400，得k=即y與x之間的函數關系式為y＝﹣50x+1100；（2）由題意可得，w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，∵a＝﹣50＜0∴w有最大值∴當x＜16時，w隨x的增大而增大，∵12≤x≤15，x為整數，∴當x＝15時，w有最大值，此時，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，答：銷售單價為15元時，每周獲利最大，最大利潤是1750元．27．網絡銷售已經成為一種熱門的銷售方式，為了減少農產品的庫存，我市市長親自在某網絡平臺上進行直播銷售大別山牌板栗，為提高大家購買的積極性，直播時，板栗公司每天拿出2000元現金，作為紅包發給購買者．已知該板栗的成本價格為6元/kg，每日銷售量y（kg）與銷售單價x（元/kg）滿足關系式：y＝﹣100x+5000．經銷售發現，銷售單價不低于成本價且不高于30元/kg．當每日銷售量不低于4000kg時，每千克成本將降低1元，設板栗公司銷售該板栗的日獲利為w（元）．（1）請求出日獲利w與銷售單價x之間的函數關系式；（2）當銷售單價定為多少時，銷售這種板栗日獲利最大？最大利潤為多少元？（3）當w≥40000元時，網絡平臺將向板栗公司收取a元/kg（a＜4）的相關費用，若此時日獲利的最大值為42100元，求a的值．【解答】（1）w=?100x2【解析】（1）當y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，∴x≤10，∴當6≤x≤10時，w＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，當10＜x≤30時，w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，綜上所述：w=?100x（2）當6≤x≤10時，w＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x?552）∵a＝﹣100＜0，對稱軸為x=55∴當6≤x≤10時，y隨x的增大而增大，即當x＝10時，w最大值＝18000元，當10＜x≤30時，w＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，∵a＝﹣100＜0，對稱軸為x＝28，∴當x＝28時，w有最大值為46400元，∵46400＞18000，∴當銷售單價定為28時，銷售這種板栗日獲利最大，最大利潤為46400元；（3）∵40000＞18000，∴10＜x≤30，∴w＝﹣100x2+5600x﹣32000，當w＝40000元時，40000＝﹣100x2+5600x﹣32000，∴x1＝20，x2＝36，∴當20≤x≤36時，w≥40000，又∵10＜x≤30，∴20≤x≤30，此時：日獲利w1＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a，∴對稱軸為直線x=?5600+100a2×(?100)=∵a＜4，∴28+12∴當x＝28+12∴（28+12a﹣6﹣a）[﹣100×（28+∴a1＝2，a2＝86，∵a＜4，∴a＝2．28．如圖，直線y=12x+c與x軸交于點B（4，0），與y軸交于點C，拋物線y=12x2+bx+c經過點B（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線BC下方拋物線上一動點，求四邊形ACPB面積最大時點P的坐標；（3）若M是拋物線上一點，且∠MCB＝∠ABC，請直接寫出點M的坐標．【解答】（1）拋物線的解析式為：y=12x2?32x﹣2；（2）點P【解析】（1）直線y=12x+c與x軸交于點∴0=12×∴c＝﹣2，∴點C（0，﹣2），∵拋物線y=12x2+bx+c∴c=?∴b=?∴拋物線的解析式為：y=12（2）如圖1，過點P作PE⊥AB交BC于點E，∵拋物線y=12x2?32x∴0=12∴x1＝4，x2＝﹣1，∴點A（﹣1，0），設點P（a，12a2?32a﹣2），則點E（a，∴PE=12a﹣2﹣（12a2?32a﹣2）=∵四邊形ACPB面積=12（4+1）×2+12×（?12a2∴當a＝2時，四邊形ACPB面積有最大值，此時點P（2，﹣3）；（3）如圖2，當點M在BC上方時，設CM交AB于點H，∵∠MCB＝∠ABC，∴CH＝BH，∵CH2＝AC2+OH2，∴BH2＝4+（4﹣BH）2，∴