第八章第5講[A級基礎達標]1．設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則能得出a⊥b的是()A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a?α，b⊥β，α∥β D．a?α，b∥β，α⊥β【答案】C【解析】對于C項，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b.故選C．2．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，則四面體P－ABC各個面中直角三角形的個數為()A．4 B．3C．2 D．1【答案】A【解析】由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB．所以BC⊥PB，即△PBC為直角三角形．故四面體P－ABC中共有4個直角三角形．3．(2018年嘉峪關模擬)如圖，A－BCDE是一個四棱錐，AB⊥平面BCDE，且四邊形BCDE為矩形，則圖中互相垂直的平面共有()A．4組 B．5組C．6組 D．7組【答案】C【解析】因為AB⊥平面BCDE，所以平面ABC⊥平面BCDE，平面ABD⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE.又因為四邊形BCDE為矩形，所以BC⊥平面ABE，則平面ABC⊥平面ABE.同理可得平面ACD⊥平面ABC，平面ADE⊥平面ABE.故圖中互相垂直的平面共有6組．故選C．4．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α【答案】C【解析】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯誤．5．如圖所示，在正四面體P－ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論中不成立的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因為BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項A正確．在正四面體P－ABC中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.又DF∥BC，則DF⊥平面PAE.又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項B，C均正確．因DF⊥平面PAE，DF?平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC．因平面PAE∩平面PDE＝PE，且PE與平面ABC不垂直，所以平面PDE與平面ABC不垂直．故D錯誤．6．(2018年吉首校級模擬)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為菱形，M是PC上的一個動點，若要使得平面MBD⊥平面PCD，則應補充的一個條件可以是()A．MD⊥MB B．MD⊥PCC．AB⊥AD D．M是棱PC的中點【答案】B【解析】在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面是菱形，所以BD⊥PA，BD⊥AC．因為PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC．所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD．而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．故選B．7．如圖所示，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．【答案】AB，BC，ACAB【解析】因為PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直線AB，BC，AC．因為AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC．又因為AP?平面PAC，所以AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB．8．如圖所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分別為AC，DC，AD的中點．(1)求證：EF⊥平面BCG；(2)求三棱錐D－BCG的體積．【解析】(1)證明：由已知得△ABC≌△DBC，所以AC＝DC．又G為AD中點，所以CG⊥AD．同理BG⊥AD．而CG∩BG＝G，所以AD⊥平面BGC．又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)在平面ABC內作AO⊥CB交CB延長線于O.由平面ABC⊥平面BCD知AO⊥平面BDC．又G為AD中點，所以G到平面BDC的距離h是AO長度的一半．在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝eq\r(3)，所以VD－BCG＝VG－BCD＝eq\f(1,3)·S△DBC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)BD·BC·sin120°·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).[B級能力提升]9．設a，b，c是空間的三條直線，α，β是空間的兩個平面，則下列命題中，逆命題不成立的是()A．當c⊥α時，若c⊥β，則α∥βB．當b?α時，若b⊥β，則α⊥βC．當b?α，且c是a在α內的射影時，若b⊥c，則a⊥bD．當b?α，且c?α時，若c∥α，則b∥c【答案】B【解析】A的逆命題為：當c⊥α時，若α∥β，則c⊥β.由線面垂直的性質知c⊥β，故A正確；B的逆命題為：當b?α時，若α⊥β，則b⊥β，顯然錯誤，故B錯誤；C的逆命題為：當b?α，且c是a在α內的射影時，若a⊥b，則b⊥c.由三垂線逆定理知b⊥c，故C正確；D的逆命題為：當b?α，且c?α時，若b∥c，則c∥α.由線面平行判定定理可得c∥α，故D正確．10．(2018年大慶模擬)如圖甲所示，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，如圖乙所示，那么在四面體A－EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面【答案】A【解析】根據折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，所以AH⊥平面EFH，A正確；因為過A只有一條直線與平面EFH垂直，所以B不正確；因為AG⊥EF，EF⊥AH，所以EF⊥平面HAG，所以平面HAG⊥AEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內，所以C不正確；因為HG不垂直于AG，所以HG與平面AEF不垂直，D不正確．故選A．11．(2018年天津模擬)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，過C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點H在()A．直線AC上 B．直線AB上C．直線BC上 D．△ABC內部【答案】B【解析】如圖，因為∠BAC＝90°，所以AC⊥AB．又因為BC1⊥AC，而BC1，AB為平面ABC1內的兩條相交直線，根據線面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1.又AC在平面ABC內，根據面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，則根據面面垂直的性質，在平面ABC1內過點C1向平面ABC作垂線，垂足必落在交線AB上．故選B．12．(2018年梅河口模擬)在四面體ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，AD＝1，E為棱BC上一點，且平面ADE⊥平面BCD，則DE＝________.【答案】eq\f(13,5)【解析】如圖所示，過點A作AF⊥DE，因為平面ADE⊥平面BCD，所以AF⊥平面BCD，所以AF⊥BC．因為DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC．又AF∩AD＝A，所以BC⊥平面ADE.所以BC⊥AE.因為AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，所以AE＝eq\f(4×3,\r(32＋42))＝eq\f(12,5).因為DA⊥平面ABC，所以AD⊥AE.所以DE＝eq\r(AD2＋AE2)＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))2)＝eq\f(13,5).13．如圖所示，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結論：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正確的有________(把所有正確的序號都填上)．【答案】①④【解析】由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以AE⊥PB，①正確；因為平面PAD⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯；由正六邊形的性質得BC∥AD，又AD?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD，所以直線BC∥平面PAE也不成立，③錯；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，所以∠PDA＝45°，所以④正確．14．(2018年南昌模擬)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AC，AB⊥BC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝2eq\r(2)，D為線段AC的中點，將△CBD沿BD折疊至△EBD，使得平面EDB⊥平面ABC且PC交平面EBD于點F.(1)求證：平面BDE⊥平面PAC；(2)求三棱錐P－EBC的體積．【解析】(1)證明：因為PA⊥AC，PA＝2，AC＝2eq\r(2)，所以PC＝2eq\r(3).又因為PB＝2eq\r(2)，BC＝2，所以PB2＋BC2＝PC2，則BC⊥PB．又因為AB⊥BC，AB∩PB＝B，所以BC⊥平面PAB，則BC⊥PA．又PA⊥AC，AC∩BC＝C，所以PA⊥平面ABC．又因為BD?平面ABC，所以PA⊥BD．在Rt△ABC中，由BC＝2，AC＝2eq\r(2)，可得AB＝2.又因為D為AC的中點，所以BD⊥AC．而PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，則平面BDE⊥平面PAC．(2)因為平面EDB⊥平面ABC，平面EDB∩平面ABC＝BD，ED⊥BD，所以ED⊥平面ABC．又PA⊥平面ABC，所以PA∥DE.所以點E在平面PAC內．所以VP－EBC＝VE－PBC＝VB－APEC－VP－ABC．因為SAPEC＝SAPED＋SEDC＝eq\f(1,2)(eq\r(2)＋2)×eq\r(2)＋eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)