2021-2022學年北師大版九年級數學上冊《第4章圖形的相似》單元同步達標測評（附答案）一．選擇題（共14小題，滿分42分））1．如果＝，那么的值為（）A． B． C． D．2．下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，3．如圖，在△ABC中，點D，E、F分別在AB，AC，BC邊上，DE∥BC，EF∥AB，則下列式于一定正確的是（）A． B． C． D．4．如圖，在正方形網格上有兩個相似三角形△ABC和△EDF，則∠ABC+∠ACB的度數為（）A．135° B．90° C．60° D．45°5．在10倍的放大鏡下看到的三角形與原三角形相比，三角形的周長（）A．沒有發生變化 B．放大了10倍 C．放大了30倍 D．放大了100倍6．如圖，取一張長為a，寬為b的矩形紙片，將它對折兩次后得到一張小矩形紙片，若要使小矩形與原矩形相似，則原矩形紙片的邊a、b應滿足的條件是（）A．a＝2b B．a＝b C．a＝4b D．a＝2b7．如圖，AB∥CD∥EF，則圖中相似三角形的對數是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如圖所示，直線y＝x﹣1與x軸交于A，與y軸交于B，在第一象限內找點C，使△AOC與△AOB相似，則共能找到的點C的個數（）A．1 B．2 C．3 D．49．在△ABC中，D、E分別是邊AB與AC的中點，BC＝4，下面四個結論：①DE＝2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面積與△ABC的面積之比為1：4；④△ADE的周長與△ABC的周長之比為1：4；其中正確的有（）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④10．如圖，在正方形ABCD中，點E，F，G分別在邊BC，CD，DA上，四邊形EFGH由兩個正方形組成且AB＝1，則線段BE的長為（）A．﹣1 B．3﹣ C． D．11．如圖，正方形ABCD的邊長是3，BP＝CQ，連接AQ，DP交于點O，并分別與邊CD，BC交于點F，E，連接AE，下列結論：①AQ⊥DP；②OA2＝OE?OP；③S△AOD＝S四邊形OECF；其中正確結論的個數（）A．1 B．3 C．2 D．012．如圖是一塊三角形鋼材ABC，其中邊BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，則這個正方形零件的邊長是（）A．16 B．24 C．30 D．3613．如圖，小紅同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡位于點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處．點E到地面的高度ED＝3.5m，點F到地面的高度FC＝1.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，墻到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、D在同一水平面上，則燈泡到地面的高度GA為（）A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m14．如圖，在△AOB中，A，B兩點在x軸的上方，以點O為位似中心，在x軸的下方按1：2的相似比作△AOB的位似圖形△A'OB'．設點B的對應點B'的坐標是（4，﹣2），則點B的坐標是（）A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）二．填空題（共12小題，滿分36分）15．如圖，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，則四邊形DBCE的面積是．16．如圖，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，點Q是線段AB上的動點，則PQ的最小值是．17．若＝＝（a≠2c），則＝．18．如圖，兩條直線被三條平行直線所截，DE＝2，EF＝3，AB＝1，則AC＝．19．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，點D在邊AC上，將△ABD沿BD翻折，點A的對稱點為A'，使得A'D∥BC，則∠BDC＝，＝．20．如圖，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D為BC邊的中點，BE⊥AD于點E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，則線段EF的長為．21．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，動點D從點B開始沿BA邊運動，速度為1cm/s；動點E從點A開始沿AC邊運動，速度為2cm/s．如果D，E兩動點同時運動，那么當它們運動s時，由D，A，E三點連成的三角形與△ABC相似．22．如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，6），B（8，0），點C是線段AB的中點，過點C的直線l將△AOB截成兩部分，直線l交折線A﹣O﹣B于點P．當截成兩部分中有三角形與△AOB相似時，點P的坐標為．23．如圖△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，點D，E分別在AB，BC上，將△BDE沿ED折疊，點B的對應點F剛好落在AC上．當△CEF與△ABC相似時，BE的長為．24．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，對角線BD的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F，則線段EF的長為．25．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，且AD＝，DE∥BC，∠DBE＝90°，連接AE．若AC＝3，BC＝4，則AE的長為．26．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E為CD中點，連接AE、BD交于點P，連接PC，則PC的長為．三．解答題（共4小題，滿分40分）27．如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC是格點三角形（頂點在方格頂點處）．（1）在圖1中畫出一個格點△A1B1C1，使得△A1B1C1與△ABC相似，周長之比為2：1；（2）在圖2中畫出一個格點△A2B2C2，使得△A2B2C2與△ABC相似，面積之比為2：1．28．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE＝ED，DF＝DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．29．如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，繼續往前走3米到達E處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米．（1）求路燈A的高度；（2）當王華再向前走2米，到達F處時，他的影長是多少？30．如圖，AF，AG分別是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的長．

參考答案一．選擇題（共14小題，滿分42分）1．解：設a＝5x，則b＝3x，∴＝＝，故選：B．2．解：A.4×10≠6×5，故不符合題意，B.1×4≠2×3，故不符合題意，C.，故不符合題意，D.，故符合題意，故選：D．3．解：∵DE∥BC，∴，∵EF∥AB，∴，∴，故選：B．4．解：∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠DEF＝180°﹣45°＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°．故選：D．5．解：在10倍的放大鏡下看到的三角形與原三角形相比，則邊長擴大10倍，故三角形的周長放大了10倍．故選：B．6．解：∵小矩形與原矩形相似，原矩形紙片的邊長為a、b，∴＝，∴a2＝b2，∴a2＝4b2，∴a＝2b（負數舍去），故選：D．7．解：∵AB∥CD∥EF，∴△BCD∽△BEF，△FCD∽△FAB，△ABC∽△FEC．∴圖中共有3對相似三角形．故選：C．8．解：∵點C在第一象限，∴當點C為直角頂點時，有兩種情形，當點A為直角頂點時，也有兩種情形，共有4種情形．故選：D．9．解：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE＝BC＝2，∴△ADE∽△ABC，故①②正確；∵△ADE∽△ABC，，∴△ADE的面積與△ABC的面積之比為1：4，△ADE的周長與△ABC的周長之比為1：2，故③正確，④錯誤．故選：C．10．解：由題意知，GF＝2EF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝∠B＝90°，AB＝BC＝DC＝1．∵∠DFG+∠CFE＝∠CFE+∠CEF＝90°，∴∠DFG＝∠CEF，∴△DFG∽△CEF，∴＝2，設BE＝x，則CE＝1﹣x，∴DF＝2CE＝2﹣2x，同理可得△CEF∽△BAE，∴，∴，∴CF＝x﹣x2，∵CD＝AB，∴2﹣2x+x﹣x2＝1，解得x＝（負值舍去），∴BE＝．故選：D．11．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵BP＝CQ，∴AP＝BQ，在△DAP與△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ（SAS），∴∠P＝∠Q，∵∠Q+∠QAB＝90°，∴∠P+∠QAB＝90°，∴∠AOP＝90°，∴AQ⊥DP，故結論①正確；∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠DAO＝∠P，∴△DAO∽△APO，∴＝，∴AO2＝OD?OP，∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE?OP；故結論②錯誤；在△CQF與△BPE中，，∴△CQF≌△BPE（ASA），∴CF＝BE，∴DF＝CE，在△ADF與△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴S△ADF＝S△DCE，∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四邊形OECF；故結論③正確；故選：C．12．解：∵四邊形EGHF為正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；設正方形零件的邊長為xcm，則KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，∵AD⊥BC，∴＝，∴＝，解得：x＝24．即：正方形零件的邊長為24cm．故選：B．13．解：由題意可得：FC∥DE，則△BFC∽△BED，故＝，即＝，解得：BC＝3，則AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴＝，解得：AG＝1.2（m），故選：A．14．解：設點B的坐標為（x，y），因為點B的對應點B'的坐標是（4，﹣2），所以根據位似變換的坐標特點得﹣2?x＝4，﹣2?y＝﹣2，即x＝﹣2，y＝1，故點B的坐標為（﹣2，1）．故選：C．二．填空題（共12小題，滿分36分）15．解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝4S△ADE＝4，∴S四邊形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝4﹣1＝3．故答案為：3．16．解：∵△DAB∽△DCA，∴，∴，解得：BD＝4（負值舍去），∵△DAB∽△DCA，∴，∴AC＝，∵AC2＝AB（AB+BC），∴（）2＝AB（AB+BC），∴AB＝4，∴AB＝BD＝4，過B作BH⊥AD于H，∴AH＝AD＝3，∴BH＝＝＝，∵AD＝3AP，AD＝6，∴AP＝2，當PQ⊥AB時，PQ的值最小，∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，∴△APQ∽△ABH，∴＝，∴＝，∴PQ＝，故答案為：．17．解：∵＝＝（a≠2c），∴＝＝，∴＝．故答案為：．18．解：∵l1∥l2∥l1，∴＝，∴＝，∴BC＝，∴AC＝AB+BC＝1+＝，故答案為：．19．解：方法一：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠C＝75°∵△ABD沿BD翻折，∴∠A′＝∠A＝30°，∵A'D∥BC，∴∠A′BC＝∠A′＝30°，∴∠A′BA＝∠ABC﹣∠A′BC＝45°，∵△ABD沿BD翻折，∴∠DBA＝∠DBA′＝22.5°，∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝52.5°；延長A′D交AB于E，過E作EF⊥A′B于F，如圖：∵AB＝AC，A'D∥BC，∴AD＝AE，∵△ABD沿BD翻折，∴AD＝A′D＝A′G＝AE，BG＝BE，∵△ABD沿BD翻折，A'D∥BC，∴∠A＝∠A′＝∠A′BC＝30°，而∠C＝75°，∴∠BGC＝75°，∠EBF＝45°，∴BC＝BG＝BE，設AD＝A′D＝AE＝A′G＝a，EF＝x，Rt△A′EF中，A′F＝x，Rt△BEF中，BF＝x，BE＝x，由AB＝A′B可得：a+x＝x+x，解得x＝a，∴BE＝BC＝x＝a，∴＝＝＝．方法二：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠C＝75°∵△ABD沿BD翻折，∴∠A′＝∠A＝30°，∵A'D∥BC，∴∠A′BC＝∠A′＝30°，∴∠A′BA＝∠ABC﹣∠A′BC＝45°，∵△ABD沿BD翻折，∴∠DBA＝∠DBA′＝22.5°，∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝52.5°；過G作GH⊥AB于H，如圖：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∵△ABD沿BD翻折，∴∠A'＝30°，∵A'D∥BC，∴∠A'BC＝30°，∴∠ABA'＝45°，∴△BGH是等腰直角三角形，設GH＝BH＝m，則BG＝m，Rt△AGH中，tanA＝，∴AH＝m，∴AB＝AH+BH＝m+m，∴A'B＝AB＝m+m，∴A'G＝A'B﹣BG＝m+m﹣m，∵∠ACB＝75°，∠A'BC＝30°，∴∠BGC＝∠A'GD＝75°，∴BC＝BG＝m，∵∠A'＝30°，∠A'GD＝75°，∴∠A'DG＝75°，∴A'D＝A'G＝m+m﹣m，∴AD＝m+m﹣m，∴＝＝．故答案為：52.5°，．20．解：過點D作DG∥BF交AC于點G，如右圖所示，∵D為BC邊的中點，BC＝6，∴BD＝3，∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，∴AD＝＝5，∵BE⊥AD于點E，交AC于F，∴BE＝＝，∵AB＝4，BE＝，∠AEB＝90°，∴AE＝＝，設DG＝x，則BF＝2x，EF＝2x﹣，∵EF∥DG，∴△AEF∽△ADG，∴，即，解得，x＝，∴EF＝2x﹣＝2×﹣＝，故答案為：．21．解：根據題意得：AE＝2t，BD＝t，∴AD＝6﹣t，∵∠A＝∠A，∴分兩種情況：①當＝時，即＝，解得：t＝；②當＝時，即＝，解得：t＝；綜上所述：當t＝或時，△ADE與△ABC相似．22．解：當PC∥OB時，△APC∽△AOB，由點C是AB的中點，可得P為OA的中點，此時P點坐標為（0，3）；當PC∥OA時，△BCP∽△BAO，由點C是AB的中點，可得P為OB的中點，此時P點坐標為（4，0）；當PC⊥AB時，如圖，∵∠CBP＝∠OBA，∴Rt△BPC∽Rt△BAO，∴＝，∵點B（8，0）和點A（0，6），∴AB＝＝10，∵點C是AB的中點，∴BC＝5，∴＝，∴BP＝，∴OP＝OB﹣BP＝8﹣＝，此時P點坐標為（，0），綜上所述，滿足條件的P點坐標為（0，3）、（4，0）、（，0）．故答案為：（0，3）、（4，0）、（，0）．23．解：∵將△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝EF，∵BC＝8，∴CE＝8﹣BE，當△CEF與△ABC相似時，＝或＝，即＝或＝，解得：BE＝或，故答案是：或．24．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝＝10，∵EF是BD的垂直平分線，∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴＝，∴＝，解得，OF＝，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠EDO＝∠FBO，∵EF是BD的垂直平分線，∴BO＝DO，EF⊥BD，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴EF＝2OF＝．故答案為：．25．解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵AD＝，∴BD＝AB﹣AD＝，∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠BDE，∵∠C＝∠DBE＝90°，∴△ACB∽△EBD，∴＝，∴＝，∴BE＝2，∴AE＝＝＝，故答案為：．26．解：如圖，過點