試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁試卷第=page11頁，共=sectionpages66頁2025年四川省內江市中考數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．中國是世界上最早使用負數的國家，負數早已廣泛應用到生產和生活中．例如，零上記作，則零下記作（

）A． B． C． D．2．古錢幣是我國珍貴的歷史文化遺產．下列選項是在《中國古代錢幣》特種郵票中選取的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．2025年5月14日12時12分，全球首個太空計算星座在酒泉衛星發射中心成功發射，此次發射的太空計算星座共有12顆衛星，其中10顆為“內江城市衛星星群”成員，若每顆衛星每天處理的數據量為字節，則“內江城市衛星星群”每天處理的總數據量可達到字節，將數據用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．4．在函數中，自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．某體育用品專賣店在一段時間內銷售了雙運動鞋，其中幾種尺碼運動鞋的銷售量如下表所示：尺碼/銷售量/雙這雙運動鞋的尺碼組成的一組數據的眾數和中位數分別是（

）A．， B．， C．， D．，6．如圖是正方體的表面展開圖，與“共”字相對的字是（

）A．安 B．全 C．校 D．園7．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．8．阿基米德曾說過：“給我一個支點，我能撬動整個地球．”這句話生動體現了杠桿原理：通過調整支點位置和力臂長度，用較小的力就能撬動重物．這一原理在生活中隨處可見．如圖甲，這是用杠桿撬石頭的示意圖，當用力壓杠桿時，另一端就會撬動石頭．如圖乙所示，動力臂，阻力臂，，則的長度是（

）A． B． C． D．9．學校準備添置一批課桌椅，原訂購60套，每套100元．店方表示：如果多購，可以優惠．結果校方購了72套，每套減價3元，但商店獲得同樣多的利潤．求每套課桌椅的成本．設每套課桌椅的成本為x元，則可列方程為（

）A． B．C． D．10．按如下步驟作四邊形：（1）畫；（2）以點為圓心，個單位長為半徑畫弧，分別交、于點、：（3）分別以點和點為圓心，個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點；（）連接、、．若，則的度數是（

）A． B． C． D．11．若關于x的一元二次方程有實數根，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且12．對于正整數x，規定函數．在平面直角坐標系中，將點中的，分別按照上述規定，同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標（其中，均為正整數）．例如，點經過第次運算得到點．經過第次運算得到點，經過第次運算得到點，經過有限次運算后，必進入循環圈，按上述規定，將點經過第次運算后得到點是（

）A． B． C． D．二、填空題13．分解因式：=．14．在英文單詞“”中任選一個字母，字母“a”被選中的概率是．15．如圖，是的弦．半徑于點D，且．則的長是．16．如圖，在矩形中，，點E、F分別是邊上的動點，連接，點G為的中點，點H為的中點，連接，則的最大值是．三、解答題17．（1）計算：；（2）化簡：．18．如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，．(1)求證：；(2)若，求的長．19．內江，東漢建縣，古稱漢安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新時代內江的三張靚麗名片，也是“心里甜”的由來，為弘揚內江傳統文化，我市將舉辦中小學生“知內江、愛內江、興內江”知識競賽活動．某校舉辦選拔賽后，隨機抽取了部分學生的成績，成績按百分制分為A、B、C、D四個等級，并繪制了如下兩幅不完整的統計圖表．等級成績人數241410根據統計圖表中的信息解答下列問題：(1)表中______；扇形統計圖中，表示成績等級為D的扇形圓心角為______度．(2)若全校有3000人參加了此次選拔賽，其中成績等級為A的學生大約有多少人？(3)現從成績等級為A的甲、乙、丙、丁4人中隨機選出2人參加市級比賽，請通過列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩人同時被選中的概率．20．在綜合與實踐活動中，某學習小組計劃測量內江麻柳壩大橋橋塔的高度（如圖甲）．他們設計了如下方案：如圖乙，點B、D、C依次在同一條水平直線上，在B處測得橋塔頂部A的仰角為，在C處測得橋塔頂部A的仰角為，又測得，，垂足為D，求橋塔的高度（結果保留根號）．21．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數的圖象與一次函數的圖象相交于、兩點．(1)求反比例函數和一次函數的表達式；(2)當時，請根據函數圖象，直接寫出關于x的不等式的解集；(3)過直線上的點C作軸，交反比例函數的圖象于點．若點橫坐標為，求的面積．四、填空題22．已知實數a，b滿足，則．23．對于x、y定義了一種新運算G，規定．若關于a的不等式組恰好有3個整數解，則實數P的取值范圍是．24．如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊在x軸上，點B的坐標為．點E在邊上．將沿折疊，點D落在點F處．若點F的坐標為．則點E的坐標為．25．如圖，在中，，，，點、、分別是邊、、上的動點，則周長的最小值是．五、解答題26．2025年春節期間，我國國產動畫電影《哪吒之魔童鬧海》刷新了中國電影票房的新紀錄，商家推出A、B兩款“哪吒”文旅紀念品．已知購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元．(1)求A、B兩款“哪吒”紀念品每個進價分別為多少元？(2)根據網上預約的情況，如果該商家計劃用不超過12000元的資金購進A、B兩款“哪吒”紀念品共400個，那么至少需要購進B款紀念品多少個？(3)在銷售中，該商家發現每個A款紀念品售價60元時，可售出200個，售價每增加1元，銷售量將減少5個．設每個A款紀念品售價元，W表示該商家銷售A款紀念品的利潤（單位：元），求W關于a的函數表達式，并求出W的最大值．27．如圖，在中，，的平分線交于點D，點O是邊上一點，以點O為圓心、長為半徑作圓，恰好經過點D，交于點E．(1)求證：直線是的切線；(2)若點E為的中點，，求陰影部分的面積；(3)連接，若，求的值．28．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于、兩點，與y軸交于點．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，過點B的直線與拋物線的另一個交點為點D，點M為拋物線對稱軸上的一點，連接，設點M的縱坐標為n，當時，求n的值；(3)如圖2，點N是拋物線的頂點，點P是x軸上一動點，將頂點N繞點P旋轉后剛好落在拋物線上的點H處，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．答案第=page1616頁，共=sectionpages1616頁答案第=page1515頁，共=sectionpages1616頁《2025年四川省內江市中考數學試題》參考答案題號12345678910答案CDCABBDBBD題號1112答案CA1．C【分析】本題考查了正數和負數的意義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．【詳解】解：零上記作，則零下記作，故選：C．2．D【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；D、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故D選項符合題意．故選：D．3．C【分析】本題考查了科學記數法．將大數用科學記數法表示時，需將其寫成的形式，其中，為整數．【詳解】解：，故選：C．4．A【分析】本題考查了函數自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件，根據題意得出，即可求解．【詳解】解：根據題意得：，解得：故選：A．5．B【分析】本題考查了眾數和中位數的定義.根據眾數和中位數的定義，眾數是出現次數最多的數據，中位數是將數據從小到大排列后中間兩個數的平均值（偶數個數據時）.【詳解】解：根據表格可知，尺碼的銷售量最多（10雙），因此眾數為.總數據個數為20（偶數），需取第10和第11個數據的平均值。將所有尺碼按從小到大排列：第10和第11個數據均為，故中位數為.綜上，眾數和中位數均為25，對應選項B.故選：B．6．B【分析】本題考查了正方體的展開圖，解題關鍵是從相對面入手進行分析及解答問題．正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，據此作答．【詳解】解：∵正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，∴在此正方體上與“共”字相對的面上的字是“全”．故選：B．7．D【分析】本題考查了整式的運算，逐一分析各選項的運算是否正確，利用冪的運算、完全平方公式、合并同類項及平方差公式進行判斷．【詳解】解：A．，錯誤．B．，錯誤．C．與不是同類項，無法合并，結果應為，錯誤．D．根據平方差公式，，正確．故選：D．8．B【分析】本題考查相似三角形的應用，根據題意構造出相似三角形，然后根據相似三角形的對應邊成比例求得的長度．解題的關鍵是正確判定相似三角形并運用相似三角形的性質列出比例式．【詳解】解：，，，，，∵動力臂，阻力臂，，，的長為．故選：B．9．B【分析】本題考查了一元一次方程的應用，根據利潤相等建立方程．原計劃利潤為，實際利潤為，兩者相等即可求解．【詳解】解：設每套成本為元．原計劃利潤為元；實際購買時利潤為元．根據題意得：，故選B．10．D【分析】本題考查了作線段，菱形的性質與判定，根據作圖可得四邊形是菱形，進而根據菱形的性質，即可求解．【詳解】解：根據作圖可得∴四邊形是菱形，則，又∵，∴故選：D．11．C【分析】本題考查了一元二次方程(為常數)的根的判別式，根據一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．根據一元二次方程的定義和根的判別式求解．首先確保二次項系數不為零，再計算判別式并使其非負．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有實數根，∴二次項系數，即．令，即，解得．∴且故選：C．12．A【分析】本題考查了數字類規律探究，點的坐標規律，求函數值，通過計算點每次運算后的結果，發現其變化呈現周期性循環，周期為3次．利用周期性規律，確定第2025次運算后的結果．【詳解】解：初始點：（第0次運算）．第1次：橫坐標為偶數，；縱坐標為奇數，；得到點．第2次：橫坐標為奇數，；縱坐標為偶數，；得到點．第3次：橫坐標為偶數，；縱坐標為偶數，；得到點，與初始點相同，即三次一循環，，∴第次運算后對應點與第3次運算后的點相同，即．故選：A．13．．【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【詳解】解：．故答案為：【點睛】本題考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解題的關鍵．14．【分析】此題考查概率的求法：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現種可能，那么事件的概率．根據概率公式直接求解即可．【詳解】解：英文單詞“”中共有6個字母，字母“a”有3個，∴字母“a”被選中的概率是，故答案為：．15．2【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵．先根據垂徑定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴在中，，∴，故答案為：2．16．5【分析】本題考查了矩形的性質，三角形的中位線定理，勾股定理，通過三角形中位線定理進行轉化是解題的關鍵．連接，先由勾股定理求得，則，再由三角形中位線定理得到，即可求解的最大值．【詳解】解：連接，∵矩形中，，∴，∴，∴，∵點G為的中點，點H為的中點，∴是的中位線，∴，∴當點重合時，取得最大值為5，故答案為：5．17．（1）7；（2）3【分析】本題主要考查了含特殊角的三角函數值的混合運算，同分母的分式減法計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）分別計算零指數冪，化簡絕對值，計算算術平方根以及代入特殊角的三角函數值，再進行加減計算即可；（2）根據同分母的分式減法運算法則計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．18．(1)見解析(2)11【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）先根據平行線的性質得到，再由“”直接證明即可；（2）由，，再由線段和差即可得到，最后由即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．19．(1)12，60(2)600(3)【分析】本題考查了從扇形統計圖獲取信息，用樣本估計總體，樹狀圖或列表法求解概率，正確讀懂統計圖是解題的關鍵．（1）先由等級人數除以占比求出抽取的人數，再由抽取的人數減去等級的人數即可求解；用乘以等級的占比即可求解成績等級為D的扇形圓心角；（2）用樣本估計總體的方法即可求解；（3）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結果數，再找到符合題意的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．【詳解】（1）解：抽取的人數：（人），則，成績等級為D的扇形圓心角：，故答案為：12，60；（2）解：（人），答：成績等級為A的學生大約有人；（3）解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有12種等可能性的結果數，其中甲、乙兩人同時被選中的結果數有2種，∴甲、乙兩人同時被選中的概率是．20．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，設，解得到，解得到，再由，得到，解方程即可得到答案．【詳解】解；設，∵，∴，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴，答：橋塔的高度為．21．(1)；(2)(3)【分析】本題考查了利用待定系數法求一次函數和反比例函數的解析式，反比例函數的幾何意義、函數圖象的特點，掌握理解函數圖象的特點是解題關鍵．（1）先根據點利用待定系數法可求出反比例函數的表達式；再通過反比例函數的表達式求出點A的坐標，最后利用待定系數法即可求出一次函數的表達式；（2）所求不等式的解集即為求一次函數的圖象位于反比例函數的圖象的上方時，的取值范圍；（3）根據題意得出，，根據反比例函數的幾何意義得出，則，即可求解．【詳解】（1）解：∵反比例函數的圖象過點∴，故反比例函數的表達式為把點代入反比例函數得，，解得∴點的坐標為∵一次函數的圖象經過、兩點∴，解得故一次函數的表達式為；（2）∵∴，即一次函數圖象在反比例函數圖象的上方∴；（3）∵點橫坐標為，代入解得：∴當時，代入，得解得：∴如圖，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，∵，∴，∵，∴．22．【分析】本題考查了平方差公式因式分解，根據平方差公式因式分解，將已知等式代入，即可求解．【詳解】解：∵，∴故答案為：．23．【分析】本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數解的應用，能根據找不等式的解集和已知得出關于P的不等式組是解此題的關鍵．先根據新定義化簡關于的不等式，根據不等式組有3個整數解，得出，進而解不等式組，即可求解．【詳解】解：∵∴關于a的不等式組即解不等式①得：解不等式②得：∵不等式組有3個整數解，∴整數解為，∴解得：故答案為：．24．【分析】本題考查翻折變換（折疊問題），勾股定理，矩形的判定與性質，正方形的性質，坐標與圖形變化-對稱，利用勾股定理求出正方形的邊長是解題關鍵．設，可得，在中，利用勾股定理可求出，根據翻折的性質得出，，，設，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案．【詳解】解：在平面直角坐標系中，正方形的邊在x軸上，如圖，設與y軸交于點G，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵點A的坐標為，∴，∵將沿折疊，點D落在點F處．若點F的坐標為，∴，，，在中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴，設，則，，在中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴點E的坐標為，故答案為：25．【分析】本題考查了軸對稱的性質，解直角三角形，垂線段最短，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵，作點關于的對稱點，連接，得出是等腰直角三角形，當時，取得最小值，即周長最小，進而求得，即可求解．【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，連接，∴周長為，當四點共線時取得最小值，∵是關于的對稱點，∴，又∵∴∴是等腰直角三角形，∴∴當時，取得最小值，即周長最小又∵，，∴∴周長最小為故答案為：．26．(1)A款“哪吒”紀念品每個進價為40元，B款“哪吒”紀念品每個進價為20元；(2)至少需要購進B款紀念品200個(3)，W的最大值為4500【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，二次函數的實際應用，一元一次不等式的實際應用，正確理解題意列出方程組，函數關系式和不等式是解題的關鍵．（1）設A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，根據購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元建立方程組求解即可；（2）設需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品個，根據購買資金不超過12000元建立不等式求解即可；（3）根據題意可得每個A款紀念品的利潤為元，銷售量為個，據此列出W關于a的二次函數關系式，再利用二次函數的性質求出W的最大值即可．【詳解】（1）解：設A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，由題意得，，解得，答：A款“哪吒”紀念品每個進價為40元，B款“哪吒”紀念品每個進價為20元；（2）解：設需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品個，由題意得，，解得，∴m的最小值為200，答：至少需要購進B款紀念品200個；（3）解：由題意得，，∵，∴當，即時，W最大，最大值為4500．27．(1)見解析(2)(3)【分析】本題主要考查了求不規則圖形面積，解直角三角