盛琪第八章立體幾何初步2025/3/268.6.2直線與平面垂直（2）引

入1.直線與平面垂直的定義：“任意”2.點到平面的距離定義的運用：關鍵：在平面內找到兩條相交直線與已知直線垂直③線面垂直

線線垂直定義3.直線和平面垂直的判定定理證明線線垂直方法垂線段的長度線線垂直

線面垂直證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②

線面垂直的判定定理．④

串串例題講解證明：(1)例題講解證明：(2)課堂練習證明：BDCSA課堂練習

3.已知ABCD是矩形，PA⊥平面AC，連接PB,PC,PD，圖中直角三角形的個數有()個

44.如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求證VB⊥AC.VACBP探究新知

如圖,若一條直線PA和一個平面α相交,但不垂直，那么這條直線就叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.PA（1）平面的斜線問題1

我們知道，當直線和平面垂直時,該直線叫做平面的垂線。如果直線和平面不垂直,如何給它命名？此時又該如何刻畫直線和平面的這種關系呢?斜線斜足4.直線與平面所成角探究新知4.直線與平面所成角如圖，過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.一條直線垂直于平面,我們說它所成的角是直角；規定:問題2直線與平面所成的角θ的取值范圍是什么?平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角，如圖中∠PAO.斜線垂線垂足斜足射影

直線與平面所成的角是直線與平面內任意一條直線所成角的最小角.一條直線和平面平行,或在平面內,我們說它所成的角是0°的角.（2）斜線的射影（3）直線與平面所成的角例題講解例1如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1DCB1所成角.解：連接BC1交B1C于點O，連接A1O.設正方體的棱長為a.正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，BDCA1B1C1D1AO∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，∴BC1⊥平面A1DCB1.∴A1O是A1B在平面A1DCB1內的射影.∴∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角.∴A1B和平面A1DCB1所成的角為30°.∴BO=A1B，∠BA1O=30°.在Rt△A1BO中，

A1B=a，BO=a.1.構造（作）2.證明（證）3.計算（求）4.結論探究新知

求斜線和平面所成的角的一般步驟：1．作：在斜線上選擇恰當的一個點，作平面的垂線，確定垂足，連接斜足

和垂足，得到斜線在平面內的射影，斜線和其射影所成的角，即為

斜線和平面所成的角；2．證：證明(1)中所作出的角就是所求直線與平面所成的角；

（注：關鍵證明線面垂直，即證得斜線在面內的射影）3．求：通過解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小．4．結論：將求出的角轉化為線面角例題講解例題講解CAMB求線面角的要點:(1)找斜線在平面上的射影,確定線面角.(2)構造含線面角的三角形,通常構造直角三角形.(3)在三角形中求角的大小.探究新知問題3

已知直線l1、l2和平面a

所成的角相等,能否判斷l1∥l2?反之,如果l1∥l2,l1,l2

與平面a

所成的角是否相等?如圖,aABCDOAB⊥a,CD⊥a,∠AOB=∠COD.而AO

與CO

不平行.aABCDO1O2如圖,AB∥CD,AO1⊥a,CO2⊥a,則AO1∥CO2,于是得∠BAO1=∠DCO2,則在直角三角形中得∠ABO1=∠CDO2.結論:和同一平面所成的角相等的兩條斜線不一定平行.兩條平行線和同一個平面所成的角一定相等.課堂練習解：連接AC,BD,當AC⊥BD時,

A′C⊥B′D′.理由如下：

3.如圖，在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，當底面四邊形ABCD滿足什么條件時，

A′C⊥B′D′？∵在直四棱柱A′B′C′D′-ABCD中，

AA′⊥底面ABCD.BD

?底面ABCD，∴AA′⊥BD.若AC⊥BD，而AA′∩AC=A.則BD⊥平面AA′C，而A′C

?平面AA′C，∴則BD⊥A′C.又∵BB′//DD′，且BB′=DD′，∴四邊形BB′D′D是平行四邊形，∴BD//B′D′，因此B′D′⊥A′C.DACA'B'C'D'B課堂練習練習4.(補充)已知PO是平面a

的垂線,PA

是平面a

的斜線,直線l

a.

求證:(1)若l⊥PA,則l⊥OA;

(2)若l⊥OA,則

l⊥PA.證明:(1)PO⊥a,

l

a.

PO⊥l.若l⊥PA,

l⊥平面OPA.OA

平面OPA,

l⊥OA.(2)PO⊥a,

l

a.

PO⊥l.若l⊥OA,

l⊥平面OPA.PA

平面OPA,

l⊥PA.alPOABDCSA2.

如圖，四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD.追問：AC⊥SB?探究新知在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.5.三垂線定理線射垂直

線斜垂直定理alPOA逆定理平面內的一條直線和平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線的射影垂直.三垂線定理的逆定理:涉及的幾何元素：一面；四線:①平面的斜線;②平面的垂線;③斜線在平面內的射影;④平面內的一條直線.三垂直:①直線與平面垂直;②平面內直線與斜線在平面內的射影垂直;

③平面內的一條直線與斜線垂直.例題講解例2

在四面體ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，求證：AD⊥BC∴DO⊥BC，證明：作AO⊥平面BCD于點O，連接BO，CO，DO，OADCB∵AB⊥CD，AB∩AO=B，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，則BO，CO，DO分別為AB，AC，AD在平面BCD上的射影.∴AO⊥CD，∴CD⊥平面AOB，∴BO⊥CD∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，∵AO⊥BC，DO∩AO=O，∴BC⊥平面AOD.∴AD⊥BC.證明：∵AB⊥CD，∴BO⊥CD探究新知問題4

②折疊角公式（又名三余弦定理或爪子定理）cos·cos=cos

=∠AOA′

=∠AOB

=∠A′OB

結論：①最小角定理直線與平面所成的角是直線與平面內任意一條直線所成角的最小角.aAlOA′B課堂練習5.過△ABC所在平面α外一點P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，則下列結論正確的有（

）

A．線段PA，PB，PC，PO中，線段PO最短；B．若PA=PB=PC，則OA=OB=OC；C．若OA=OB=OC，則PA=PB=PC；D．若PA=PB=PC，則PA，PB，PC和平面α所成的角相等．【性質】過平面外一點，作平面的垂線段和斜線段

（1）垂線段和斜線段中，垂線段最短；

（2）若斜線段長相等，則斜線在面內的射影長相等；

（3）若斜線在面內的射影長相等，則斜線段長相等．ABCD課堂練習6.過△ABC所在平面α外一點P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC.

(1)若PA=PB=PC，則點O是△ABC的____心.(2)若PA=PB=PC，∠C=90°，則點O是AB邊的____點.(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都為P，則點是△ABC的____心.BCPAO?BCPAO?BCPAO?DFE外中垂探究新知6.直線與平面垂直的性質

下面我們研究直線與平面α垂直的性質，即探究在直線a與平面α垂直的條件下能推出哪些結論.問題5我們知道，在平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，在空間中是否有類似的性質呢?（1）如圖①，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間具有什么位置關系?（2）如圖②，已知直線a，b和平面α．如果a⊥α，b⊥α，那么直線a，b一定平行嗎?①bαa②互相平行平行平行例題講解證明：假設a與b不平行，記b∩α＝O．

過O作直線b′∥a，則b與b′是交于點O的兩條不同的直線．

記b與b′確定的平面為β．

設α∩β＝c，則有a⊥c，b⊥c．

∵b′∥a，∴b′⊥c．

這與“平面β內，過一點O有且僅有一條直線與c垂直”相矛盾．

β直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行．已知a⊥α，b⊥α，求證：a∥b.a⊥αb⊥αa//b線面垂直

線線平行探究新知問題6目前為止，我們都學習了哪些證明直線與直線平行的方法？

證明線線平行常用的方法（1）線線平行定義：證共面且無公共點．（2）基本事實4（平行的傳遞性）：證兩線同時平行于第三條直線.（3）線面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證線面平行．（4）線面垂直的性質定理：把證線線平行轉化為證線面垂直.（5）面面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證面面平行．探究新知則直線a與平面β有怎樣的位置關系？則直線a與平面β有怎樣的位置關系？則直線b與平面α有怎樣的位置關系？則a⊥β．則b//α或bα．則a//β或aβ．若a⊥α，b⊥a，若a⊥α，β⊥α，若a⊥α，β//α，問題7直線與平面垂直的性質定理揭示了“垂直”與“平行”之間的聯系與轉化．你能將該性質定理中的平面換成直線，或者將垂直關系變為平行關系，得出一些新的結論嗎？

探究新知6.直線與平面垂直的性質性質1：若a⊥α，m?α，則a⊥m.性質2：(直線與平面垂直的性質定理)性質3：若a⊥α，c

α，且c⊥a，則c//α.垂直于同一平面的兩條直線平行.性質4：若α//β，l⊥α，則l⊥β.αβ“串串”a⊥αb⊥αa//b性質5：若l⊥α，l⊥β，則.α//β例題講解例3如圖，直線l平行于平面α求，求證：直線l上各點到平面α的距離相等.證明：αAA1βBB1l過直線l上任意兩點A,B分別作平面α的垂線AA1,BB1,垂足分別為A1,B1.∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1//BB1.設直線AA1，BB1確定的平面為β，β∩α=A1B1.∵l//α，∴l//A1B1，∴四邊形AA1B1B是矩形，∴AA1=BB1.∵A，B是直線l上任意兩點，∴直線l上各點到平面α的距離相等.通過此例題可知，若一條直線與一個平面平行，那這條直線上任意一點到平面的距離相等，我們把這個距離叫做直線到這個平面的距離.如果兩個平面平行，那么其中一個平面內任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平面間的距離.例題講解棱臺體積公式推導(棱臺的高就是兩底面間的距離)ADBCA′B′C′D′OO′P(S′,S,h分別是棱臺的上下底面積和高)例4推導棱臺的體積公式課堂練習

1.已知直線a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,則b與α的位置關系是______________.平行或在平面內αABA1B12.已知A,B兩點在平面α的同側，且它們與α的距離相等，求證：直線AB//α.過A,B兩點分別作平面α的垂線AA1,BB1,垂足分別為A1,B1.則又A1B1

?α，又AA1//BB1.∴AB//α.∴AB//A1B1.∴四邊形AA1B1B是矩形.AA1=BB1，解：例題講解3.如圖，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中點.求證：DF//平面ABC.DAFBECM解：取AB的中點M，連接FM，CM.∴DF//平面ABC.∴DF//CM.∴四邊形DCMF是平行四邊形.由F是EB的中點可得，EA

2FM.

又EA

2DC，∴FM

DC，又DF

平面ABC，CM?平面ABC，例題講解4.求證：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.(提示：過這條直線作平面與這兩個平面相交，則它們的交線平行.)已知：如圖，m⊥α，m⊥β，求證：α//β.γa′aδb′bβαm過直線m作平面γ，與α,β分別相交于直線a,a′.∵m⊥α，m⊥β，∴m⊥a，m⊥a′，又a,a′,m都在平面