第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年河北省張家口市高考數學模擬試卷（一）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合A={?2,?1,0,1}，B={y|y=x3,x∈A}，則A∩B=A.{0,1} B.{?1,0} C.{?1,0,1} D.{0}2.數據2，3，8，5，4，2的中位數和平均數分別為(

)A.3.5和2 B.3和4 C.4和2 D.3.5和43.若復數z滿足zi=2?i1+i(i為虛數單位)，則|z|=A.22 B.2 C.4.從集合{1,2,3,…,8,9}中隨機取出4個不同的數，并將其從大到小依次排列，則第二個數是7的概率為(

)A.110 B.310 C.5365.設α為鈍角，若直線x+y+2=0與曲線C：x21+cosα+yA.52 B.2 C.16.已知拋物線C：x2=y的焦點為F，過點F的直線l交C于P1，P2兩點，若l的一個方向向量為(1,tanα)，α∈(0,πA.1+cos2α B.1+sin2α7.已知定義在實數集上的函數f(x)滿足以下條件：

①f(1+x)=f(1?x)；

②f(3+x)+f(3?x)=0；

③f(5)=1．

則f(1)+f(2)+…+f(2025)=(

)A.?1 B.0 C.1 D.28.在平面直角坐標系中，A(?1,0)，B(1,0)，C(x,y)，點F，H分別是△ABC的外心和垂心，若FH=1+m2?2mAB，則mA.(?∞,0) B.(?1,0) C.(?∞,12]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.函數f(x)=12logA.0 B.1 C.2 D.410.已知球O的表面積為16π，點P，A，B，C均在球面上，且PA=PB=PC，AB=BC=CA=3，PA>AB，則(

)A.球O的半徑為2

B.平面ABC截球面所得小圓的面積為3π

C.點P到平面ABC的距離為23

D.球體挖去四面體P?ABC11.如圖，在平面直角坐標系中，曲線C為伯努利雙紐線，其中F1(?c,0)，F2(c,0)為焦點，點P(x,y)為C上任意一點，且滿足|PF1|?|PF2A.曲線C為中心對稱圖形和軸對稱圖形

B.若直線y=kx與曲線C恰有3個交點，則?12<k<12

C.曲線C在直線x=±2c與y=±12三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知數列{an}滿足a1=2，an>0且13.已知函數f(x)=2(x?b)(x?2c)，0<b<2c<1，則f(0)?f(1)的取值范圍是______．14.我國歷史文化悠久，中國象棋就是國人喜聞樂見的一種娛樂方式.不同棋子行的規則各不相同：馬走日字象走田，車走直路炮翻山，即“馬”只能由“日”字格子的頂點沿“日”字的斜線走到相對的另一個頂點A1，A2，…，A8，如圖1.請據此完成填空：如圖2，假設一匹馬從給定的初始位置出發，且規定其只能向“右前方走”，則其運動到點P所需的步數為______；該馬運動到點P所有可能落點(包括點P)的個數為______．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

如圖，已知三棱錐P?ABC中，PA⊥PB，AC⊥BC，平面APB⊥平面ABC，∠PAB=30°，∠BAC=45°，AB=4．

(1)求點P到平面ABC的距離；

(2)若Q為AC的中點，求PQ與平面PBC所成角的正弦值．16.(本小題15分)

已知f(x)=lnx?a(x+1)，a∈R．

(1)若a=2，求曲線f(x)在x=1處的切線方程；

(2)若?x0∈(0,2]，使f(x17.(本小題15分)

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A=2π3,7sin2B=3bcosB．

(1)若cosB=1314，求c；18.(本小題15分)

已知F1，F2分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，C為短軸的一個端點，△F1F2C是直角三角形．

(1)求橢圓E的離心率；

(2)若直線y=x?3恰好與橢圓E相切，求橢圓E的方程；

(3)在(2)的條件下，設直線19.(本小題17分)

某研究機構開發了一款智能機器人，該機器人通過交替學習不同技能Y，S，W來提升綜合能力.初始時，機器人選擇學習技能Y，且每次學習Y后會等可能地選擇學習S或W；每次學習S后，有0.25的概率繼續學習Y，0.75的概率學習W；每次學習W后，有0.25的概率繼續學習Y，0.75的概率學習S.設an，bn，cn分別表示第n次學習后接著學習技能Y，S，W的概率．

(1)若機器人僅進行三次學習，求學習技能Y次數的分布列及其數學期望；

(2)求an及其最大值；

(3)已知xn=|5an?1|?2n?1，yn=2+4+…+2n，

z答案解析1.C

【解析】解：集合A={?2,?1,0,1}，B={y|y=x3,x∈A}={?8,?1,0,1}，

所以A∩B={?1,0,1}．

故選：C．

求出集合B2.D

【解析】解：將數據2，3，8，5，4，2按照從小到大的順序排列為：

2，2，3，4，5，8，

∴中位數為12(3+4)=3.5，

平均數為16(2+2+3+4+5+8)=4，

∴數據2，3，8，5，4，2的中位數和平均數分別為3.5和4．

故選：D．3.C

【解析】解：由復數z滿足zi=2?i1+i(i為虛數單位)，

可得z=2?ii(1+i)=2?i?1+i=(2?i)(?1?i)(?1+i)(?1?i)=?3?i4.D

【解析】解：從集合{1,2,3,…,8,9}中隨機取出4個不同的數，并將其從大到小依次排列，

所有的情況有C94=126種，

第2個數為7的情況有C21C62=30，

∴第二個數是7的概率為305.B

【解析】解：因為α為鈍角，所以?1<cosα<0，

聯立x+y+2=0x21+cosα+y2cosα=1，

得：(1+2cosα)x2+4(1+cosα)x+4+3cosα?cos2α=0，

①當1+2cosα≠0，即cosα≠?12時，

因為直線x+y+2=0與曲線C：x21+cosα+y2cosα=1只有一個公共點，

所以Δ=16(1+cosα)2?4(1+2cosα)(4+3cosα?cos2α)=8cos3α?4cos2α?12cosα=0，

因為?1<cosα<0，所以2cos2α?cosα?3=0，解得cosα=32或cosα=?1，都不符合，舍去；6.C

【解析】解：已知拋物線C：x2=y的焦點為F，

則F(0,14)，

又過點F的直線l交C于P1，P2兩點，若l的一個方向向量為(1,tanα)，α∈(0,π2)，

則l的方程為y=kx+14，其中k=tanα，

聯立y=kx+14x2=y，

消y可得：x2?ky?14=0，

設P17.A

【解析】解：已知函數f(x)的定義域為R，關于原點對稱，

由②f(3+x)+f(3?x)=0可得f(x)=?f(6?x)，

由①f(1+x)=f(1?x)可得f(x)=f(2?x)，

因此f(x)=f(2?x)=?f(x+4)=f(x+8)，所以f(x)的周期為8，

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)

=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(?1)+f(0)

=[f(1)+f(5)]+[f(2)+f(4)]+[f(6)+f(0)]+f(3)+f(?1)

=f(3)+f(?1)=2f(3)，

由于f(3)=0，

f(1)+f(2)+?+f(2025)

=f(1)+253[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)]

=?f(5)=?1．

故選：A．

根據對稱性可得函數的周期為8，即可求解．

本題考查函數的周期性，屬于中檔題．8.A

【解析】解：由于A，B關于原點對稱，故F在y軸上，

設C(x0,y0)，則BC中點為(x0+12,y02)，易知y0≠0，

因此直線BC的垂直平分線方程為y?y02=?x0?1y0(x?x0+12)，

令x=0，則y=x0?1y0(x0+12)+y02，

故F(0,x0?1y0(x0+12)+y02)，9.ACD

【解析】解：因為f(x)=12loga(?x)2?a|x|=12logax2?a|x|=12loga|x|2?a|x|=loga|x|?a|x|(a>1)，

所以函數f(x)定義域為(?∞,0)∪(0,+∞)，關于原點對稱，

又因為f(?x)=loga|?x|?a|?x|=loga|x|?a|x|=f(x)(a>1)，

所以函數f(x)是偶函數，

當x>0時，函數f(x)=logax?ax(a>1)，

設直線y=x與y=logax(a>1)相切于點(x1,y1)，

直線y=x與y=ax(a>1)相切于點(x2,y2)，

對y=logax(a>1)求導得y′=1xlna(a>1)，

對y=ax(a>1)求導得y′=axlna(a>1)，

所以由導數幾何意義有1x1lna=ax2lna=1，

即x1=1lna,ax2=1lna，

且y1=logax1=x1(a>1)，y2=ax2=x2(a>1)，

所以x1=1lna=logax1=ln10.AB

【解析】解：由已知條件，因為PA=PB=PC，AB=BC=CA=3，所以三棱錐P?ABC為正三棱錐，

點P，A，B，C均在球面上，所以球O為正三棱錐P?ABC的外接球，球心為O，

設底面三角形的中心為O1，則頂點P在底面ABC中的射影為底面正三角形ABC的中心O1，

外接球的球心O位于射線PO1上，兩種可能的情況如圖所示：

對于A，設球O的半徑為R，

由球的表面積公式為4πR2=16π，解得半徑

R=2，故選項A正確；

對于B，平面ABC是一個等邊三角形，邊長為3，

等邊三角形的外接圓半徑r=AB3=33=3，

即平面ABC截球面所得小圓的半徑，

所以小圓面積為πr2=3π，故選項B正確；

對于C，球心到平面ABC的距離d=R2?r2=4?3=1，

點P到平面ABC的距離為?=R+d=3(當球心O在線段PO1上時)，

或?=R?d=1(當球心O位于PO1的延長線上時)，

當球心O位于PO1的延長線上時，?=1，PA=r2+?2=2<3=AB，

于PA>AB矛盾，舍去，

當球心O在線段PO1上時，?=3，

PA=r2+?2=3+9=23>3=AB，符合題意，

所以點P到平面ABC的距離為11.ACD

【解析】解：由于兩個焦點F1(?c,0)，F2(c,0)關于原點對稱，

設動點P(x,y)，根據題可得C的軌跡方程(x2+y2)2?2c2(x2?y2)=0，

把(x,y)關于y軸對稱的點(?x,y)代入軌跡方程，

把(x,y)關于原點對稱的點(?x,?y)代入軌跡方程，原方程均不變，所以A選項正確；

根據題意得直線y=kx與(x2+y2)2=2c2(x2?y2)一定有公共點(0,0)，

聯立直線y=kx與(x2+y2)2=2c2(x2?y2)(x2+y2)2=2c2(x2?y2)y=kx，

可得x4(1+k2)2=2c2x2(1?k2)，

如果y=kx與曲線C有3個交點，那么方程除x=0外無解，

而x4(1+k2)2>0，2c2x2>0，那么1?k2>0即可，解得k∈(?1,1)，所以選項12.4?1【解析】解：由數列{an}滿足a1=2，an>0且an+12?an2=12n+1，

題得an2=(an13.(0,1【解析】解：f(0)?f(1)=8bc(1?b)(1?2c)，

由于0<b<2c<1，故8bc(1?b)(1?2c)≤4×(b+2c2)2[(1?b)+(1?2c)2]2，當且僅當b=2c時等號成立，

又b+2c2×(1?b)+(1?2c)2≤[b+2c2+(1?b)+(1?2c)22]2=14，

當且僅當b+2c14.5

10

【解析】解：以“馬”的初始位置為原點，棋盤的橫豎兩邊為軸建立坐標系，

“馬”每次只能按向量(1,2)或(2,1)行走，

設落點為(a,b)(0<a≤8,0<b≤9)，按上述兩個向量前進的此時分別為x，y，

則x(1,2)+y(2,1)=(a,b)，

即(x+2y,2x+y)=(a,b)，

所以x+2y=a，2x+y=b，

解得x=2b?a3，y=2a?b3，x+y=a+b3，

第一空：由于a=7，b=8，所以x+y=7+83=5，

第二空：由于x≥0，y≥0，所以2a≥b，2b≥a，

又(a+b)為3的倍數，且只能往右前方前進，

所以當a+b=3時，此時對應的點有(1,2)，(2,1)，

當a+b=6時，此時對應的點有(2,4)，(4,2)，(3,3)，

當a+b=9時，此時對應的點有(3,6)，(4,5)，(5,4)，

當a+b=12時，此時對應的點有(5,7)，(6,6)，

綜上可得，共有2+3+3+2=10種情況．

故答案為：5；10．

建立坐標系，根據每次行走只能按向量15.解：(1)過P作PO⊥AB，PO∩AB=O，

因為平面APB⊥平面ABC，平面APB∩平面ABC=AB，PO?平面APB，

所以PO⊥平面ABC，

因為PA⊥PB，AB=4，∠PAB=30°，

所以PB=2,PA=16?4=23，

在直角三角形PAB中，S△PAB=12PB×PA=12AB×PO，所以PO=3，

所以點P到平面ABC的距離為3；

(2)因為AC⊥BC，過C作PO的平行線為z軸，以CA，CB所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系，

在△ABC中，AC⊥BC，∠BAC=45°，AB=4，所以AC=BC=22，

在直角三角形PAB中，因為PA⊥PB，AB=4，∠PAB=30°，

所以PB=2,PA=16?4=23，

所以PO=3,OA=3,OB=1，

所以P(22,322,3),B(0,22,0)，A(22,0,0),C(0,0,0),Q(2【解析】(1)先由平面APB⊥平面ABC，應用面面垂的性質定理得出PO⊥平面ABC，再結合邊長關系應用S△PAB=12PB×PA=12AB×PO16.解：(1)a=2時，函數f(x)=lnx?2(x+1)，

因此f(1)=?4,f′(x)=1x?2，因此切線斜率k=f′(1)=?1，

因此函數f(x)在x=1處的切線方程為y?(?4)=?1×(x?1)即x+y+3=0．

(2)由于?x0∈(0,2]，使得f(x0)>0，所以lnx0?a(x0+1)>0，

因此a<lnx0x0+1，令函數g(x)=lnxx+1,x∈(0,2],

那么導函數g′(x)=1+1x?lnx(x+1)【解析】(1)由題意結合導數依次求出f(1)，f′(1)即可由直線點斜式方程求解；

(2)先由f(x0)>0，得到a<lnx0x17.解：在△ABC中，A=2π3，可得B∈(0,π3)，cosB>0，

由7sin2B=3bcosB，得14sinBcosB=3bcosB，可得bsinB=1433．

(1)若cosB=1314，則sinB=1?cos2B=3314(舍負)，

可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32×1314?12×3314=5314，

根據正弦定理bsinB=csinC=143【解析】(1)由cosB=1314，結合同角三角函數的關系算出cosB，然后根據兩角和的正弦公式與誘導公式求出sinC，結合正弦定理列式算出邊c的值；

(2)根據正弦定理求出邊a，然后根據三角形中線的性質得出AD2=14(18.解：(1)設橢圓半焦距為c，則F1(?c,0)，F2(c,0)，不妨設C(0,b)，

由于△F1F2C是直角三角形，所以b=c，結合a2?b2=c2，

解得a=2b=2c，故e=ca=22，

即橢圓E的離心率為22．

(2)由a=2b=2c可得橢圓方程為x22b2+y2b2=1，

聯立y=x?3x22b2+y2b2=1，消去y得3x2?12x+18?2b2=0，

因為直線y=x?3恰好與橢圓E相切，故Δ=122?4×3(18?2b2)=0，解得b2=3，

所以橢圓方程為x26+y23=1．

(3)將點A(2,1)代入橢圓C的方程得46+13=1，所以點A在橢圓C上，

當直線MN斜率存在時，設直線方程為y=kx+m，

聯立y=