高中數學第3章不等式3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題3.3.3簡單的線性規劃問題（2）教學實錄蘇教版必修5授課內容授課時數授課班級授課人數授課地點授課時間設計思路本節課以蘇教版必修5第三章“不等式”中的“3.3.3簡單的線性規劃問題”為主題，結合實際生活問題，引導學生運用所學知識解決實際問題。通過小組合作、探究式學習，培養學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。教學內容與課本緊密相連，注重理論與實踐相結合，提高學生的數學素養。核心素養目標分析本節課旨在培養學生數學建模、邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養。通過線性規劃問題的解決，學生能夠學會如何將實際問題轉化為數學模型，提高問題解決能力；同時，通過合作學習，鍛煉學生的溝通協作能力；此外，通過探究過程，提升學生的邏輯推理和直觀想象能力，培養學生在數學運算中的嚴謹性和準確性。重點難點及解決辦法重點：將實際問題轉化為線性規劃模型，并求解最優解。

難點：理解線性規劃的意義，掌握線性規劃問題的建模方法，以及如何利用圖形法求解線性規劃問題。

解決辦法：

1.重點：通過實例分析，引導學生理解線性規劃模型的意義，并通過逐步引導，幫助學生建立數學模型。

2.難點：通過小組討論和課堂練習，讓學生動手操作，直觀感受線性規劃問題的建模過程。同時，利用多媒體展示圖形法求解過程，幫助學生理解線性規劃問題的幾何意義。針對不同層次的學生，提供不同難度的練習題，以突破難點。教學資源-軟硬件資源：筆記本電腦、投影儀、白板、計算器

-課程平臺：學校內部教學平臺

-信息化資源：線性規劃相關教學視頻、在線練習題庫

-教學手段：多媒體課件、實物教具（如線性規劃模型圖）、課堂練習紙教學過程1.導入（約5分鐘）

-激發興趣：展示一組生活中常見的優化問題，如生產計劃、資源分配等，提問學生如何用數學方法解決這些問題，引發學生對線性規劃問題的興趣。

-回顧舊知：簡要回顧一元一次不等式和二元一次不等式的解法，以及如何求解不等式組，為學習線性規劃問題做好鋪墊。

2.新課呈現（約20分鐘）

-講解新知：詳細講解線性規劃問題的定義、意義、建模方法以及求解步驟。

-舉例說明：通過實例展示如何將實際問題轉化為線性規劃模型，如生產問題、運輸問題等，幫助學生理解線性規劃的應用。

-互動探究：引導學生分組討論，針對不同問題，嘗試建立線性規劃模型，并分析模型的特點。

3.小組合作（約15分鐘）

-學生活動：學生分組，針對教師提供的實際問題，嘗試建立線性規劃模型，并討論求解方法。

-教師指導：教師巡視各組，解答學生在建模過程中遇到的問題，指導學生如何選擇合適的決策變量和目標函數。

4.求解線性規劃問題（約20分鐘）

-學生活動：學生根據小組討論的結果，運用圖形法求解線性規劃問題，并分析最優解。

-教師指導：教師展示圖形法求解過程，強調關鍵步驟，如確定可行域、目標函數的幾何意義等。

5.鞏固練習（約15分鐘）

-學生活動：學生獨立完成教師提供的練習題，加深對線性規劃問題的理解和應用。

-教師指導：教師巡視學生練習情況，解答學生在解題過程中遇到的問題，并給予個別指導。

6.課堂小結（約5分鐘）

-學生總結：學生回顧本節課所學內容，總結線性規劃問題的建模方法和求解步驟。

-教師總結：教師對本節課的重點內容進行梳理，強調線性規劃問題的實際應用，并布置課后作業。

7.課后作業（約10分鐘）

-學生活動：學生根據教師布置的作業，獨立完成線性規劃問題的建模和求解。

-教師反饋：教師通過批改作業，了解學生對本節課知識的掌握情況，并在下一節課進行講解和答疑。知識點梳理一、線性規劃問題的定義

1.線性規劃問題：在一定約束條件下，求解線性目標函數的最大值或最小值的問題。

2.決策變量：影響目標函數的變量，通常為連續變量。

3.目標函數：表示要優化的目標，可以是最大化或最小化。

二、線性規劃問題的建模

1.確定決策變量：根據實際問題，選取合適的變量作為決策變量。

2.建立目標函數：根據實際問題，建立表示要優化的目標函數。

3.建立約束條件：根據實際問題，建立表示資源限制或條件約束的方程或不等式。

三、線性規劃問題的解法

1.圖形法：適用于只有兩個決策變量的線性規劃問題。

-確定可行域：將約束條件在坐標系中表示出來，找到可行域。

-確定最優解：在可行域內，找到目標函數的最大值或最小值。

2.簡單形法（大M法）：適用于有多個決策變量的線性規劃問題。

-構造初始單純形表：根據約束條件和目標函數，構造初始單純形表。

-進行迭代計算：通過選取進入基變量和離開基變量，進行迭代計算，直到找到最優解。

四、線性規劃問題的應用

1.生產問題：如生產計劃、資源分配等。

2.運輸問題：如貨物調撥、運輸路線選擇等。

3.資源優化問題：如水資源分配、能源優化等。

五、線性規劃問題的特點

1.線性規劃問題具有連續性，決策變量通常是連續的。

2.線性規劃問題具有最優性，存在最優解。

3.線性規劃問題具有確定性，問題的解是唯一的。

六、線性規劃問題的局限性

1.線性規劃問題只適用于線性目標函數和線性約束條件。

2.線性規劃問題可能存在多個最優解或無解。

3.線性規劃問題求解過程可能涉及大量的迭代計算，計算量較大。

七、線性規劃問題的實際應用案例

1.生產問題：某工廠生產兩種產品，每種產品需要兩種原料，要求原料消耗量不超過一定限制，如何確定生產計劃，以最大化利潤。

2.運輸問題：某物流公司需要從多個倉庫向多個銷售點運輸貨物，要求運輸成本最小，同時滿足運輸量和運輸距離的限制。

3.資源優化問題：某城市需要合理分配水資源，以滿足居民生活、工業生產和農業灌溉的需求，同時考慮水資源保護和可持續發展的要求。教學反思教學反思

這節課上下來，我有一些感受和思考。

首先，我覺得線性規劃問題的引入非常重要。我通過生活中的實例，如生產計劃、資源分配等，讓學生感受到了數學的實用性和魅力。我發現，當學生們能夠將數學知識應用到實際問題中時，他們的學習興趣和動力都會大大提高。

在講解線性規劃問題的建模時，我注意到學生們對于如何將實際問題轉化為數學模型有一定的困難。于是，我采用了逐步引導的方法，從簡單的例子入手，讓學生們逐步理解建模的思路。我發現，這種方法比較有效，學生們通過模仿和練習，逐漸掌握了建模的方法。

在求解線性規劃問題時，我選擇了圖形法和簡單形法進行講解。圖形法對于理解線性規劃問題的幾何意義非常有幫助，而簡單形法則是一種通用的求解方法。我在講解過程中，特別注意了每個步驟的詳細說明，以確保學生們能夠理解并掌握。

在小組合作環節，我看到了學生們積極參與、互相討論的場景。這種合作學習的方式，不僅提高了學生們解決問題的能力，也鍛煉了他們的團隊協作能力。不過，我也發現，部分學生在討論中表現得比較被動，這可能是由于他們對知識的掌握不夠牢固或者缺乏自信。因此，在今后的教學中，我需要更多地關注這些學生，給予他們更多的支持和鼓勵。

在鞏固練習環節，我發現學生們對于線性規劃問題的應用還不夠熟練。有的學生能夠在紙上寫出解題步驟，但實際操作時卻出現錯誤。這讓我意識到，僅僅通過課堂講解是不夠的，還需要加強學生的實際操作能力。因此，我計劃在課后布置一些實踐性較強的作業，讓學生們能夠在實際操作中鞏固所學知識。

此外，我還發現，在教學過程中，我需要更加注重學生的個體差異。有的學生理解能力強，有的學生則需要更多的指導。在今后的教學中，我會根據學生的實際情況，提供個性化的教學方案，確保每個學生都能夠有所收獲。板書設計①線性規劃問題的定義

-線性規劃：在一定約束條件下，求線性目標函數的最大值或最小值。

-決策變量：影響目標函數的變量。

-目標函數：表示要優化的目標（最大化或最小化）。

②線性規劃問題的建模

-確定決策變量：根據實際問題選取變量。

-建立目標函數：表示要優化的目標。

-建立約束條件：表示資源限制或條件約束。

③線性規劃問題的解法

-圖形法：適用于兩個決策變量的線性規劃問題。

-簡單形法（大M法）：適用于多個決策變量的線性規劃問題。

-迭代計算：選取進入基變量和離開基變量，進行迭代計算。

④線性規劃問題的特點

-連續性：決策變量通常是連續的。

-最優性：存在最優解。

-確定性：問題的解是唯一的。

⑤線性規劃問題的局限性

-線性：只適用于線性目標函數和線性約束條件。

-多解性：可能存在多個最優解或無解。

-計算量：求解過程可能涉及大量迭代計算。重點題型整理1.**題型一：線性規劃問題建模**

-**題目**：某工廠生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品需要3小時加工時間和2小時組裝時間，每生產一件乙產品需要2小時加工時間和1小時組裝時間。工廠每天最多有12小時加工時間和8小時組裝時間。若甲、乙兩種產品每件利潤分別為100元和80元，問應如何安排生產計劃，以獲得最大利潤？

-**答案**：設生產甲產品的數量為x件，乙產品的數量為y件，利潤為z元。則目標函數為z=100x+80y，約束條件為3x+2y≤12和2x+y≤8。通過線性規劃方法求解，得到最優解為x=2,y=4，最大利潤為z=560元。

2.**題型二：線性規劃問題求解（圖形法）**

-**題目**：某公司計劃將資金投資于兩種股票，第一種股票的預期收益為10%，第二種股票的預期收益為15%，但風險較高。假設投資總額為100萬元，要求至少將40%的資金投資于第一種股票，且不超過70%的資金投資于第二種股票。求投資方案，使收益最大。

-**答案**：設第一種股票投資金額為x萬元，第二種股票投資金額為y萬元，收益為z萬元。則目標函數為z=0.10x+0.15y，約束條件為0.10x+0.15y≥40和0.10x+0.15y≤70。通過圖形法求解，得到最優解在直線0.10x+0.15y=40與0.10x+0.15y=70的交點附近，計算得出最優解為x=40,y=0，最大收益為z=4萬元。

3.**題型三：線性規劃問題求解（簡單形法）**

-**題目**：某食品加工廠生產兩種食品，每生產1千克食品A需要2小時加工時間和3千克原料，每生產1千克食品B需要1小時加工時間和2千克原料。工廠每天有8小時加工時間和12千克原料。食品A和食品B的售價分別為30元和20元。求每天生產多少千克食品A和食品B，才能獲得最大利潤？

-**答案**：設食品A生產量為x千克，食品B生產量為y千克，利潤為z元。則目標函數為z=30x+20y，約束條件為2x+y≤8和3x+2y≤12。通過簡單形法求解，得到最優解為x=2,y=2，最大利潤為z=100元。

4.**題型四：線性規劃問題中的靈敏度分析**

-**題目**：在上述食品加工廠的例子中，若原料價格發生變化，求對最優解的影響。

-**答案**：若原料價格發生變化，例如原料價格提高，則可能需要調整生產計劃以保持利潤最大化。通過靈敏度分析，可以確定原料價格的變化對最優解的影響程度。

5.**題型五：線性規劃問題在實際中的應用**

-**題目**：某物流公司有三種運輸方式，分別對應不同的成本和運輸時間。公司需要將貨物從A地運往B地，要求至少在2小時內完成運輸。如何選擇運輸方式，以最小化成本？

-**答案**：設運輸方式1的運輸量為x，運輸方式2的運輸量為y，運輸方式3的運輸量為z。目標函數為最小化總成本C=50x+40y+30z，約束條件為2x+y+z≥2（時間約束）。通過線性規劃方法求解，得到最優解和對應的成本。作業布置與反饋作業布置：

1.完成課本第三章“不等式”中的練習題3.3.3部分，包括線性規劃問題的建模和求解。

2.選擇兩個生活中的實際問題，嘗試將其轉化為線性規劃模型，并求解最優解。

3.分析一個線性規劃問題的實例，討論在實際應用中可能遇到的困難和解決方法。

作業反饋：

1.對學生的作業進行批改，重點關注以下幾個方面：

-學生是否能夠正確地將實際問題轉化為線性規劃模型。

-學生是否能夠正確地建立目標函數和約束條件。

-學生是否能夠運用圖形法或簡單形法求解線性規劃問題。

-學生是否能夠分析問題的實際應用背景和意義。

2.指出存在的問題并給出改進建議：

-對于建模方面的問題，提醒學生注意實際問題的細節，確保模型能夠準確反映問題的本質。

-對于求解方面的問題，引導學生回顧圖形法和簡單形法的步驟，強調關鍵步驟的執行。

-對于應用方面的問題，鼓勵學生多思考實際問題的解決策略，提高解決問題的能力。

3.促進學生的學習進步：

-對于作業中表現良好的學生，給予表揚和鼓勵，激發學生的學習興趣。

-對