PAGEPAGE4熱點(十)直線與圓1．(點與圓的位置關系)已知點(a，b)在圓C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，則ax＋by＝r2與C的位置關系是()A．相切B．相離C．內含D．相交答案：D解析：由已知得a2＋b2>r2，所以圓心到直線ax＋by＝r2的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<r，故直線ax＋by＝r2與C的位置關系是相交，故選D.2．(圓的切線)過點(3,1)的圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為()A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0答案：B解析：由題意知點(3,1)在圓上，代入圓的方程可得r2＝5，圓的方程為(x－1)2＋y2＝5，則過點(3,1)的切線方程為(x－1)×(3－1)＋y×(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.故選B.3．(中點弦)若點P(1,1)為圓x2＋y2－6x＝0的弦AB的中點，則弦AB所在直線的方程為()A．2x＋y－3＝0B．x＋2y－3＝0C．2x－y－1＝0D．x－2y＋1＝0答案：C解析：圓x2＋y2－6x＝0的標準方程為(x－3)2＋y2＝9，又因為點P(1,1)為圓x2＋y2－6x＝0的弦AB的中點，圓心與點P確定的直線的斜率為eq\f(1－0,1－3)＝－eq\f(1,2)，所以弦AB所在直線的斜率為2，所以直線AB的直線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.4．(圓的切線)過點P(1，－2)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為()A．y＝－eq\f(\r(3),4)B．y＝－eq\f(1,2)C．y＝－eq\f(\r(3),2)D．y＝－eq\f(1,4)答案：B解析：圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1，以|PC|＝eq\r(1－12＋－2－02)＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－eq\f(1,2).故選B.5．(點到直線的距離公式)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝()A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(3,4)C.eq\r(3)D．2答案：A解析：由圓的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圓心坐標為(1,4)，由點到直線的距離公式得d＝eq\f(|1×a＋4－1|,\r(1＋a2))＝1，解之得a＝－eq\f(4,3).故選A.6．(最值問題)已知點P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為()A．3B.eq\f(\r(21),2)C．2eq\r(2)D．2答案：D解析：圓C：x2＋y2－2y＝0的圓心為(0,1)，半徑r＝1.由圓的性質，知S四邊形PACB＝2S△PBC.∵四邊形PACB的最小面積是2，∴S△PBC的最小值為1，則eq\f(1,2)rdmin＝1(d是切線長)，∴dmin＝2.∵圓心到直線的距離就是PC的最小值，∴|PC|min＝eq\f(5,\r(1＋k2))＝eq\r(d\o\al(2,min)＋1)＝eq\r(5).∵k>0，∴k＝2.故選D.7．[2024·鄭州一中高三測試](直線與圓相切)已知圓(x－a)2＋y2＝1與直線y＝x相切于第三象限，則a的值是()A.eq\r(2)B．－eq\r(2)C．±eq\r(2)D．－2答案：B解析：依題意得，圓心(a,0)到直線x－y＝0的距離等于半徑，即有eq\f(|a|,\r(2))＝1，|a|＝eq\r(2).又切點位于第三象限，結合圖形(圖略)可知，a＝－eq\r(2)，故選B.8．(對稱問題)一條光線從點(－2，－3)射出，經y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5)B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5)D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)答案：D解析：點(－2，－3)關于y軸的對稱點為(2，－3)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線肯定過點(2，－3)．設反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，得圓心到直線的距離d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4)，故選D.9．[2024·河南鄭州模擬](相交弦長)在圓x2＋y2－2x－8y＋1＝0內，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A．4eq\r(6)B．8eq\r(6)C．12eq\r(6)D．16eq\r(6)答案：B解析：圓的方程可化為(x－1)2＋(y－4)2＝16，∴圓心M(1,4)，半徑r＝4，如圖所示，明顯E在圓的內部，設過E點的弦長為l，則l＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(16－d2)(d表示弦心距)．由圖可知0≤d≤|ME|＝eq\r(10)，∴當d＝0時，lmax＝2×4＝8＝|AC|(此時AC為圓的直徑)；當d＝eq\r(10)時，lmin＝2eq\r(16－10)＝2eq\r(6)＝|BD|(此時AC⊥BD)．∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)|AC||BD|＝eq\f(1,2)×8×2eq\r(6)＝8eq\r(6)，故B正確．10．(點的存在性問題)已知直線3x＋4y－15＝0與圓O：x2＋y2＝25交于A，B兩點，點C在圓O上，且S△ABC＝8，則滿意條件的點C的個數為()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：圓心O到已知直線的距離d＝eq\f(|－15|,\r(32＋42))＝3，因此|AB|＝2eq\r(52－32)＝8，設點C到直線AB的距離為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)×8×h＝8，h＝2，由于d＋h＝3＋2＝5＝r(圓的半徑)，因此與直線AB距離為2的兩條直線中一條與圓相切，一條與圓相交，故符合條件的點C有三個．故選C.11．(圓的公切線)兩圓x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三條公切線，若a∈R，b∈R且ab≠0，則eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值為()A．1B．3C.eq\f(1,9)D.eq\f(4,9)答案：A解析：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1.依題意可得，兩圓外切，則兩圓圓心距離等于兩圓的半徑之和，則eq\r(a2＋2b2)＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋4b2,9)))＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(a2,b2)＋\f(4b2,a2)))≥eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(a2,b2)·\f(4b2,a2))))＝1，當且僅當eq\f(a2,b2)＝eq\f(4b2,a2)，即a＝±eq\r(2)b時取等號，故選A.12．(點的存在性問題)已知圓C：x2＋y2＝1，點P(x0，y0)在直線l：3x＋2y－4＝0上，若在圓C上總存在兩個不同的點A，B，使eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))，則x0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(24,13)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,13)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(13,24)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(13,12)))答案：A解析：如圖，∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))，∴OP與AB相互垂直平分，∴圓心到直線AB的距離為eq\f(1,2)eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))<1，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)<4.①又3x0＋2y0－4＝0，∴y0＝2－eq\f(3,2)x0，代入①得xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)x0))2<4，解得0<x0<eq\f(24,13)，∴實數x0的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(24,13))).故選A.13．(弦長公式)直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長為________．答案：2eq\r(2)解析：由題意得，圓x2＋(y－2)2＝4的圓心為(0,2)，半徑為2，圓心到直線x－y＝0的距離d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).設截得的弦長為l，則由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＋(eq\r(2))2＝22，得l＝2eq\r(2).14．(點的存在性問題)已知圓M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l：x＋y－6＝0，A為直線l上一點，若圓M上存在兩點B，C，使得∠BAC＝60°，則點A的橫坐標的取值范圍為________．答案：[1,5]解析：由題意知，過點A的兩直線與圓M相切時，夾角最大，當∠BAC＝60°時，MA＝eq\f(MB,sin∠BAM)＝eq\f(2,sin30°)＝4.設A(x,6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，因此點A的橫坐標的取值范圍為[1,5]．15．(距離最值問題)點P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點Q在圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是________．答案：3eq\r(5)－5解析：把圓C1、圓C2的方程都化成標準形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圓C1的圓心坐標得(4,2)，半徑長是3；圓C2的圓心坐標是(－2，－1)，半徑是2.圓心距d＝eq\r(4＋22＋2＋12)＝3eq\r(5).所以|PQ|的最小值是3eq\r(5)－5.16．(參數范圍問題)設集合A＝(x，y)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤x－22＋y2≤m2，x，y∈R))，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠?，則實數m的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2＋\r(2)))解析：∵A∩B≠?，∴A≠?，∴m2≥eq\f(m,2)，∴≥eq\f(1,2)或m≤0.明顯B≠?.要