江蘇省專轉(zhuǎn)本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷5

（共8套）

（共195題）

江蘇省專轉(zhuǎn)本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第

1套

一、綜合題（本題共2題，每題7.0分，共2分。）

1、設(shè)曲線y=x2（03x31）,問(wèn)t為何值時(shí)，圖中的陰影部分面積S|與S2之和S1-S2

知識(shí)點(diǎn)解析：（1）選擇y為積分變量（2）

5=國(guó)十&刁汐心十1。一不必=4，|：十，|：一自邛=興一十九3）求極值

3（r）=4?-1-3-1-2jt—1

令S'Q）=o，駐點(diǎn)t—Y

S，3=2.”*）=*＞。

i-4為極小值點(diǎn)，由單峰原理，也是最小值點(diǎn)

,??當(dāng)＜時(shí)S|+S”最小.

_..Ia|=6,|b|=1,，b）=。.（p,o）.

2、已知6,求p=a+b,q=a—b的夾角.

arccos^

標(biāo)準(zhǔn)答案：々

1AI23-1

cos（p.q）p?q

\pV\q]一IplIgl-TTTTgT-Ipl\q\0..

知識(shí)點(diǎn)解析：（1）\^)?IpI

73_

2G?17

2.-Ia+bI2=(a+b).(a+b)=IaI2+IbI22(a.b)3+l+*2又|q|2=|a—

、、,流?巡=4-3=1

bI-(a-b).(a—b)=IaI2+IbI2—2(a.b)=3+l—2

A92

Acos(p.g)=----=—.

1?Jl41

A2

故(p,q>=arccos-.

41

二、證明題（本題共7題，每題7.0分，共7分。）

3、設(shè)b>a>0,證明：adyJybf(x)e2x+yydx=L%3x—e2x+a)f(x)dx.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

積分域D：積分域又可表示成

丫/工0b,1。&y4工，

|d>|/(x)e2r*ydz=jj/(x)e2*+,=|drj=j/(z)et,dzje2,dy

J/(x)elx(ex—€*)dx=J(e“一/1)/(□：)dr.

疝識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

三、選擇題（本題共6題，每題，。分，共6分。）

[1-/（X）

4、已知f（0）=0,f（0）=l,則i工=（）.

A、1

B、0

C、一1

D、不存在

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

Jim回=lim今=*1

知識(shí)點(diǎn)解析:該式利用洛必達(dá)法則,JT^OXr-*0X1所以選A項(xiàng).

5、若【八""=*i+/1"）+°則儀*）等于（）.

A、.InCx+yi-R?）

1

B、際"

一.

「（1+”

]

D^

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

人力=懸言?則/（幻=（I1凌正

知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)等式兩邊求導(dǎo)得：“十

6、當(dāng)x>0時(shí)，萬(wàn)丘一片1為x的（）.

A、高階無(wú)窮小量

B、低階無(wú)窮小量

C、同階，但不等價(jià)無(wú)窮小量

D、等價(jià)無(wú)窮小量

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

(，l+z-/I-z)(/l+z+/l-N)

x^Ox(八+N+yi-x)

=i.

知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小量的

定義，故選D項(xiàng).

7、方程x?+y2=4x在空間直角坐標(biāo)系中表示（）.

A、圓柱面

B、點(diǎn)

C、圓

D、旋轉(zhuǎn)拋物面

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識(shí)點(diǎn)解析：x2+y2=4x->x2—4x+4+y2—4->（x—2）2+y2=22,在平面坐標(biāo)系中，

這表示一個(gè)圓，而在空間坐標(biāo)系中，這表示母線平行于Z軸的圓柱面.所以選A

項(xiàng).

廣—dr

8、若廣義積分人工*收斂，則P應(yīng)滿足（）.

A、0<p<l

B、p>l

C、p<-1

D、p<0

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

fJdz收斂;當(dāng)P&l時(shí),

1方發(fā)散.

知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)p>I時(shí)，人”

9、設(shè)對(duì)一切x有f(-x,y)=-f(x,y),D={(x,y)Ix2+y2<1,y>0}D={(x,y)Ix2+y2<l,x>0,

||]/(xty)dxdy

y>0),則"=().

A、0

4/(N,_y)dzdj

20/(1,y)dxdy

c、>

4口/(z,y)dLrdy

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識(shí)點(diǎn)解析?：如圖，根據(jù)題中條件畫出積分域，積分域關(guān)于y軸對(duì)稱，又f(一x,

y)=-f(x,y),即被積函數(shù)是關(guān)于x的奇函數(shù)，由積分對(duì)稱性原因

/(x，3z)drd>=0.—

四、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)

limvcosJ-i

10、i*

標(biāo)準(zhǔn)答案："

\lim(cos-Zz)*

知識(shí)點(diǎn)解析：本題是考查塞指函數(shù)求極限，先把極限變形為,此題

是形如嚴(yán)型的不定式，可以利用兩個(gè)重要極限公式的推廣公式求解

lim(cos?/z)*=lim[1+(cosTx-1)]*=。匕。*±=e—,

11、函數(shù)f(x)=2x2—x+1在區(qū)間[-1,3]上滿足拉格朗日中值定理的

9__________?

標(biāo)準(zhǔn)答案：匕=1

-』⑶二/LD=3

知識(shí)點(diǎn)解析：由已知可得r(x)=4x-1,令3—(一D,解該方

程即為滿足拉格朗日定理的q=1.

0drdy

12、,其中D為以點(diǎn)0(0,0)、A(l,0)、B(0,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域.

標(biāo)準(zhǔn)答案：一1

知識(shí)點(diǎn)解析：J(?xr(x)dx=Joixdf(x)=xf(x)Io1-Jo，f(x)dx=f(l)-3=2-3=-1?

n講八"'"=用"+》'則鼠;二;一

15、取一_____________。

U=JL

標(biāo)準(zhǔn)答案：2、一，

因?yàn)橹Чぁ?J，所以F"T-

3y-1-X.笈2"+,dy2

知識(shí)點(diǎn)解析：2X

Jdrh/Cr,y)dy

14、交換一次積分次序八人

j,dyJy(z，，)dr+j]dyj/(x?y)dx

知識(shí)點(diǎn)解析：由原二次積分可知原函數(shù)的積分區(qū)域D如圖a,顯然原二次積分是按

X一型看待的，現(xiàn)在我們按照Y一型看待，如圖b,則原二次積分可以寫成

「dy)/(工，y)dx+jdyj/(x?y)dz.

15、微分方程yy'+xxY力滿足yIx=l=0的特解為

標(biāo)準(zhǔn)答案;2T2

2T2

知識(shí)點(diǎn)解析:

五、解答題(本題共8題，每題1.。分，共8分。)

16、求極限ixtaar

=lim^^=lim瞑=lim導(dǎo)=j

楊^避:案.Xt&nxx-M)Xrx-M)ZXLO44

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

———7dx.

17、求(1+/

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)arctanx=t,x=tant,則:

tanZg，.

-------vdzsec^tdi=tan/cos^?Jdz=』sin/dr

(1+x2)}sec3f

=1sin/d^=efsinZ—卜cos/d/

=Jsinz-cosxde*=?sinz-co必'-dsin/dt=/siru-co必'-I

則I=J/sinz—gdcosi+C,

所以原式7丁常?--■-4-C.

/TT?

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

18、z=(x+y)exy,求ddz.

因?yàn)榱?—+(工+y)~.?=(1+個(gè)+力產(chǎn)

=(14-ay+")L

2

標(biāo)準(zhǔn)答案,所以&=(14-xy+(H-xy+<r)~d券

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

「

19、求J~"+3

J二露乙=打二高+一=雪二(孑+［倩)

=停.2傍)|二=以包arm啥一的給

標(biāo)準(zhǔn)答案：一§住一(一切卜家.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

20、求y'—(cosx)y=eSEx滿足y(o)=l的解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：這是一階線性非齊次微分方程，其中P(x)=-mcosx,Q(x)=esinx.于是方

程的通解為：y=e-P(x)dX[jQ(x)Mx)dXdx+c]=eJ(-c°sx)cX[cSinxJ(-cosx)dXdx+C]

=esinx(esinxe-sinxdx+C)=exinx(x+C).由y(0)=l,得C=L故所求解為:

y=esinx(x+l).

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

21、設(shè)z=xf(x2,xy),其中f(u,v)的二階偏導(dǎo)數(shù)存在，求.力、

3

=2工S'工+〃(，21?2x4-/"a?y)=2x/\4-2x/*na

2i

^7-=21f'2-+-x(/*2i?2X+AZ?y)=2xfi+2xf2\+/“22

標(biāo)準(zhǔn)答案：工

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

22、求函數(shù)y=x—ln(x+l)的單調(diào)區(qū)間，極值及其曲線的凹凸區(qū)間.

標(biāo)準(zhǔn)答案：①函數(shù)的定義域?yàn)?-1,+00)；②???,=1一喬I令y，=o,得駐點(diǎn)

x=0.又"=(N+D>°XE(—1,+oo),于是函數(shù)的曲線恒為凹的曲線弧，即凹

區(qū)間為：(―1,+8)；③又-IVxVO時(shí)，y，VO,函數(shù)遞減；OVxV+8時(shí)，、'>

0,函數(shù)遞增，故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為：(一1,0)；遞增區(qū)間為：(0,+8)；且函

數(shù)在x=0處取得一極小值f(0)=0.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

yG—5一

23、求幕級(jí)數(shù)W布的收斂域.

則原式=ST=

標(biāo)準(zhǔn)答案：令x-5=t,小行收斂半徑為：

R=lim=lim——■—=1~

后不當(dāng)t=i時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)t=-i時(shí)，級(jí)數(shù)

⑤(=1):J—S"§尸

■一】n收斂.所以級(jí)數(shù)一而的收斂域?yàn)椋垡?,1),那么級(jí)數(shù)in的收

斂域?yàn)椋?,6).

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

江蘇省專轉(zhuǎn)本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第

2套

一、綜合題（本題共3題，每題1.0分，共3分。）

1、試求由拋物線（y—2產(chǎn)=x-1和與拋物線相切于縱坐標(biāo)y（）=3處的切線以及x軸

所圍成圖形面積.

標(biāo)準(zhǔn)答案：拋物線（y—29=x-1,頂點(diǎn)在（1,2）,開口向右，切點(diǎn)y坐標(biāo)為3,則

x坐標(biāo)為2,則切線斜率為"='LJ而'=2GL2）'所以k=｝切線方程y—3=

—,（X—2）O

2,改寫成x=2y—4.S=f（）［（y-2）2+1一（2y-4）］dy=9.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

2、從半徑為R的圓中切去怎樣的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容積為

最大？

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)余下部分的圓心角為中時(shí)所卷成的漏斗容積V最大，漏斗的底半徑

則2M=Rp,h=JR，—J,

V==../肥一產(chǎn).

iJ

v-a俯十+一高，.0,

33

r=專'R此時(shí)夕=貧=孥m

即當(dāng)余下的圓心角為「=擎"時(shí)漏斗容積最大

為r,高為h.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

I、JeTZT；，0CX<50

y（H）=131x

3、某工廠生產(chǎn)過(guò)程中，次品率與日生產(chǎn)量關(guān)系是x>5°其中x

A

為正數(shù)，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可贏利A元，但生產(chǎn)一件次品要損失§無(wú)，問(wèn)為了獲得

最大盈利，每天的生產(chǎn)量為多少？

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)日生產(chǎn)量為x件，日利潤(rùn)為u元，則日次品數(shù)為xy件，日正品數(shù)為

（x一xy）件.因?yàn)楫?dāng)x>50時(shí)次品率為I,為獲最大利潤(rùn)故必OWxV

于是日利潤(rùn)為u—A(X—xjr)—?(0^j?<50)

J

“'=A(1—y_zy')一等

I3

令“'=0,得y+工、'=春.

50.將尸在代人,解得k5】±"I7.即38或x=59.25,舍去

x=59.25.比較u(0)=0.u(42)=166.4,u(43)=189.9的值，故日生產(chǎn)量為43件

時(shí)，獲得最大盈利.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

二、證明題(本題共［題，每題分，共1分。)

4、設(shè)f(x)在［0,1］連續(xù)，f(x)Vl,又F(x)—(2z—1)—Mf(t)dt,證明F(x)在(0,1)

內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

標(biāo)準(zhǔn)答案：Mx)在［0,1］上連續(xù)，???F(x)在［0,1］連續(xù).又F(0)=-1V0,

F⑴=1一1/(力山^^1一/(￡),￡6(0,1)u而mi、、

J。f(x)<l,.,.^￡)<1,從而F(l)>

0.由零點(diǎn)定理知F(x)在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).又F<x)=2—f(x)>0,???F(x)在

|0,1|上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以F(x)在(0,1)內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，從而F(x)在(0,1)

內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

三、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)

5、已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足t(x)=x2+xfo't(x)dx,則f(x)=().

A、f(x)=x2+x

B、f(x)=x2—x

9

/(X)=X24--YX

c、

/(x)=x24-rx

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：用代入法可得出正確答案為C

/sin-，1#0

/(x)=-x

6、函數(shù)0,x=0在x=0處().

A、連續(xù)但不可導(dǎo)

B、連續(xù)且可導(dǎo)

C、不連續(xù)也不可導(dǎo)

D、可導(dǎo)但不連續(xù)

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

lim/(x)=limj?sin-=0,lim/(x)=limx^sin—=0.

i*71i-x

lim/(x)==/(0)=0,則此分?jǐn)嗪瘮?shù)在x=0處連續(xù).

又=lim'‘工‘一怒"=lim---------=limxsin——0.

lim/(x)lim一/⑹=?---=limxsin=0.

I-I-工一01一1I-工

則故分段函數(shù)工可導(dǎo).

知識(shí)點(diǎn)解析：Ilim，f(xTlim/Ct),=0

y=-----

7、關(guān)于tanr的間斷點(diǎn)說(shuō)法正確的是().

A、x①2為可去間斷點(diǎn)

B、x=0為可去間斷點(diǎn)

C、x=k兀為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)

D、以上說(shuō)法都正確

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

,(工)=—^―Hm/(x)=0

知識(shí)點(diǎn)解析：taoz的間斷點(diǎn)為‘為可去間斷

lim產(chǎn)=1,

點(diǎn).對(duì)于x=kx,當(dāng)k=0,即x=0時(shí)，1tx=0為可去間斷點(diǎn).當(dāng)厚0時(shí)，

lim,左=8,z=An

「ztanz為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn).

f[Jx^+—drdy

8、設(shè)D：x2+y%R2,則"=().

|j/?dxd>=xR3

B>jo2nd6foRrdr=7tR2

C、I詞:"=4#

D、fo27Id0fokR2dr=27tR

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：在極坐標(biāo)中，0<r<,R,0<e<27r,

jjJ3+，dxdy=J。時(shí):/dr=yitR3

9、拋物面^+12+萬(wàn)在點(diǎn)Mo(l,2,3)處的切平面是().

A^6x+3y—2z—18=0

B、6x+3y+2z—18=0

C、6x+3y+2z+18=0

D、6x-3y+2z-18=0

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識(shí)點(diǎn)解析：

=0.

2（一

10、基級(jí)數(shù)1的收斂半徑是（）.

A、0

B、1

C、2

D、+00

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

p=lim皿+]I=limI1I=1

收斂半徑R=1=L

知識(shí)點(diǎn)解析：P

四、填空題（本題共6題，每題1.0分，共6分。）

11.吧戶訪-z，則@=

b=________

標(biāo)準(zhǔn)答案：一4；3

I-d+or+b__-1(H-2工+。_9

知識(shí)點(diǎn)解析:x2-4-2''2x—3并且x2+ax+b=0,所以a=

-4,b=3.

du

12、u=f（xy,x2+2y2）,其中f為可微函數(shù)，則五二

標(biāo)準(zhǔn)答案：yfi+2x「2

知識(shí)點(diǎn)解析：令V=x?+y2,則u=f(w,v),

^=//w(w,v)?y-^-fAwfv)?2x

13、已知函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x在x=l與x=2處有極值，則a=,

b=.

_2__1

標(biāo)準(zhǔn)答案：6

知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知：

，(幻=弓+2&r+=0,/(2)=0=>a=一々,b=—[.

14、a,b為兩個(gè)非零矢量，入為非零常數(shù)，若向量a+小垂直于向量b,則入等于

標(biāo)準(zhǔn)答案：1b產(chǎn)

知識(shí)點(diǎn)解析：a+Xb垂直于向量b—>(a+?vb).b=O.

15、已知f(cosx尸siiFx,則Jf(x-l)dx二.

-3

—±_-1-C

標(biāo)準(zhǔn)答案：3TT

/(co&z)=sin2x=1-cos2x=>/(x)=1—/

知識(shí)點(diǎn)解析」外一m-(工-】)強(qiáng)=++〃+。

16、已知f(x)=e、2,f[(p(x)l=l—x,且(p(x)沙，則(p(x)的定義域?yàn)?/p>

標(biāo)準(zhǔn)答案：x<0

知識(shí)點(diǎn)解析：

兀6工)]="8==所以僅工)=一工)，于是1一工

21,即140.、

五、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)

17、設(shè)y=xtanx,求y，.

y=61mdM?(sec2*?Inz+tanz?《)

標(biāo)準(zhǔn)答案：y=xtanx=elnxunx=etanxlnx…?（黑+詈）?

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

18、分析“""㈣訐聲的間斷點(diǎn)，并指明其類型.

-l,x<-1

0,x=-1

-1,-1<X<1

0,上=1

標(biāo)準(zhǔn)答案：【一1，￡>1間斷點(diǎn)為一1,i.f(一1一o)=—1,f(一i+o)=i,x=一

1，第一類跳躍間斷.f(l-o)=l,f(l+o)=-1,x=l,第一類跳躍間斷.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

19、求

f1>_f2—coax._f2d(tanx)_fd(sinx)

J24-cosxJ4—cos^zJ4tanfx+3J3+sin'#

1/2tanr\.1(2sinx\._

=萬(wàn),3「(丁)場(chǎng)際麗(7rJ+C

標(biāo)準(zhǔn)答案：

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

20、設(shè)z=f(2x+3y,xy)其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求好力

標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)法則，為方便表示令

〃=2x4-3y,v=xy,-=Zf「

+W；

缶-=2(q?3+丘?力+y(乂，?3：?x)+/w.

因?yàn)槎A偏導(dǎo)在定義域內(nèi)連續(xù)，所以/:=，一合并得

暮=6/：+(21+3山丘+卬/：+￡?

oxoy

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

21、在一1和2之間求值C,使y=一x,y=2x,y=l+Cx所圍圖形面積最小.

標(biāo)準(zhǔn)答案：三直線所圍區(qū)域如圖，設(shè)其面積為S(C),貝I」：

S(O=f[(14-Cx)—(―x)Jdx

J

++Cr)—2x]dx

=J、Cl+(C+l)N〕dz+j^[l-F(C-2)x]dx

=1I1

-2(C4-1)2(C-D*

令火?=孔。+株能0、=。，得c=G

當(dāng)一1VCV/時(shí)w(c)v(h當(dāng)十VCV2時(shí)S(C)>0,由極值點(diǎn)的唯一性知,

當(dāng)1=￡時(shí)，三直線所圖圖形面積最小.

知識(shí)點(diǎn)解析?：暫無(wú)解析

[,(半第十丹粒.

2T求JT'1+11+Z，

因?yàn)槠盏菫槠婧瘮?shù)，僵J為偶函數(shù)，所以

原式=2:信=立1+-=ln2.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

23、求2yy'+2xy2=xe"2的通解.

(y)z4-2xy2=xe~^，令“=y2,則

2

%+2JCU=JX~^9p=2xtq=xe~^,Jpdr=x,

所以%(工)」神"=JQ："/業(yè)=J。,

桿件如”則L(色+少-'，即=(#+)"，其中C為任意常效

懷他合柒：

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

1(1-/r2+-

24、計(jì)算二重積分“其中D是第一象限內(nèi)圓x?+y2=2x及直線

y=0所圍成的區(qū)域.

=Jo而Jo(1一

=J：得-"P)I7]必=f<2co??-fcoss5)dtf

=j：(1+cosWcW—I"J1(1—sin'8)dsiM

=(夕+3sin^)『―4(siM_[sin%)|'=A_AXf-

標(biāo)準(zhǔn)答案：\2"。313/Io23329,

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

江蘇省專轉(zhuǎn)本（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第

3套

一、綜合題（本題共3題，每題L0分，共3分。）

1、求橢球面？+12+聽二1在點(diǎn)Mo（l,2,3）處的力平面和法線方程.

設(shè)F（x,>,z）=.+.+[—1,則

0JL44<

P=?F=~f~t

?3y6.27

￡(1,2,3)=?1,吊(1,2,3)=孑,F.(1,2,3)=卷,

標(biāo)準(zhǔn)答案：所以切平面方程為蛆一】）+如一幻十卷&-3）=°,即

法線方程為，生二4=七逐=七型

6x+3y+22—18=0,麗萬(wàn)程加632

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

2、設(shè)平面圖形由曲線y=l—x%X））及兩坐標(biāo)軸圍成.⑴求該平面圖形繞x輪旋

轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積；（2）求常數(shù)口的值，使直線y=a將該平面圖形分成面積

相等的兩部分.

標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖，利用定積分幾何意義(1)該平面繞X軸旋轉(zhuǎn)所

形成旋轉(zhuǎn)體體積為V=J(?兀(1—x2)2dx=J(?兀(1—2x2+x4)dx=

J2'41_8

Kx—z-or4--Z-JQTT=7=K.

L35」015(2)由題意，直線y=a將平面分成面積相等的兩部分

1(I-_y)，dy=[(1—y)$dy,積分得一?!■[(】一、)+]；=——夕)，工,卻

Q-—1=—(1一a)*,解得0=1—d

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

3、有一邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮，四角各截去一個(gè)大小相同的正方形，然后將四

邊折起做成一個(gè)方形無(wú)蓋容器，問(wèn)截去的小正方形的邊長(zhǎng)多大時(shí)，所得容器的容積

最大？

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)截下的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則正方形容器的底邊長(zhǎng)48—2x,高

為x,容器為V(x)=(48—2xpx,其中x的變化范隹是0VxV24,V，(x)=(48—

2x)(48—6x),令V'(x)=0得，駐點(diǎn)坐標(biāo)x=8,x=24(舍去)，V"(x)=24x—384,

V"(8)=-192V0,所以x=8,是唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，最大值是V(8尸8

192.當(dāng)截去的小正方形的邊長(zhǎng)是8cm時(shí)，容器的容積達(dá)到最大8192cm3.

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

二、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)

?+成立.

4、證明：對(duì)x>0,則工

廣滸夕,令人力工)=笈一普=6修俎O.

標(biāo)準(zhǔn)答案：xk,解得：x=2,故

即

f(2)=4+8=12,R+8尸+oc,10+0)=+8,fmin(x)=12,工

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

三、選擇題(本題共6題，每題7.。分，共6分。)

5、已知Jf(x)dx=e"+C,貝ijj『(一x)dx=().

A、2e-2x+C

n右產(chǎn)+C

B、2

C>-2e2x+C

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：原式兩邊分別求導(dǎo)得，f(x)=2e2x,再兩邊求導(dǎo)，得「(x尸4e?x,則「(.

x)=4e-2t.K(一x)dx=f4c-2xdx=-2fc2xd(-2x)=-2e-2x+C.故選C項(xiàng)。

6、在下列極限求解中，正確的是

Avsinx_.

A.11017-7-；-----<=1B.sinCx24-1)=1

D.瞥rrjr

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

sinx

ln(l-x)

2

=0,而sind+l)有界，所以lim47sinCr+1)=0,

**-I1一eoX-T1

lim7=lim甲=2.

知識(shí)點(diǎn)解析:IN-1—11

7、下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是

看HIT

?sinR薩1尸券

f(一D'D?叁心+十)

MInn

().

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析:

nn

sinTii18sin等

4壬4方，而2%收斂，所以宮（一1尸鬲絕對(duì)收斂.

n24-2

〃+1

因?yàn)閄Ia?|=X券，limI2I=lim--—=J,

3^^??|a.In3

F

XI&I收斂.故玄（一1尸r^-T絕對(duì)收斂.

o-L

OO

S不青為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且其通項(xiàng)的絕對(duì)值在趨于0,據(jù)萊布尼茲準(zhǔn)則知，它是收斂

級(jí)數(shù).

另外21。?i=X高，由于之〉:，而詞和級(jí)數(shù)2!發(fā)散，據(jù)第一比較準(zhǔn)則知

Ei&I發(fā)散,故此級(jí)數(shù)條件收斂.

8-

W>（1+0）=>S?=|n2+ln￡+???+ln山=ln（n+l）,

limS.=limS+1）=oo,

ir?o

￡、（1+《）發(fā)散.

8、曲線y=x，-3x在開區(qū)間（0,1）內(nèi)為（）.

A、單調(diào)上升，且上凹

B、單調(diào)下降，且下凹

C、單調(diào)上升，且下凹

D、單調(diào)下降，且上凹

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)OVxVl時(shí)，y,=3x2-3<0,y"=6x>0.曲線單調(diào)下降，且上

凹，故選D項(xiàng).

9、若直線I與Ox平行，且與曲線y=x-ex相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（）.

A、（1,1）

B、（一1,1）

C、（0,一1）

D、（0,1）

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意得：y'=（l一爐）'=0得x=0,代入得廣一I.

10、i

CAD.-4

u2

().

A、

B>

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

■mcos2z_8S3Z=__5

知識(shí)點(diǎn)解析：使用洛必達(dá)法則可知：T尸一5'根據(jù)f(x)在x=0處

____5

連續(xù)，可知

四、填空題(本題共6題，每題分，共6分。)

11、定積分Jo取一l|dx=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：1

知識(shí)點(diǎn)解析：J(?|x—l|dx=d(l—x)dx+JJ(x—l)dx=

卜一5I"管—1)|；=4+/八

12、曲線y=4一片T的拐點(diǎn)是-------

標(biāo)準(zhǔn)答案：(1,4)

當(dāng)x=l時(shí),y=W(z—1)7=0.

知識(shí)點(diǎn)解析：9當(dāng)x€(—8,1)時(shí)，y"<0,

而當(dāng)xW(l,+8)時(shí),yu>0,當(dāng)x=l時(shí),y=4,所以拐點(diǎn)是(1,4).

13、若“則flf(f(x))]=

標(biāo)準(zhǔn)答案：x

1=1

1一71/（/）11_____1___

1-/（X）

知識(shí)點(diǎn)解析：11一力

14、已知a,b均為單位向量，且“

則以向量a.b為鄰邊的平行四邊形的面

積為_____

國(guó)

標(biāo)準(zhǔn)答案：2

知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)向量叉積，以向量a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為

_1_，所以COS^——

S=|a|.|b|sin9=a.b,由已知,|a|=l,|b|=l?a.b=|a|.|b|cos9=*2可得$而°=

M得平行四邊形面積—喙

VX-

15、一17+1的收斂半徑和收斂域?yàn)?

_

j_r_11

標(biāo)準(zhǔn)答案：個(gè)L2,2」

??_2?

…一

:.R=limII=lim=1

1t.M-32（。+1）/

當(dāng)“=+時(shí)，級(jí)數(shù)與毒1(一打=￡片，收斂;

當(dāng)工=4時(shí)，級(jí)數(shù)與后(打=￡露，收斂?

故原級(jí)數(shù)收斂域?yàn)閇一+3].

知識(shí)點(diǎn)解析:

16、若A6T7冽像堵兒…=

脩-⑸

標(biāo)準(zhǔn)答案:

把（1,一1）代入即可.

知識(shí)點(diǎn)解析：3x"""dy"爐+'

五、解答題（本題共8題，每題1.0分，共8分。）

17、設(shè)方程ex+ysin(x+z)=O確定z=z(x,y),求dz.

標(biāo)準(zhǔn)答案：L1一tan(x+z)]dx一tan(x+z)dy

>+y,=x+y,=x+y

知識(shí)點(diǎn)解析:⑴令F=esin(x+z),Fxe[sin(x+z)+cos(x+z)]Fyesin(x+z),

—sin(H+z)-8s(1+z)

-1-tan(x-Fz)

cosQ+z)

而___sin(-+z)_.,、

x+d=

F/=eyCos(x+z)y~笆一cosGc+z)__所(”+丁

dz=[-1—tan(x+z)]dx-tan(x+z)dy.

/c'+，drdy,

18、計(jì)算二重積分用，其中D={（x，y）|x2+y±2x,在0}.

16

標(biāo)準(zhǔn)答案：9

￡/dxdy=jjp2dpd0=j：回。ffdp=當(dāng)：8s，儂=?y.

知識(shí)點(diǎn)解析：

Sisinfl

19、判別3的斂散性，若收斂，是絕對(duì)收斂或條件收斂.

標(biāo)準(zhǔn)答案：絕對(duì)收斂

⑴這是任意項(xiàng)極數(shù)字|5in詈

（2）v|^sin^|<l（"竽卜1）,且￡/收斂,

-sinq-

故X-T-絕對(duì)收斂.

知識(shí)點(diǎn)解析："

yG-2》

20、求士《+1）?3■的收斂半徑與收斂域.

標(biāo)準(zhǔn)答案：收斂半徑一1VXV5,收斂域［一1,5）

⑴?；p=lim咄=lim或

知識(shí)點(diǎn)解析：-?&iAGi+2)3...收斂半徑R=3有一3V

(2)當(dāng)N=5時(shí)，與小發(fā)散(調(diào)和級(jí)數(shù))；

co

當(dāng)工=一】時(shí)，收斂(萊布尼茲級(jí)數(shù)).

X—2V3即一1VXV5.c】九十，(3)級(jí)數(shù)的

收斂域?yàn)椋?1,5).

21、求也=1一x+y?—xy2的通解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：［2)

或

知識(shí)點(diǎn)解析：(1)判別方程的類型：%=(1一x)+y2(l一x)=(l一x)(l+yb可分離變

=(l-x)dzj=J(l-x)dz

arctany="/+C.即y=的傳一%立).

里.1J4土

22、求y"+6y'+l3y=0滿足y(0)=3,y'(0)=-1的特解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：y=e-3x(3cos2x+4sin2x)

?__一6士,36—52,?.

..?n,：------------5---------—-3±Z91.,

知識(shí)點(diǎn)解析：(1)?.?)+6「+13=0,2(2)通解y二e-

3x(Cicos2x+C2sin2x).(3)特解：：丫⑼=？，H=Ci，y,=-*3e-

3x(Cicos2x+C2sin2x)+e,x(—2clsin2x+2C2cos2x).?.?'(())=一1,一1二一9+2C?,

???C2=4.特解為y=e-3x(3cos2x+4sin2x).

設(shè)求dy.

工+

23、,1+1

dy—；,dx

標(biāo)準(zhǔn)答案：x八+工

⑴y=ln(5/14-x—1)—ln(yiTT4-1)

(2)y=—=L--------——-——L------------—=—1

v14-x—1"1+IJi+工+1"1+工xy/\4-x

(3)dy=—^=dx

知識(shí)點(diǎn)解析:x0+N

24、求由方程x?y2+y=l(yVO)所確定y=y(x)的極值.

標(biāo)準(zhǔn)答案：極大值y(0)=l

知識(shí)點(diǎn)解析：⑴求駐點(diǎn)：2xy2+x22yy，+y，=0,令y，=0,2xy2=0,(y>0)一駐點(diǎn)

x=0.(2)判別極值點(diǎn)2y2+2x2yy,+4xyy,+2x2(y,2+yy,,)+y*'=0,當(dāng)x=0時(shí)y=l代入上

式2+0+0+0+y”(0)=0,y"(0)=-2<0.x=0為極大值點(diǎn).(3)極大值y(O)=l.

江蘇省專轉(zhuǎn)本(高等數(shù)學(xué))模擬試卷第

4套

一、綜合題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)

1、設(shè)函數(shù)g(x)=l12',問(wèn)g(x)是否有間斷點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)?若有請(qǐng)

指出。

*洋燼安limHmVx

標(biāo)準(zhǔn)答案：一—Lga戶IY4)--],L-i+g(x)=*—1+=一1,g(一

lim|*

1)二一1，?，?g(x)在x=—1處連續(xù).,??1-8-g(x)一叩X=—*2,

../\!.N+16

hmg(x)=hm—―

1z=2,g(8)=2,J.ga)在x=8處連續(xù)，??§'(-1一O)=

X+1H+14g，(-i+o)=

g(x)—g(—1)yfx—(—1)1

X4-1工+13.-.x=-1是g(x)的不可導(dǎo)點(diǎn),

「g(x)—g(8)].一Jx—21_11

hm--------------------hm-------z-o3

0)=?8x-8--x-8312|,g<8+0)=

?+16

g(x)-g(8)_12」

，吧—7^8，爾工一8一誦,??.x=8是g(x)的可導(dǎo)點(diǎn)，于是知g(x)在

(—00,+00)內(nèi)連續(xù)，沒(méi)有間斷點(diǎn)；X=—I是g(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

2、某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，年產(chǎn)量為x(百臺(tái))，總成本Q萬(wàn)元)，其中固定成本為2萬(wàn)

元，每產(chǎn)1百臺(tái)成本增加If一一1‘一一’可銷售此種產(chǎn)品4百臺(tái)，其銷售總收

41一行/.04工44

,8,Q4

人R(x)是x的函數(shù)，R(x)=，問(wèn)每年生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí)總利潤(rùn)最大？

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)銷售量為x百臺(tái)，c(x)=2+x,則利潤(rùn)函數(shù)L(x)=R(x)—c(x)=

4x—2-2-x=3JT—2—2,04z44

8_2_工=6-].了>4所以L，(x)=a由U(x)=O.得

x=3o計(jì)算L(0)=—2,L(3)=9---2=2.5,L(4)=2,L(+co)=-co,由此可得：

Lmax=2.5—L(3),所以每年生產(chǎn)3百臺(tái)時(shí)總利潤(rùn)最大。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

設(shè)有拋物線y=4x-x2,

3、拋物線上哪一點(diǎn)處的切線平行于x軸?寫出該切線方程。

標(biāo)準(zhǔn)答案：y=4x—x2,y，=4—2x要切線平行于x軸，令y，=4—2x=0,得x=2,代入

y=4x—x2得y=4,故拋物線y=4x—x?上(2,4)處的切線平行于x軸，該切線方程

為y=4?

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

4、求由拋物線與其水平切線及y軸圍成的平面圖形面積。

標(biāo)準(zhǔn)答案：由拋物線與其水平切線y=4及y軸圍成的平面圖形面積為A=f2o[4-

]岡

223444

(4x—x)]dx=(4x—2X+3X)|0=0A=fo[(2—)—O]dy=[2y+]|o=

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

5、求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積。

標(biāo)準(zhǔn)答案：該平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積為-(4x—x2)2]dx=

224

15”。該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積為丫丫=兀『0[2一回『dy=

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

二、證明題(本題共，題，每題7.0分，共7分。)

6、證明：曲線6+6二萬(wàn)上任意一點(diǎn)的切線所截兩坐標(biāo)軸的截距之和等于a。

(a>0)

iiiiJy

-??，?+-?——?y--

標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩端y對(duì)x求導(dǎo)有2G2G=0所以y』后過(guò)點(diǎn)(x,y)

的切線方程為Y—y=6(X—x),這里(X,Y)為切線上點(diǎn)的流動(dòng)坐標(biāo)。令X=0

得切線在y軸上的截距為Y=y+弓，令Y=0得比線在x軸上的截距為X=x+

國(guó),所以兩截距和為x+2厲+y=（6+Q）2=a,故得證。

知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析

三、選擇題（本題共6題，每題1.0分，共6分。）

/（￡）

7、已知f（0）=0,"0尸1，則,叫X=（）。

A、

B、0

C、一1

D、不存在

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

EA史臼

8、若」f(x)dx=ln(x+/l+l2)+C,則式x)等于()。

A、ln(?r+/】+彳2)

?/1+/Z

(1