PAGE1-3.1.3學習目標核心素養(yǎng)1.了解事務間的包含關系和相等關系．2．理解互斥事務和對應事務的概念及關系．(難點、易混點)3．會用互斥事務與對立事務的概率公式求概率．(重點)4．了解并事務與交事務的概念，會進行事務的運算．1.通過互斥事務與對立事務的學習，體會邏輯推理素養(yǎng)．2．借助概率的求法，提升數(shù)學運算素養(yǎng).1．事務的關系與運算(1)事務的關系：定義表示法圖示包含關系一般地，對于事務A與事務B，假如事務A發(fā)生，則事務B肯定發(fā)生，這時稱事務B包含事務A(或稱事務A包含于事務B)B?A(或A?B)相等關系A?B且B?AA＝B事務互斥若A∩B為不行能事務，則稱事務A與事務B互斥A∩B＝?事務對立若A∩B為不行能事務，A∪B為必定事務，那么稱事務A與事務B互為對立事務A∩B＝?且A∪B＝U(2)事務的運算：定義表示法圖示并事件若某事務發(fā)生當且僅當事務A發(fā)生或事務B發(fā)生，則稱此事務為事務A與事務B的并事務(或和事務)A∪B(或A＋B)交事件若某事務發(fā)生當且僅當事務A發(fā)生且事務B發(fā)生，則稱此事務為事務A與事務B的交事務(或積事務)A∩B(或AB)2.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：[0，1]．(2)必定事務的概率為1，不行能事務的概率為0．(3)概率加法公式為：假如事務A與B為互斥事務，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(4)若A與B為對立事務，則P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0．思索：在擲骰子的試驗中，事務A＝{出現(xiàn)的點數(shù)為1}，事務B＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，A與B應有怎樣的關系？[提示]A?B1．同時擲兩枚硬幣，向上面都是正面為事務A，向上面至少有一枚是正面為事務B，則有()A．A?B B．A?BC．A＝B D．A<BA[由事務的包含關系知A?B.]2．擲一枚骰子，視察結(jié)果，A＝{向上的點數(shù)為1}，B＝{向上的點數(shù)為2}，則()A．A?B B．A＝BC．A與B互斥 D．A與B對立C[由于事務A與B不行能同時發(fā)生，故A、B互斥．]3．一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中隨意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事務：事務A：“恰有一件次品”；事務B：“至少有兩件次品”；事務C：“至少有一件次品”；事務D：“至多有一件次品”．并給出以下結(jié)論：①A∪B＝C；②D∪B是必定事務；③A∪B＝B；④A∪D＝C.其中正確的序號是()A．①②B．③④C．①③D．②③A[A∪B表示的事務：至少有一件次品，即事務C，所以①正確，③不正確；D∪B表示的事務：至少有兩件次品或至多有一件次品，包括了全部狀況，所以②正確；A∪D表示的事務：至多有一件次品，即事務D，所以④不正確．]4．一商店有獎促銷活動中只有一等獎與二等獎兩個獎項，其中中一等獎的概率為0.1，中二等獎的概率為0.25，則不中獎的概率為________．0.65[中獎的概率為0.1＋0.25＝0.35，中獎與不中獎互為對立事務，所以不中獎的概率為1－0.35＝0.65.]互斥事務與對立事務的判定【例1】某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱，記事務A為“只訂甲報”，事務B為“至少訂一種報紙”，事務C為“至多訂一種報紙”，事務D為“不訂甲報”，事務E為“一種報紙也不訂”．推斷下列每組事務是不是互斥事務；假如是，再推斷它們是不是對立事務：(1)A與C；(2)B與E；(3)B與D；(4)B與C；(5)C與E.思路點撥：是否可能同時發(fā)生→推斷是否互斥→是否必有一個發(fā)生→推斷是否對立[解](1)由于事務C“至多訂一種報紙”中包括“只訂甲報”，即事務A與事務C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事務．(2)事務B“至少訂一種報紙”與事務E“一種報紙也不訂”是不行能同時發(fā)生的，故B與E是互斥事務；由于事務B與事務E必有一個發(fā)生，故B與E是對立事務．(3)事務B“至少訂一種報紙”中包括“只訂乙報”，即有可能“不訂甲報”，也就是說事務B和事務D有可能同時發(fā)生，故B與D不是互斥事務．(4)事務B“至少訂一種報紙”中的可能狀況為“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”．事務C“至多訂一種報紙”中的可能狀況為“一種報紙也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”．也就是說事務B與事務C可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事務．(5)由(4)的分析，事務E“一種報紙也不訂”是事務C中的一種可能狀況，所以事務C與事務E可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事務．互斥事務、對立事務的判定方法(1)利用基本概念①互斥事務不行能同時發(fā)生；②對立事務首先是互斥事務，且必需有一個要發(fā)生．(2)利用集合的觀點來推斷設事務A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A，B.①事務A與B互斥，即集合A∩B＝?；②事務A與B對立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，即A＝IB或B＝IA.1．一個射手進行一次射擊，有下面四個事務：事務A：命中環(huán)數(shù)大于8；事務B：命中環(huán)數(shù)小于5；事務C：命中環(huán)數(shù)大于4；事務D：命中環(huán)數(shù)不大于6.則()A．A與D是互斥事務 B．C與D是對立事務C．B與D是互斥事務 D．以上都不對A[由互斥、對立事務的定義可推斷A選項正確．]事務的關系及運算【例2】在擲骰子的試驗中，可以定義很多事務．例如，事務C1＝{出現(xiàn)1點}，事務C2＝{出現(xiàn)2點}，事務C3＝{出現(xiàn)3點}，事務C4＝{出現(xiàn)4點}，事務C5＝{出現(xiàn)5點}，事務C6＝{出現(xiàn)6點}，事務D1＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}，事務D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}，事務D3＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}，事務E＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于7}，事務F＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事務G＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，請依據(jù)上述定義的事務，回答下列問題：(1)請列舉出符合包含關系、相等關系的事務；(2)利用和事務的定義，推斷上述哪些事務是和事務．[解](1)因為事務C1，C2，C3，C4發(fā)生，則事務D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事務E包含事務C1，C2，C3，C4，C5，C6；事務D2包含事務C4，C5，C6；事務F包含事務C2，C4，C6；事務G包含事務C1，C3，C5.且易知事務C1與事務D1相等，即C1＝D1.(2)因為事務D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點或出現(xiàn)5點或出現(xiàn)6點}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.事務運算應留意的2個問題(1)進行事務的運算時，一是要緊扣運算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結(jié)果進行分析．(2)在一些比較簡潔的題目中，須要推斷事務之間的關系時，可以依據(jù)常識來推斷．但假如遇到比較困難的題目，就得嚴格依據(jù)事務之間關系的定義來推理．2．盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取3個球，設事務A＝{3個球中有1個紅球、2個白球}，事務B＝{3個球中有2個紅球、1個白球}，事務C＝{3個球中至少有1個紅球}，事務D＝{3個球中既有紅球又有白球}．(1)事務D與A，B是什么樣的運算關系？(2)事務C與A的交事務是什么事務？[解](1)對于事務D，可能的結(jié)果為1個紅球、2個白球，或2個紅球、1個白球，故D＝A∪B.(2)對于事務C，可能的結(jié)果為1個紅球、2個白球，或2個紅球、1個白球，或3個紅球，故C∩A＝A.互斥事務與對立事務的概率公式及應用[探究問題]1．在同一試驗中，對隨意兩個事務A、B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)肯定成立嗎？[提示]不肯定，只有A與B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)才成立．2．若P(A)＋P(B)＝1，則事務A與事務B是否肯定對立？試舉例說明．[提示]A與B不肯定對立．例如：擲一枚勻稱的骰子，記事務A為出現(xiàn)偶數(shù)點，事務B為出現(xiàn)1點或2點或3點，則P(A)＋P(B)＝1，但A、B不對立．【例3】在數(shù)學考試中，小明的成果在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，計算：(1)小明在數(shù)學考試中取得80分以上的成果的概率；(2)小明數(shù)學考試及格的概率．思路點撥：小明的成果在80分以上可以看作是互斥事務“80分～89分”“90分以上”的并事務，小明數(shù)學考試及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”這幾個彼此互斥事務的并事務，又可看作是“不及格”這一事務的對立事務．[解]分別記小明的成果“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”為事務B，C，D，E，這四個事務彼此互斥．(1)小明的成果在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明數(shù)學考試及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：小明數(shù)學考試不及格的概率是0.07，所以小明數(shù)學考試及格的概率是1－0.07＝0.93.1．(變結(jié)論)本例條件不變，求小明在數(shù)學考試中取得80分以下的成果的概率．[解]分別記小明的成果“在90分以上”，“在80～89分”，“在70～79分”，“在60～69分”，“在60分以下”為事務A、B、C、D、E，則這五個事務彼此互斥．∴小明成果在80分以下的概率是：P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.2．(變條件)一盒中裝有各種色球12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．[解]法一：(利用互斥事務求概率)記事務A1＝{任取1球為紅球}，A2＝{任取1球為黑球}，A3＝{任取1球為白球}，A4＝{任取1球為綠球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).依據(jù)題意知，事務A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事務概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法二：(利用對立事務求概率)(1)由法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事務為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事務為A3∪A4，所以取得1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的對立事務為A4.所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).互斥事務、對立事務概率的求解方法(1)互斥事務的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)當求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關鍵詞語時，經(jīng)常考慮其反面，通過求其反面，然后轉(zhuǎn)化為所求問題．1．互斥事務和對立事務都是針對兩個事務而言的，它們兩者之間既有區(qū)分又有聯(lián)系．在一次試驗中，兩個互斥事務有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，但不行能兩個都發(fā)生；而兩個對立事務必有一個發(fā)生，但是不行能兩個事務同時發(fā)生，也不行能兩個事務都不發(fā)生．所以兩個事務互斥，它們未必對立；反之兩個事務對立，它們肯定互斥．2．互斥事務概率的加法公式是一個很基本的計算公式，解題時要在詳細的情景中推斷各事務間是否互斥，只有互斥事務才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求困難事務的概率通常有兩種方法(1)將所求事務轉(zhuǎn)化成彼此互斥事務的并事務；(2)先求其對立事務的概率，再求所求事務的概率.1．推斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)互斥事務肯定是對立事務． ()(2)事務A與B的并事務的概率肯定大于事務A的概率． ()(3)若P(A)＋P(B)＝1，則事務A與B肯定是對立事務． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．給出以下結(jié)論：①互斥事務肯定對立；②對立事務肯定互斥；③互斥事務不肯定對立；④事務A與B的和事務的概率肯定大于事務A的概率；⑤事務A與B互斥，則有P(A)＝1－P(B)．其中正確命題的個數(shù)為()A．0個B．1個C．2個D．3個C[對立必互斥，互斥不肯定對立，∴②③對，①錯；又A∪B＝A時，P(A∪B)＝P(A)，④錯；只有A、B對立時，P(A)＝1－P(B)才成立，⑤錯．]3．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．0.3[摸出紅球、白球、黑球是互斥事務，所以摸出黑球的概率為1－0.42－0.28＝0.3.]4．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1～10各10張)中任抽取1張，推斷下列給出的每對事務是否為互斥事務，是否為對立事務，并說明理由．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點數(shù)大于9”．[解](1)是互斥事務，不是對立事務．