2024年中考數學真題專題分類精選匯編（2025年中考復習全國通用）

專題34重要的數學思想方法問題

一、填空題

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1.（2024四川內江）已知實數a，b滿足ab1，那么的值為________．

a21b21

2.（2024湖南省）如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”

的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，已知ABCD于點B，AB與水平線l相交于點O，OEl．若

BC4分米，OB12分米．BOE60，則點C到水平線l的距離CF為________分米（結果

用含根號的式子表示）．

二、解答題

1.（2024廣西）如圖1，△ABC中，∠B=90°，AB=6．AC的垂直平分線分別交AC，AB于點M，O，

CO平分∠ACB.

（1）求證：△ABC∽△CBO；

（2）如圖2，將AOC繞點O逆時針旋轉得到△AOC，旋轉角為0a360．連接AM，

CM

①求△AMC面積的最大值及此時旋轉角的度數，并說明理由；

②當△AMC是直角三角形時，請直接寫出旋轉角的度數．

（河北省）如圖，拋物線2過點，頂點為．拋物線

2.2024C1:yax2x(4,0)Q

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C:y(xt)2t22（其中t為常數，且t2），頂點為P．

222

（1）直接寫出a的值和點Q的坐標．

（2）嘉嘉說：無論t為何值，將C1的頂點Q向左平移2個單位長度后一定落在C2上．

淇淇說：無論t為何值，C2總經過一個定點．

請選擇其中一人的說法進行說理．

（3）當t4時，

①求直線PQ的解析式；

②作直線l∥PQ，當l與C2的交點到x軸的距離恰為6時，求l與x軸交點的橫坐標．

（）設與的交點，的橫坐標分別為，且．點在上，橫坐標為

4C1C2ABxA,xBxAxBMC1

m2mxB．點N在C2上，橫坐標為nxAnt．若點M是到直線PQ的距離最大的點，最

大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，直接用含t和m的式子表示n．

3.（2024江蘇揚州）在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情

況，猜想結論，然后再研究一般情況，證明結論．

如圖，已知ABC，CACB，O是ABC的外接圓，點D在O上（ADBD），連接AD、

BD、CD．

【特殊化感知】

（1）如圖1，若ACB60，點D在AO延長線上，則ADBD與CD的數量關系為________；

【一般化探究】

（2）如圖2，若ACB60，點C、D在AB同側，判斷ADBD與CD的數量關系并說明理由；

【拓展性延伸】

（3）若ACB，直接寫出AD、BD、CD滿足的數量關系．（用含的式子表示）

3.（2024內蒙古赤峰）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．數學興趣小組對該項目中的數學問題

進行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰

空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原

點，建立平面直角坐標系．他們把水滑道和人騰空飛出后經過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根

據測量和調查得到的數據和信息，設計了以下三個問題，請你解決．

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（1）如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平

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距離為3米，則水滑道ACB所在拋物線的解析式為______；

（2）如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離OE12米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安

全距離DE不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線BD恰好與拋物線ACB關于點B成中心

對稱．

①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線BD的解析式；

②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；

（3）為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固．如圖2，水滑道已經有兩條加固鋼架，一條是

水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架MN，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架BM．現

在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與BM平行，且與水滑道有唯一公

共點，一端固定在鋼架MN上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結果保留根號）．

4.（2024重慶市A）在ABC中，ABAC，點D是BC邊上一點（點D不與端點重合）．點D關

于直線AB的對稱點為點E，連接AD,DE．在直線AD上取一點F，使EFDBAC，直線EF

與直線AC交于點G．

（1）如圖1，若BAC60,BDCD,BAD，求AGE的度數（用含的代數式表示）；

（2）如圖1，若BAC60,BDCD，用等式表示線段CG與DE之間的數量關系，并證明；

（3）如圖2，若BAC90，點D從點B移動到點C的過程中，連接AE，當△AEG為等腰三

CG

角形時，請直接寫出此時的值．

AG

5.（2024四川德陽）已知O的半徑為5，B、C是O上兩定點，點