第14講平面直角坐標系與幾何圖形的綜合

【知識點睛】

?平面直角坐標系知識網絡系統圖

第四章平面直角坐標系知識網絡圖

i1y

問題一：問題五：若也)、

A8B(x2,y2)

坐標平面內點的坐標特征是什么？①AB的中點坐標公式是什么？

②AB的兩點間距離公式是什么？

第二象限第一象限

()()

問題二：0X

同一直線上各點的坐標特點是什么？

問題六：

確定一個點到X軸、y軸的距離的規律時什么？

第三象限第四象限

()()

問題七：

問題三：

坐標平面內不過則圖形面積的耒解方法是什么？

坐標平面內點的對稱規律是什么？

問題四：問題八：

坐標平面內點與圖形平移的規律是什么？坐標平面內的規律題

各問題歸納總結

若點4(匹，％)、B(xv乂)、。(。，b)

問題一：若點P在x軸上，則b=0；若點P在y軸上，則a=0；

若點P在第一象限，則a>0,b>0；若點P在第二象限，則a<0,b>0；

若點P在第三象限，則a<0,b<0；若點P在第四象限，則a>0,b<0；

問題二：若點A、B在同一水平線上，則%=乃；若點A、B在同一豎直線上，則X1=X2；

若點P在第一、三象限角平分線上，則。=A;若點P在第二四象限角平分線上，則。=-6;

問題三：點尸(。，。關于x軸對稱的點Pi坐標為雙m-。)；

點P(a，關于y軸對稱的點入坐標為鳥(一小

點P(a，關于原點對稱的點P3坐標為舄(-。，-乃；

問題四：點的平移口訣“左減右加，上加下減”；

問題五：線段AB的中點公式：旦，&±21

I22

若點A、B在同一水平線上，則AB=k-xJ；若點A、B在同一豎直線上，則AB=|M-%|；

若點A、B所在直線是傾斜的，則AB=A8=,（匹—/y+（%—%y（兩點間距離公式）

問題六：點尸（。，。到x軸的距離=出|；點P（a,到y軸的距離=|a|；

問題七：割補法，優先分割，然后才是補全

問題八：周期型：①判斷周期數（一般3到4個）；

②總數+周期數=整周期……余數（余數是誰就和每周期的第幾個規律一樣）

注意橫縱坐標的規律可能不同。

【類題訓練】

1.如圖，A（8,0）,B（0,6）,以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于點2,

則點C的坐標為（）

A.（10,0）B.（0,10）C.（-2,0）D.（0,-2）

2.在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-1,3）,點B的坐標為（5,3）,則線段42上

任意一點的坐標可表示為（）

A.(3,x)(-1WXW5)B.(x,3)(-1WXW5)

C.(3,尤)(-5Wx(l)D.(尤,3)(-5WxWl)

3.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC//x^,下列說法中正確的是（）

A.點A與點。的縱坐標相同B.點A與點B的橫坐標相同

C.點A與點C的縱坐標相同D.點8與點￡)的橫坐標相同

4.如圖，已知/AO8=30°,ZAOC=6Q°,ZAOD=9Q°,ZAO￡=120°,ZAOF=150°,

若點B可表示為點2(2,30),點C可表示為點C(l,60),點E可表示為點E(3,120),

點尸可表示為點F(4,150),點8可表示為點8(2,30),則。點可表示為()

5.在平面直角坐標系中，若A(%+3,%-1),B(1-/77,3-機)，且直線A8〃x軸，則機

的值是()

A.-1B.1C.2D.3

6.如圖，在平面直角坐標系中，半徑均為1個單位長度的半圓組成一條平滑的曲線，點尸

從原點O出發，沿這條曲線向右運動，速度為每秒三個單位長度，則第2022秒時，點

2

A.(2021,0)B.(2022,-1)C.(2021,-1)D.(2022,0)

7.如圖，在平面直角坐標系中，點A(1,1),B(3,1),C(3,3),D(1,3),動點P

從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB-BC-CO-ZM-AB-…路線運動，當

運動到2022秒時，點P的坐標為()

}'A

4^C

0123

A.(1,1)B.(3,1)C.(3,3)D.(1,3)

8.如圖，在平面直角坐標系中，三角形48c三個頂點A、B、C的坐標A(0,4),B(-1,

b),C(2,c),8C經過原點。，且CDJ_A8,垂足為點Q,則的值為()

A.10B.11C.12D.14

9.如圖，在平面直角坐標系中，A,B,C三點坐標分別為(0,a),(0,3-a),(1,2),

且點A在點2的下方，連接AC,BC,若在AB,BC,AC若所圍成區域內(含邊界),

橫坐標和縱坐標都為整數的點的個數為5個，那么。的取值范圍是()

TWaWlC.lWa<2D.0<aWl

10.如圖，在平面直角坐標系中，0ABe是正方形，點A的坐標是(4,0),點尸為邊

上一點，/CPB=60°,沿CP折疊正方形，折疊后，點B落在平面內點2'處，則8,

A.(2,2?)B.(2,2-e)C.(2,4-273)D.(旦，4-273)

22

11.如圖，在無軸，y軸上分別截取04OB,使。4=。8,再分別以點A,8為圓心，以

大于LAB長為半徑畫弧，兩弧交于點P.若點P的坐標為(a,2a-3),則a的值為.

2

12.如圖，△ABC中，點A的坐標為(0,1),點C的坐標為(4,3),如果要使與

△ABC全等，那么點。的坐標是.

13.教材上曾讓同學們探索過線段的中點坐標：在平面直角坐標系中，有兩點A(xi,yi)、

B(X2,V2),所連線段AB的中點是M,則〃的坐標為(“/絲,,工+絲),如：點A

22

(1,2)、點2(3,6),則線段AB的中點M的坐標為(*3,空_),即M(2,4).利

22

用以上結論解決問題：平面直角坐標系中，若a),F(b,a-b),線段EF的

中點G恰好位于y軸上，且到無軸的距離是1,則4a+b的值等于.

14.在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P(尤1,yi)與尸2(%2,”)的“非常距離”

給出如下定義：若|xi-X2|2|yi-泗,則點P1與點尸2的"非常距離"為|xi-尤2|;若|xi-

X2|<|J1-J2|,則點P與點尸2的''非常距離"為M-"I，例如：點尸1(1,2),點尸2(3,

5),因為|1-3|<|2-5|,所以點Pi與點P2的“非常距離”為|2-5|=3,也就是圖中線段

尸1。與線段P2Q長度的較大值(點。為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線尸2。

的交點).已知點A(4，0)，8為y軸上的一個動點.

(1)若點A與點8的“非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點B的坐標；

(2)直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值

15.如圖，在平面直角坐標系中，已知三點的坐標分別為A(0,4),B(2,0),C(2,5),

連接A3,AC,BC.

(1)求AC,AB的長；

(2)NCAB是直角嗎？請說明理由.

16.對于某些三角形或四邊形，我們可以直接用面積公式或者用割補法來求它們的面積.下

面我們再研究一種求某些三角形或四邊形面積的新方法:

如圖1,2所示，分別過三角形或四邊形的頂點A,C作水平線的鉛垂線/1,12,11,/2之

間的距離d叫做水平寬；如圖1所示，過點B作水平線的鉛垂線交AC于點D,稱線段

BD的長叫做這個三角形的鉛垂高；如圖2所示，分別過四邊形的頂點B,D作水平線13,

14,13,/4之間的距離/Z叫做四邊形的鉛垂高.

【結論提煉】

容易證明：”三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半"，即"s=Lih”

【結論應用】

為了便于計算水平寬和鉛垂高，我們不妨借助平面直角坐標系.

已知：如圖3,點A(-5,2),B(5,0),C(0,5),貝1「△ABC的水平寬為10,鉛垂

三角形的面積可以用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”來求，那四邊形的面積是不是也可

以這樣求呢？帶著這個問題，我們進行如下探索：

(1)在圖4所示的平面直角坐標系中，取A(-4,2),B(1,5),C(4,1),。(-2,

-4)四個點，得到四邊形ABCD運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進行計算得到四

邊形A8CD面積的大小是；用其它的方法進行計算得到其面積的大小是,

由此發現：用liS=ldh),這一方法對求圖4中四邊形的面積.(填“適合”或“不

2

適合”)

(2)在圖5所示的平面直角坐標系中，取A(-5,2),B(1,5),C(4,2),D(-2,

-3)四個點，得到了四邊形ABCD運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進行計算得到

四邊形A8C。面積的大小是，用其它的方法進行計算得到面積的大小是,

由此發現：用“S=Lh”這一方法對求圖5中四邊形的面積.(“適合”或“不

2

適合”)

(3)在圖6所示的平面直角坐標系中，取A(-4,2),B(1,5),C(5,1),。-1,

-5)四個點，得到了四邊形ABCD.通過計算發現：用“S=、dh”這一方法對求圖6

2

中四邊形的面積.(填“適合”或“不適合”)

【歸納總結】我們經歷上面的探索過程，通過猜想、歸納，驗證，便可得到：當四邊形

滿足某些條件時，可以用“S=Lh”來求面積.那么，可以用“5=工防”來求面積的

22

四邊形應滿足的條件是：.

17.如圖所示，在平面直角坐標系中，P(2,2),

(1)點A在x的正半軸運動，點8在y的正半軸上，且抬=尸8,

①求證：PALPB-,

②求OA+OB的值；

(2)點A在x的正半軸運動，點B在y的負半軸上，且

③求OA-OB的值；

④點A的坐標為(8,0),求點2的坐標.

18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點8(1,0),點C(5,0),以BC為邊在x軸的上

方作正方形48CD,點M(-5,0),N(0,5).

(1)點A的坐標為;點D的坐標為；

(2)將正方形ABCZ)向左平移機個單位，得到正方形AB'CTJ,記正方形48。。與4

OMN重疊的區域(不含邊界)為W：

①當優=3時，區域內整點(橫，縱坐標都是整數)的個數為；

②若區域卬內恰好有3個整點，請直接寫出相的取值范圍.

19.類比學習是知識內化的有效途徑，認真讀題是正確審題的第一步：對于平面直角坐標系

xOy中的點P(a,b)