專題01平移與軸對稱

考點類型

考點1:利用平移性質求解

考點6：坐標系中的軸對稱求解

考點2：坐標系中的平移

考點7：坐標系中的軸對稱作圖

模塊五圖形的變換

考點3：平移的綜合

01講平移與軸對稱考點8：利用軸對稱求最值

考點4：軸對稱圖形識別

考點9：軸對稱的綜合問題

考點5：利用軸對稱性質求解

’知識一遍過

（-）圖形的平移

（1）定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離,這樣的圖形運動稱為平移.確定平移的兩

大要素是方向和距離.

（2）性質：

①經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等,對應線段平行（或在同一直線上）且相

笠,對應角相等.

②平移改變圖形的位置,不改變圖形的形狀和大小.

（二）圖形的軸對稱

（1）定義：

①軸對稱：兩個圖形沿著一條直線折疊后能夠互相重合，我們就說這兩個圖形是成軸對稱,這條直線叫做

對稱軸,兩個圖形中重合的點叫做對應點,重合的線段叫做對應線段.

②軸對稱圖形：如果一個圖形沿某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸

對稱圖形,這條直線叫做對稱軸.

（2）性質：

①成軸對稱的兩個圖形全笠，

②如果兩個圖形關于某條直線對稱.那么連接對應點的線段被對亞邈垂直平分，

③兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

考點一遍過

考點i：利用平移的性質求解

典例1:（2024上?廣東深圳?八年級深圳外國語學校校考期末）在《生活中的平移現(xiàn)象》的數(shù)學討論課上，

小明和小紅先將一塊三角板描邊得到AaBC,后沿著直尺BC方向平移3cm,再描邊得到△DEF,連接4D.如

圖，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)△ABC的周長為16cm,則四邊形4BFD的周長為（）

A.16cmB.22cmC.20cmD.24cm

【變式1］（2023下?廣東潮州?七年級校考期中）如圖，在△28C中，點/為乙4的平分線和48的平分線的交

點，48=4,AC=3,BC=2,將N&CB平移使其頂點與/重合，則圖中陰影部分的周長為（）

【變式2］（2023上?云南昭通?八年級校考階段練習）如圖，將AABC沿著點B到點C的方向平移到ADEF的

位置，平移距離為7,AB=13,DO=6,則圖中陰影部分的面積為（）

A.70B.48C.84D.96

【變式3］（2023上?河南南陽?九年級校考階段練習）如圖，將邊長為2cm的正方形ZBCD沿其對角線4C剪開，

再把AABC沿著4。方向平移，得到夕L，若兩個三角形重疊部分的面積為0.5cm2,則它移動的距離44

等于（）

12+V2c2±V2

AA.-cmB.------cmC.D.------cm

242

考點2:坐標系中的平移

典例2：（2023上?安徽滁州?八年級校考階段練習）在平面直角坐標系中，將點4（-1,0）先向左平移3個單位

長度，再向下平移2個單位長度得到點8,則點8的坐標是（）

A.（—2,2）B.（一2,—2）C.（—4,2）D.（一4,一2）

【變式1］（2023上?浙江紹興?八年級校考期中）如圖，正方形48CD中，AC,8。相交于點M為AC、B。的

中點），頂點A、B、C的坐標分別為（1,3）、（1,1）、（3,1）,規(guī)定“把正方形力BCD先沿x軸翻折，再向右平移

1個單位為一次變換"，則連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，點M的坐標為（）

A.（2023,2）B.（2024,-2）C.（2025,2）D.（2025,-2）

【變式2］（2023下?四川南充?七年級統(tǒng)考期末）如圖，第四象限正方形28CD,且4（a,b+3）,C（a+2,b）,

將正方形A8CD平移，使4C兩點分別落在兩條坐標軸上，則平移后點C的對應點的坐標是（）

A.(-2,0)或(0,-3)B.(2,0)或(0,-3)

C.(2,0)或(0,3)D.(一2,0)或(0,3)

【變式3](2023下?內蒙古呼倫貝爾?七年級統(tǒng)考期末)如圖，將線段4B平移后得到線段CD,已知點A和。

是對應點，點A、B、C、。的坐標分別為4(3,a),B(2,2),C[b,3),￡)(8,6),貝"a+b的值為()

A.8B.9C.12D.11

考點3:平移的綜合

典例3：(2023下?湖南長沙?七年級校考期中)在平面直角坐標系比Oy中，對于點PQ,y),若點Q的坐標為

(ax+y,x+ay),則稱點Q是點P的"a階華益點"(其中a為常數(shù)，且aK0).例如：點P(l,4)的"2階華益點”

為點Q(2X1+4,14-2x4),即點2的坐標為(6,9).

⑴若點P的坐標為(-1,5),求它的"3階華益點”的坐標；

(2)若點P(c+1,2c-1)先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到了點Pi，點B的"-3階華

益點"P2位于坐標軸上，求點22的坐標.

⑶已知4(2,0)、B(0,2),在第一象限內是否存在橫、縱坐標均為整數(shù)的點P(x,y),它的，1階華益點為正

整數(shù))”Q使得四邊形20BQ的面積為6?如果存在，請求出山的值和P點坐標；如果不存在，請說明理由.

【變式1］（2023上,重慶九龍坡?八年級重慶市育才中學校聯(lián)考開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，三

角形ABC三個頂點的坐標分別是力（一2,4）,8（-4,一1）,C（l,0）,若將三角形ABC平移后得到三角形

點4的對應點兒的坐標是（a,2）,點B的對應點2的坐標是（一1,6）.

⑴直接寫出a,b的值及點G的坐標，畫出平移后的三角形42G；

（2）若點。在x軸上，且三角形4CD的面積是三角形4/1G面積的2倍，求點。的坐標.

【變式2】（2023下?山東威海?八年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△力BC中，N71CB=90。，將AABC沿AB的方向平

移得到ADEF,連接CD,FB,CF.

備用圖

⑴當點。移至什么位里時，四邊形CDBF是菱形，并加以證明.

⑵在（1）的條件下，四邊形CDBF能否為正方形？若能，請說明理由；若不能，請給△ABC添加一個條件,

使四邊形CDBF為正方形，并寫出推理過程.

【變式3］（2023下?湖北?七年級統(tǒng)考期末）如圖，是由小正方形組成的7x7網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫

做格點，線段4B的兩個端點A,8都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖.（畫圖過程用虛線

表示，畫圖結果用實線表示）.

⑴請建立合適的平面直角坐標系，使A，8兩點的坐標分別是4（-1,-2）,B（3,0）；

（2）在（1）的條件下，平移線段48至IJCD,使A點的對應點為格點C（O,1）,8點的對應點為。點.

①請畫出線段CD,并寫出點。坐標；

②連接AC,AD,格點G（1,O）在4D上.請在線段CD上找點使得GMII4C；

③請在給定的網(wǎng)格內找格點使三角形與2CG的面積相等，則滿足條件的點〃有個.（點C

除外）

考點4：軸對稱圖形的識別

典例4：（2023上?河南安陽?九年級統(tǒng)考期末）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【變式1］（2023?湖南,九年級專題練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（)

【變式2］（2023上?河南商丘?七年級校考階段練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

【變式3］（2023上?湖北武漢,九年級校考階段練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

()

考點5：利用軸對稱性質求解

典例5：（2023上?河北滄州?八年級校考期中）如圖。，AABC和△AB'C'關于直線1對稱，下列結論：@^ABC=

△AB'C'；②ABAC'=AB'AC；③唾直平分CC'；④直線BC和B'C'的交點不一定在I上.其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【變式1］（2019下?山西太原?七年級統(tǒng)考期末）如圖，點A在直線/上，0ABe與△4B'C'關于直線/對稱,

連接BB',分別交AC,AC'于點Z）,D',連接CC，，下列結論不一定正確的是（）

C.BD=B'D'D.AD=DD'

【變式2］（2023上,湖北襄陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形A8CD沿直線/對折后重合，如果4D〃BC,

則結論①A8〃Cn；②AB=CD；（3）AB1BC；④4。=。。中正確的是（）

【變式3］（2023上?山東德州?八年級德州市第十中學校考期中）如圖，AABC中，。點在BC上，將D點分別

以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點E、F,并連接4E、AF,根據(jù)圖中標示的角度，NE4F的度數(shù)為（）

考點6:坐標系中的軸對稱求解

典例6：（2024上?河北石家莊?八年級統(tǒng)考期末）如圖在平面直角坐標系中，對△ABC進行循環(huán)往復的軸對稱

變換，若原來點A的坐標是（a,6）,則經(jīng)過第2019次變換后，所得A點的坐標是（）

【變式11(2024上?甘肅張掖?八年級校考期末)若點P(l,3)關于y軸的對稱點在一次函數(shù)y=(3k+2)%-1

的圖象上，則上的值為()

A.—2B.—2C.2D.-2

33

【變式2](2024上?甘肅白銀?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標系中，4(-2,1),5(3,4)-連接。4、

OB、AB,P是y軸上的一個動點，當IPB-P川取最大值時，點P的坐標為()

【變式3](2023上,江蘇常州?八年級校考階段練習)在平面直角坐標系久Oy中，點4(2,4)與點B(m,71)關于y

軸對稱，則m+n的值為()

A.6B.-6C.2D.-2

考點7:坐標系中的軸對稱作圖

典例7：(2024上?河北廊坊?八年級校聯(lián)考期末)如圖所示,在平面直角坐標系中，已知4(0,1),B(2,0),C(4,3).

⑴在平面直角坐標系中畫出△ABC,以及與aABC關于y軸對稱的ADEF；

(2)AABC的面積是；

⑶已知「為工軸上一點，若AABP的面積為4,求點P的坐標.

【變式1](2024上?云南昆明?八年級統(tǒng)考期末)如圖，△力8c三個頂點的坐標分別為4(1,1),8(4,2),C(3,4)

⑴請畫出△ABC關于y軸對稱的△?!/?,并寫出名的坐標；

⑵在x軸上存在一點P,使點P到4B兩點的距離之和最小，請直接寫出P點的坐標.

【變式2](2024上,江西上饒?八年級統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標系尤Oy中,4(-1,5),8(-1,0),C(-4,3).

⑴請畫出AABC關于y軸對稱的A&B1Q；（其中41，B「的分別是A,B,C的對應點，不寫畫法）

（2）直接寫出右，B],G三點的坐標：

&（，_____），51（_____，），Q（，）；

（3）AABC的面積=.

【變式3]（2024上,湖北鄂州?八年級統(tǒng)考期末）在如圖所示的6X6的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點4、B、C均

在格點上.

⑴探究一：如圖1,作出AABC關于直線機對稱的△4B￡二（不寫作法步驟，僅用無刻度直尺作圖，保留作

圖痕跡）；

（2）探究二：如圖2,在直線機上作一點P,使AACP的周長最小.（不寫作法步驟，僅用無刻度直尺作圖，保

留作圖痕跡）；

⑶探究三：如圖3,請嘗試運用構造全等三角形法，作出格點A/IBC邊2C上的高BE.（不寫作法步驟，僅用

無刻度直尺作圖，保留作圖痕跡）

考點8：利用軸對稱求最值

典例8：（2023上?江蘇蘇州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，P是長方形4BC。內部的動點，AB=4,BC=8,△PBC

的面積等于12,則點P到B、C兩點距離之和PB+PC的最小值為（）

【變式1]（2023上?安徽阜陽,八年級統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，ZC=90°,Z4=30°,AB=9,BD是

△48C的角平分線，點P、點N分別是線段BD和邊4C上的動點，點M在邊BC上，且=2,則PM+PN的

最小值是（）

A.3B.2V3C.V3D.3.5

【變式2]（2023上?安徽滁州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，菱形4BCD的邊長為4,且乙4=60°,DE18c于點

E,P為BD上一點,且APCE的周長最小，則APCE的周長的最小值為（）

A.V3+1B.2V7+2C.2V3+1D.2b+1

【變式3］（2023上,山東臨沂?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△力BC中，乙4cB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,

AD是NBAC的平分線.若P,。分別是4。和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）

A.1.2B.2.4C.2D.2.5

考點9:軸對稱的綜合問題

典例9：（2024上,江西上饒,八年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形ABC,=8,點E在等邊三角形力BC的

邊BCk,BE=5,射線CD18C,垂足為點C,點尸是射線CD上的一動點，點尸是線段4B上一動點，當EP+PF

的直最小時，求BF的值？

【變式1*2023上?黑龍江