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文檔簡介
專題01平移與軸對稱
考點類型
考點1:利用平移性質求解
考點6:坐標系中的軸對稱求解
考點2:坐標系中的平移
考點7:坐標系中的軸對稱作圖
模塊五圖形的變換
考點3:平移的綜合
01講平移與軸對稱考點8:利用軸對稱求最值
考點4:軸對稱圖形識別
考點9:軸對稱的綜合問題
考點5:利用軸對稱性質求解
’知識一遍過
(-)圖形的平移
(1)定義:在平面內,將一個圖形沿某個方向移動一定的距離,這樣的圖形運動稱為平移.確定平移的兩
大要素是方向和距離.
(2)性質:
①經過平移,對應點所連的線段平行(或在同一直線上)且相等,對應線段平行(或在同一直線上)且相
笠,對應角相等.
②平移改變圖形的位置,不改變圖形的形狀和大小.
(二)圖形的軸對稱
(1)定義:
①軸對稱:兩個圖形沿著一條直線折疊后能夠互相重合,我們就說這兩個圖形是成軸對稱,這條直線叫做
對稱軸,兩個圖形中重合的點叫做對應點,重合的線段叫做對應線段.
②軸對稱圖形:如果一個圖形沿某條直線對折后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個圖形就叫做軸
對稱圖形,這條直線叫做對稱軸.
(2)性質:
①成軸對稱的兩個圖形全笠,
②如果兩個圖形關于某條直線對稱.那么連接對應點的線段被對亞邈垂直平分,
③兩個圖形關于某直線對稱,如果它們的對應線段或延長線相交,那么交點在對稱軸上.
考點一遍過
考點i:利用平移的性質求解
典例1:(2024上?廣東深圳?八年級深圳外國語學校校考期末)在《生活中的平移現象》的數學討論課上,
小明和小紅先將一塊三角板描邊得到AaBC,后沿著直尺BC方向平移3cm,再描邊得到△DEF,連接4D.如
圖,經測量發現△ABC的周長為16cm,則四邊形4BFD的周長為()
A.16cmB.22cmC.20cmD.24cm
【變式1](2023下?廣東潮州?七年級校考期中)如圖,在△28C中,點/為乙4的平分線和48的平分線的交
點,48=4,AC=3,BC=2,將N&CB平移使其頂點與/重合,則圖中陰影部分的周長為()
【變式2](2023上?云南昭通?八年級校考階段練習)如圖,將AABC沿著點B到點C的方向平移到ADEF的
位置,平移距離為7,AB=13,DO=6,則圖中陰影部分的面積為()
A.70B.48C.84D.96
【變式3](2023上?河南南陽?九年級校考階段練習)如圖,將邊長為2cm的正方形ZBCD沿其對角線4C剪開,
再把AABC沿著4。方向平移,得到夕L,若兩個三角形重疊部分的面積為0.5cm2,則它移動的距離44
等于()
12+V2c2±V2
AA.-cmB.------cmC.D.------cm
242
考點2:坐標系中的平移
典例2:(2023上?安徽滁州?八年級校考階段練習)在平面直角坐標系中,將點4(-1,0)先向左平移3個單位
長度,再向下平移2個單位長度得到點8,則點8的坐標是()
A.(—2,2)B.(一2,—2)C.(—4,2)D.(一4,一2)
【變式1](2023上?浙江紹興?八年級校考期中)如圖,正方形48CD中,AC,8。相交于點M為AC、B。的
中點),頂點A、B、C的坐標分別為(1,3)、(1,1)、(3,1),規定“把正方形力BCD先沿x軸翻折,再向右平移
1個單位為一次變換",則連續經過2023次變換后,點M的坐標為()
A.(2023,2)B.(2024,-2)C.(2025,2)D.(2025,-2)
【變式2](2023下?四川南充?七年級統考期末)如圖,第四象限正方形28CD,且4(a,b+3),C(a+2,b),
將正方形A8CD平移,使4C兩點分別落在兩條坐標軸上,則平移后點C的對應點的坐標是()
A.(-2,0)或(0,-3)B.(2,0)或(0,-3)
C.(2,0)或(0,3)D.(一2,0)或(0,3)
【變式3](2023下?內蒙古呼倫貝爾?七年級統考期末)如圖,將線段4B平移后得到線段CD,已知點A和。
是對應點,點A、B、C、。的坐標分別為4(3,a),B(2,2),C[b,3),£)(8,6),貝"a+b的值為()
A.8B.9C.12D.11
考點3:平移的綜合
典例3:(2023下?湖南長沙?七年級校考期中)在平面直角坐標系比Oy中,對于點PQ,y),若點Q的坐標為
(ax+y,x+ay),則稱點Q是點P的"a階華益點"(其中a為常數,且aK0).例如:點P(l,4)的"2階華益點”
為點Q(2X1+4,14-2x4),即點2的坐標為(6,9).
⑴若點P的坐標為(-1,5),求它的"3階華益點”的坐標;
(2)若點P(c+1,2c-1)先向左平移2個單位長度,再向上平移1個單位長度后得到了點Pi,點B的"-3階華
益點"P2位于坐標軸上,求點22的坐標.
⑶已知4(2,0)、B(0,2),在第一象限內是否存在橫、縱坐標均為整數的點P(x,y),它的,1階華益點為正
整數)”Q使得四邊形20BQ的面積為6?如果存在,請求出山的值和P點坐標;如果不存在,請說明理由.
【變式1](2023上,重慶九龍坡?八年級重慶市育才中學校聯考開學考試)如圖,在平面直角坐標系中,三
角形ABC三個頂點的坐標分別是力(一2,4),8(-4,一1),C(l,0),若將三角形ABC平移后得到三角形
點4的對應點兒的坐標是(a,2),點B的對應點2的坐標是(一1,6).
⑴直接寫出a,b的值及點G的坐標,畫出平移后的三角形42G;
(2)若點。在x軸上,且三角形4CD的面積是三角形4/1G面積的2倍,求點。的坐標.
【變式2】(2023下?山東威海?八年級統考期末)如圖,Rt△力BC中,N71CB=90。,將AABC沿AB的方向平
移得到ADEF,連接CD,FB,CF.
備用圖
⑴當點。移至什么位里時,四邊形CDBF是菱形,并加以證明.
⑵在(1)的條件下,四邊形CDBF能否為正方形?若能,請說明理由;若不能,請給△ABC添加一個條件,
使四邊形CDBF為正方形,并寫出推理過程.
【變式3](2023下?湖北?七年級統考期末)如圖,是由小正方形組成的7x7網格,每個小正方形的頂點叫
做格點,線段4B的兩個端點A,8都是格點,僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖.(畫圖過程用虛線
表示,畫圖結果用實線表示).
⑴請建立合適的平面直角坐標系,使A,8兩點的坐標分別是4(-1,-2),B(3,0);
(2)在(1)的條件下,平移線段48至IJCD,使A點的對應點為格點C(O,1),8點的對應點為。點.
①請畫出線段CD,并寫出點。坐標;
②連接AC,AD,格點G(1,O)在4D上.請在線段CD上找點使得GMII4C;
③請在給定的網格內找格點使三角形與2CG的面積相等,則滿足條件的點〃有個.(點C
除外)
考點4:軸對稱圖形的識別
典例4:(2023上?河南安陽?九年級統考期末)下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()
A.B.C.D.
【變式1](2023?湖南,九年級專題練習)下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()
【變式2](2023上?河南商丘?七年級校考階段練習)下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是
【變式3](2023上?湖北武漢,九年級校考階段練習)下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是
()
考點5:利用軸對稱性質求解
典例5:(2023上?河北滄州?八年級校考期中)如圖。,AABC和△AB'C'關于直線1對稱,下列結論:@^ABC=
△AB'C';②ABAC'=AB'AC;③唾直平分CC';④直線BC和B'C'的交點不一定在I上.其中正確的有()
A.4個B.3個C.2個D.1個
【變式1](2019下?山西太原?七年級統考期末)如圖,點A在直線/上,0ABe與△4B'C'關于直線/對稱,
連接BB',分別交AC,AC'于點Z),D',連接CC,,下列結論不一定正確的是()
C.BD=B'D'D.AD=DD'
【變式2](2023上,湖北襄陽?八年級統考期末)如圖,四邊形A8CD沿直線/對折后重合,如果4D〃BC,
則結論①A8〃Cn;②AB=CD;(3)AB1BC;④4。=。。中正確的是()
【變式3](2023上?山東德州?八年級德州市第十中學校考期中)如圖,AABC中,。點在BC上,將D點分別
以AB、AC為對稱軸,畫出對稱點E、F,并連接4E、AF,根據圖中標示的角度,NE4F的度數為()
考點6:坐標系中的軸對稱求解
典例6:(2024上?河北石家莊?八年級統考期末)如圖在平面直角坐標系中,對△ABC進行循環往復的軸對稱
變換,若原來點A的坐標是(a,6),則經過第2019次變換后,所得A點的坐標是()
【變式11(2024上?甘肅張掖?八年級校考期末)若點P(l,3)關于y軸的對稱點在一次函數y=(3k+2)%-1
的圖象上,則上的值為()
A.—2B.—2C.2D.-2
33
【變式2](2024上?甘肅白銀?八年級統考期末)如圖,在平面直角坐標系中,4(-2,1),5(3,4)-連接。4、
OB、AB,P是y軸上的一個動點,當IPB-P川取最大值時,點P的坐標為()
【變式3](2023上,江蘇常州?八年級校考階段練習)在平面直角坐標系久Oy中,點4(2,4)與點B(m,71)關于y
軸對稱,則m+n的值為()
A.6B.-6C.2D.-2
考點7:坐標系中的軸對稱作圖
典例7:(2024上?河北廊坊?八年級校聯考期末)如圖所示,在平面直角坐標系中,已知4(0,1),B(2,0),C(4,3).
⑴在平面直角坐標系中畫出△ABC,以及與aABC關于y軸對稱的ADEF;
(2)AABC的面積是;
⑶已知「為工軸上一點,若AABP的面積為4,求點P的坐標.
【變式1](2024上?云南昆明?八年級統考期末)如圖,△力8c三個頂點的坐標分別為4(1,1),8(4,2),C(3,4)
⑴請畫出△ABC關于y軸對稱的△?!/?,并寫出名的坐標;
⑵在x軸上存在一點P,使點P到4B兩點的距離之和最小,請直接寫出P點的坐標.
【變式2](2024上,江西上饒?八年級統考期末)如圖,在平面直角坐標系尤Oy中,4(-1,5),8(-1,0),C(-4,3).
⑴請畫出AABC關于y軸對稱的A&B1Q;(其中41,B「的分別是A,B,C的對應點,不寫畫法)
(2)直接寫出右,B],G三點的坐標:
&(,_____),51(_____,),Q(,);
(3)AABC的面積=.
【變式3](2024上,湖北鄂州?八年級統考期末)在如圖所示的6X6的網格中,△ABC的三個頂點4、B、C均
在格點上.
⑴探究一:如圖1,作出AABC關于直線機對稱的△4B£二(不寫作法步驟,僅用無刻度直尺作圖,保留作
圖痕跡);
(2)探究二:如圖2,在直線機上作一點P,使AACP的周長最小.(不寫作法步驟,僅用無刻度直尺作圖,保
留作圖痕跡);
⑶探究三:如圖3,請嘗試運用構造全等三角形法,作出格點A/IBC邊2C上的高BE.(不寫作法步驟,僅用
無刻度直尺作圖,保留作圖痕跡)
考點8:利用軸對稱求最值
典例8:(2023上?江蘇蘇州?八年級統考期中)如圖,P是長方形4BC。內部的動點,AB=4,BC=8,△PBC
的面積等于12,則點P到B、C兩點距離之和PB+PC的最小值為()
【變式1](2023上?安徽阜陽,八年級統考期末)如圖,在AABC中,ZC=90°,Z4=30°,AB=9,BD是
△48C的角平分線,點P、點N分別是線段BD和邊4C上的動點,點M在邊BC上,且=2,則PM+PN的
最小值是()
A.3B.2V3C.V3D.3.5
【變式2](2023上?安徽滁州?九年級校聯考期中)如圖,菱形4BCD的邊長為4,且乙4=60°,DE18c于點
E,P為BD上一點,且APCE的周長最小,則APCE的周長的最小值為()
A.V3+1B.2V7+2C.2V3+1D.2b+1
【變式3](2023上,山東臨沂?八年級統考期中)如圖,在Rt△力BC中,乙4cB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,
AD是NBAC的平分線.若P,。分別是4。和AC上的動點,則PC+PQ的最小值是()
A.1.2B.2.4C.2D.2.5
考點9:軸對稱的綜合問題
典例9:(2024上,江西上饒,八年級統考期末)如圖,等邊三角形ABC,=8,點E在等邊三角形力BC的
邊BCk,BE=5,射線CD18C,垂足為點C,點尸是射線CD上的一動點,點尸是線段4B上一動點,當EP+PF
的直最小時,求BF的值?
【變式1*2023上?黑龍江
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