專題28網格中的三角函數（基礎）

一.選擇題

1.如圖所示的正方形網格中有Na,貝！Jtana的值為（）

2V5

D.2

2.如圖，在正方形網格紙中，△ABC的三個頂點都在格點上,則tanNBAC的值是（)

3

D.-

5

3.如圖，在5X4的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1,AABC的頂點都在這些小正方形的頂點上,

34

C.D.

55

4.如圖，A,B,。是3義1的正方形網格中的三個格點，貝UtanB的值為（）

5.如圖，△A8C的頂點都在正方形網格的格點上，則cosNBAC的值為（)

6.如圖，在8X4的正方形網格中，若△ABC的三個頂點在圖中相應的格點上，則tan/ACB的值為（）

7.如圖，在5X4的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1,AABC的頂點都在這些小正方形的頂點上,

34

C.D.

55

8.如圖所示的網格是正方形網格，點A,B,C都在格點上，則tan/BAC的值為（

9.△A3C在正方形網格中的位置如圖所示，則cosa的值是（）

44

C.D.

53

10.如圖，邊長為1的小正方形構成的網格中，OO半徑為1,圓心。在格點上，則tan/AE。)

11.在正方形網格中，△ABC如圖放置，點A,B,C都在格點上，貝Usin/BAC的值為（）

二.填空題

12.如圖所示的網格是正方形網格，貝l]tana+tanB=

13.如圖，邊長為1的小正方形網格中，點A,B,C,D,E均在格點上，半徑為2的OA與8C交于點F,

14.三角形在正方形網格紙中的位置如圖所示，貝Isina的值是

15.如圖所示的網格是正方形網格，貝UNAOBZCOD.（填“>”或“<”）

16.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，點A、B、C、。都在這些小正方形的頂點上，AB,CD

都交于0,則sin/AOD=.

17.如圖，在正方形網格中，cos/ACB=

18.如圖，點A,B,C均在正方形網格點上，貝UtanC=

B

19.如圖，在3X3的正方形網格中有一個四邊形A8C。，若小正方形的邊長為1,則sin/AOB+cos/DBC

20.已知a,0為銳角，tana=:，tan0=2,利用如圖所示的網格計算tan（a邛）的值為

三.解答題

21.如圖，在正方形網格中每個小正方形的邊長均為bAABC的各個頂點都在正方形的頂點上，計算sinA,

cosA,tanA與sinB,cosB,tanB的值.

22.網格中的每個小正方形的邊長都是1,△ABC每個頂點都在網格的交點處,

(1)則△ABC的面積為

(2)試求sinA的值.

23.如圖，△A8C的頂點是邊長為1的正方形網格的格點,

(1)直接寫出cosB和tan(ZACB-90°)的值；

(2)求sinA的值.

24.【問題背景】如圖1,在邊長為1的正方形網格中，連接格點48和C、D,A8和CD相交于點尸，求

tan/CPB的值.小馬同學是這樣解決的：連接格點8、E可得BE〃CZ),則連接AE,

那么/CPB就變換到RtAABE中.貝！Jtan/CPB的值為.

【探索延伸】如圖2,在邊長為1的正方形網格中，AB和C￡＞相交于點尸，求sin/AP。的值.

25.如圖，邊長為5km的正方形網格表示海平面示意圖，其中陰影部分表示輪船無法通過的海域，甲輪船

從A碼頭出發沿北偏東45°方向以10切1///的速度行駛20a切1到C地.休息半小時后，再以同樣速度

沿正東方向行駛15km,然后沿西北方向行駛10匹的1到達8島.

(1)在圖中畫出甲輪船行駛的示意圖；

(2)乙輪船比甲輪船從A碼頭晚出發2/z,并以15切〃/7的速度行駛，途中不休息，問：乙輪船能否先于

甲輪船到達2島？若能，畫出乙輪船航線示意圖并說明理由；若不能，請說出為什么.

B

專題28網格中的三角函數（基礎）

一.選擇題

1.如圖所示的正方形網格中有Na,貝I]tana的值為（）

【分析】利用網格特點，構建Rt^ACB,然后利用正切的定義求解.

AD1

【解答】解:如圖，在RtzMCB中，tana=^=*.

【點評】本題考查了解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.靈

活應用勾股定理和銳角三角函數.

2.如圖，在正方形網格紙中，△ABC的三個頂點都在格點上，貝han/BAC的值是（）

【分析】利用網格特點得到/A8C=90°,然后利用正切的定義求解.

【解答】解：VZABC=90°,AB=3,BC=4,

4

/.tanZBAC=2.

故選：C.

【點評】本題考查了解直角三角形:在直角三角形中，由己知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.合

理使用勾股定理和銳角三角函數的定義是解決問題的關鍵.

3.如圖，在5義4的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1,AABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，

則cos/氏4c的值為（)

A

【分析】過點C作CDLAB于點。，根據勾股定理可求出AC,然后根據銳角三角函數的定義即可求出

答案.

【解答】解：過點C作CDLAB于點D,

"：AD=3,CD=4,

由勾股定理可知：AC=5,

/.cosZBAC=祟=

故選：C.

【點評】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練運用勾股定理以及銳角三角函數的定義，本題屬于

基礎題型.

4.如圖，A,B,C是3X1的正方形網格中的三個格點，則tanB的值為（）

BC

1V5275

A.-B.—C.-----

255

【分析】根據銳角三角函數的定義，直接計算得結論.

【解答】解：如圖所示，在中，

AD1

tann8=前=才

故選：A.

【點評】本題考查了銳角三角函數.題目比較簡單，掌握正切函數的定義是解決本題的關鍵.

5.如圖，△ABC的頂點都在正方形網格的格點上，貝Ucos/BAC的值為（）

【分析】根據銳角三角函數的定義即可求出答案.

【解答】解：過8作交AC的延長線于”,

：.AB=y/AH2+BH2=V32+42=5,AH=3,

AUQ

cosXBAC=彳^=耳，

故選：C.

B

AcH

【點評】本題考查銳角三角函數，解題的關鍵是熟練運用銳角三角函數的定義，本題屬于基礎題型.

6.如圖，在8X4的正方形網格中，若△ABC的三個頂點在圖中相應的格點上，則tanZACB的值為（）

【分析】作A8LCB，交C2延長線于71點，NACB的正切值是與C8的比值.

【解答】解：如圖，作交CB延長線于“點，

故選：A.

【點評】本題主要考查正切值的求法，解題的關鍵是構造直角三角形.

7.如圖，在5X4的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1,AABC的頂點都在這些小正方形的頂點上,

貝！IsinNBAC的值為（）

【分析】過C作COLAB于￡）,首先根據勾股定理求出AC,然后在RtZ\ACD中即可求出sin/A4c的

值.

【解答】解：如圖，過C作于。，則/A￡>C=90°,

：.AC=VXD2+CD2=V32+42=5.

CD4

sinZBAC=

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理的運用以及銳角三角函數，正確作出輔助線是解題的關鍵.

8.如圖所示的網格是正方形網格，點A,B,C都在格點上，貝Utan/A4c的值為（）

【分析】連接BC,先根據勾股定理求出AC?、B&AB2,由勾股定理的逆定理可判斷aABC是直角三

角形，然后根據銳角三角函數的定義即可求出答案.

【解答】解：如圖，連接8C.

根據勾股定理可得AC2=22+22=8,

BC2=12+12=2,

AB2=l2+32=10,

:.AC2+BC2=AB2,

???△ABC是直角三角形，ZACB=90°,

?./口yBC^21

'-tanZBAC=AC=^=2-

故選：B.

【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，判斷△ABC是直角三角形是解題的關鍵.

9.△A8C在正方形網格中的位置如圖所示，則cosa的值是（）

【分析】根據銳角三角函數的定義得出cosa=器進而求出即可.

【解答】解：如圖所示：：4。=3,CD=4,

：.AC=5

4

.CD--

..cosa=才下5

故選：C.

【點評】此題主要考查了銳角三角函數的定義以及勾股定理，正確構造直角三角形是解題關鍵.

10.如圖，邊長為1的小正方形構成的網格中，。。半徑為1,圓心。在格點上，則tan/AED=

V21

A.1B.—C.一D,

223

【分析】根據銳角三角函數的定義求出tanNABC,根據圓周角定理得到NABC,得到答案.

【解答】解：?.?AC=1,AB=2,

tanXABC=器=

由圓周角定理得，NAED=NABC,

1

tanXAED—彳

故選：C.

【點評】本題考查的是銳角三角函數的定義、圓周角定理的應用，掌握銳角A的對邊。與鄰邊6的比叫

做NA的正切是解題的關鍵.

)

【分析】在直角△ABC中，首先利用勾股定理求得的長，然后根據正弦的定義求解.

【解答】解：AB=>JAC2+BC2=V32+33=3魚,

則sin/ZMC嚼=貴=孝’

故選：C.

【點評】本題考查銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰

邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

二.填空題

12.如圖所示的網格是正方形網格，則tana+tanB=4

【分析】根據題意和圖形，可以計算出tana+tanB的值，本題得以解決.

【解答】解：由圖可得，

ACAC22

tana+tanp=近+而=耳+j=1+3=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數解答.

13.如圖，邊長為1的小正方形網格中，點A,B,C,D,E均在格點上，半徑為2的OA與8C交于點R

1

則tanZ￡>￡F=".

【分析】根據圓周角定理得出進而得出tanNDEF=tan/Z)BC,求出答案即可.

【解答】解：由題意可得：NDBC=NDEF,

nri

貝Utan/D￡P=tanN￡)BC=蔚=本

故答案為：

【點評】此題主要考查了銳角三角函數的定義，正確得出tan/Z)EF=tan/Z)BC是解題關鍵.

3

14.三角形在正方形網格紙中的位置如圖所示，則sina的值是g.

【分析】根據銳角三角函數的定義即可求出即可.

【解答】解：如圖所示：：AC=3,BC=4,

：.AB=5,

..AC3

??sma=TB=F.

3

故答案為：-.

【點評】此題主要考查了銳角三角函數的定義以及勾股定理，正確構造直角三角形是解題關鍵.

15.如圖所示的網格是正方形網格，則/A08=/COD.（填“>”，"=”或“<”）

【分析】根據tanZAOB與tanZCOD的大小比較即可求解.

【解答】解：根據題意可知tan/AOB=2,tan/COO=2,

/.ZAOB=ZCOD,

故答案為：=

【點評】本題考查了銳角三角函數的增減性，構建直角三角形求角的三角函數值進行判斷，熟練掌握銳

角三角函數的增減性是關鍵.

16.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，點A、B、C、。都在這些小正方形的頂點上，AB,CD

2l~E

都交于O,則sinZAOD=—^―.

【分析】直接利用網格結合銳角三角函數關系得出sin/AOO=sin/ABE,即可得出答案.

【解答】解：由網格可得：AAEB是RtA,AE=2V2,AB=710,

DC//BE,且/AOD=/ABE,

=

sin^.A.OD—sin^A.BE~r~n=)—=~F~?

AB7105

故答案為：—

【點評】此題主要考查了解直角三角形，得出sin/A0r>=sinNA8E是解題關鍵.

V5

17.如圖，在正方形網格中，cos/ACB=工.

【分析】過點B作8OLAC,垂足為點。，在RtzXBC。中，利用勾股定理可求出BC的長，結合余弦的

定義可求出cos/ACB的值，此題得解.

【解答】解：過點B作BCAC,垂足為點。，如圖所示.

在RtZ\BC￡)中，CD=1,BD=2,

：.BC=VBD2+CD2=V5,

cosXACB—

V5

故答案為：—.

【點評】本題考查了解直角三角形，牢記余弦的定義是解題的關鍵.

【分析】連接A。，如圖，利用網格特點得到乙M>C=90。，CD=2AD,然后根據正切的定義求解.

【解答】解：連接A。，如圖,

易得NAr)C=90°,

而CD=2AZ)?

g、iAD1

所以tanC=而=g

,,一?,1

故答案為3

【點評】本題考查了解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.解

決此題的關鍵是靈活運用勾股定理和銳角三角函數的定義.

19.如圖，在3X3的正方形網格中有一個四邊形ABCD若小正方形的邊長為1,則sin/ADB+cos/DBC

【解答】解：如圖，AD=sjAE2+DE2=Vl2+22=V5,BC=VBF2+CF2=V22+22=2近.

..AE1V5BF242

,?sinZAZ)B=而=而=虧'cosN08C=反=荻=亍

B

【點評】本題考查了解直角三角形，勾股定理.熟練掌握銳角三角形函數定義即可解答，屬于基礎題型.

20.已知a,0為銳角，tana=tan0=2,利用如圖所示的網格計算tan(a+p)的值為3

【分析】根據正切函數是對邊比鄰邊，可得答案.

【解答】解:如圖，tana=.，tan[3=2,

tan(a+p)=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了解直角三角形，在直角三角形中，正切函數是對邊比鄰邊，畫圖準確是解題關鍵.

三.解答題

21.如圖，在正方形網格中每個小正方形的邊長均為1,AABC的各個頂點都在正方形的頂點上，計算sinA,

【分析】根據正方形網格中每個小正方形的邊長均為1,可以求得邊A3、AC、2C的長，然后即可得到

得到CD的長，從而可以求得NsinA,cosA,tanA與sinB,cosB,tanB的值..

【解答】解：：在正方形網格中每個小正方形的邊長均為1,

：.AC=712+22=V5,BC=Vl2+32=VlO,AB=V32+42=V25=5,

.ABCD_4x13x14x3

??-2-=4X32227)

解得，CD=1,

22

：.AD=J(V5)-l=2,BD=J(VW-12=3,

...CD1&,22日+.1

??s1nA=*=西=虧'cosA=忑=丁，tanA=2，

.01同R33/10,R

sinB=7To=W->COSB=7TO=^TANB=

即sinA=浸cosA=羋，tanA=sinB=~■，cosB=tanB=

JJ乙.LJLU。

B

C1

/

A

A

【點評】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是根據題意求出各邊的長，然后求出各角的余弦值.

22.網格中的每個小正方形的邊長都是1,△ABC每個頂點都在網格的交點處，

（1）則△A8C的面積為6；

【分析】（1）根據三角形的面積=正方形的面積-三個角上三角形的面積即可得出結論.

（2）作出AB邊的高CE,根據面積相等求出CE,根據正弦是角的對邊比斜邊，可得答案.

111

【解答】解：(1)SAABC=4X4-1X4X2-1X2X2-^X2X4

=16-4-2-4

=6.

故答案為6.

(2)CE±ABE,

由勾股定理得42=AC=2?,

1

\'-AB'CE^6,

2

,CE~2x6—9

2遮一5Ag’

.人CE研3

‘榜=衣=泰=寧

A

【點評】本題考查勾股定理、銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊,

余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

23.如圖，△ABC的頂點是邊長為1的正方形網格的格點,

(1)直接寫出cosB和tan(ZACB-90°)的值；

(2)求sinA的值.

【分析】利用網格構造直角三角形，根據銳角三角函數的定義解答.

【解答】解：(1)如圖，過點A作APLBC于RAELCE于E.

在直角AABF中，cosB=黑=最?=孝；

Ap1

在直角中，tan(ZACB-90°)=tan/ACE=釜=京

(2)如圖，過點C作CD_L4B于。，

11

■:SAABC=^CDXAB=扣CXAF,

：.CDXAB=BCXAFf

AC￡>X3V2=2X3,

/.CD=V2,

在RtZXADC中，sinA=^=叁=電.

力6V105

【點評】本題考查了銳角三角函數的定義和勾股定理，作出輔助線并利用網格構造直角三角形是解題的

關鍵.

24.【問題背景】如圖1,在邊長為1的正方形網格中，連接格點48和C、D,A8和CD相交于點P,求

tan/CP3的值.小馬同學是這樣解決的：連接格點8、E可得BE〃CD,則連接AE,

那么/CPB就變換到RlAABE中.貝I]tan/CPB的值為3.

【探索延伸】如圖2,在邊長為1的正方形網格中，AB和相交于點尸，求sin/AP。的值.

【分析】(1)在Rt^ABE中，利用正切函數的定義求出tan/ABE即可.

(2)如圖2,連接CE,OE,作。M_LCE于先證明四邊形ABCE是平行四邊形，得出CE〃4B,那

11

么NAPD=NECD.利用割補法求出△EC。的面積=今，

由勾股定理求出C￡=V17,那么根據三角形的面積公式得出。衛妥，然后利用正弦函數定義求出

sinZECZ)即可.

【解答】解：(1)如圖1,

■:BE//CD,

：.NABE=/CPB,

tanZABE=tanZCPB,

VZAEB=90°,

tanZCPB=tanZABE=普=警=3,