專(zhuān)題31圓的基本性質(zhì)【二十個(gè)題型】

?題型梳理

【題型1圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算】.............................................................1

【題型2圓中的角度、線段長(zhǎng)度計(jì)算1.........................................................................................3

【題型3求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值】........................................................5

【題型4利用垂徑定理結(jié)合全等、相似綜合求解】................................................6

【題型5在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)】..................................................7

【題型6垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用】............................................................8

【題型7垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】................................................................10

【題型8利用垂徑定理求取值范圍】...........................................................12

【題型9利用弧、弦、圓心角關(guān)系求角度、線段長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積、弧的度數(shù)】......................13

【題型10利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小】...................................................14

【題型11利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值】.....................................................15

【題型12利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明］.......................................................17

【題型13利用圓周角定理求解】................................................................18

【題型14利用圓內(nèi)接四邊形求角度】...........................................................20

【題型15利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問(wèn)題】.....................................................21

【題型16利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問(wèn)題】.....................................................22

【題型17利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍】.......................................................24

【題型18利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問(wèn)題】...................................................25

【題型19圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到弦時(shí)，常添加弦心距】........................................27

【題型20圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到有直徑時(shí)，常添加（畫(huà)）直徑所對(duì)的圓周角】...................28

〉舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)圓的基本性質(zhì)】

1.圓

在一個(gè)平面內(nèi)，線段。4繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)/所形成的圖形叫做圓。固定

的端點(diǎn)。叫做圓心，線段ON叫做半徑，以點(diǎn)O為圓心的圓，記作OO,讀作“圓

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。

圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧

都叫做半圓。小于半圓的弧叫做劣弧。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。

能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。

在同圓或等圓中，能重合的弧叫等弧。

2.垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧.

3.弧.弦.圓心角之間的關(guān)系

定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等；

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等。

注：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弦，兩條弧.兩個(gè)弦的弦心距中，有一組量相等，那么其

余各組量也分別相等

4.圓周角

定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。

圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

【題型1圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算】

【例1】（2023?福建泉州?南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）適時(shí)的休閑可以緩解學(xué)習(xí)壓力，如圖是火影忍者中的

仙法?白激之術(shù)，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個(gè)同心圓，BC=400像素，AABC=90°,那么周

圍圓環(huán)面積約為（）

A.40000兀B.1600兀C.64000兀D.160000TT

【變式1-1]（2023?山東德州?統(tǒng)考二模）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.”度方知圓,

感悟數(shù)學(xué)之美.如圖，正方形4BCD的面積為2,以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形4BC

D,,若4夕48=2:1,則四邊形的外接圓的周長(zhǎng)為.

【變式1-2］（2023?山東濰坊?中考真題）《墨子?天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓.”度方知圓,

感悟數(shù)學(xué)之美.如圖，正方形4BCD的面積為4,以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形4BC

D',若4夕48=2:1,則四邊形的外接圓的周長(zhǎng)為.

【變式1-3】（2023?湖北武漢?華中科技大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)較大的圓內(nèi)有15個(gè)半徑為

1的小圓，所有的交點(diǎn)都為切點(diǎn)，圖中陰影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為（）

.22+1675-T，20+1675“c22+14V3?「20+14V3?

A?-TTB.-ITC.-7TD?-IT

3333

【題型2圓中的角度、線段長(zhǎng)度計(jì)算】

【例2】（2023?廣東清遠(yuǎn)?統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為4正方形力BCD中，點(diǎn)E在以8為圓心的弧4C上，射

線DE交4B于尸，連接CE,若則。E=（）.

D

A.2B.C.D.

【變式2-1]（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）如圖，在。。中，C是通上一點(diǎn)，。41。8,過(guò)點(diǎn)。作弦CO交。8

于E,若。4=DE,則NC與乙40C滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是（）

1123

A.ZC=-^AOCB.ZC=-^AOCC.zC=-^AOCD./-C=^AOC

32.34

【變式2-2]（2023?湖南益陽(yáng)?統(tǒng)考二模）如圖，在Rt^ABC中，90。，點(diǎn)。在斜邊48上，以BD為直

徑的。。經(jīng)過(guò)邊4C上的點(diǎn)￡,連接BE,且BE平分N4BC,若。。的半徑為3,AD=2,則線段BC的長(zhǎng)為

（）

4024

A.-y-B.8C.yD.6

【變式2-3]（2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)尸是。。外一點(diǎn)，分別以。、尸為圓心，大于g0P長(zhǎng)為

半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,直線MN交0P于點(diǎn)C,再以點(diǎn)C為圓心，以。C長(zhǎng)為半徑作圓弧，交

。。于點(diǎn)/,連接PA交MN于點(diǎn)2,連接。4、0B.若乙P=26°,則N40B的大小為（）

A.26°B.38°C.52°D.64°

【題型3求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值】

【例3】（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題）在同一平面內(nèi)，已知。。的半徑為2,圓心。到直線/的距離為

3,點(diǎn)尸為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【變式3-1］（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）如圖，在乙4cB=90。，E為AC邊上的任意一點(diǎn)，把△BCE

沿BE折疊，得到aBFE,連接4F.若BC=6/C=8,皿4尸的最小值為—.

【變式3-2］（2023?湖南永州?校考三模）我們知道，兩點(diǎn)之間線段最短，因此，連接兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度叫

做兩點(diǎn)間的距離；同理，連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，因此，直線外一點(diǎn)到

這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離.類(lèi)似地，連接曲線外一點(diǎn)與曲線上各點(diǎn)的所有線段中，

最短線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到曲線的距離.依此定義，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（2,1）到以原點(diǎn)為圓心,

以1為半徑的圓的最短距離為.最長(zhǎng)距離為.

【變式3-3］（2023?河南焦作?統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，48=3,BC=4,=90。，正方形CDEF

的邊長(zhǎng)為1,將正方形CDEF繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，連接AG,則線段AG的取值范圍是.

【題型4利用垂徑定理結(jié)合全等、相似綜合求解】

【例4】（2023?廣東湛江?統(tǒng)考一模）如圖，在△4BC中，乙4cB=90。，以直角邊8C為直徑的。。交于

點(diǎn)D,連接CD,NCZB的角平分線交CD于點(diǎn)M交BC于點(diǎn)F,交。。于點(diǎn)尸.

P

AECF

（1）求證:~AF~BF；

⑵若tan/C4B=*求sin/CAP的值;

（3）連接PC、PB,若N2BC=30。，AB=2值，求△PCF的面積.

【變式4-1］（2023?江蘇泰州?二模）如圖，在。。中，弦力。、BC相交于點(diǎn)E,連接OE,已知而=而.

⑴求證：BE=DE；

（2）如果。。的半徑為5,AD1CB.DE=1,求力E的長(zhǎng).

【變式4-2］（2023?陜西西安?高新一中校考一模）如圖，2B是的直徑，弦CD14B于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸在O。上,

zl=zC.

(2)若BC=3,ZC=3O°,求。。的直徑.

【變式4-3](2023?云南德宏?統(tǒng)考一模)如圖，是。。的直徑，弦CD14B于點(diǎn)E,點(diǎn)F是。。上一點(diǎn),

且灰=而，連接FB,FD,FD交AB于點(diǎn)N.

(1)若力E=l,CD=6,求。。的半徑；

(2)連接FC并延長(zhǎng)，交B4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)。作。。的切線，交B4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.求證：

ON-OP=OE-OM.

【題型5在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)】

【例5】(2023?浙江寧波?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OM與久軸相切于點(diǎn)4與y軸分別

交點(diǎn)為B,C,圓心M的坐標(biāo)是(4,5),則弦BC的長(zhǎng)度為.

【變式5-1](2023?廣東深圳?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線丫=-久+3與x軸交于

點(diǎn)力，與y軸交于點(diǎn)B,G>M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。及4、B兩點(diǎn).

⑴求。M的半徑；

⑵點(diǎn)C為弧。力上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足NCOA=NCB。，求C點(diǎn)坐標(biāo).

(3)直線y=x與OM交于點(diǎn)。、N兩點(diǎn)，求線段ON的長(zhǎng).

【變式5-2](2023?湖北黃岡?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OP的圓心坐標(biāo)是(3,a)(a>3),

半徑為3,函數(shù)y=x的圖象被OP截得的弦力B的長(zhǎng)為4vL貝i|a的值是.

【變式5-3](2023?黑龍江齊齊哈爾?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C(l,l)為圓心，2為半徑

作圓，交x軸于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在OC上.

⑴求出48兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)試確定經(jīng)過(guò)4、B兩點(diǎn)且以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線解析式；

(3)在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使線段0P與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【題型6垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用】

【例6】(2023?天津河西?天津市新華中學(xué)校考二模)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)4

點(diǎn)3,點(diǎn)。均在格點(diǎn)上，并且在同一個(gè)圓上，取格點(diǎn)連接4M并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)C,連接4D.

⑴AM=:

（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出線段力P,使4P平分NC4D,且點(diǎn)尸在圓上，并簡(jiǎn)要說(shuō)明

點(diǎn)尸的位置是如何找到的（不要求證明）.

【變式6-1］（2023?天津東麗?統(tǒng)考二模）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方形的

頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，點(diǎn)4B,M均為格點(diǎn)，以格點(diǎn)。為圓心，4B為直徑作圓，點(diǎn)M在圓上.

（I）線段力B的長(zhǎng)等于；

（II）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，在麗上找出一點(diǎn)P,使麗=麗，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)圖方法

（不要求證明）______________________________

【變式6-2］（2023?山東淄博?統(tǒng)考二模）如圖所示，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，一段圓弧

經(jīng)過(guò)格點(diǎn)B,C,CE的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)格點(diǎn)。，則弧標(biāo)的長(zhǎng)為（）

A.當(dāng)B.C.?D.李兀

4284

【變式6-3］（2023?天津?校聯(lián)考一模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)/,B,C,D均為

格點(diǎn)，且點(diǎn)N,8在圓上.

（1）線段4C的長(zhǎng)等于；

（2）過(guò)點(diǎn)。作DFII力C,直線DF與圓交于點(diǎn)M,N（點(diǎn)M在N的左側(cè)），畫(huà)出MN的中點(diǎn)P,簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置

是如何找到的（不要求證明）.

【題型7垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】

【例7】（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題情境：筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，

明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（如圖①）.假定在水流量穩(wěn)定的情況

下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.

問(wèn)題設(shè)置：把筒車(chē)抽象為一個(gè)半徑為r的。。.如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車(chē)半徑為2米.當(dāng)t=0

時(shí)，某盛水筒恰好位于水面/處，此時(shí)乙4OM=30。，經(jīng)過(guò)95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8處.（參考數(shù)據(jù)，

V2?1.414,V3?1.732)

圖①圖②

問(wèn)題解決：

（1）求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)，NBOM的度數(shù)；

（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至8處時(shí)，它到水面的距離.（結(jié)果精確到0.1米）

【變式7-1］（2023?北京西城?統(tǒng)考一模）圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門(mén)洞.如圖,

某地園林中的一個(gè)圓弧形門(mén)洞的高為2.5m,地面入口寬為1m,求該門(mén)洞的半徑m.

【變式7-2］（2023?寧夏中衛(wèi)?統(tǒng)考二模）在一次數(shù)學(xué)建模活動(dòng)課上，吳老師制作了一張簡(jiǎn)易的海域安全監(jiān)

測(cè)平面圖，在圖中標(biāo)明了三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位置坐標(biāo)。（0,0）,/1（0,10）,B（20,0）,由三個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)確定的圓

形區(qū)域是安全警戒區(qū)域.（單位：海里）

（1）某天海面上出現(xiàn)可疑船只C,在監(jiān)測(cè)點(diǎn)/測(cè)得C位于南偏東45。，同時(shí)在監(jiān)測(cè)點(diǎn)。測(cè)得C位于南偏東

60°,求監(jiān)測(cè)點(diǎn)。到C船的距離.（結(jié)果精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V2?1.4,V3?1.7,V5?2.2）

（2）當(dāng)可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行時(shí)，是否會(huì)闖入安全警戒區(qū)域？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算作答.

【變式7-3］（2023?廣東佛山?校考三模）古往今來(lái)，橋給人們的生活帶來(lái)便利，解決跨水或者越谷的交通,

便于運(yùn)輸工具或行人在橋上暢通無(wú)阻，中國(guó)橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河

北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當(dāng)今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古

代敝肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形.

（1）某橋/主橋拱是圓弧形（如圖①中痂），已知跨度力C=40m,拱高BD=10m,則這條橋主橋拱的半

徑是m；

（2）某橋3的主橋拱是拋物線形（如圖②）,若水面寬MN=10m,拱頂P（拋物線頂點(diǎn)）距離水面4m,求

橋拱拋物線的解析式；

（3）如圖③，某時(shí)橋/和橋2的橋下水位均上升了2m,求此時(shí)兩橋的水面寬度.

【題型8利用垂徑定理求取值范圍】

【例8】（2023?浙江寧波?一模）如圖，A8為O。的直徑，弦CD1A8于點(diǎn)￡OE=AE=2,尸為而上一點(diǎn),

CF與AB交于點(diǎn)G,若FG>CG,貝的長(zhǎng)的范圍為（）

A.4<BF<4V2B.4<BF<4V3

C.4V2<BF<4V3D.4V2<BF<8

【變式8-1］（2023?四川綿陽(yáng)?二模）已知。。的弦AB=1.6,優(yōu)弧上的點(diǎn)到AB的最大距離為1.6,直線

HAB,若。。上有4個(gè)不同的點(diǎn)到/的距離等于0.4,則點(diǎn)。至h的距離d的范圍為.

【變式8-2］（2023?廣東佛山?統(tǒng)考二模）如圖，。。的半徑為5cm,弦4B=8cm,P是弦4B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則。P的長(zhǎng)度范圍是（）

A.8<OP<10B.5<OP<8C.4<OP<5D.3<OP<5

【變式8-3］（2023?廣東廣州?華南師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，半徑為4的

O。與x軸的正半軸交于點(diǎn)/，點(diǎn)5是。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦48的中點(diǎn)，直線>=產(chǎn)-6與x軸、〉軸分別

交于點(diǎn)。、E,若△CDE面積為S,則S的范圍是

【題型9利用弧、弦、圓心角關(guān)系求角度、線段長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積、弧的度數(shù)】

【例9】（2023?四川成都?統(tǒng)考二模）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊△4BC；分別以點(diǎn)

A,B,C為圓心，以N8的長(zhǎng)為半徑作前，AC,AB,三條弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形.如果

AB=3,那么這個(gè)曲邊三角形的周長(zhǎng)是（）.

9

A.7iB.27rC.-JiD.37r

【變式9-1］（2023?江蘇泰州?二模）如圖，已知A3、CD是。。的兩條直徑，且乙4。。=50。，過(guò)點(diǎn)A作AE||

CD交O。于點(diǎn)E,則弧4E的度數(shù)為.

----/

【變式9-2］（2023?上海寶山?一模）如圖，已知圓。的弦4B與直徑CD交于點(diǎn)E,且CD平分4B.

（1）已知4B=6,EC=2,求圓。的半徑；

（2）如果DE=3EC,求弦所對(duì)的圓心角的度數(shù).

【變式9-3］（2023?安徽合肥?一模）圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)所組成的

圖形.

圖1圖2

(1)已知：如圖1,OA=OB=0C,請(qǐng)利用圓規(guī)畫(huà)出過(guò)4、B、C三點(diǎn)的圓.若/力。8=70。，貝此4CB=

（2）已知，如圖2,中，N4BC=90。，^BCA=30°,4B=2.點(diǎn)P為AC邊的中點(diǎn)，將AC沿BA方向平

移2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)4、P、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F,求四邊形8DFC的面積和NBEA的大小.

（3）如圖3,將4C邊沿BC方向平移a個(gè)單位至DF,是否存在這樣的a,使得直線。尸上有一點(diǎn)Q,滿(mǎn)足NBQ4=45。

且此時(shí)四邊形BADF的面積最大？若存在，求出四邊形BADF面積的最大值及平移距離a,若不存在，說(shuō)明理

由.

【題型10利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小】

【例10】（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）如圖,點(diǎn)P1?P8是。。的八等分點(diǎn).若4P1P3P7,四邊形p3P4P6P7

的周長(zhǎng)分別為a,b,則下列正確的是（）

a

Ps

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,6大小無(wú)法比較

【變式10-1】（2023?甘肅平?jīng)?三模）如圖，在。。中，AB=BC=CD,連接NC,CD,則/C與CD的關(guān)

系是（）.

B

A.AC=2CDB.AC<2CD

C.AC>2CDD.無(wú)法比較

【變式10-2］（2023?甘肅平?jīng)?二模）如圖所示，在O。中，AB^2CD,那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.無(wú)法比較

【變式10-3】（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考一模）如圖，在扇形中，^AOB=90°,C、。是費(fèi)上兩點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)。作DEIIOC交。5于￡點(diǎn)，在。。上取點(diǎn)尸，使。F=DE,連接CF并延長(zhǎng)交。5于G點(diǎn).

⑴求證：△OCFmADOE；

⑵若C、。是48的三等分點(diǎn)，。4=2板：

①求NOGC；

②請(qǐng)比較GE和8E的大小.

【題型11利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值】

【例11】（2023?江蘇泰州?二模）如圖，AB是。0的直徑，AB=4,C為近的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），

點(diǎn)P是OO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦AP的中點(diǎn)D,則線段CD的最大值為（）

C.2V3D.V3+1

【變式11-1】（2023?江蘇泰州?一模）如圖，CD是。。的直徑，CD=8,AACD=20°,點(diǎn)B為弧力。的中點(diǎn),

點(diǎn)P是直徑CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則P4+PB的最小值為.

【變式11-2］（2023?河南焦作?統(tǒng)考一模）如圖，在扇形30C中，乙8。。=60。，點(diǎn)。是讀的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F

分別為半徑OC,Q8上的動(dòng)點(diǎn).若OB=2,則△。防周長(zhǎng)的最小值為.

【變式11-3］（2023?河南?三模）圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)所組成的圖形.

（1）已知：如圖1,OA=OB=OC,請(qǐng)利用圓規(guī)畫(huà)出過(guò)4、B、。三點(diǎn)的圓.若N4OB=70。，貝此2CB=

（2）已知，如圖2,中，N4BC=90。，Z.BCA=30°,4B=2.點(diǎn)P為AC邊的中點(diǎn)，將2C沿BA方向平

移2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)4、P、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F,求四邊形8DFC的面積和NBEA的大小.

(3)如圖3,將力C邊沿BC方向平移a個(gè)單位至DF,是否存在這樣的a,使得直線OF上有一點(diǎn)Q,滿(mǎn)足NBQ4=45。

且此時(shí)四邊形B4DF的面積最大？若存在，求出四邊形B4DF面積的最大值及平移距離a,若不存在，說(shuō)明理

由.

【題型12利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明】

【例12】(2023?黑龍江哈爾濱?校考模擬預(yù)測(cè))如圖1,圓。中，48為弦，C為弧48中點(diǎn)，連接。C交力B于

D.

⑴求證：OC1AB；

(2)如圖2,弦EFII弦GH,連接EG、FH,求證：EG=FH；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BC、FG,若FG平分NEFH,OD=3,GH=WGBC=2近,求EF長(zhǎng).

【變式12-1】(2023?湖北武漢?校考模擬預(yù)測(cè))如圖，。。經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)4C及的中點(diǎn)D,且D是公

的中點(diǎn).

⑴求證：△ABC是直角三角形；

(2)若。。的半徑為1,求力/BC的值.

【變式12-2】(2023?廣東江門(mén)?統(tǒng)考二模)如圖，點(diǎn)/、B、C在。。上，是直徑，NABC的角平分線8。

與O。交于點(diǎn)。，與4C交于點(diǎn)M,且=連接。D,交4c于點(diǎn)N.

(2)試猜想48與。。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【變式12-3](2023?黑龍江哈爾濱?校考模擬預(yù)測(cè))如圖1,為。。直徑，點(diǎn)E是弦47中點(diǎn)，連接。E并

延長(zhǎng)交O。于點(diǎn)D,

(1)求證：AD=CD；

(2)如圖2,連接BD交AC于點(diǎn)尸，求證：DE2=EF-EC；

(3)如圖3,在(2)條件下，延長(zhǎng)82至點(diǎn)G,連接GF,若NDFG=45。，XG=V2CF=4,求。。的周長(zhǎng).

【題型13利用圓周角定理求解】

【例13】(2023?湖北武漢?校考一模)如圖，BC是。。的直徑，。為。。上一點(diǎn)，/為演的中點(diǎn)，AE1BC

于，并交O。于點(diǎn)￡，若CD=3DF,AC=4,則。。的半徑長(zhǎng)為()

A.1B.-^VTsC.D.

【變式13-1](2023?安徽?模擬預(yù)測(cè))如圖，在。。中，直徑4B=4,弦CD=2,連接4D,BC相交于點(diǎn)E,

則乙4EC的度數(shù)是.

c

D

【變式13-2】(2023?天津?yàn)I海新?統(tǒng)考二模)如圖，。。是△/8C的外接圓，/￡切。。于點(diǎn)/,/￡與直徑

圖①圖②

(1)如圖①，若NC=71。，求的大小;

(2)如圖②，當(dāng)AE=AB,。￡=2時(shí)，求乙E的大小和。。的半徑.

【變式13-3】(2023?廣東河源?三模)【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】愛(ài)好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時(shí)碰到這樣的一道題目：

如圖①，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。。的半徑為1,點(diǎn)4(3,0).動(dòng)點(diǎn)B在。。上，連接AB,作等邊△ABC(4B,C

為順時(shí)針順序)，求。。的最大值；

【解決問(wèn)題】小明經(jīng)過(guò)多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接。8,以。B為邊在的左

側(cè)作等邊△BOE,連接力E.

(1)請(qǐng)你找出圖中與。C相等的線段，并說(shuō)明理由；

(2)線段OC的最大值為.

【靈活運(yùn)用】

(3)如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)P為線段4B外一動(dòng)點(diǎn)，且

PA=2,PM=PB,乙BPM=90°,求線段長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【遷移拓展】

(4)如圖③，BC=4V3,點(diǎn)。是以BC為直徑的半圓上不同于8、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊作等邊△4BD,

請(qǐng)直接寫(xiě)出4C的最值.

【例14】（2023?黑龍江哈爾濱?校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，若乙40B=70。，貝比228的度數(shù)為（）

A.110°B.145°C.135°D.160°

【變式14-1］（2023?陜西西安?校考二模）如圖，四邊形4BCD是。。的內(nèi)接四邊形，BE是。。的直徑，連

接AE,OD,若4EII0D,且4E=。。，貝UNBCD的度數(shù)為（）

A.100°B.105°C.110°D.120°

【變式14-2］（2023?江西九江?校考二模）如圖，直線48,4。與O。分別相切于點(diǎn)B,D,C為O。上一點(diǎn),

且N8CD=125°,貝|乙4的度數(shù)是.

【變式14-3】（2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于O。，48為O。的直徑,

BC=CD=AD,則NC的大小為

【題型15利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問(wèn)題】

【例15】（2023?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）如圖，48是。。的直徑，BC是。。的弦，先將沅沿翻折交4B

于點(diǎn)，再將而沿4B翻折交8C于點(diǎn)E.若前=礪，設(shè)N2BC=a,貝ija所在的范圍是（）

A.21.9°<a<22.3°B.22,3°<?<22.7°

C.22.7。<a<23.1。D.23.1。Va<23.5。

【變式15-1]（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模）如圖，在。。中，力B為直徑，C為圓上一點(diǎn)，將劣弧4C沿弦4C

翻折，交2B于點(diǎn)。，連接CD,若點(diǎn)。與圓心。不重合，NB4C=25。，則NDCA=

【變式15-2]（2023?江蘇蘇州?蘇州市立達(dá)中學(xué)校校考二模）如圖，E為正方形48CD的邊CD上一點(diǎn)（不與

C、D重合）,將aBCE沿直線BE翻折到aBFE,延長(zhǎng)EF交4E于點(diǎn)G,點(diǎn)。是過(guò)B、E、G三點(diǎn)的圓劣弧EG上

一點(diǎn)，則NEOG=°.

【變式15-3】（2023?安徽淮南?校聯(lián)考一模）如圖，已知，AB是。。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn).

①

（1）如圖①，將就沿弦力C翻折，交力B于。，若點(diǎn)。與圓心。重合，AC=2V3,則。。的半徑為；

（2）如圖②，將前沿弦BC翻折，交力B于。，把而沿直徑4B翻折，交BC于點(diǎn)￡

（I）若點(diǎn)E恰好是翻折后的麗的中點(diǎn)，貝此B的度數(shù)為；

（II）如圖③，連接DE,若48=10,OD=1,求線段DE的長(zhǎng).

【題型16利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問(wèn)題】

【例16】（2023?廣東清遠(yuǎn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，4B是半。。的直徑，點(diǎn)C在半。。上，XB=2V13cm,AC=6

cm.D是前上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接力D,過(guò)點(diǎn)C作CE14D于E,連接BE.在點(diǎn)。移動(dòng)的過(guò)程中，BE的最小值為

A.V13-2B.V13C.V3D.2

【變式16-1】（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）嘉嘉與淇淇在討論下面的問(wèn)題：

如圖，Rt/XABC中，48=60,4C=45,zBXC=90°.D,￡分別是AC,48邊上的動(dòng)點(diǎn)，DE=52,以。E

為直徑的。。交BC于點(diǎn)P,。兩點(diǎn)，求線段PQ的最大值.

嘉嘉：當(dāng)點(diǎn)。，E分別在AC,4B上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。到點(diǎn)/的距離為定值；

淇淇：當(dāng)PQ為圓。的直徑時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)最大.

關(guān)于上述問(wèn)題及兩人的討論，下列說(shuō)法正確的是（）

A.兩人的說(shuō)法都正確，線段PQ的最大值為52

B.嘉嘉的說(shuō)法正確，淇淇的說(shuō)法有問(wèn)題，線段PQ長(zhǎng)度的最大值為48

C.淇淇的說(shuō)法有問(wèn)題，當(dāng)DEIIBC時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度最大

D.這道題目有問(wèn)題，PQ的長(zhǎng)度只有最小值，沒(méi)有最大值

【變式16-2】（2023?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的

頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn).如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格圖形4BCD中，M,N分別是AB,2c上的格點(diǎn)，BM=4,BN=

2.若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM,PN,則所有滿(mǎn)足乙W7W=45。的中，邊的長(zhǎng)的最

大值是（）

A.4V2B.6C.2V10D.3亞

【變式16-3】（2023?浙江寧波?統(tǒng)考一模）已知：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A（2,一1）,以M（-

1,0）為圓心，以AM為半徑的圓交y軸于點(diǎn)B,連結(jié)BM并延長(zhǎng)交OM于點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)

動(dòng)，長(zhǎng)為弓的線段PQIIx軸（點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)），連結(jié)AQ.

（1）求OM的半徑長(zhǎng)和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）如圖2,連結(jié)AC,交線段PQ于點(diǎn)N,

①求AC所在直線的解析式；

②當(dāng)PN=QN時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出AQ的最小值和最大值.

【題型17利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍】

【例17】（2023?湖北武漢?校考一模）在。。中，弦2。與弦CE相交于點(diǎn)RADFC=105°,BC=4DE,延

長(zhǎng)EC至點(diǎn)連接D4,設(shè)乙4=a,則a所在范圍可能是（）

A.12°<ct<16°B.15°<ct<18°C.17°<a<20°D.190<a<22°

【變式17-1】（2023?浙江杭州?三模）如圖，C、。是以48為直徑的圓。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C、。不與/、

3重合），〃是弦CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CP14B于點(diǎn)尸.若CD=3,AB=5,則的范圍是.

【變式17-2］（2023?江蘇南京?二模）在RtzXABC中，^ACB=90°,點(diǎn)。是4B邊上的動(dòng)點(diǎn)，AC=6,

BC=8,經(jīng)過(guò)C、。的。。交AC邊于點(diǎn)交BC邊于點(diǎn)N,且點(diǎn)M、N不與點(diǎn)C重合.

cc

Mi

(A/)

③

①②

（1）若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到4B的中點(diǎn).

①如圖①，當(dāng)點(diǎn)〃與點(diǎn)/重合時(shí)，求線段MN的長(zhǎng)；

②如圖②，連接MN,若MNIIA8,求線段MN的長(zhǎng)；

（2）如圖③，點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，。。半徑，的范圍為

【變式17-3】（2023?浙江寧波?一模）如圖，E點(diǎn)為支軸正半軸上一點(diǎn)，OE交無(wú)軸于4B兩點(diǎn)，交y軸于C、

。兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣弧前上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接P4PC,且4（-1,0）,F（l,0）.

（1）如圖1,求點(diǎn)C的坐標(biāo)和NP的度數(shù)；

（2）如圖2,若CQ平分NPCD交P4于Q點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段4Q的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化；若不變求出其

值，若發(fā)生變化，求出變化的范圍；

（3）如圖3,連接PD,當(dāng)P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B、C兩點(diǎn)重合）,求蟹^的值.

【題型18利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問(wèn)題】

【例18】（2023?湖北襄陽(yáng)?二模）如圖，在半徑為6cm的。。中，點(diǎn)/是劣弧前的中點(diǎn)，點(diǎn)。是優(yōu)弧前上

一點(diǎn)，且ND=30。，下列四個(gè)結(jié)論：①。41BC；②BC=6限m；③弦與O。直徑的比為多④四邊

形AB。。是菱形.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.①②③④C.②③④D.①③④

【變式18-1]（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為6cm的。0中，點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D

是優(yōu)弧BC上一點(diǎn)，且ND=30。，下列四個(gè)結(jié)論：①OA1BC；②BC=6gcm；③sinNAOB=§；④四邊

形ABOC是菱形.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B,①②③④C.②③④