專題06線段與角的等量代換模型

等量代換是數(shù)學變形的最常見方式之一，它以處理問題步驟簡捷、巧妙靈活，給人留下深刻的印象。運用

它來解決中學代數(shù)和幾何的有關問題（本專題主要涉及線段與角度的代換），還可以避免繁雜運算，具有計算

量小的獨特優(yōu)點，因此有著廣泛的應用。

目錄導航］

例題講模型

模型1.線段與角度的等量代換模型

習題練模型］

例題講模型1

模型1.線段與角度的等量代換模型

模型解讀

等量即相等的量，代換即替代、更換，等量代換的意思就是相等的量可以互換，更通俗點兒說，如果幾個

量都等于某一個量，那么這幾個量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了針對的對象必須是等式。

等量代換的一般形式：如果。=6,b=c,那么a=c,利用的是等式的傳遞性。

“等量代換”是在數(shù)學幾何中常用的一種推理證明方法，應用于角度或線段相等關系的推導。

模型證明

1）線段的等量代換

圖1圖2

條件：如圖，已知：EG=HF；結論：EH=GF.

證明:如圖1,?/EG=HF,EG-HG=HF-HG,：.EH=GF.

如圖2,'：EG=HF,：.EG+HG=HF+HG,：.EH=GF.

2）角度的等量代換

(圖中：ZAOD=Z1,ZBOC=Z2,ZBOD=Z3,ZAOC=Z4)

條件1：已知/AO8=NDOC=90。；結論：Z1=Z2,Z3+Z4=180°.

條件2：已知NAOB=N￡)OC=90°；結論：Z1=Z2,Z3+Z4=180°.

證明：如圖1,ZAOB=ZDOC,：.ZAOB-ZBOD=ZDOC-ZBOD,：.ZAOD=ZBOC,即：Z1=Z2.

ZAOB=ZDOC=90°,：.ZAOB+ZDOC^O°,

：.ZBOD+ZAOD+ZDOC=\SO°,：.ZBOD+ZAOC=]SO°,即：Z3+Z4=180°.

如圖2,VZAOB=ZDOC,：.ZAOB+ZBOD=ZDOC+ZBOD,：.ZAOD=ZBOC,即：Z1=Z2.

,?ZAOB=ZDOC=90°,：.NAOB+NZ)OC=180。，

VZB0D+ZA0C+ZA0B+ZD0C^6Q°,：.ZBOD+ZAOC^O°,即：N3+N4=180°.

利用等量代換我們還可以推導三個重要的性質：

①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的補角相等；③對頂角相等;

模型運用

例1.（23-24?北京平谷?七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C,。在線段上，若=貝U（）

IIII

ACDB

A.AC=CDB.AC=BDC.AD=2BDD.CD=BC

【答案】B

【分析】根據(jù)初-CD=BD—"可得答案.

【詳解】；AD=BC,：.AD-CD^BC-CD,即AC=B。.故選：B.

【點睛】本題主要考查了線段的和差，掌握各線段之間的數(shù)量關系是解題的關鍵.

例2.（23-24.重慶?七年級統(tǒng)考期末）如圖，B、C是線段AD上兩點，5.AB^CD,若AD=12,AB=5,那

么AC大小為（）

I1--------------1------------1

ABCD

A.3B.7C.10D.13

【答案】B

【分析】根據(jù)線段的和差關系計算即可得到結論.

【詳解】解：VAB=CD,：.AB+BC=CD+BC,：.AC=BD

VAD=12,AB=5,：.BD=1,：.AC=1,故選:B.

【點睛】本題考查了兩點間的距離，利用線段的和差是解題關鍵.

例3.（23-24七年級上?山西?階段練習）如圖，A、B、C、。四點在同一直線上.

ABCD

⑴若AB=CD.①比較線段的大小：ACBD（填或“<”）；

3

（2）^BC=—AC,且AC=16cm,則AZ）的長為cm；（2）若線段AD被點3、C分成了2：3：4三部分,

且A5的中點M和CD的中點N之間的距離是18cm,求的長.

【答案】⑴①=,②20⑵27cm

【分析】（1）①根據(jù)等量代換，計算線段的和，后判斷；②根據(jù)線段之間的關系，線段的和計算即可.

（2）設未知數(shù)，運用一元一次方程的思想求解即可.

【詳解】（1）解：①：AB=CD,AAB+BC^CD+BC,所以AC=3D,故答案為：=；

3

(2)VBC=—AC,且AC=16cm,BC=12cm,/.AB=AC-BC-16cm-12cm=4cm,

4

VAB^CD,：.CD=4cm,AD=AC+CD=16cm+4cm=20cm；故答案為：20.

(2)解：如圖：

i??iii

AMBCND

AM=BM=xcm,根據(jù)已知得：AB=2xcm,BC=3xcm,CD=4.rcm,

AD=9.rcm,CN=ND=—CD=2xcm,

2

：MV=18cm,BM+BC+CN-18cm,所以x+3x+2x=18,解得x=3,

AD=9x=27(cm).答：AD的長是27cm.

【點睛】本題考查了線段之間的數(shù)量關系，線段的中點的意義，線段的和，一元一次方程的解法，熟練掌

握線段的關系，靈活解方程是解題的關鍵.

例4.(23-24廣東廣州?七年級校考期末)如圖，

(1)若ZAOB=NCOD,則NAOC=N；

(2)若ZAOC=N3OD,則N=/________.

【答案】BOD/DOBAOB/BOACOD/DOC

【分析】(1)根據(jù)幾何圖形，結合等式的性質即可求解.

(2)根據(jù)幾何圖形，結合等式的性質即可求解.

【詳解】解：(1),?ZAOB=Z.COD,ZAOB+Z.BOC=ACOD+NBOC,即ZAOC=NBOD,

故答案為：BOD；

(2)ZAOC=Z.BOD,：.ZAOC-ZBOC=ZBOD-Z.BOC,即ZAOB=ZCOD,

故答案為：AOB,COD.

【點睛】本題考查了幾何圖形中角度的計算，數(shù)形結合是解題的關鍵.

例5.(23-24七年級上?江蘇?課后作業(yè))如圖所示，ZAOC=ZBOD=90°,ZAOB=68°,則NCO￡>=

【答案】68

【分析】直接根據(jù)角的和差關系進行求解即可.

【詳解】解：*/ZAOB=ZAOC-ZBOC,ZCOD=NBOD-NBOC,

又NAOC=NBC?=90。，ZAOfi=68°,/.ZAOBZCOD68°.故答案為68.

【點睛】本題主要考查互余角，關鍵是根據(jù)“同角的余角相等”可得角的等量關系，然后求解即可.

例6.（23-24天津南開?七年校考期中）如圖所示，ZAOC=ZBOD=90°,ZCOD=30°,則NAQB的度數(shù)

【答案】D

【分析】求出ZA8的度數(shù)，然后根據(jù)N4O3=NAOD+NOO3,即可得出答案.

【詳解】解：ZAOC=90°,NCOD=30。,:.AAOD=60°,

ZAOB=ZAOD+Z.DOB=60O+90°=150°,故選：D.

【點睛】本題考查了余角和補角的知識，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，求出幺OD的度數(shù).

例7.（2023春?北京?七年級月考）如圖，已知AC13C,ZA+Z1=9O°,則N2與/A的關系是（）

【答案】C

【分析】由NA+N1=9O。，Zl+Z2=90o,可知/2=/A,進而可得答案.

【詳解】解：VZA+Z1=9O°,Nl+N2=90。；.N2=NA故選C.

【點睛】本題考查了余角.解題的關鍵在于明確同角的余角相等.

例8.（23-24廣東佛山?七年級校考階段練習）如圖所示，48是一條直線，若N1=N2,則/3=/4,其理

由是（）

A.內錯角相等B.等角的補角相等C.同角的補角相等D.等量代換

【答案】B

【分析】根據(jù)等角的補角相等判定即可.

【詳解】=；./3=/4（等角的補角相等），故選：B.

【點睛】本題主要考查了補角的性質：同角或等角的補角相等.

例9.（23-24七年級上?湖北?期末）如圖，兩個直角/AO3,NC8有相同的頂點。，下列結論:

?ZAOC=ZBOD-,②/AOC+/3OD=90。；③若OC平分408,則平分NC8；

@ZAOD的平分線與/COB的平分線是同一條射線.

其中正確的是.（把你認為正確結論的序號都填上）

【答案】①③④

【分析】根據(jù)角的和差關系和角平分線的定義，對四個結論逐一進行判斷即可.

【詳解】解：①：ZAOB=NCOZ>=90。，

Z.ZAOC=90°-ZBOC,ZBOD=90°-ZBOC,:.NAOC=NBOD,①正確；

②;只有當OC,02分別為-AC次和NC8的平分線時，ZAOC+ZBOD^90°,②錯誤;

③,/ZAOB=ZCOD=90°,OC平分NAOB,

ZAOC=ZCOB=45°,則ZBOD=90°-45°=45°/.02平分ZCOD,③正確；

④,/ZAOB=ZCOD=90°,ZMJC=ZBOD；

...NAOD的平分線與NCOB的平分線是同一條射線，④正確；故答案為：①③④.

【點睛】此題主要考查角的和差關系，角平分線的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎題.

例10.（23-24河北省邢臺市七年級期末）已知ZAOB=NCOD=90。，0E平分/AOC,O尸平分/BOD.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當OB,OC重合時，求/EO產的度數(shù)；

(2汝口圖2,當0c在NABC內部時，若/BOC=20。，求NEC產的度數(shù)；

⑶當ZAOB和NCOD的位置如圖3時，求ZEOF的度數(shù).

【答案】(1)90°(2)90°(3)90°

【分析】(1)求解/BOE=」ZAO3=45。，ZBOF=-ZBOD=45°,可得答案；

22

(2)ZAOC=90°-20°=70°,ZBOD=90°-20°=70°,再證明NCOE=gZAOC=35。，

NBOF=g/BOD=35。,結合角的和差運算可得答案；

(3)設N8OC=a,可得ZAOC=NB8=90o+a,證明=,

ZBOF=1ZBOD=45°+再利用角的和差關系可得答案.

22

【詳解】(1)解：vZAOB=ZCOD=90°,OB,OC重合，OE平分ZAOC,OF平分/BOD.

：.ZBOE=-ZAOB=45°,ZBOF=-ZBOD=45°,

22

/EOF=NBOE+NBOF=90°；

(2)：OC在，ABC內部，ZSOC=20°,ZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOC=90°-20°=70°,ZBOD=90°-20°=70°,

：OE平分NAOC,OF平分/BOD.

：.ZCOE=-ZAOC=35°,ZBOF=-ZBOD=35°,

22

ZEOF=35°+20°+35°=90°.

(3)設ZBOC=(z,ZAOB=ZCOD=90°,：.ZAOC=ZBOD=90°+?,

---OE平分NAOC,OF平分/BOD

：.ZCOE=-ZAOC=45°+-a,ZBOF=~ZBOD=45°+-a,

2222

ZEOF=ZCOE+ZCOF=ZCOE+ZBOF-ZBOC=45°+-a+45°+-a-a=90°.

22

【點睛】本題考查的是角的和差運算，角平分線的定義，熟練的利用角的和差運算進行計算是解本題關鍵.

例H.(23-24七年級上.河南南陽.期末)已知一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，結合圖形，試探索

這兩個角之間的數(shù)量關系

(1)如圖1,ABIDE,BCLEF.N1與N2的數(shù)量關系是：一.

(2)如圖2,ABLDE,BCLEF.根據(jù)小學學習過的四邊形內角和為360。可得/I與N2的數(shù)量關系是:

(3)由(1)(2)你得出的結論是：如果一，那么

(4)若兩個角的兩邊互相垂直，且一個角比另一個角的3倍少40。，求這兩個角度數(shù).

【答案】(1)相等(2)互補

(3)一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直；這兩個角相等或互補(4)20。，20。或55。，125。

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可得解；

(2)根據(jù)四邊形內角和即可求解；(3)由(1)(2)總結歸納，即可得出的結論；

(4)設一個角的度數(shù)為a,則另一個角的度數(shù)為3a-40。，根據(jù)這兩角相等或互補即可求解.

【詳解】(1)解：如圖,

\'AB±DE,BCLEF,AZl+Z3=90°,Z2+Z4=90°,

VZ3=Z4,.*.Z1=Z2,故答案為：相等；

(2)解：'：ABIDE,BCLEF,AZl+Z2+90o+90°=360°,

AZl+Z2=360o-90°-90°=180o,故答案為：Zl+Z2=180°；

（3）解：一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補，

故答案為：一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直；這兩個角相等或互補；

（4）解：設一個角的度數(shù)為a,則另一個角的度數(shù)為3a—40。，

根據(jù)題意可得，a=3a—40。或a+3a—40。=180。，解得a=20。或55。，

當a=20。時，3a—40。=20。，當a=55。時，3a—40。=125。，

這兩個角的度數(shù)為20。，20。或55。，125。.

【點睛】此題考查了多邊形的內角，余角的定義和垂直的定義，熟記多邊形的內角和公式是解題的關鍵,

在解題的過程中，要注意分類討論.

例12.（2023秋?河南鶴壁?七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB,相交于點0,OM±AB.

⑴若4=40。，Z2=30°,求NNOD的度數(shù)；

（2）如果/1=/2,那么ON與8互相垂直嗎？請說明理由.

【答案】（l）NAOC=5（）o（2）ON_LC。，理由見解析

【分析】（1）利用余角、對頂角的定義計算即可；

（2）利用余角的定義，求得兩個角的和為90。即為垂直.

【詳解】（1）解：OM1AB,:.ZAOM=90°,

Nl=40°,:.ZAOC^ZAOM-Z1=90°-40°=50°,

Z2=30°,ZNOD=ZDOC-ZAOC-Z.2=100°；

（2）ONLCD,證明：Z1+ZAOC=90°,Zl=N2,

.?./2+ZAOC=90°,即/CON=90°,：.ONLCD.

【點睛】本題考查的是余角、垂直的定義，解題的關鍵是熟練掌握余角、垂直以及對頂角的定義，會識別

余角、垂直、對頂角.

習題練模型

1.（2023?重慶七年級課時練習）如圖，點C,D在線段AB上，若AC=DB,則（）

A.AC=CDB.CD=DBC.AD=2DBD.AD=CB

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意，由AC=DB,可知AC+CD=DB+CD,即AD=BC,而其余選項均無法判斷.故選D.

【點睛】注意根據(jù)等式的性質進行變形，讀懂題意是解題的關鍵.

2.（2023?廣東深圳?七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB=10,點C、。分別是線段48上兩點（CD>AC,CD〉BD）,

用圓規(guī)在線段8上分別截取CE=AC,DF=BD,若點E與點尸恰好重合，則8的長度為（）

AC_E^F）D-B

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】由作圖可得點C和點。分別是AE、防的中點，再根據(jù)線段中點的定義可得答案.

【詳解】解：CE=AC,DF=BD,點E與點尸恰好重合，

.??點C和點￡>分別是AE、的中點，=DFJBF,

22

:.CD=CE+DF=-AE+-BF=-AB=-xl0=5.故選：C.

2222

【點睛】本題主要考查兩點間的距離，解題的關鍵是熟練掌握線段中點的定義.

3.（2023?山東聊城?七年級統(tǒng)考期中）如圖，AOBD,比較線段AB與線段CD的大小（）

IIII

ACBD

A.AB=CDB.AB>CDC.AB<CDD.無法比較

【答案】B

【分析】由AB=AC+BC,CD=BD+BC,AOBD,貝U

【詳解】"：AB=AC+BC,CD=BD+BC,AOBD,：.AB>CD.故選：B.

【點睛】本題考查了比較線段的長短，比較兩條線段長短的方法有兩種：度量比較法、重合比較法.

4.（2023?黑龍江哈爾濱?七年級統(tǒng)考期末）如圖，？AOC1BOC1DOE90?,則圖中互補的角共有（）

A.7對B.6對C.5對D.4對

【答案】A

【分析】首先求出NAOE=/CO。，/COE=/BOD,然后根據(jù)互補的定義找出相加等于180。的角即可.

【詳解】解：ZAOC=ZBOC=ZDOE=90°,

ZAOE+Z.COE=ZCOE+ZCOD=ZBOD+ZCOD,ZAOC+ZBOC=ZAOC+ZDOE=ZBOC+ZDOE=180°,

ZAOE=ZCOD,ZCOE=ZBOD,

ZAOE+ZBOE=ZCOD+ZBOE=ZCOE+ZAOD=ZBOD+ZAOD=180°,

綜上，互補的角共有7對，故選：A.

【點睛】本題考查了角的和差計算，互補的定義，如果兩個角的和等于180。，就說這兩

5.（2023春?河南焦作?七年級統(tǒng)考期中）如果。+#=90。，，+7=90。，那么a與/的關系是（）

A.互余B.互補C.相等D.無法確定

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得。和/都是一的余角，則根據(jù)同角的余角相等可知a和y的關系相等.

【詳解】解：???￡+4=90。，/+/=90。.?.￡=/故選C.

【點睛】本題主要考查了同角的余角相等，掌握相關定理是解題關鍵.

6.（2023春?山西太原?七年級校考期中）學完第二章后，同學們對“對頂角相等”進行了如圖所示的推理，其

中“▲”處的依據(jù)為（）

4D

如圖，因為直線AB,。相交于點0,

所以ZAOB與ZCOD都是平角.

所以/1+/2=180。，Z2+Z3=180°.

所以N1=N3（據(jù)：▲）

A.同角的余角相等B.同角的補角相等C.同位角相等D.平角的定義

【答案】B

【分析】由補角的性質：同角的補角相等，即可得到答案.

【詳解】解：因為直線AB,CO相交于點0,

所以/AQB與NCOD都是平角，所以/l+N2=180。，Z2+Z3=180°.

由同角的補角相等，即可得至IJN1=N3.故選：B.

【點睛】本題考查了補角的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

7.（2023秋?廣東深圳?七年級校考期末）如圖所示，將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，則N1、

/2、/3三個角的數(shù)量關系為（）

A.Zl+Z2+Z3=90°B,Zl+Z2-Z3=90°C.Zl-Z2+Z3=90°D.Zl+2Z2-Z3=90°

【答案】A

【分析】先根據(jù)同角的余角相等得到22=/4,即可得到結論.

【詳解】解：???將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，

ZfiOC+N2=90。，/3OC+/4=90。，N2=N4,

XVZl+Z4+Z3=90°,/.Zl+Z2+Z3=90°,故選：A.

【點睛】本題考查同角的余角相等，其關鍵要弄清哪兩個角互余及角的和差，并利用數(shù)形結合的思想解決

問題.

8.（23-24七年級上?安徽黃山?期末）如圖，C,。是線段A5上兩點（點。在點C右側），E,尸分別是線段

AD,8C的中點.下列結論：

@EF=^AB-?^AE=BF,則AC=3。；③AB—CD=2EF；④AC-BD=EC-DF.

iIIIIi

AECDFB

其中正確的結論是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【分析】本題主要考查了線段的和差運算，解題的關鍵是掌握中點的定義，根據(jù)圖形，分析線段之間的和

差關系.結合圖形，根據(jù)線段中點的定義與線段之間的和差關系逐一進行分析，即可進行解答.

【詳解】解：尸分別是線段的中點=尸=[gC,

22

EF=AB-AE-BF=AB-^AD+BC）=AB-^AB+CD）=^AB-^CD,故①不符合題意；

VAE=BF,：.^AD=^BC,即AD=3C,

AAD-CD=BC-CD,：.AC=BD,故②符合題意；

EF=-AB--CD,AB-CD=2EF,故③符合題意；

22

④：AC=AE+CE=-AD+CE,BD=BF+DF=-BC+DF,

22

AC-BD=^AD+CE^-^BC+DF^=^AD-BC）+（CE-DF）,

：.2（AC-BD）=（AD-fiC）+2（CE-DF）,2（AC-fiD）=（AC-fiD）+2（CE-DF）

；.AC-BD=2（EC-DF）,故④不符合題意；故選：B.

9.（23-24七年級上.廣東汕頭?期末）如圖，點A,0,3在一條直線上，于點。，如果N1與N2互

余，那么圖中相等的角有（）

A.6對B.5對C.4對D.3對

【答案】B

【分析】根據(jù)互余的性質得出相等的角即可得出答案.

【詳解】解：圖中相等的角有Nl=NCOA,N2=NBOD,ZAOE=NBOE,NCOD=NBOE,ZCOD=NAOE,共

5對故選：B.

【點睛】此題考查了找等角的問題，解題的關鍵是掌握互余的性質.

10.（海南澄邁縣2023-2024學年七年級上學期期末數(shù)學試題）已知/3+/1=180。且Nl+N2=180。，則

22=/3,依據(jù)是（）

A.等角的補角相等B.補角的定義C.同角的余角相等D.同角的補角相等

【答案】D

【分析】本題主要考查了等角或同角的補角相等的性質，根據(jù)同角的補角相等進行解答.

【詳解】VZ3+Zl=180°,Zl+Z2=180°,

二N3是N1的補角，N2是N1的補角，

二/2=/3（同角的補角相等）.

故選:D

11.（23-24福建省福州市七年級期中）由4+N2=90。，Zl+Z3=90°,得到-2=/3的依據(jù)是（）

A.同角的余角相等B.等角的余角相等C.同角的補角相等D.等角的補角相等

【答案】A

【分析】根據(jù)互余的概念及性質即可求解.

【詳解】解：?.?4+12=90。,Zl+Z3=90°,

Z1+Z2=Z1+Z3=9O°,

：.N2=/3,是根據(jù)同角的余角相等，

故選：A.

【點睛】本題主要考查余角的性質，掌握互余的概念及性質是解題的關鍵.

12.（23-24云南昆明?七年級校考期末）如圖，/AO3和NCC?都是直角.下列結論：

@ZAOC=ZBOD；②NAOZ）+N3OC=180。；③若08平分NCOD,則OC平分/A03；

④ZAOD的平分線和N3OC的平分線是同一條射線.其中正確的是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【分析】根據(jù)角的計算和角平分線性質，對四個結論逐一進行計算即可.

【詳解】解：①：NAOB=NCOZ＞=90。，

ZAOC=90°-ZBOC,ZBOD=90°-ZBOC,:.ZAOC=NBOD；故①正確.

②：ZAOD+ZBOC=ZAOB+ZCOD=180°,故②正確；

@*/ZAOB=ZCOD=90°,OB平分NCOD,：.ZBOC=ZBOD=45°,則ZAOC=90°—45°=45°,

OC平分NAO3；故③正確.@VZAOB=ZCOD=90°,ZAOC=ZBOD（已證）；

ZAOD的平分線與NCO3的平分線是同一條射線.故④正確.故選：A.

【點睛】此題主要考查學生對角的計算，角平分線的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎題.

13.（2023春?廣東佛山?七年級統(tǒng)考期末）如圖，ZACB=90°,CD,AB于點。.若NACD=35。，KljZABC

的度數(shù)是.

【分析】根據(jù)垂直的定義分別得到NACD+N3CD=90。，ZBCD+ZABC=90°,再利用同角的余角相等可

得結果.

［詳解］解：：ZACB=90°,ZACD+ZBCD=90°,

CD1AB,：.NCDB=90°,即ZBCD+ZB=90°,

/.ZACD=ZABC=35°,故答案為：35°.

【點睛】本題考查了余角的性質，解題的關鍵是掌握同角的余角相等.

14.（2023春?陜西寶雞?七年級統(tǒng)考期中）如圖，/A08和NCOD都是直角，則N1___Z2（填＞,=,＜）.

【答案】=

【分析】由/A03和NCOD都是直角，得N1+NBOC=90。，Z2+ZBOC=90°,從而即可得到答案.

【詳解】解：NAOB和ZCOD都是直角，

AZI+ZBOC=90°,Z2+ZBOC=90°,:.Z1=Z2,故答案為：=.

【點睛】本題主要考查了同角的余角（補角）相等，熟練掌握該知識點是解題的關鍵.

15.（2023秋?山東荷澤?七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C,￡＞在線段A3上，且AC=CD=￡＞3,點E是線段D8

的中點，若CE=12cm,則AB的長為.

II］II

ACDEB

【答案】24cm/24厘米

［分析］根據(jù)線段中點的定義，可得A3==2CCD+DE）=2CE，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解求出AB

的長.

【詳解】解：：AC=CZ）=D3,點E是線段08的中點，

:.AB=AD+BD=2（CD+DE）=2CE=24.故答案為：24cm.

【點睛】本題考查了兩點間的距離，主要利用了線段中點的定義，比較簡單，準確識圖是解題的關鍵.

16.（2023秋?山西長治?七年級統(tǒng)考期末）如圖，C,。是線段上兩點，且點C在點。的左側，M,N分

別是線段AD,BC的中點.若=BD=3,則AB的長為.

I11111

/MCDNB

【答案】9

【分析】先M是線段AO的中點，得出=根據(jù)相＞=及飲，得出即可得出

AM=MD=BD,從而得出AS=36Z）=3x3=9.

【詳解】解：是線段4。的中點，=

*.*AD=BM,:?AM+MD=MD+BD,**?AM=BD,

AM=MD=BD9??AB=3BD=3x3=9.故答案為：9.

【點睛】本題主要考查了線段中點的有關計算，解題的關鍵是根據(jù)題意得出AM=MD=&）.

17.（23-24福建省仙游縣七年級期末）如圖，兩個直角NAOC和N30Q有公共頂點O,下列結論：

@ZAOB=ZCOD；@ZA0B+ZC0D=9r）c;③若08平分NAOC,則OC平分/B。。；

④NA。。的平分線與NBOC的平分線是同一條射線，其中正確的是.（填序號）

【答案】①③④.

【分析】根據(jù)同角的余角性質可判斷①與②，根據(jù)角平分線定義可判斷③，設/A。。的平分線為。區(qū)設/

8OC的平分線為。尸，根據(jù)角平分線定義可算出/BOE=/COE=22.5。，則NBOF=NCOE=22.5。，然后得出

0E與。尸重合即可

【詳解】因為NAOC和NB。。是兩個直角，所以NA08與NC。。都與/BOC互余，所以NAOB=NC。。；

故①正確；也能得出②錯誤；

VOB^ZAOC,則/AOB=N2OC=45。，從而得出/COD=45。，故③正確；

此時NAOZ）=135。，設NAOO的平分線為0E,可算出N8OE=NCOE=22.5。，

設/80C的平分線為。/，貝|/2。/=/。0/=22.5。，得NAO。的平分線與N20C的平分線是同一條射線,

故④正確；綜上所述，正確的序號是①③④.

【點睛】本題考查余角性質，角平分線定義，掌握余角性質，角平分線定義是關鍵.

18.（23-24七年級上?湖南長沙?期末）如圖：己知民C在線段上，E,尸分別為線段A民CD的中點，且

AB=CD.

Ill111

AEBCFD

（1）如圖，線段AD上共有6個點，則圖中共有一條線段；

（2）比較線段的大小：AC_BD,（填“>”、“<”或“="）（3）若AD=18,￡8=2,求BC的長度.

【答案】（1）15（2）=（3）10

【分析】（1）根據(jù)線段的條數(shù)等于業(yè)二D（其中〃為點的個數(shù)）即可得；

2

（2）根據(jù)AC=AB+BC,BO=a）+BC,再結合AB=CD即可得出答案；

（3）先根據(jù)線段中點的定義可得鉆=4,從而可得C￡?=4,再根據(jù)3c=AD-AB-8即可得.

【詳解】（1）解：?線段AD上共有6個點，

圖中線段的條數(shù)為安=15（條），

故答案為：15.

(2)解：AC=AB+BC,BD=CD+BC,且AB=CD,

/.AC=BD,

故答案為：=.

(3)解：E是AB的中點，EB=2,

:.AB=2EB=4,

AB=CD,

:.CD=4,

AD=18f

.\BC=AD-AB-CD=18-4-4=10.

【點睛】本題考查了線段的條數(shù)問題、與線段中點有關的計算，熟練掌握線段之間的運算是解題關鍵.

19.(23-24七年級上?河南新鄉(xiāng)?期末)如圖，已知點3、C在線段AD上，且AB=CD.

I，1----------------------------1，J

AMBCND

(1)比較線段的大小；AC50；(填“>”"=”或“V”)

⑵如果AT>=18,5C=12，"是A3的中點，N是。的中點，求線段MN的長度.

⑶在(2)中，如果AT>=a,3C=8,其他條件不變，那么=.(用含。力的式子表示)

【答案】(1)=;(2)15；⑶等.

【分析】本題考查線段的和與差，與線段中點有關的計算.理清線段之間的數(shù)量關系，是解題的關鍵.

(1)根據(jù)線段的和的關系，進行比較即可；

(2)先求出AB,CD的長，中點，求出BM+CN的長，再根據(jù)90+3C+CN,求出的長即可；

(3)同法(2),進行計算即可.

【詳解】(1)解：：AB=CD,

：.AB+BC^CD+BC,即：AC=BD；

故答案為：=;

(2),：AD=18,BC=12,

：.AB+CD=AD-BC=6,

〈A/是AB的中點，N是8的中點，

BM=-AB,CN=-CD,

22

：.BM+CN=g(A8+Cr))=3,

???MN=BM-^-BC+CN=12+3=15；

(3)*.*AD=a,BC-b.

AB+CD=AD—BC=a+b,

是AB的中點，N是CD的中點,

/.BM=-AB,CN=-CD,

22

BM+CN=^AB+CD)=^(a-b),

：.MN=BM+BC+CN=；(a—b)+b=^^

故答案為：等

20.(23-24七年級上?湖南懷化?期末)如圖403=120。，ACOD=60°.

圖一圖二

(1)圖一，若NCOD在—AO3的內部，ZAOC=18°,求/BOD；

(2)NCOD繞點0順時針旋轉，若0C，Q4,請說明OB是Z.COD的平分線；

(3)圖二中，OC在-403的內部，請推斷/AOD與ZBOC的關系.

【答案】(1)48=42。

(2)證明見解析

⑶/AOD+/BOC=180。

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，垂線的定義:

(1)根據(jù)角度之間的關系進行求解即可；

(2)根據(jù)垂線的定義得到/AOC=90。，進而得到ZBOC=30。，則/BOC=」/COD,即08是NCOD的平

2

分線；

(3)根據(jù)NAOD=NAO3+NCOr>-NBOC=180。，即可得到NAOD+/BOC=180。.

【詳解】(1)解：VZAOB=120°,ZCOD=60°,ZAOC=18°,

NBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD=42°；

(2)證明：9：OC1OA,

：.^AOC=90°,

ZAOB=120°,

ZBOC=ZAOB-ZAOC=120°-90°=30°,

???ZCOD=60°,

ZBOC=-ZCOD,

2

/.02是NCOD的平分線；

（3）解：VZAOB=120°,ZCOD=60°,

：.ZAOD=ZAOB+/COD-ZBOC=180°,

ZAOD+ZBOC=180°.

21.（2024春?廣東珠海?七年級開學考試）對“如果N1和/2都是/々的余角，那么/1=/2”的說理過程，在

括號內填上依據(jù).

理由：因為/1+/。=90。（已知），所以4=90。-（等式的性質）.

因為/2+/0=90。（），所以Z2=90。-/"（）.所以/1=/2（）.

【答案】已知，等式的性質，等量代換

【分析】根據(jù)各步前后式的邏輯關系寫出依據(jù).

【詳解】N1=N2,理由如下：

因為Nl+Ntz=90。（已知），

所以4=90。-/a（等式的性質）.

因為Z2+Na=90。（己知）,

所以Z2=90。-/。（等式的性質）.

所以N1=N2（等量代換）.

故答案為：己知，等式的性質，等量代換.

【點睛】本題考查推理步驟的應用，根據(jù)各步前后式的邏輯關系寫出推理依據(jù)是解題關鍵.

22.（2023春?貴州銅仁?七年級統(tǒng)考期中）已知ZAOB=120。，NCOD在，AO8內部，ZCOD=60°.

(D如圖1,若/BOD=30。，求/AOC的度數(shù)；

(2)如圖2,若OE平分/BOC,請說明：NAOC=2NDOE；

(3)如圖3,若在/AOB的外部分別作NAOC,N8OD的余角NAOP,ZBOQ,求NAOP+N3OQ的度數(shù).

【答案】(1)30。(2)見解析(3)120°

(分析】(1)由ZAOB=120°,ZCOD=60°,得至I」ZAOC+ZBOD=ZAOB-ACOD=120°-60。=60。，而ZBOD=30°,

即可求出/AOC的度數(shù)；

(2)由角平分線定義，得至1]40￡>=6。°-1/80(7,而ZAOC=1200_ZBOC,即可證明/AOC=2/OOE；

(3)由余角的定義，得至1]44。尸+義8。。=180。一(440。+/80￡>),而ZAO3=120。，ZCOD=60°,即可

求出/AOP+/B。。的度數(shù)，從而得出結論.

【詳解】(1)解：QZAOB=120°,NCOD=60。，

ZAOC+ZBOD=ZAOB-ZCOD=120°-60°=60°,

ZBOD=30°,.?.ZAOC=60o-30o=30°；

(2)OE平分NBOC,:.ZCOE=-ZBOC,

2

ZEOD=ZCOD-ZCOE,/COD=60。，z.ZEOD=60°--ZBOC,

2

.ZAOC=ZAOB-ZBOC,ZAOB=120°,ZAOC=120°-ZBOC,:.ZAOC=2ZEOD■

(3),ZAOP+ZAOC=90°,..ZAOP=900-ZAOC,

ZBOQ+ZBOD=90°,ZBOQ=900-ZBOD,

ZAOP+ZBOQ=180°-(ZAOC+ZBOD)=180°-(ZAOB-ZCOD),

QZAOB=120°,ZCOD=60°,z.ZAOP+ZBOQ=180°-（120°-60°）=120°.

【點睛】本題考查余角和補角，角平分線定義，關鍵是應用角平分線定義，角的和差表示出有關的角.

23.（2023秋?湖北鄂州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，ZAOB=90°,/COD=90。，Q4平分/COE,/BOD=n。

（0<n<90）.

⑴求NOOE的度數(shù)（用含〃的式子表示）；

請將以下解答過程補充完整：

解：因為NAO3=90。，所以/BOD+/AOD=90。，

因為NCOD=90。，所以NAOC+NAC?=90。，

所以NBOD=/①,（理由：②）,

因為/BOD=〃。，所以NAOC=〃。，

因為。4平分/COE,所以N③=2NAOC,（理由：④）

所以ZDOE=/COD—N⑤=⑥°,

（2）用等式表示ZAOD與-3OC的數(shù)量關系，并說明理由.

【答案】（1）①AOC:②同角的余角相等；@COE；④角平分線的定義；⑤COE；?（90-2?）

（2）ZAOD+Z.BOC=180°,理由見解析

【分析】（1）由同角的余角相等可得/3OD=/AOC,結合角平分線的定義可得/COE=2/AOC,進而可

求解〃OE的度數(shù)；（2）由角的和差問題可求解NAOD+/BOC=180。，即可求解.

【詳解】（1）解：QZAOB=90°,:.Z.BOD+ZAOD=90°,

ZCOD=90°,ZAOC+ZAOD^90°,:.ZBOD=ZAOC（理由：同角的余角相等），

ZBOD=n°,ZBOD=n°,以平分/COE,

:.ZCOE=2ZAOC（理由：角平分線的定義），.?./r>OE=NCOD-NCOE=（9（A2”）。，

故答案為：①AOC；②同角的余角相等；