第41頁（共41頁）第四章B卷一．選擇題（共8小題）1．已知{an}是等比數(shù)列，前n項和為Sn，且滿足a1+a4=94，S6＝9S3，則a1a2+a2a3+…A．16(1-4-nC．124(4n2．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn=2an+n2-4n+2，且ar，as的等差中項為11（A．4 B．8 C．10 D．123．已知數(shù)列{an}滿足an=sin(nπ2+π6A．-32 B．-12 C．34．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第n層有an個球，則數(shù)列{1anA．4021 B．382 C．2021 5．已知斐波那契數(shù)列{Fn}滿足F1＝F2＝1，F(xiàn)n＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3，n∈N*）．盧卡斯數(shù)列{Ln}滿足L1＝1，且Ln+1＝Fn+Fn+2（n∈N*），則F2025＝（）A．25L2022+1C．15L2024+6．對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋科學家沈括首創(chuàng)的“隙積術”就與高階等差級數(shù)求和有關．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個貨物，第二層比第一層多3個，第三層比第二層多4個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為an，則a19＝（）A．210 B．209 C．211 D．2077．古典吉他的示意圖如圖所示．A0，B分別是上弦枕、下弦枕，Ai（i＝1，2，…，19）是第i品絲．記ai為Ai與Ai﹣1的距離，Li為Ai與A0的距離，且滿足ai=xL-Li-1M，i＝1，2，…，19，其中xL為弦長（A0與BA．數(shù)列a1，a2，…，a19是等差數(shù)列，且公差為-XB．數(shù)列a1，a2，…，a19是等比數(shù)列，且公比為M-C．數(shù)列L1，L2，…，L19是等比數(shù)列，且公比為2MD．數(shù)列L1，L2，…，L19是等差數(shù)列，且公差為(8．記首項為1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且{Snn}是以2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列A．100101 B．51100 C．49100 二．多選題（共4小題）（多選）9．下列結論錯誤的是（）A．已知{an}為一個數(shù)列，那么對任意正整數(shù)n，均有an＝Sn﹣Sn﹣1 B．對于任意實數(shù)a、b，一定存在實數(shù)c，使得c為a、b的等比中項 C．若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+bn+D．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{3an}（多選）10．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S7＜S8，S8＝S9，S9＞S10，則（）A．a(chǎn)9＝0 B．數(shù)列{an}是遞減數(shù)列 C．S9＜0 D．S9＝S12（多選）11．若數(shù)列{an}滿足a1=12，an-an+1-2anan+1=0(n∈NA．12025B．{Sn}是等比數(shù)列 C．數(shù)列{1an-bD．b（多選）12．記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a10＝9，S10＝0，則（）A．{|an|}的前10項和為50 B．{an}是遞增數(shù)列 C．當n＝4時，Sn取得最小值 D．若Sn＞0，則n的最小值為11三．填空題（共5小題）13．在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2，令數(shù)列{1anan+1}的前n項和為Tn，則T15．已知數(shù)列{an}滿足an?an+1?an+2=-13，若a1＝﹣1，a2=19，則{an}的前n項積的最大值為16．已知等差數(shù)列{an}中，前2m+1項和為77，這2m+1項中的偶數(shù)項之和為33，且a2m+1＝2，則數(shù)列{an}的通項公式an＝．17．設正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an+1=1Sn+1+S四．解答題（共5小題）18．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an（1）求數(shù)列{an}的通項公式．（2）設bn＝（2n+1）an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．（3）在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列，在數(shù)列{dn}中是否存在3項dm，dk，dp（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由．19．已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn＝log2an?log2an+1，求數(shù)列{1bn}的前202520．已知數(shù)列{an}滿足：12a1+122a2+?+12n（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求證：{1bn}是等差數(shù)列，并求{（3）設cn=1an?bn，求數(shù)列{c21．已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列且公比大于0，a1＝2，b1＝3，2a3＝5（a5﹣a4），6b3＝b5﹣b4．（1）求{an}和{bn}的通項公式；（2）設cn＝（﹣1）n﹣1（16nan?an+1-1bn）（n∈N*），記數(shù)列{c22．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝n2+n．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}總滿足bn=1an2-1，求數(shù)列{bn}

第四章B卷參考答案與試題解析題號12345678答案CDCACBBD一．選擇題（共8小題）1．已知{an}是等比數(shù)列，前n項和為Sn，且滿足a1+a4=94，S6＝9S3，則a1a2+a2a3+…A．16(1-4-nC．124(4n【考點】求等比數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列通項公式的應用．【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式，求出a1和q，再根據(jù)等比數(shù)列的性質，即可求出a1a2+a2a3+…+anan+1的值．【解答】解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S6＝9S3，所以a1+a2+a3+a4+a5+a6＝9（a1+a2+a3），所以a4+a5+a6＝8（a1+a2+a3），所以q3＝8，解得q＝2，因為a1+a4=所以an=1所以a1故選：C．【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，屬于中檔題．2．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn=2an+n2-4n+2，且ar，as的等差中項為11（A．4 B．8 C．10 D．12【考點】數(shù)列遞推式；等差中項及其性質．【專題】函數(shù)思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】D【分析】由已知可得數(shù)列{an﹣2n+1}是常數(shù)列{0}，求出數(shù)列{an}的通項公式，再由等差數(shù)列的性質列式求解．【解答】解：由Sn=2得a1＝S1＝2a1﹣1，則a1＝1．當n≥2時，有Sn-①﹣②得：an﹣2an﹣1＝﹣2n+5，n≥2，∴an﹣2n+1＝2[an﹣1﹣2（n﹣1）+1]，n≥2，∵a1﹣2×1+1＝0，則數(shù)列{an﹣2n+1}是常數(shù)列{0}，則an﹣2n+1＝0，可得an＝2n﹣1，由ar，as的等差中項為11，可得2r﹣1+2s﹣1＝22，則r+s＝12．故選：D．【點評】本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項公式的求法，考查運算求解能力，是中檔題3．已知數(shù)列{an}滿足an=sin(nπ2+π6A．-32 B．-12 C．3【考點】數(shù)列的求和．【專題】轉化思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；三角函數(shù)的求值；運算求解．【答案】C【分析】計算數(shù)列{an}的前幾項，推得數(shù)列{an}是最小正周期為4的數(shù)列，且一個周期的和為0，可得所求和．【解答】解：數(shù)列{an}滿足an可得a1＝sin2π3=32，a2＝sin7π6=-12，a3＝sin5π3=-32，a4＝即有數(shù)列{an}是最小正周期為4的數(shù)列，且一個周期的和為0，可得S2025＝506×（a1+a2+a3+a4）+a1＝0+3故選：C．【點評】本題考查數(shù)列的求和，求得數(shù)列的周期性是解題的關鍵，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．4．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第n層有an個球，則數(shù)列{1anA．4021 B．382 C．2021 【考點】數(shù)列的求和；歸納推理．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】A【分析】由題意可得：a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，……，可得an＝1+2+3+…+n，利用求和公式即可得出an，再利用裂項求和即可得出結論．【解答】解：由題意可得：a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，……，∴an＝1+2+3+…+n=n∴1an=2∴數(shù)列{1an}的前20項和為2×[（1-12）+（12-13）+…+（1故選：A．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5．已知斐波那契數(shù)列{Fn}滿足F1＝F2＝1，F(xiàn)n＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3，n∈N*）．盧卡斯數(shù)列{Ln}滿足L1＝1，且Ln+1＝Fn+Fn+2（n∈N*），則F2025＝（）A．25L2022+1C．15L2024+【考點】數(shù)列遞推式．【專題】方程思想；轉化法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；邏輯思維．【答案】C【分析】由Ln+1＝Fn+Fn+2（n∈N*），推得L2024＝F2023+F2025，L2026＝F2025+F2027，再由Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3，n∈N*），推得F2027＝3F2025﹣F2023，解方程可得結論．【解答】解：由Ln+1＝Fn+Fn+2（n∈N*），可得L2024＝F2023+F2025，①L2026＝F2025+F2027，F(xiàn)2027＝F2025+F2026＝F2025+F2024+F2025＝2F2025+F2023+F2022＝2F2025+F2025﹣F2024+F2022＝3F2025﹣F2023，所以L2026＝4F2025﹣F2023，②①+②可得L2024+L2026＝5F2025，則F2025=15L2024+1故選：C．【點評】本題考查數(shù)列的遞推式的運用，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．6．對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋科學家沈括首創(chuàng)的“隙積術”就與高階等差級數(shù)求和有關．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個貨物，第二層比第一層多3個，第三層比第二層多4個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為an，則a19＝（）A．210 B．209 C．211 D．207【考點】等比數(shù)列的通項公式．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得出：（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a19﹣a18）＝3+4+...+20，然后即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得：a2﹣a1＝3，a3﹣a2＝4，…，a19﹣a18＝20，且a1＝2，∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a19﹣a18）＝a19﹣2＝3+4+...+20=18×(3+20)∴a19＝209．故選：B．【點評】本題考查了等差數(shù)列的前n項和公式，是中檔題．7．古典吉他的示意圖如圖所示．A0，B分別是上弦枕、下弦枕，Ai（i＝1，2，…，19）是第i品絲．記ai為Ai與Ai﹣1的距離，Li為Ai與A0的距離，且滿足ai=xL-Li-1M，i＝1，2，…，19，其中xL為弦長（A0與BA．數(shù)列a1，a2，…，a19是等差數(shù)列，且公差為-XB．數(shù)列a1，a2，…，a19是等比數(shù)列，且公比為M-C．數(shù)列L1，L2，…，L19是等比數(shù)列，且公比為2MD．數(shù)列L1，L2，…，L19是等差數(shù)列，且公差為(【考點】數(shù)列的應用；等差數(shù)列的性質；等比數(shù)列的性質．【專題】轉化思想；定義法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；運算求解．【答案】B【分析】由題意，可得XL＝a1M，進而推得aiM＝a1M﹣（a1+a2+?+ai﹣1），在此基礎上進行變換，可得ai【解答】解析：取i＝1，依題意a1=XL-L0M又Li＝a1+a2+?+ai，從而ai即aiM＝a1M﹣（a1+a2+?+ai﹣1），所以ai﹣1M＝a1M﹣（a1+a2+?+ai﹣2），相減得aiM﹣ai﹣1M＝﹣ai﹣1，即ai所以，數(shù)列a1，a2，…，a19是以a1＝|A0A1|為首項，公比為q=故選：B．【點評】本題考查數(shù)列的應用，屬難題．8．記首項為1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且{Snn}是以2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列A．100101 B．51100 C．49100 【考點】等差數(shù)列的性質．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的性質求出Sn，再利用裂項相消法求和即可．【解答】解：因為首項為1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，所以a1＝S1＝1，令bn=S由題意得{bn}是以2為公差的等差數(shù)列，故bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即Sn得到Sn=2n其前100項和為12[(1-1故選：D．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，裂項法求數(shù)列的前n項和的方法，是中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．下列結論錯誤的是（）A．已知{an}為一個數(shù)列，那么對任意正整數(shù)n，均有an＝Sn﹣Sn﹣1 B．對于任意實數(shù)a、b，一定存在實數(shù)c，使得c為a、b的等比中項 C．若數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+bn+D．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{3an}【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】ABC【分析】結合數(shù)列和與項的遞推關系檢驗選項A；結合等比數(shù)列的性質檢驗選項B；結合等差數(shù)列的求和公式檢驗選項C；結合等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義檢驗選項D．【解答】解：當n＝1時，A顯然錯誤；當a＝﹣1，b＝1時，B顯然錯誤；當c≠0時，C顯然錯誤；若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則an﹣an﹣1＝d，所以n≥2時，3an3an-1=3a故選：ABC．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用，屬于中檔題．（多選）10．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S7＜S8，S8＝S9，S9＞S10，則（）A．a(chǎn)9＝0 B．數(shù)列{an}是遞減數(shù)列 C．S9＜0 D．S9＝S12【考點】等差數(shù)列前n項和的性質；求等差數(shù)列的前n項和．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】AB【分析】由題意可得數(shù)列的前8項為正數(shù)，第9項為0，從第10項開始為負數(shù)，各個選項驗證可得答案．【解答】解：∵S7＜S8，S8＝S9＞S10，∴a8＞0，a9＝0，a10＜0，∴A正確，∵d＝a10﹣a9＜0，∴B正確，∵數(shù)列的前8項為正數(shù)，第9項為0，從第10項開始為負數(shù)，∴S9＞0，∴C不正確，∵S12﹣S9＝a12+a11+a10＝3a11＜0，∴D錯誤．故選：AB．【點評】本題考查等差數(shù)列的求和公式，等差數(shù)列的單調性，屬中檔題．（多選）11．若數(shù)列{an}滿足a1=12，an-an+1-2anan+1=0(n∈NA．12025B．{Sn}是等比數(shù)列 C．數(shù)列{1an-bD．b【考點】數(shù)列遞推式；等比數(shù)列的概念與判定；數(shù)列求和的其他方法．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】CD【分析】依題意可得{1an}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，即可求出{an}的通項公式，再由bn=S1，n=1Sn-Sn-【解答】解：若數(shù)列{an}滿足a1=1所以1an+1所以{1an}是首項為2，公差為則an=12n數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且Sn＝2bn﹣1，可得，當n＝1時S1＝2b1﹣1，解得b1＝1，又n≥2時，Sn﹣1＝2bn﹣1﹣1，則2bn﹣2bn﹣1＝bn，整理得bn＝2bn﹣1，所以數(shù)列{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則bn則Sn=2n-1，所以Sn+1由1a所以數(shù)列{1an-?n=(2+4?+2n由bnan=n×2n，數(shù)列{bnan}的前n項和Tn所以2T所以-T所以Tn=(n-1)×2n+1+2，即b1a1+b故選：CD．【點評】本題考查數(shù)列的通項與求和的關系、等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、求和公式，以及數(shù)列的錯位相減法求和、分組求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．（多選）12．記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a10＝9，S10＝0，則（）A．{|an|}的前10項和為50 B．{an}是遞增數(shù)列 C．當n＝4時，Sn取得最小值 D．若Sn＞0，則n的最小值為11【考點】等差數(shù)列前n項和的性質；等差數(shù)列通項公式的應用．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，結合等差數(shù)列的公式，求出首項和公差，再結合等差數(shù)列的前n項和公式，即可求解．【解答】解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，a10＝9，S10＝0，則a1+9d=910an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11，故{|an|}的前10項和為：9+7+5+3+1+1+3+5+7+9＝50，A對；Sn＝na1+n(n-1)2d＝n2﹣10n＝（n﹣當n＝5時，Sn取得最小值﹣25，故C錯誤；Sn＞0，則n2﹣10n＞0，解得n＞10或n＜0（舍去），故Sn＞0，則n的最小值為11，故D正確．故選：ABD．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）13．在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=2n【考點】數(shù)列遞推式．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】2n﹣1．【分析】根據(jù)給定條件，利用累加法和等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求通項公式．【解答】解：由題意可得，當n≥2時，a=1-2n1-2=2所以an故答案為：2n﹣1．【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的求和二公司，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2，令數(shù)列{1anan+1}的前n項和為Tn，則T【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】20254051【分析】由數(shù)列的通項與求和的關系，推得an＝2n﹣1，再由數(shù)列的裂項相消求和，可得所求和．【解答】解：數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2，可得a1＝S1＝1，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，對n＝1也成立，則1ana可得T2025=12（1-13+13-15故答案為：20254051【點評】本題考查數(shù)列的通項與求和的關系，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．15．已知數(shù)列{an}滿足an?an+1?an+2=-13，若a1＝﹣1，a2=19，則{an}的前n項積的最大值為【考點】數(shù)列遞推式．【專題】函數(shù)思想；轉化法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；運算求解．【答案】13【分析】由遞推關系可得數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，進而得到數(shù)列{Tn}是以3為周期的周期數(shù)列，由此可得Tn最大值．【解答】解：由an?an+1?an+2=-13，得：an+1?an+2?an兩式相除得：an+3an=1，即an∴數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，由a1＝﹣1，a2=19，得則a1＝﹣1，a2=19，a3＝3，a4＝﹣1，a5=19，a記數(shù)列{an}的前n項積為Tn，∴（Tn）max=T故答案為：13【點評】本題主要考查數(shù)列的遞推式，考查轉化能力，屬于中檔題．16．已知等差數(shù)列{an}中，前2m+1項和為77，這2m+1項中的偶數(shù)項之和為33，且a2m+1＝2，則數(shù)列{an}的通項公式an＝23﹣3n．【考點】由等差數(shù)列的前n項和求解數(shù)列；等差數(shù)列的性質；等差數(shù)列的通項公式．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】23﹣3n．【分析】由已知結合等差數(shù)列的性質及求和公式即可求解．【解答】解：等差數(shù)列{an}中，前2m+1項和為77，這2m+1項中的偶數(shù)項之和為33，則奇數(shù)項的和為44，則a1+a3+…+a2m+1＝（m+1）am+1＝44，a2+a4+…+a2m＝mam+1＝33，兩式相除可得，m+1m=43，即m＝3，因為a2m+1＝a7＝2，則d=a7數(shù)列{an}的通項公式an＝a4﹣3（n﹣4）＝23﹣3n．故答案為：23﹣3n．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質及求和公式的應用，屬于基礎題．17．設正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an+1=1Sn+1+Sn【考點】數(shù)列遞推式．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】n+3-【分析】由an+1＝Sn+1﹣Sn，推得（Sn+1+1）2﹣（Sn+1）2＝1，結合等差數(shù)列的定義和通項公式，可得所求．【解答】解：正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an又an+1＝Sn+1﹣Sn，則（Sn+1﹣Sn）（Sn+1+Sn+2）＝1，可得Sn+12-Sn2+2Sn化為（Sn+1+1）2﹣（Sn+1）2＝1，由于an＞0，可得Sn＞0，則數(shù)列{（Sn+1）2}是公差為1的等差數(shù)列，則（Sn+1）2＝（S1+1）2+n﹣1＝4+n﹣1＝n+3，即有Sn+1=n+3，可得Sn=故答案為：n+3-【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義、通項公式，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）18．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an（1）求數(shù)列{an}的通項公式．（2）設bn＝（2n+1）an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．（3）在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列，在數(shù)列{dn}中是否存在3項dm，dk，dp（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由．【考點】數(shù)列遞推式；錯位相減法．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】（1）an＝2n；（2）Tn=(2n-1)×2n+1+2；（3）不存在符合條件的3項【分析】（1）由題可得a2＝a1+2，a3＝a1+a2+2，設{an}的公比為q，列出關于a1，q的方程，求解即可得到{an}的公通項公式．（2）利用錯位相減求和直接求解即可．（3）由等差數(shù)列可得dn=2n+1-2nn+1=2nn+1，設m＝k﹣θ，p＝k+θ【解答】解：（1）由an+1＝Sn+2可得，a2＝S1+2＝a1+2，a3＝S2+2＝a1+a2+2，設等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），則有a1q=所以an（2）由（1）可得，bn則Tn=3×2+5×2則2Tn①﹣②可得，-＝2+2×（2+22+23+?+2n）﹣（2n+1）×2n+1=2+2×2×(1-2n)1-2-(2n+1)×2n所以Tn（3）由（1）知，an+1=設m＝k﹣θ，p＝k+θ，則dm=2k-令(2即22顯然只有當θ＝0時，等號成立，所以不存在符合條件的3項dm，dk，dp．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的性質與通項公式，錯位相減求和，等差數(shù)列的性質，等差數(shù)列的通項公式，指數(shù)與指數(shù)冪的運算，屬于中檔題．19．已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn＝log2an?log2an+1，求數(shù)列{1bn}的前2025【考點】數(shù)列的求和．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】（1）an（2）S2025【分析】（1）設等比數(shù)列{an}的公比為q，由條件結合等比數(shù)列性質及通項公式可求q，再求a1，由此可得數(shù)列{an}的通項公式；（2）由（1）結合條件求bn，1bn，再【解答】解：（1）等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，設公比為q，q＞0，由2a則a4解得q＝2，所以2a1+2a1＝8，解得a1＝2．所以an（2）因為bn所以1bSn所以S2025【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列的裂項相消求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．20．已知數(shù)列{an}滿足：12a1+122a2+?+12n（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求證：{1bn}是等差數(shù)列，并求{（3）設cn=1an?bn，求數(shù)列{c【考點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】（1）an（2）證明見解析；bn（3）Tn【分析】（1）利用作差法，結合數(shù)列的遞推式求得an，并檢驗即可得解；（2）利用“取倒數(shù)法”證得{1（3）利用錯位相減法即可得解．【解答】解：（1）數(shù)列{an}滿足12可得，當n＝1時，12a1=1，則a當n≥2時，12兩式相減，得12na顯然上式對n＝1也成立，綜上，an（2）證明：數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn知bn≠0，且1b兩邊取倒數(shù)可得1bn+1所以{1bn}是首項為則1bn=1+2(（3）由an＝2n，bn=1得cn則Tn所以12兩式相減，得1=12+所以Tn【點評】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與求和公式，以及數(shù)列的錯位相減法求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．21．已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列且公比大于0，a1＝2，b1＝3，2a3＝5（a5﹣a4），6b3＝b5﹣b4．（1）求{an}和{bn}的通項公式；（2）設cn＝（﹣1）n﹣1（16nan?an+1-1bn）（n∈N*），記數(shù)列{c【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】（1）an＝4n﹣2，bn＝3n；（2）Sn=2【分析】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公差、公比，即可得到所求；（2）由數(shù)列的分組求和，結合數(shù)列的并項求和、等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和．【解答】解：（1）{an}為等差數(shù)列，設公差為d，{bn}為等比數(shù)列且公比q大于0，由a1＝2，b1＝3，2a3＝5（a5﹣a4），6b3＝b5﹣b4，可得2（2+2d）＝5d，18q2＝3q3（q﹣1），解得d＝4，q＝3，則an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2，bn＝3n；（2）cn＝（﹣1）n﹣1（16nan?an+1-1bn）＝（﹣1）n﹣1[16n(4n-2)(4n+2)-當n為偶數(shù)時，數(shù)列{cn}的前n項和Sn＝1+13-（13+15）+...﹣（12n-1+1當n為奇數(shù)時，Sn＝Sn﹣1+2n-22n綜上，可得Sn=2【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、求和公式，以及數(shù)列的分組求和，考查分類討論思想和運算能力，屬于中檔題．22．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝n2+n．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}總滿足bn=1an2-1，求數(shù)列{bn}【考點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【專題】轉化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】（1）an＝2n，n∈N*；（2）Tn=n【分析】（1）由數(shù)列的通項與求和的關系，化簡可得所求通項公式；（2）由數(shù)列的裂項相消求和，化簡可得所求和．【解答】解：（1）數(shù)列{an}中，a1＝2，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝n2+n，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，上式對n＝1也成立，所以an＝2n，n∈N*；（2）數(shù)列{bn}總滿足bn=1an則數(shù)列{bn}的前n項和Tn=12（1-13+13-15【點評】本題考查數(shù)列的通項與求和的關系，以及數(shù)列的裂項相消求和，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．等差數(shù)列的性質【知識點的認識】等差數(shù)列如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項和公式為：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝a等差數(shù)列的性質（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項，特別地，當s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項不一定選a1）．【解題方法點撥】例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個實根．（1）求此數(shù)列{an}的通項公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項？若是，是第多少項？若不是，說明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數(shù)列，設首項為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數(shù)列的第136項．這是一個很典型的等差數(shù)列題，第一問告訴你第幾項和第幾項是多少，然后套用等差數(shù)列的通項公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來了．第二問判斷某個數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項，其實就是要你檢驗看符不符合通項公式，帶進去檢驗一下就是的．2．等差中項及其性質【知識點的認識】等差數(shù)列如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項和公式為：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝a等差數(shù)列的性質（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項，特別地，當s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項不一定選a1）．【解題方法點撥】﹣定義：等差數(shù)列中的任意三項an﹣1，an，an+1滿足an﹣性質：利用等差中項的性質求解數(shù)列相關問題．【命題方向】常見題型包括利用等差中項的定義和性質求解數(shù)列中的項，結合具體數(shù)列進行分析．設a＞0，b＞0，若1是4a與2b的等差中項，則2a+1解：a＞0，b＞0，1是4a與2b的等差中項，∴4a+2b＝2，∴2a+b＝1，∴2a+1b=（2a+1b）（2a+b當且僅當2a則2a+1故答案為：9．3．等差數(shù)列的通項公式【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，已知等差數(shù)列的首項a1，公差d，那么第n項為an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m項為am，則第n項為an＝am+（n﹣m）d．【解題方法點撥】eg1：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2+1，求數(shù)列{an}的通項公式，并判斷{an}是不是等差數(shù)列解：當n＝1時，a1＝S1＝12+1＝2，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an=2把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差數(shù)列考察了對概念的理解，除掉第一項這個數(shù)列是等差數(shù)列，但如果把首項放進去的話就不是等差數(shù)列，題中an的求法是數(shù)列當中常用到的方式，大家可以熟記一下．eg2：已知等差數(shù)列{an}的前三項分別為a﹣1，2a+1，a+7則這個數(shù)列的通項公式為解：∵等差數(shù)列{an}的前三項分別為a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴數(shù)列an是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．這個題很好的考察了的呢公差數(shù)列的一個重要性質，即等差中項的特點，通過這個性質然后解方程一樣求出首項和公差即可．【命題方向】求等差數(shù)列的通項公式是一種很常見的題型，這里面往往用的最多的就是等差中項的性質，這也是學習或者復習時應重點掌握的知識點．4．等差數(shù)列通項公式的應用【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，已知等差數(shù)列的首項a1，公差d，那么第n項為an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m項為am，則第n項為an＝am+（n﹣m）d．【解題方法點撥】﹣代入計算：將具體問題中的n值代入通項公式，計算數(shù)列的具體項．﹣推導公式：根據(jù)實際問題推導出數(shù)列的通項公式．﹣綜合應用：將通項公式與其他數(shù)列性質結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的通項公式計算具體項，推導數(shù)列公式，解決實際問題．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，an+1＝an+3，若an＝20，則n等于_____．解：∵an+1＝an+3，an+1﹣an＝3，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且d＝3，∵a1＝5，an＝20，∴20＝5+（n﹣1）×3，∴n＝6，5．求等差數(shù)列的前n項和【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點撥】﹣代入計算：將具體問題中的n值代入前n項和公式，計算數(shù)列的前n項和．﹣推導公式：根據(jù)實際問題推導出數(shù)列的前n項和公式．﹣綜合應用：將前n項和公式與其他數(shù)列性質結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的前n項和公式計算具體項，推導數(shù)列和公式，解決實際問題．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝a3，a4＝5，則Sn＝_____．解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S3＝a3，∴a1+a2＝a1+a1+d＝0，又∵a4＝5，∴a1+3d＝5，解得，a1＝﹣1，d＝2，故Sn＝n?a1+n(n-1)2?2＝故答案為：n2﹣2n．6．由等差數(shù)列的前n項和求解數(shù)列【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點撥】﹣設未知數(shù)：假設通項公式，利用前n項和公式求解參數(shù)．﹣遞推關系：利用等差數(shù)列的遞推關系和前n項和公式推導出通項公式．﹣綜合應用：將前n項和公式與通項公式結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的前n項和公式反向推導通項公式，求解數(shù)列的具體項．在等差數(shù)列{an}中，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知：a2+a5＝﹣10，S5＝﹣30．求數(shù)列{an}的通項公式．解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a2+a5＝﹣10，S5＝﹣30，∴2a1+5故an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣12，故數(shù)列{an}的通項公式為：an＝2n﹣12．7．等差數(shù)列前n項和的性質【知識點的認識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點撥】等差數(shù)列的前n項和具有許多重要性質，如遞增性、遞減性、與通項公式的關系等．﹣性質分析：分析等差數(shù)列的前n項和的性質，如遞增性、遞減性等．﹣公式推導：根據(jù)等差數(shù)列的定義和前n項和公式，推導出數(shù)列的性質．﹣綜合應用：將前n項和的性質與其他數(shù)列性質結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的前n項和的性質分析數(shù)列的遞增性、遞減性，結合具體數(shù)列進行分析．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15，則Sn的最小值為_____．解：S3＝3a2＝﹣15，解得a2＝﹣5，故等差數(shù)列{an}的公差d＝a2﹣a1＝﹣5﹣（﹣7）＝2，∵a4＝a1+3d＝﹣1，a5＝a1+4d＝1，a3＝a2+d＝﹣5+2＝﹣3，∴當n＝4時，Sn取得最小值S4＝a1+a2+a3+a4＝﹣7﹣5﹣3﹣1＝﹣16．故答案為：﹣16．8．等比數(shù)列的性質【知識點的認識】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項公式：①第n項的通項公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個通項公式其實就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n項的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?a等比數(shù)列的性質（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數(shù)列；a1＞00＜q＜1或?a1【解題方法點撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運用了等比數(shù)列第n項的通項公式，這也是一個常用的方法，即知道某兩項的值然后求出公比，繼而可以以已知項為首項，求出其余的項．關鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．9．等比數(shù)列的概念與判定【知識點的認識】等比數(shù)列如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時，an為常數(shù)列．【解題方法點撥】﹣定義：對于等比數(shù)列an，如果存在常數(shù)r使得an+1a﹣判定：可以通過計算相鄰兩項的比值是否相同來判定是否為等比數(shù)列．﹣公式：通項公式為an=a1?r【命題方向】常見題型包括給出數(shù)列的若干項，判斷是否為等比數(shù)列，以及求解公比和通項公式．下面四個數(shù)列中是等比數(shù)列的為_____．（填序號）①1，1，2，4，8，16，32，64；②在數(shù)列{an}中，已知a2a1③常數(shù)列a，a，?，a，?；④在數(shù)列{an}中，an+1an=q（q為常數(shù)，且q≠0），其中解：對于①，∵11≠21，∴由等比數(shù)列的定義，知1，1，2，4，8，16，32，對于②，在數(shù)列{an}中，由a2a1=2，∴不能得到數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故②錯誤；對于③，常數(shù)列a，a，?，a，?中，當a＝0時，該數(shù)列是等比數(shù)列，故③錯誤；對于④，在數(shù)列{an}中，an+1an=q（q為常數(shù)，且q≠0），其中由等比數(shù)列的定義，得數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故④正確．故答案為：④．10．等比數(shù)列的通項公式【知識點的認識】1．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．2．等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1?qn﹣13．等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．G2＝a?b（ab≠0）4．等比數(shù)列的常用性質（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數(shù)列；a1＞00＜q＜1或a1＜11．等比數(shù)列通項公式的應用【知識點的認識】1．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．2．等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1?qn﹣13．等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．G2＝a?b（ab≠0）4．等比數(shù)列的常用性質（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數(shù)列；a1＞00＜q＜1或a1＜【解題方法點撥】﹣代入計算：將具體問題中的n值代入通項公式，計算數(shù)列的具體項．﹣推導公式：根據(jù)實際問題推導出數(shù)列的通項公式，并應用于實際問題中．﹣綜合應用：將通項公式與其他數(shù)列性質結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等比數(shù)列的通項公式計算具體項，推導數(shù)列公式，解決實際問題．已知等比數(shù)列{an}的通項公式an＝3n+2（n∈N*），則該數(shù)列的公比是_____．解：∵等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n+2（n∈N*），∴該數(shù)列的公比q=a212．求等比數(shù)列的前n項和【知識點的認識】1．等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項和為Sn，當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn=a2．等比數(shù)列前n項和的性質公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．【解題方法點撥】﹣代入計算：將具體問題中的n值和公比r代入前n項和公式，計算數(shù)列的前n項和．﹣公式推導：根據(jù)實際問題推導出等比數(shù)列的前n項和公式．﹣綜合應用：將前n項和公式與其他數(shù)列性質結合，解決復雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等比數(shù)列的前n項和公式計算具體和，推導數(shù)列和公式，解決實際問題．設等比數(shù)列{an}滿足a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，則S6＝_____．解：根據(jù)題意，設等比數(shù)列{an}的公比為q，由于a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，則a1+a故S613．數(shù)列的應用【知識點的認識】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實際應用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實際問題的結合．14．數(shù)列的求和【知識點的認識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項和公式：③幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項和，其中{an}為各項不為0（4）倒序相加法：推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求數(shù)列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即數(shù)列{bn}的前n項和Tn=n點評：該題的第二問用的關鍵方法就是裂項求和法，這也是數(shù)列求和當中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點，大家要學會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．15．錯位相減法【知識點的認識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等：錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．【解題方法點撥】﹣錯位相減：將數(shù)列{an×bn}的項乘以等比數(shù)列的公比q，再與數(shù)列{an×bn}的項進行相減，得到簡化的公式．﹣化簡公式：通過錯位相減法化簡求和公式，特別是等差和等比數(shù)列的求和．【命題方向】常見題型包括利用錯位相減法計算等差或等比數(shù)列的前n項和，結合具體數(shù)列進行分析．求和：1×21+2×22+3×23+…+n×2n．解：設Sn＝1×21+2×22+3×23+…+n×2n，∴2Sn＝1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，∴﹣Sn＝21+22+23+…+2n﹣n?2n+1=2(1-2n)1-2-n?2n+1＝（1﹣n）?2n+1﹣2，∴Sn16．數(shù)列求和的其他方法【知識點的認識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項和公式：③幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項和，其中{an}為各項不為0（4）倒序相加法：推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點撥】除了常用的方法外，還有其他數(shù)列求和的技巧，如變換法、分組法等．﹣變換法：通過對數(shù)列進行變換，使其成為已知形式的數(shù)列．﹣分組法：將數(shù)列項分組，利用分組結果求和．﹣應用：適用于處理復雜的數(shù)列和問題，特別是涉及多個數(shù)列項的求和．【命題方向】常見題型包括利用其他方法計算數(shù)列的前n項和，結合具體數(shù)列進行分析．已知數(shù)列{an}，Sn為{an}的前n項和，其中a1＝﹣1010，an+1=an+3，n為奇數(shù)解：因為an+1=a∴a1＝﹣1010，a2＝a1+3＝﹣1007，a3＝a2﹣1＝﹣1008，a4＝a3+3＝﹣1005，a5＝a4﹣1＝﹣1006，a6＝a5+3＝﹣1003，a7＝a6﹣1＝﹣1004，……，∴a2+a3＝﹣2015，a4+a5＝﹣2011，a6+a7＝﹣2007，……，令bn＝a2n+a2n+1，則數(shù)列{bn}是以﹣2015為首項，4為公差的等差數(shù)列，設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T1010＝1010×（﹣2015）+1010×10092又∵T1010＝a2+a3+a4+a5+……+a2020+a2021，∴S2021＝T1010+a1＝3030﹣1010＝2020．17．數(shù)列遞推式【知識點的認識】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系式：an=s在數(shù)列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關系，是本講內容一個重點，要認真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子．（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉化為只含an或Sn的關系式，然后再求解．【解題方法點撥】數(shù)列的通項的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1;;n≥2（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=（6）已知遞推關系求an，有時也可以用構造法（構造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an=a（7）求通項公式，也可以由數(shù)列的前幾項進行歸納猜想，再利用數(shù)學歸納法進行證明．18．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【知識點的認識】1、等差數(shù)列的性質（1