專題01平行線中的拐點(diǎn)模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型

平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟

悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（豬蹄模型（M型）與

鋸齒模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，

這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。

模型1:豬蹄模型（M型）與鋸齒模型

【模型解讀】

圖1圖2圖3

如圖1,①已知：AM//BN,結(jié)論：ZAPB=ZA+ZB；②已知：ZAPB=ZA+ZB,結(jié)論：AM//BN.

如圖2,已知：AM//BN,結(jié)論：ZPI+ZP3=ZA+ZB+ZP2.

如圖3,已知：AM//BN,結(jié)論：ZPI+ZP3+...+ZP2,1+I=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2?.

【模型證明】

（1）這個(gè)結(jié)論正確，理由如下：如圖1,過(guò)點(diǎn)尸作

'：PQ//AM,AM//BN,：.PQ//AM//BN,：.ZA=ZAPQ,NB=NBPQ,

：.ZA+ZB=ZAPQ+ZBPQ=ZAPB,即：ZAPB=ZA+ZB.

(2)根據(jù)(1)中結(jié)論可得，ZA+ZB+ZP2^ZP1+ZP3,

故答案為：ZA+ZB+ZP2=ZPI+ZP3,

(3)由(2)的規(guī)律得，ZA+ZB+ZP2+-+P2n=ZPl+ZP3+ZP5+-+ZP2n+l

故答案為：ZA+ZB+ZP2+-+P2n=ZPl+ZP3+ZP5+---+ZP2n+l

例1.（2023下?江蘇鹽城?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知b,則NACB的度數(shù)是（）

A.55°B,65°C.75°D.85°

【答案】B

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作直線。〃a,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/48=20。+45。.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作直線c〃a,則4=20。.

又:.c//b,.?.N2=45°,ZACD=Z1+Z2=20°+45°=65°.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì).關(guān)鍵是熟悉兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的知識(shí)點(diǎn).

例2.（2023春,安徽蚌埠?九年級(jí)校聯(lián)考期中）太陽(yáng)灶、衛(wèi)星信號(hào)接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物

線有關(guān).如圖，從點(diǎn)。照射到拋物線上的光線OC反射后沿著與PO平行的方向射出，已知圖中

ZABO=46°,ZOCD=88°,則/30C的度數(shù)為（）

A.116°B.124°C.134°D.135°

【答案】C

【分析】由平行線的性質(zhì)即可得出々。尸=46。，ZCOP=88°,再根據(jù)ZBOC=ZBOP+NCOP即可求解.

【詳解】由題意知48〃「0〃8回々。？=/4^0=46°,ZCOP=ZOCD=S8°

0ZBOC=ZBOP+Z.COP=134°^^：C.

【點(diǎn)睛】題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，牢記性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例3.（2023下?湖北黃岡?七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，回38=90。，A3配陀，則。與￡一定滿足的等式是（）

B.a+8=9U°C.P=3aD.a-。=90°

【答案】D

【分析】過(guò)C作根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行得到ABaD￡HCF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

Nl=N0,4/=180。一/2,作差即可.

【詳解】詳：過(guò)C作CF^AB,

^AB^DE,EL4BI3￡）￡EICF,0Zl=Z/7,Za=180°-Z2,

回/。-//=180°-/2-/1=180°-/30）=90°,故選：D.

【點(diǎn)睛】考查平行公理已經(jīng)平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，作出輔助線.

例4.（2023春?河南駐馬店?九年級(jí)專題練習(xí)）已知AB〃CD,ZEAF=-ZEAB,ZECF=-ZECD,若

33

NE=66°,則NF為（）

A.23°B.33°C.44°D.46°

【答案】C

【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)、角的和差可得?EAB1ECD?AEC66°,同樣的方法

22

可得NF=NFAB+NFCD,再根據(jù)角的倍分可得ZFAB=-ZEAB,ZFCD=-ZECD,由此即可得出答案.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG〃AB,則EG〃鉆〃CD,

AB

0TAEG彳誣3,CEG二？ECD,\EAB1ECD?AEG?CEG?AEC660,

同理可得：NF=ZFAB+ZFCD,/EAF=-/EAB,ZECF=-/ECD,

33

22

團(tuán)ZFAB=-/EAB,ZFCD=-/ECD,

2229

\?F?FAB?FCD-?EAB-?ECD-(?EAB?ECD)-?66鞍44,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例5.(2023下?江蘇南通?七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，已知AD〃CE,0BCF=0BCG,CT與SBAH的平

分線交于點(diǎn)F若0ABe的余角等于20ABe的補(bǔ)角，貝崛548的度數(shù)是.

【答案】60。/60度

【分析】首先設(shè)NBAF=x。，ZBCF=y°,過(guò)點(diǎn)B作過(guò)點(diǎn)F作/W〃AD,根據(jù)平行線的性質(zhì)，可

得ZAFC=(x+2y)。，ZABC=(2x+y)°,又由NAFC的余角等于2/4BC的補(bǔ)角，可得方程：

90-(x+2y)=180-2(2x+y),繼而求得答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)4AF=x。，NBCF=y°,

?;NBCF=NBCG,CF與的平分線交于點(diǎn)尸，

:.ZHAF=ZBAF=x°,ZBCG=ZBCF=y°,ZBAH=2x°,ZGCF=2y°,

過(guò)點(diǎn)8作3Af〃AD,過(guò)點(diǎn)尸作網(wǎng)〃AD,AD//CE,:.AD//FN//BM//CE,

ZAFN=ZHAF=x。，NCFN=ZGCF=2y°,ZABM=ABAH=2x°,ZCBM=ZGCB=y°,

.-.ZAFC=(x+2yy,ZABC=(2x+y)。，...乙用。的余角等于2ZABC的補(bǔ)角，

.-.90-(x+2y)=180-2(2x+>),解得：x=30):.ZBAH=60°,故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與判定以及余角、補(bǔ)角的定義.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法,

注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

例6.(2023下?湖北恩施?七年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，若/BAP=9(F-a,/APD=90。+,且NSAE=NCPP,

ZE=-a+20°,4=20-10°則a=

2

【答案】20。/20度

【分析】過(guò)點(diǎn)E作過(guò)點(diǎn)F作FN〃CD,則AB〃腔〃/W〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合

ZBAE=NCPF可證ZAEM=ZNFP,再根據(jù)ME〃月V推出=即可列式求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)￡作腔〃AB,過(guò)點(diǎn)尸作RV〃CD,

-,-ZBAP=90°-a,XAPD=9Q0+a,■-ZBAP+ZAPD=180°,

CD//AB,AB//ME//FN//CD.

■：AB//ME,FN//CD,AZBAE=ZAEM,ZNFP=ZCPF,

■：ZBAE=NCPF,ZAEM=Z.NFP,vZE=-a+20°,NF=2a-10。，

2

ZMEF=AE-ZAME--a+20°-ZAME,ZNFE=NF—NNFP=2a—10°—ZNFE,

2

?1-ME//FN,ZMEF=ZNFE,■--a+20°-ZAME=2a-100-ZNFE,

2

ZAEM=ZNFP,A-a+20°=2a-10°,解得＜z=20。，故答案為：20。.

2

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

例7.（2023下?江蘇南通?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知AB〃所，NC=4O。，寫(xiě)出x,y,z的關(guān)系式

【答案】x+y+z=220。

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CG〃AB,過(guò)點(diǎn)。作DH〃跖，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG〃AB,過(guò)點(diǎn)、D作DH〃EF,；.x=ZBCG,

NBCD=40°,ZGCD=ZBCD-ZBCG=40°-%,

QAB//EF,:.AB//CG//DH//EF,:.ZCDH=ZGCD=40°-x,

DH//EF,:.z+ZHDE=180°,/.z+(y-ZCDH)=z+y-(400-x)=180°,

.-.x+y+Z=220°,故答案為：x+y+z=220°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁

內(nèi)角互補(bǔ).

例8.（2023下?江西贛州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1已知：勖=25。，S\BED=80°,0D=55°.探究AB與

CD有怎樣的位置關(guān)系.（2）如圖2已知ABI3ER試猜想回團(tuán)EIF,EIBCF之間的關(guān)系，寫(xiě)出這種關(guān)系，并加

以證明.（3）如圖3已知ABM?,試猜想阻，02,03,04,回5之間的關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出這種關(guān)系，不用證

明.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）（3）團(tuán)1+03+05=02+國(guó)4

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EFMB,得EIBEF=25°,得團(tuán)DEF=55°,從而可證ABI3CD；

（2）作CDEIAB,根據(jù)平行線的傳遞性得CDI3EF,則根據(jù)平行線的性質(zhì)得EIBCD=EIB,EIDCF=EIF,所以

0BCD+0DCF=EB+[aF,故可得結(jié)論；（3）方法同（2）

【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)E作

032=25°038斯=回8=25°回團(tuán)2￡￡)=80°03。石尸=[38瓦)一0BEF=55°

^D=55°SSD=SDEF^\EF^CDEABEICD

(2)過(guò)點(diǎn)C作CZ50A2,則CDEIEF,

EIAB0CD,00BCD=0B,0CD0EF,00DCF=0F,

00BCD+0DCF=0B+0F,BP0C=0B+EIF.

(3)01+03+05=02+04,如圖，

作MNEIAB,由(2)的結(jié)論得到團(tuán)2=回1+團(tuán)6,04=05+07,

團(tuán)團(tuán)2+團(tuán)4二團(tuán)1+回6+回5+團(tuán)7=團(tuán)1+羽+團(tuán)5.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；兩直

線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).作出相關(guān)輔助線是解此題的關(guān)鍵.

例9.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)校考期中）已知：直線AB與直線8內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)尸，連接

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在直線CO上，連接PE,若ZB+NPEC=NP,求證：AB//CD■

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在直線A3與直線CD的內(nèi)部，點(diǎn)H在直線上，連接若

ZABP+ZPEH=ZP+ZJEHD,求證：AB//CD-

⑶如圖3,在（2）的條件下，BG、跳'分別是ZABP、NPE"的角平分線，3G和斯相交于點(diǎn)G,EF

和直線AB相交于點(diǎn)尸，當(dāng)5PJLPE時(shí)，若ZBFG=NEHD+10。,NBGE=36。,求NEHO的度數(shù).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）18。.

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)尸作PF〃45,推出NPEC=/EP7L進(jìn)而得尸尸〃8,根據(jù)平行公理的推論即可得證；

（2）分別過(guò)點(diǎn)尸和點(diǎn)E作PF〃他，EM\\CD,推出NPEM=NFPE,進(jìn)而得尸尸〃EM,根據(jù)平行公理

的推論即可得證；

(3)過(guò)點(diǎn)E作硒〃A5,同(1)(2)理證明NFEH=NFEN+ZNEH=NBFE+NEHD,設(shè)NEHD=a,

NPBG=f3,ZPEG=y,則/BPG=a+10。，結(jié)合角平分線得2,+2/=90。+1,用含a的式子代替夕，/,

代入2尸+2/=90。+T即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸尸〃AB,回？31BPF,

0Z5+APEC=ZBPE=ZBPF+ZEPF,同NPEC=NEPF,SPF//CD,SAB//CD-,

（2）證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)尸和點(diǎn)E作尸尸〃AB，EM\\CD,0ZABP=ZBPF,ZMEH=ZEHD,

0ZABP+NPEH=ZP+AEHD,即ZABP+ZPEM+ZMEH=ZBPF+ZFPE+ZEHD,

團(tuán)NPEM=NFPE,SPF//EM,SEM//AB,^AB//CD-,

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN〃AB,由（2）得AB〃CD,

^EN//CD,NBFE=/FEN,ZNEH=/EHD,

0ZFEH=ZFEN+ZNEH=ZBFE+ZEHD,

設(shè)NEHD=a,NPBG=（3,ZPEG=y,則/8RG=a+10°,

回BG、所分別是4BP、/尸EH的角平分線，回乙鉆尸=2#，ZPEH=2/

0BP±PE,0ZP=9O°,由（2）WZABP+ZPEH=ZP+ZEHD,回26+2/=90°+々，

0ZFEH=AFEN+ANEH=ZBFE+ZEHD,0/=a+10°+a=2a+10°,

0Z.BGE=36°,NFGB=180°-（ZBFG+NFBG）,NFGB=180。—Z.BGE,

13ZBFG+ZFBG=ZBGE=36°,Ea+10°+/7=36°,0/7=26°-a

|?]2（26o-tt）+2（2?+10o）=90o+?,0a=18°,即NEW。的度數(shù)為18°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，平角定義等知識(shí)，添加輔助

線，靈活運(yùn)用平行公理的推論是解題的關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023下?江蘇無(wú)錫?七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，a〃6,N3=70。，4-/2=10。，則/I的度數(shù)是（）

40°c.50°D.60°

【答案】B

【分析】作c〃人根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得Nl+N2=70。，結(jié)合4-/2=10。，兩式相加即可求出N1.

Z5=Z2,I3N4+N5=N1+N2=7O°,

0Z1-Z2=1O°,02Z1=8O°,0Z1=4O°,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，求出Nl+N2=70。是解題的關(guān)鍵.

2.（2023下?江蘇鎮(zhèn)江?七年級(jí)統(tǒng)考期末）將一副三角尺（厚度不計(jì)）如圖擺放，使邊與8邊互相平行,

C.110°D.105°

【答案】D

【分析】先根據(jù)三角板的特點(diǎn)得到ZB=30。，NECD=45。，再由平行線的性質(zhì)得到N3CD=/3=30。，則

由平角的定義可得Nl=180。—/BCD-ZECD=105°.

【詳解】解：由題意得：ZB=30。，NECD=45°,

SAB//CD,0ZBCD=ZB=30°,0Z1=180°-ZBCD-ZECD=105°,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角度的計(jì)算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023下?安徽馬鞍山?七年級(jí)校考期末）如圖，直線4〃/2，4=30。，貝|/2+/3=（）

A.150°B.210°C.230°D.240°

【答案】B

【分析】根據(jù)題意作直線/平行于直線h,再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如下圖，作直線/〃4，

回/1〃4，/〃4，Sli//l//l2,.-.Zl=Z4=30°,Z3+Z5=180°.

Z2=Z4+Z5,Z2+Z3=Z4+Z5+Z3=30°+180°=210°.故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)

角相等是解題關(guān)鍵.

4.（2022下?廣東七年級(jí)期中）如圖CD,CD//EF,BG±GF,D"是NCDF的平分線，

ZB=50°,G,D,P三點(diǎn)在一條直線上，則NGDH的度數(shù)為（）

A.110°B.140°C.80°D.100°

【答案】A

【分析】作GK〃AB,則N3GK=N3=50。，進(jìn)而求出ZFGK=40。，由平行線的傳遞性可證

AB//GK//CD//EF,從而NF=NCDG=/FGK=40°,由角平分線的定義求出/F國(guó)=70。，進(jìn)而可求

出NGZJH的度數(shù).

【詳解】作GK〃AB,則/3GK=4=50。.

0BG±GF,3ZBGF=90°,0ZFGK=90°-50°=40°.

SAB//CD,CD//EF,^AB//GK//CD//EF,

0ZF=Z.CDG=ZFGK=40°.0ZCDF=180°-ZC7X7=140°.

團(tuán)D”是ZCDF的平分線，0NCDH=ZFDH=-ZCDF=70°,

2

0ZGDH=180°-ZFGH=110°.故選A.

力----------------zB

G《------K

,-

EHF

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用一拐點(diǎn)問(wèn)題，常用的解答方法是過(guò)過(guò)拐點(diǎn)作其中一條線的平行線，

利用平行線的傳遞性說(shuō)明與另一條線也平行，然后利用平行線的性質(zhì)解答即可.

5.(2023?江蘇?七年級(jí)假期作業(yè))如圖，A3〃CD,點(diǎn)E在AC上，ZA=110°,ZD=15°,則下列結(jié)論正

確的個(gè)數(shù)是()

(1)AE=EC；(2)ZAEE>=85°；(3)ZA=Z.CED+ZD-(4)ABED=45°

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)E作跖〃9，根據(jù)平行線的性質(zhì)對(duì)每一項(xiàng)判斷即可解答.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作防

AB

產(chǎn)——F

cL.......—

^AB//CD,0ZA+ZC=180°,E1A45B與ACDE不全等，

又回點(diǎn)E在AC上，回?zé)o法判斷（1）是否正確；

^AB//CD,AB//EF,SEF//CD,

0ZA=11O°,〃=15°,0ZAEF=7O°,ZDEF=15°,0ZAED=85°,故（2）正確；

^AB//CD,AB//EF,^EF//CD,SZA=ZCEF,

SZA=ZCEF=ZCED+ZDEF,ZDEF=ZD,I3ZA=NCED+ZD,故（3）正確；

^AB//CD,?NB=NBEF,^EF//CD,?ZD=ZFED,0ABED=Z.BEF+Z.DEF,

HZA=110°,ZD=15。，回?zé)o法知道的度數(shù)，回?zé)o法判斷（4）是否正確；故答案為：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.（2023下?遼寧鐵嶺?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線用含夕，戶的式子表示/，則/的度數(shù)為（）

A.a+/3B.180。一々+￡C.180。一々一力D,a+/?-180°

【答案】C

【分析】過(guò)角夕的頂點(diǎn)作/3〃4，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/1=//1+/2=180。-￡,Z2=Z,即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)角夕的頂點(diǎn)作回/1=%/1+/2=180。-6

回/i〃4，回/3〃4，回/2=,回7=/2=180°—/1一￡=180°—戊一￡故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵.

7.（2023下?山東德州?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，ABd.BC,AE平分，54。交BC于點(diǎn)E,AEA.DE,

4+N2=90。，M,N分別是BACD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，ZEW和/EDN的平分線交于點(diǎn)R下列結(jié)論:

①ABHCD；（2）ZAEB+ZADC=180°；③DE■平分—WC；④/尸為定值；

其中結(jié)論正確的有（）

A.①④B.①②④C.①②③D.①③④

【答案】D

【分析】由AB13C,AELDE,可知Nl+ZA￡B=90°=ZA￡B+ZD￡C,則Nl=/r)EC,由Zl+N2=90°,

可得N￡)EC+N2=90。，則NC=90。，ZB+ZC=180°,可證A3〃CD,可判斷①的正誤；由AB〃C￡>,

可得N&W+/4r)C=180。，由可得NAEB+NAZXV180。，可判斷②的正誤；由AE平分

NBAD交BC于點(diǎn)、E,~^^ZEAD=Z1=-ZBAD,由/￡AD+ZEEH=90。，Nl+N2=90°,可得/EDA=/2,

2

則DE平分NADC,可判定③的正誤；由ZE4M和/EDN的平分線交于點(diǎn)R可得

NEAF=NMAF=工NEAM,NEDF=NNDF=工NEDN,由4+N2=90。，Z1+/FAM=1SO°.

22

N2+NEON=180°,可得NE4M+/EDZV=270。，ZEAF+ZEDF=^(ZEAM+ZEDN)=135°,根據(jù)

ZF=360°-Z￡AF-ZEDF-ZAED=135°,為定值，可判斷④的正誤.

【詳解】解：^AB.LBC,AELDE,

SZ1+ZAEB=90°=ZAEB+ZDEC,EIZ1=ZDEC,

0Z1+Z2=9OO,0ZDEC+Z2=9O°,

0ZC=9O°,0ZB+ZC=180°,^AB//CD,①正確，故符合要求；

@ABUCD,0ZBAZ>+ZADC=18O°,

又EINAEBwNEAD,0ZAEB+ZADC7^180°,②錯(cuò)誤，故不符合要求；

I3AE平分254。交BC于點(diǎn)E,0Z￡AD=Zl=1ZBAD,

0ZEAD+ZEDA=90°,Zl+Z2=90°,EIZEZM=Z2,

EIDE平分/ADC；③正確，故符合要求；I3ZE4M和NEDN的平分線交于點(diǎn)—

0ZEAF=ZMAF=-ZEAM,ZEDF=ZNDF=-ZEDN,

22

回4+N2=90。，Z1+Z￡W=18O°,N2+NEDN=180。，

07FAM+/EDN=270°,0NEAF+NEDF=1（ZEAM+NEDN）=135°,

0ZF=36OO-ZE4F-ZEDF-ZA￡D=135°,為定值；④正確，故符合要求；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.解題的關(guān)鍵在于明確角度之間

的數(shù)量關(guān)系.

8.（2022下?湖北省直轄縣級(jí)單位?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C島在A島的北偏東60。方向，在B島的北偏

西45。方向，則NACB=.

【答案】105。/105度

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD〃AE,從而可證明CE>〃3尸，然后由平行線的性質(zhì)可知"C4=NC4E,

ZDCB=ZCBF,從而可求得NACB的度數(shù).

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD〃AE.

■.■CD//AE,BF//AE,CD//BF.

■.■CD//AE,ZDCA=ZCAE=60°,同理：ZDCB=NCBF=45。.

ZACB=ZACD+ZBCD=105°,故答案為：105。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是方向角的定義和平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握此類問(wèn)題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵.

9.（2023下?江蘇揚(yáng)州?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，AB//CD,AELCE,NC=44。，則N1的度數(shù)等于—

【答案】134。

【分析】先添加輔助線則根據(jù)平行線的性質(zhì)可得跖〃AB〃CD,貝U有NBA￡=NAEF,

NDCE=NCEF=44°,再根據(jù)垂直的定義可得/AEC=90。，然后求出/54E=46。，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即

可得4=134°.

【詳解】如圖，過(guò)E作EFZMB,

SEF//AB//CD,^\ZBAE=ZAEF,ZDCE=ZCEF=44°,

SAE1CE,0ZAEC=9O°,SZAEF=ZBAE=46°,

0Zl+Za4E=18O°,13/1=134°,故答案為：134°.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、垂直，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2023下?江蘇連云港?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，。〃6,將直角三角尺的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)分別落在°、6上.若

Zl=65°,則N2等于

【答案】25

【分析】由平行線的性質(zhì)可得NABC+4MB=180。，由三角形的內(nèi)角和定理可求得ZABE+Z￡L4￡=90。，從

而可求得Zl+N2=90。，則可求N2的度數(shù).

【詳解】解：如圖，

^a//b,^ZABC+ZDAB=l80°,

在AABE中，ZABE+Z.BAE=90°,E|N2+N1=(ZABC-ZABE)+(N3AD—N3AE),

I3Z2+Z1=(ZABC+ADAB)-{ZABE+ZBAE),0Z2+Z1=180°-90°=90°,

回4=65。，0Z2=25°.故答案為：25.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

11.(2023下?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)階段練習(xí))如圖，已知：AB0CD,01=50°,國(guó)2=113。，貝峋3=_度.

【答案】63

【分析】如圖，易知回3=回2-m1,計(jì)算即可.

【詳解】如圖所示，

根據(jù)平行線的性質(zhì)易知團(tuán)3=回2—m1=113。-50。=63。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

12.(2023下?江蘇鎮(zhèn)江?七年級(jí)統(tǒng)考期中)探照燈、汽車(chē)燈及其他很多燈具都與拋物線形狀有關(guān)，如圖是一

探照燈燈碗的縱剖面，從位于。點(diǎn)的燈泡發(fā)出的兩束光線08,0c經(jīng)燈碗反射以后平行射出.若NAfiO=30。,

ZDCO=80°,則ZBOC的度數(shù)為.

【答案】110°

【分析】過(guò)點(diǎn)。作3〃AB,由AB〃C￡＞得OH〃CD,從而得到40"=4450=30。,

ZHOC=ZDCO=80°,最后根據(jù)ZBOC=ZBOH+N〃OC計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作如圖所示，

ZBOC=ZBOH+ZHOC=30°+80°=110°,故答案為：110°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)為：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2023上?江蘇常州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線a,b過(guò)等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A和C,且a〃8，/I=39。,

貝

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì).根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出ZB4C=60。，再根據(jù)

兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等即可得出答案.

【詳解】解：EIAABC是等邊三角形，044c=60。，

Ba//b,Zl=39°,0Z2=Z1+ABAC=39°+60°=99°.故答案為：99.

14.（2022下?江蘇宿遷?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線/〃機(jī)，Zl=28°,則N2+N3=.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求得.

【詳解】解：如圖

El直線/〃機(jī)，0Z3+Z4=18O°,

X0Z2=Z1+Z4,Zl=28°,0Z2+Z3=Z1+Z4+Z3=28°+18O°=2O8°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和三角形外角和定理，解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造出相對(duì)應(yīng)的角.

22

15.（2023下?江蘇蘇州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB〃CD,ZEAF=-ZBAF,ZECF--ZDCF,記

ZAEC=mZAFC,則m的值為.

--------------------D

【答案】|

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作FG〃/1B,則GF〃CD,依據(jù)平行線的性質(zhì)可證明NAFG=/54廣、NGFC=NFCD,同

理可證明ZAEC=ZBAE+ZDCE,然后結(jié)合已知條件可得到問(wèn)題的答案.

【詳解】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)尸作尸G〃AB.SFG//AB,^\ZAFG=ABAF.

^\FG\\AB,CD\\AB,^\GF//CD,0?GFC1FCD.

BZAFC=ZBAF+ZDCF.同理：ZAEC=ZBAE+ZDCE.

225

團(tuán)ZAEC=-ZBAF+ZBAF+-/DCF+NDCF=—（/BAF+ZDCF）

333V7

^ZAEC^mZAFC,S\m=-.故答案為：

33

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行線的判定和性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵.

16.（2023下?江蘇淮安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)課本中，有這樣一道題：已知：如圖1,ZB+ZC=ZBEC.求

證：AB〃CD請(qǐng)補(bǔ)充下面證明過(guò)程：

卻圖?

證明：過(guò)點(diǎn)E,忤EFUAB,如圖2

0ZB=Z_____()

^ZB+Z.C=ZBEC,ZBEF+Z.______=/BEC（已知）

SZB+ZC=ZBEF+ZFEC（）

0z=z

0EFH（）

0EF//ABSAB//CD

【答案】BEF；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；FEC；等量代換；C；FEC；DC；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行

【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成證明過(guò)程.

【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)E,作EFIIAB,如圖2,

:.ZB=ZBEF（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），

-.ZB+ZC=ZBEC,ZBEF+zLFEC=ZBEC（已知），

:.ZB+NC=NBEF+NFEC（等量代換）,

.-.ZC=ZFEC,EF//DC（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行），

?.-EF//AB,AB//CD.

故答案為：BEF,兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，F(xiàn)EC,等量代換，C,FEC,DC,內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確區(qū)分平行線的判定與性質(zhì)，并熟練運(yùn)用.

17.（2023下?江蘇?七年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測(cè)）如圖，AB//CD,/1+/2=110。，求NG的

度數(shù).

【答案】110°

【分析】過(guò)點(diǎn)6作3〃他，根據(jù)GM//AB//CD,進(jìn)而據(jù)平行線的性質(zhì)即可求/EGP的度數(shù).

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作GM〃AB,

EB

QABMCD,^GM//AB//CD,

S^1=^EGM,N2=NFGM,

0NEGF=ZEGM+NFGM=^1+^2=110°,

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作輔助線及靈活應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)解

決問(wèn)題.

18.（2023?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）在圖中，AB//CD,/E+NG與ZB+N尸+NO又有何關(guān)系？

【分析】此類題要過(guò)各個(gè)分點(diǎn)作已知直線的平行線，充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo).

【詳解】分別過(guò)E,F,G作的平行線，

AB//CD,AB//EM//FN//GH//CD,

貝此1=/3,N2=N3,N4=N5,N6=ZD,

.-.Z1+Z2+Z5+Z6=ZB+Z3+Z4+ZD,

即，ZE+ZG=ZB+ZF+ZD.

【點(diǎn)睛】此類題主要注意構(gòu)造輔助線：平行線，解題的關(guān)鍵是充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.

19.（2023?江蘇七年級(jí)月考）如圖所示，AB//CD,ZEAF=-ZEAB,ZECF=-ZECD.

44

3

求證：ZAFC=-ZAEC

4

【答案】詳見(jiàn)解析

【分析】連接AC,設(shè)!3EAF=x°,0ECF=y°,0EAB=4x°,0ECD=4y",根據(jù)平行線性質(zhì)得出自BAC+國(guó)ACD=180。,求

出EICAE+fflACE=180°-(4x°+4y"),求出團(tuán)AEC=4(x°+y°),0AFCEI3(x°+y°),即可得出答案.

【詳解】證明：連接AC,

0ABECD,fflBAC+0ACD=18O°,fflCAE+4x°+EACE+4y°=180°,

00CAE+0ACE=18O°-(4x°+4y"),EFAC+0FCA=18O°-(3x°+3y°)

EHAEC=180°-(0CAE+EIACE)=180*180°-(4x°+4y°)]=4x°+4y°=4(x°+y°),

0AFC=18OO-(0FAC+0FCA)=180*180°-(3x°+3y°)]=3x°+3y°=3(x°+y°),

3

EHAFC=-EIAEC.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

20.(2022下?江蘇連云港?七年級(jí)統(tǒng)考期中)已知A5/CD.

［知識(shí)應(yīng)用］(2)如圖2,BP、分別平分/ABE、NEDC,利用⑴中的結(jié)論，試說(shuō)明：NBPD=；NBED；

(3)如圖2,直接寫(xiě)出，班爰、ABED.NPBE、ZPEE四個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系.

［知識(shí)拓展］(4)如圖3,若/BEF=145。,NEFD=135。,BP、〃尸分別平分4BE、ZCDF,那么4尸￡)=

。；(只要直接填上正確結(jié)論即可)

(5)如圖4,若ZBEF、NEFG、/FGD三個(gè)角的和是"，BP、0P分別平分/4BE、ZCDG,那么N3PD=

.（用含"的式子表示）

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）50；（4）|?-180°

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)￡作￡加〃鉆，利用豬腳模型進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

（2）利用⑴的結(jié)論可得得：ZBED=ZABE+ZCDE,ZBPD=ZABP+ZCDP,再利用角平分線的定義可得

ZABP=-ZABE,ZCDP^-ZCDE,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；

22

（3）根據(jù)角平分線的定義可得NE8P=g/ABE,NEDP=gzCDE,再利用⑴的結(jié)論，從而進(jìn)行計(jì)算可得

11

NPBE+ZPDE=-ABED,再利用⑵的結(jié)論可得NBPD=-ABED,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（4）過(guò)點(diǎn)￡作四〃48,過(guò)點(diǎn)、F作FN"AB,從而可得A3||E"||RV然后利用平行線的性質(zhì)可得

ZMEF+ZNFE=180P,從而可得/%M+/DRV=100。，再利用平行線的性質(zhì)可得=,

ZCDF=ZDFN,從而可得NA3E+/CDF=100。，最后利用角平分線的定義可得=,

NCDP=；NCDE,從而用（1）的結(jié)論可得ZBPD=ZABP+ZCDP=1（ZAB￡+ZCD￡）,進(jìn)行計(jì)算即可解答；

⑸過(guò)點(diǎn)E作EM〃AB,過(guò)點(diǎn)尸作RV，過(guò)點(diǎn)G作GH〃AB,利用（4）的解題思路進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作上加〃AB,=

圖1

■：AB//CD,:.CD\\EM,：.ZCDE=ZDEM,

ZBED=ZBEM+ZDEM,；.NBED=ZABE+NCDE；

（2）由⑴得：NBED=ZABE+NCDE,ZBPD=ZABP+ZCDP,

BP、DP分別平分NABE、NEDC,ZABP=-ZABE,ZCDP=-ZCDE,

22

ZBPDZABP+ZCDP=~ZABE+^ZCDE=；（NABE+NCDE）=；NBED,gpZBPD=^ZBED；

（3）ZBPD+NPBE+APDE=ABED,

理由：-.BP,0P分別平分/ABE、NEDC,：.ZEBP=-ZABE,ZEDP=-ZCDE,

22

ZPBE+ZPDE=-ZABE+-ZCDE=-(ZABE+ZCDE}=-ZBED,

222'72

由⑵得：ZBPD=^ZBED,ZBPD+ZPBE+ZPDE=|ABED+ABED=ABED,

即ZBPD+NPBE+ZPDE=ABED；

(4)過(guò)點(diǎn)E作過(guò)點(diǎn)尸作

■.■AB//CD,:.AB\\EM\\FN\\CD,-,-EMZ/FN,ZMEF+ZNFE=180°,

?.?ZBEF=145°,ZEFD=135°,ZBEM+ZDFN=ZBEF+ZEFD-(ZMEF+ZNFE)=100°,

■.■AB\\EM,FN//CD,:.ZABE=NBEM,NCDF=NDFN,ZABE+ZCDF=100°,

;BP、￡>P分別平分ZABE、ZCDF,ZABP=-ZABE,ZCDP=-ZCDE,

22

ZBPD=ZABP+ZCDP=g/ABE+；NCDE=^(ZABE+ZCDE)=1xl00°=50。，故答案為：50；

(5)過(guò)點(diǎn)石作石加〃AB,過(guò)苴F悍FN"AB,過(guò)點(diǎn)G作G//〃AB,

圖4

-.-AB//CD,:.AB\\EM\\FN\\GH\\CD,-.-EM//FN,FN//GH,

:.NMEF+NNFE=180。,ZNFG+ZHGF=180°,?:NBEF+NEFG+NFGD=n,

ZBEM+ZDGH=Z.BEF+NEFG+ZFGD-(ZMEF+ZNFE+ZNFG+NHGF)=n-360°,

■.■BP.DP分別平分ZABE、ZCDG,ZABP=-ZABE,ZCDP=-ZCDG,

22

:.NBPD=ZABP+NCDP=-ZABE+-ZCDG=-(ZAB￡+ZCDG)=-(M-360°)=-n-180°,

22222

故答案為：1?-180°.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，列代數(shù)式，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題

的關(guān)鍵.

21.（2023下?江蘇蘇州?七年級(jí)校考期中）已知在四邊形ABCD中，AD〃BC,點(diǎn)E是線段。。上一點(diǎn).

圖①圖②

⑴如圖①，求證：NA￡B=/D4E+NCSE；（2）如圖②，

①請(qǐng)動(dòng)動(dòng)你聰明的頭腦，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：NABE+NAEB―

②如圖③，若—ACD的平分線與54的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，與AE交于點(diǎn)尸，且/尸=55。，求/。的度數(shù).

【答案】⑴見(jiàn)解析（2）①90；②110。

【分析】⑴過(guò)E作EF〃AT>,根據(jù)可得出砂〃3C,故可得出NZME=NE4F,NCBE=ZBEF,

由此可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)AD〃可知ZDAC=ZACB再由AE平分ZDAC得出

ZEAC=|ZDAC=1,tgjgZABC=ABAC,/ASC+/54C+NACB=180。即可得出結(jié)論；②由①

知ZBAE=90。，故NFAE=90°.再由三角形外角的性質(zhì)得出ZAPC=90°+55°=145°.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

得出ZPAC+ZACP=35°.由AE平分ZDAC,CF平分ZACD及三角形內(nèi)角和定理得出ND的度數(shù).

【詳解】（1）證明：如圖①，過(guò)E作EF〃AD,

圖①

■.■AD\\BC,:.EF\\BC,：,ZDAE=ZAEF,ZCBE=ZBEF,ZAEB=ZDAE+ZCBE；

(2)①：:.ZDAC=ZACB.

?.?AE平分NZMC,ZEAC=-ZDAC=-ZACB,

22

ZABC=ABAC,ZABC+ABAC+ZACB=180°,

ABAC+ZEAC=9Q°,ZABE+ZAEB=90°.故答案為：90；

②如圖③，由①矢口N8AE=90。，:.ZFAE=90°.

■：ZF=55°,ZAPC=90°+55°=145°.^PAC+^ACP=35°.

?；AE平分/D4C,CF平分，ACD,

Z.DAC+ZACD=2(ZPAC+ZACP)=70°,ZD=180°-70°=110°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，涉及到角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解

答本題的關(guān)鍵.

22.（2023下?江蘇鎮(zhèn)江?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，MNUGH,點(diǎn)、A、8分別在直線MN、G8上，點(diǎn)。在直

線MN、G”之間，若ZM4O=116。，ZOBH=}44°.（1）ZAOB=°；（2）如圖2,點(diǎn)C、￡>是ZM4O、

NGBO角平分線上的兩點(diǎn)，且NCE?=35。，求/ACD的度數(shù)；（3）如圖3,點(diǎn)尸是平面上的一點(diǎn)，連結(jié)

朋、FB,E是射線網(wǎng)上的一點(diǎn)，若NM4E=nZOAE,ZHBF=nZOBF,且/AFB=60。，求〃的值.

【答案】（1）100；（2）75°；（3）H=3.

【分析】（1）如圖：過(guò)。作OP〃MN,MN//OP//GH^NAO+^POA=180a,^POB+^OBH=180°,即

SNAO+SAOB+SOBH^60°,即可求出EAO&

（2）如圖：分別延長(zhǎng)AC、CD交GH于點(diǎn)、E、F,先根據(jù)角平分線求得ZM4C=58。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)

得至ljNCEF=58。；進(jìn)一步求得NZ）所