山東省大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知直線％+>+加一1=0與直線3%+（加+2）》+3=0平行，則加=（）

A.1B.3C.-3D.-1

2.已知｛瓦瓦可是空間的一個(gè)基底，則可以與向量比=。-2己，萬(wàn)=/+2?構(gòu)成空間另一個(gè)基

底的向量是（）

A.aB.bC.cD.a-c

3.直線/：y=x與圓W：/+（k1『=4交于/,8兩點(diǎn)，則|/同=（）

A.2B.V7C.277D.V14

4.過(guò)點(diǎn)/（LI）且與拋物線C:/=x只有1個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

JT

5.如圖，二面角￡-/-〃的大小為點(diǎn)/,3分別在半平面a,月內(nèi)，4C，/于點(diǎn)C,BDLI

于點(diǎn)D若/C=5,BD=6,AB=2A/15,則CD=（）

C.V29D.V30

6.動(dòng)點(diǎn)W（x,y）與定點(diǎn)B（3,0）的距離和它到定直線/:x=g的距離的比是則動(dòng)點(diǎn)M的

軌跡方程為（）

222222

A-B.土-匕=1C.土-匕=1D.匕-匕=1

54454995

r2*4V2

7.已知4,5分別為橢圓C:5+4=l(a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，。為C的上頂點(diǎn)，O為坐

a2b2'

標(biāo)原點(diǎn)，E為C上一點(diǎn)，且位于第二象限，直線3E分別與y軸交于點(diǎn)X,G.若D為

線段。〃的中點(diǎn)，G為線段OD的中點(diǎn).則點(diǎn)￡到x軸的距離為（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

8.如圖，正方形44GA的棱長(zhǎng)為4,G,6分別是CC1，的中點(diǎn)，P是四邊形

―?3—?

CCQQ內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BF=-BC,若直線/尸與平面￡FG沒有公共點(diǎn)，則線段/尸的最小值

4

為（）

A.V35B.4A/7C.5A/5D.

二、多選題

9.已知空間內(nèi)三點(diǎn)/（3,2,0）,5（2,1,3）,C（0,2,-l）,則（）

A.|A8|=V1TB.AB1AC

C.cosZABC=—D.VNBC的面積為^^

212

22

10.已知廠是雙曲線C:匕-t=1的上焦點(diǎn)，48是C上的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

3612

A.若尸是N8的中點(diǎn)，貝!J|AB|=4

B.刊的最小值為4

C.點(diǎn)尸到C的兩條漸近線的距離的乘積為12

D.若N8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2,8）,則直線48的斜率為:

11.笛卡爾葉形線是一個(gè)代數(shù)曲線，首先由笛卡兒在1638年提出.如圖，葉形線

Ux'+K=。肛經(jīng)過(guò)點(diǎn)/[■!，■1]，點(diǎn)P（%0，%）在C上，則下列結(jié)論正確的是（）

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

A.直線y=-x與C有3個(gè)公共點(diǎn)B.若點(diǎn)尸在第二象限，則尤。+為＜0

C.x0+y0>-]D.無(wú)o+%V3

三、填空題

12.與圓G：/+(y-2)2=i,。2：/+必=1都相切的直線有條.

13.己知地球運(yùn)行的軌道是橢圓，且太陽(yáng)在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，若地球到太陽(yáng)的最大和

最小距離分別為L(zhǎng)53xl()8km,1.47xl()8km,則這個(gè)橢圓的離心率為.

14.在正六棱柱中，窗=2/8=4,M,N分別為E&,的中點(diǎn)，

平面CMN與直線交于點(diǎn)G,則2G=；點(diǎn)A到平面CMN的距離為.

四、解答題

15.已知點(diǎn)/(一3,-1),2(-2,2),點(diǎn)。在x軸上，且VN3C是直角三角形，NABC,.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵求V/2C的面積；

(3)求斜邊上的中線所在直線的方程.

16.如圖，在四棱錐P-/BC。中，底面48CD為矩形，平面48cO,PA=AD=2AB,

4

E為線段尸C上一點(diǎn)，AEYPD,且該四棱錐的體積為I.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

(1)求NE的長(zhǎng)度；

(2)求二面角尸-8E-N的正弦值.

22

17.已知雙曲線G:今-*=l(a>0,6>0)的左頂點(diǎn)為/,右焦點(diǎn)為尸，拋物線

c2：?=2px〈p>0)的焦點(diǎn)與F重合，M(2,2A/6)是G與G的一個(gè)公共點(diǎn).

⑴求G與c2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)點(diǎn)N的直線/與交于。，￡兩點(diǎn)，若￡是力。的中點(diǎn)，求直線/的斜率.

22

18.已知片，片分別為橢圓匚￡+a=1(°>6>0)的上、下焦點(diǎn)，/(。，-2/')是橢圓(7的

一個(gè)頂點(diǎn)，尸是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，P,F1,￡三點(diǎn)不共線，當(dāng)△咫片的面積最大時(shí)，其為

等邊三角形.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若〃■為NP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線■交直線了=46于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作〃/尸

交直線y=4由于點(diǎn)E,證明：ZOEK=NODF-

19.空間直角坐標(biāo)系。-平中，任意直線/由直線上一點(diǎn)尸(%,%,z°)及直線的一個(gè)方向向

量1=(a也c)唯一確定，其標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為亍=與%=『(仍"0).若平面a以

》為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)［，貝!］平面。的點(diǎn)法式方程可表示為a(x-Xo)+6(y-%)+c("Z。)=0,

整理成一般式方程為。龍+6y+cz+d=0.特殊地，平面xOy的一般式方程為z=0,其法向

量為(o,o,i).若兩個(gè)平面相交，則交線的一般式方程可以表示為卜"+?'+平

\a2x+b2y+c2z+a2=U.

⑴若集合M={(尤,％z)10V尤V2,0VyW5,0VzV2},記集合M中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為S,

求S的體積；

⑵已知點(diǎn)0(3,2,-2),直線4：U=T=Z.若Qe平面尸，［u尸，求尸的一般式方程；

(3)已知三棱柱N8C—44。的頂點(diǎn)4(—3,4,1),平面48。的方程為2x+y+z—6=0,直線

/G的方程為x-2=y_3=丁--4，平面8CG4的方程為x+y+fz_：0=0.求直線幺4與直線

BC所成角的余弦值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ABDCCBDDABDACD

題號(hào)11

答案BCD

1.A

【分析】?jī)芍本€平行，的系數(shù)的比值相等，且與％j的系數(shù)的比值與常數(shù)項(xiàng)的比值不相

等，由此能求出機(jī).

【詳解】根據(jù)直線X+V+加—1=0與直線3x+(加+2)歹+3=0平行，

故加=1.

故選：A

2.B

【分析】根據(jù)空間基底、空間向量共面等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)題意1=g伍-玄)+；0+25),故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,設(shè)B=S(3-23)+43+25),貝ljs,f不存在，故B正確.

對(duì)于C,c=-1(a-2c)+1(5+2c),故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由=尤僅一21)+了伍+23)=(x+a+-2x)c,

x+〉=l而z31

則2y-2x=-r所以"

31

所以1-3=](1-2可+^(1+2可，故D錯(cuò)誤;

故選：B.

3.D

【分析】利用垂徑定理，將弦長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在弦心距與半徑，半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形中求

解即可.

|0-1|_V2

【詳解】圓M的半徑r=2,圓心M(0,l),則圓心M到直線/的距離4=

2

故|/同=2,戶_/=屈?

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

故選：D.

4.C

【分析】分直線與拋物線相切和與對(duì)稱軸平行求解.

【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)/在C上，

所以過(guò)點(diǎn)/且與。相切的直線只有1條，該切線滿足題意.

過(guò)點(diǎn)/且斜率為0的直線與C也只有1個(gè)公共點(diǎn)，

所以滿足題意的直線有2條.

故選：C

5.C

【分析】解法一：作輔助線構(gòu)造三角形，根據(jù)余弦定理以及勾股定理可求得結(jié)果；解法二:

根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】解法一：作2'C_L/于點(diǎn)C,且=連接夕3，B,A,

解法二：由4C_L/,BD11,

----------711

得COSC408=COS5=5，G4-CD=0,BDCD=Q.

因?yàn)?K+西+麗，

匚匚［、［--?2----、2------*1----?2----?----?

所以45=AC+CD+DB+2ACDB，

則（2岳『=52+CD2+62+2X5X6X］,

解得CD2=29>CD=V29.

故選：C.

6.B

【分析】利用直接法求解.

小一3)”23

【詳解】解：由題意可得4—=2;

x—

3

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

22

化簡(jiǎn)得土-匕=1.

45

故選：B

7.D

【分析】首先過(guò)點(diǎn)石作￡尸，x軸，垂足為方，利用線段比例關(guān)系，列式求解.

OGOBEFAF

【詳解】過(guò)點(diǎn)E作軸，垂足為足由題意可得K=K，

所以5"=a,因="的,兩式相乘可得必1=2

\EF\a+\OF\2baa5

所以回=紇團(tuán)二，則即=?.

2ba5115

【分析】建系，設(shè)P（0,%〃），通過(guò)NP〃平面EFG,得到〃=8-3"，再結(jié)合距離公式及二

次函數(shù)求最值即可.

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則N（4,0,0）,E（4,2,0）,F（1,4,0）,G（0,4,2）,

EF=（-3,2,0）,￡G=（-4,2,2）.

設(shè)平面EFG的法向量為日=（尤J,2）,

EF-u=0,[-3x+2y=0,

貝1J一，即“cc

EG-a=0,[-4x+2y+2z=0n,

令x=2,可得力=（2,3,1）.設(shè)P（0,加㈤（04加W4,0V〃W4）,則4P=（-4,加,〃）.

因?yàn)橹本€/尸與平面EFG沒有公共點(diǎn)，所以/尸〃平面EFG,則在，》，

所以一8+3加+〃=0,即〃=8-3m.

AP=yjl6+m2+n2=-J16+m2+（8—3m）2=yJlOm2-48m+80，

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

當(dāng)機(jī)=?時(shí)，/P取得最小值，最小值為3ox1m；-48xg+8O=警.

9.ABD

【分析】根據(jù)點(diǎn)/(3,2,0),8(2,1,3),C(0,2,-l),得到方=(-1,-1,3),次=(-3,0,-1),

G=（2,-1,4）,再逐項(xiàng)判斷.

【詳解】因?yàn)榭臻g內(nèi)三點(diǎn)力（3,2,0）,5（2,1,3）,C（0,2,-l）,

所以存=(T,T,3),就=(-3,0,-1),屈=(2,-1,4),

則網(wǎng)=vn,困卜而，冏=亞，A正確.

因?yàn)槿f(wàn)?%=（），所以48工/C,B正確.

AB7231

cos/ABC===j=^^,C錯(cuò)誤.

CBV2121

V/3C的面積為子方八就卜《粵，D正確.

故選：ABD.

10.ACD

【分析】對(duì)于A,由軸即可判斷；對(duì)于B,由雙曲線的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C,由

點(diǎn)到線的距離公式即可判斷；對(duì)于D,由點(diǎn)差法可判斷.

22

【詳解】由雙曲線C:匕-L=l,可得焦點(diǎn)在y軸上，4=6,6=26,0=4百，

3612

若尸是的中點(diǎn)，則直線軸，|/叫=絲=4,A正確.

a

|/用的最小值為c—a=4\回—6,B錯(cuò)誤.

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

由題意得尸（。,46），1=V3,

所以雙曲線的漸近線方程為Kx-y=O或6x+y=0,

所以點(diǎn)尸到C的兩條漸近線的距離乘積為摯乂挈=12,C正確.

22

2

a

2L

設(shè)/（網(wǎng)，弘），則12

三

力

,3612

兩式相減得（"+%）（"一%）一（王+必網(wǎng)一xj=0.

3612

因?yàn)?8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2,8）,所以16（…2）_4（…2）=0,即匕二A=

36124

3

所以直線45的斜率為二，D正確.

4

故選：ACD.

11.BCD

【分析】對(duì)于A,聯(lián)立方程求解的個(gè)數(shù)即可判斷，對(duì)于B,由

/+9=3中=（x+y）［（x+v）2-3中］.結(jié)合毛為＜0可判斷，對(duì)于C,通過(guò)點(diǎn)P（xo，yo）在第一、

第二、第四象限逐個(gè)判斷即可，對(duì)于D,結(jié)合C中得到的3xy（x+〉+l）=（x+y）3,再結(jié)合基

本不等式得到也立＜3（葉q求解即可.

x+y+1＜2J

【詳解】因?yàn)槿~形線C：/+y3=a中經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以“=3.

聯(lián)立犯,，解得x=y=0,所以直線了=一》與。只有1個(gè)公共點(diǎn)，A錯(cuò)誤.

［V=一%,

x3+y3=3xy=(x+j)(x2

因?yàn)辄c(diǎn)尸在第二象限，所以尤o%＜O，（%+%）2-3%%＞0,

所以/+%=;------—<°-B正確.

(%+%)-3尤0%

若點(diǎn)P在第四象限，則%比＜0,可推出%+%）＜0.

因?yàn)獒?+,3=2xy=(尤+了乂無(wú)？一切+/)=(x+y)[(x+y)~

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

所以3初(x+y+l)=(x+y)3.當(dāng)點(diǎn)尸在第二、四象限時(shí)，-=/。+%)*,

3尤0%

所以天+了0>-1.當(dāng)點(diǎn)P是原點(diǎn)或在第一象限時(shí)，易得/+%>-1,

所以%+為>-1,C正確.

由3(x+y+l)=(x+?,可得3孫=包立43(出丫，解得x+y43,所以x0+比W3,

x+y+1\2J

D正確.

故選：BCD

12.3

【分析】根據(jù)兩圓心距離與兩個(gè)圓的半徑和差關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系，即可判斷公切線條數(shù).

【詳解】圓G：/+(y-2)2=i的圓心為。(0,2),半徑為11,

C2：x2+y2=l的圓心為G(0,0),半徑為4=1,因?yàn)閨CC|=2=1+1=4+馬,

所以圓。與圓G外切，與圓。，G都相切的直線有3條.

故答案為：3

13.0.02/—

50

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)求橢圓參數(shù)，應(yīng)用離心率公式求離心率.

【詳解】設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2°,焦距為2c,

88

由題意，得a+c=1.53xl08,a-c=1.47xl0,解得。=1.5xl()8,c=0.03xl0.

所以這個(gè)橢圓的離心率e=￡=0.02.

a

故答案為：0.02

14.4巫

7

【分析】連接BF,設(shè)其交點(diǎn)為。.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OD,。尸所在直線分別為

x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求得平面CWN的一個(gè)法向量為針=(久,y,z),設(shè)G(0,3,a),

則由宙?萬(wàn)=0求得a,再利用空間兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到平面的距離公式求解.

【詳解】解：連接4D,BF,設(shè)其交點(diǎn)為。

由正六棱柱的性質(zhì)知，ADLBF,且08=0尸，

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

取用片的中點(diǎn)尸，連接。尸，則0尸，平面Z8COM.

OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)榈?248=4,M,N分別為E&,的中點(diǎn),

所以/(O,T,O),C(石,2,0),M(-73,2,2),N80,2),則就=(百,3,0),

CM=(-2>/3,0,2),GV=(0,-2,2).

設(shè)平面CW的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

萬(wàn)?西=一2"+2z=0,

則一令尸1，則〃=

n-CN--2y+2z=0,I3)

設(shè)G(0,3,a),貝1］瓦=卜6,1,0).

由M?力=-Gxg+lx0=0,解得。=0,又。"0,3,4),所以2G=4.

_\AC-n\4后

點(diǎn)A到平面CMN的距禺d='J=空巴.

同7

4^/21

故答案為：4,

7

15.(l)C(4,0)

⑵10

(3)x+j=0.

【分析】(1)設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)C?,0),利用垂直，轉(zhuǎn)化為斜率之積為T即可求出機(jī)的值;

(2)求出兩直角邊長(zhǎng)，代入三角形面積公式即可；

(3)寫出NC中點(diǎn)￡的坐標(biāo)，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求出斜邊中線所在直線方程.

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】(1)設(shè)c(見0).因?yàn)?所以N3J.3C,

手一

顯然m2,則kAB-kBC=-1.

72-02

因?yàn)?k=-----------=------------

RC-2-m2+m

所以3*:一

解得加=4,則C(4,0).

(2)\AB\=yJlQ,\BC\=2VW,

丫48(7的面積為；?|/郎忸。=10.

(3)記/C的中點(diǎn)為￡,則E

直線BE的斜率為

直線的方程為了=-(x+2)+2,即x+y=0,

所以斜邊上的中線所在直線的方程為x+y=0.

【分析】(1)根據(jù)錐體體積求得48=1,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)醞=23，利用4E_LPZ)

及向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得力=1,利用直角三角形性質(zhì)即可求解；

(2)求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量法求解二面角平面角的余弦值，然后利用同角三角

函數(shù)關(guān)系求解正弦值.

14

【詳解】(1)設(shè)“5二。，則正力=4。=2〃，該四棱錐的體積為=§,

解得。=1,即/5=1,PA=AD=2.

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(l,0,0),C(1,2,0),P(0,0,2),

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

￡>(0,2,0),18=(1,0,0),C?=(-1-2,2),PD=(O,2,-2),

設(shè)麗=4而=(一九-刀,刀),則E(l-42-2；l,2；l),ZE=(l-2,2-2A,2A).

若AELPD,則：ig.麗=4-82=0，解得力=；，即￡為PC的中點(diǎn).

連接NC,在Rt△尸/C中，AE=-PC=~^PA2+AC2=-；

222

(2)由(1)得於=(』/],就=(0,2,0).

設(shè)平面/AB的法向量為五=(XQ],Z]),

項(xiàng)=0,

AB-n=0,

則一即1A取乂=1,得S=(0,L—l).

AE-n=0,5/+必+Z]=0,

設(shè)平面PBE的法向量為m=(x2,y2,z2),

BC-m=0,2%=0,

則＜即取之2T，得麗=(2,0,1).

CPm=0,—%—2%+2?2=0,

設(shè)二面角尸-5E-/的大小為

則|cosO\=|cos比同=|寄[=,所以sinO=圭叵，

IMMII1010

所以二面角尸的正弦值為巫.

10

2

17.(1)G的標(biāo)準(zhǔn)方程為G的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=12x.

⑵土亞

3

【分析】(1)將點(diǎn)M代入拋物線方程求出P,列出雙曲線方程中。,上，方程求解;

(2)設(shè)直線/的方程為了=左(％+1)，與拋物線C聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得%+%,X、，結(jié)合￡

是40的中點(diǎn)，求出人的值.

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】(1)因?yàn)楸?,2網(wǎng)，所以僅指『=2夕2,

解得p=6,所以G的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=12x.

22

因?yàn)閽佄锞€C2的焦點(diǎn)與尸重合，所以尸(3,0),a+b=9.

2

所以G的標(biāo)準(zhǔn)方程為f一三=i.

(2)由(1)知設(shè)直線/的方程為歹=上卜+1),￡(國(guó),必)，￡?(x2,y2).

因?yàn)椤晔?D的中點(diǎn)，所以2尤1=%T①.

=2222

聯(lián)立f2M尤叫,得kx+（2k-l2）x+k=0,

[y=12x

—1717

貝ljA>0,x+x=----5—=與\②，x,x=：1.

r2/vAV2

48

由①②解得玉=-1+正二一1+

所以=解得左2=g,即左=±半，

經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)滿足A>0,所以直線/的斜率為土壁.

3

(2)證明見解析

【分析】(1)通過(guò)點(diǎn)尸與C的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合時(shí)，APGE的面積最大，即可求解;

(2)設(shè)直線/尸的方程為歹=區(qū)—2百，延長(zhǎng)他交OD于N,延長(zhǎng)。耳交于

通過(guò)向量數(shù)量積說(shuō)明他，DFJOE,再通過(guò)NOEF\=90。-NERH,

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

NODF[=90°—NDRN,及NEF、H=2DRN,即可求證;

【詳解】(1)因?yàn)槭菣E圓C的一個(gè)頂點(diǎn)，所以”=26.

當(dāng)點(diǎn)P與C的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合時(shí)，人尸久心的面積最大，其為等邊三角形，滿足6=岳,

又因?yàn)閍2=/+c2,所以6=3,c=B

22

故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+L=1.

129

(2)

證明：設(shè)直線/尸的方程為》=區(qū)—26,(左W0)，P(%i，yD.

|22

工+J,

由,,129得(342+4卜2-12回:=0,

y—kx-2^3,

A=432r>0,

士+06有ik-873

所以%=^,o-2y1^=

X°—2-3一+4,3r+4

’6版-86]

即點(diǎn)M

、3如+43r+4)

4

所以直線的方程為>=

3k

令了=46，得0卜3亞,43).

又。￡〃/尸，所以直線的方程為>=履.

/1—、

令了=46，得與彳.

延長(zhǎng)環(huán)交OD于N,延長(zhǎng)少交OE于77.

答案第11頁(yè)，共13頁(yè)

由所礪=0,得EF]_LOD,則/耳初=90。.

同理由西?礪二(3限