專題強化十六測量電阻的其他幾種方法學習目標理解差值法、半偏法、等效替代法、電橋法等測電阻的方法，會利用電學實驗知識探究創新實驗方案。方法一“差值法”測電阻1.電流表差值法(如圖1所示)圖1(1)基本原理：定值電阻R0的電流I0＝I2－I1，電流表兩端的電壓U1＝(I2－I1)R0。(2)可測物理量①若R0為已知量，可求得電流表的內阻r1＝eq\f(（I2－I1）R0,I1)。②若r1為已知量，可求得R0＝eq\f(I1r1,I2－I1)。2.電壓表差值法(如圖2所示)圖2(1)基本原理：定值電阻R0的電壓U0＝U2－U1，流過電壓表的電流I1＝eq\f(U2－U1,R0)。(2)可測物理量①若R0為已知量，可求得電壓表的內阻r1＝eq\f(U1,U2－U1)R0。②若r1為已知量，可求得R0＝eq\f(U2－U1,U1)r1。例1學校物理興趣小組設計如圖3所示電路來測量一電阻Rx的阻值。其中R0是定值電阻，R是電阻箱。圖3(1)完善下列實驗步驟：①按照電路圖用導線把實驗器材連接起來；②為安全起見，閉合開關前，電阻箱R的阻值應調至________(填寫“最大值”或“最小值”)；③閉合開關，調節電阻箱，當阻值為R時記錄電流表A1、A2的示數I1、I2；④多次改變電阻箱阻值，并記錄相應的電流表的示數；⑤把記錄的數據填在表格中，計算出eq\f(I2,I1)的值；⑥以eq\f(I2,I1)為縱軸，電阻箱阻值R為橫軸，描點作圖，得到如圖乙所示圖像；⑦根據圖像計算待測電阻的阻值。(2)用RA1、RA2表示電流表的內阻，待測電阻Rx的表達式為________(用題目中所給或所測物理量表示)。(3)根據如圖乙所示的eq\f(I2,I1)－R圖像，求得Rx＝________Ω。(4)考慮到電流表的內阻，由圖乙求得的電阻值______________(填寫“偏大”“偏小”或“沒有系統誤差”)。答案(1)最大值(2)Rx＝eq\f(I1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(RA1＋R)),I2－I1)(3)4.80(4)沒有系統誤差解析(1)為保護電路，閉合開關前，電阻箱R的阻值應調至最大值。(2)待測電阻Rx的表達式為Rx＝eq\f(I1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(RA1＋R)),I2－I1)。(3)由(2)得eq\f(I2,I1)＝eq\f(Rx＋RA1,Rx)＋eq\f(1,Rx)R，斜率為eq\f(1,Rx)＝eq\f(2.10－1.10,4.8)得Rx＝4.80Ω。(4)圖線斜率與電流表內阻無關，求得的電阻值沒有系統誤差。方法二“半偏法”測電阻1.半偏法測電流表內阻(1)實驗電路圖，如圖4所示。圖4(2)實驗步驟①按如圖4所示的電路圖連接實驗電路；②斷開S2，閉合S1，調節R1，使電流表讀數等于其量程Im；③保持R1不變，閉合S2，調節R2，使電流表讀數等于eq\f(1,2)Im，然后讀出R2的值，則RA＝R2。(3)實驗條件：R1?RA。(4)測量結果：RA測＝R2＜RA。(5)誤差分析：當閉合S2時，總電阻減小，總電流增大，大于原電流表的滿偏電流，而此時電流表半偏，所以流經R2的電流比電流表所在支路的電流大，R2的電阻比電流表的電阻小，而我們把R2的讀數當成電流表的內阻，故測得的電流表的內阻偏小。2.半偏法測電壓表內阻(1)實驗電路圖，如圖5所示。圖5(2)實驗步驟①按如圖所示的電路圖連接實驗電路；②將R2的阻值調為零，閉合S，調節R1，使電壓表讀數等于其量程Um；③保持R1阻值不變，調節R2，使電壓表讀數等于eq\f(1,2)Um，然后讀出R2的值，則RV＝R2。(3)實驗條件：R1?RV。(4)測量結果：RV測＝R2＞RV。(5)誤差分析：當R2的阻值由零逐漸增大時，R2與電壓表兩端的電壓也將逐漸增大，因此電壓表讀數等于eq\f(1,2)Um時，R2兩端的電壓將大于eq\f(1,2)Um，R2>RV，從而造成RV的測量值偏大。例2(2023·海南卷，15)用如圖6甲所示的電路測量一個量程為100μA、內阻約為2000Ω的微安表頭的內阻，所用電源的電動勢約為12V，有兩個電阻箱可選，R1(0～9999.9Ω)，R2(0～99999.9Ω)甲(1)RM應選________，RN應選________；(2)根據電路圖甲，請把實物圖乙連線補充完整；乙(3)下列操作順序合理排列是：________；①將滑動變阻器滑片P移至最左端，將RN調至最大值；②閉合開關S2，調節RM，使微安表半偏，并讀出RM的阻值；③斷開S2，閉合S1，調節滑片P至某位置再調節RN使表頭滿偏；④斷開S1、S2，拆除導線，整理好器材(4)如圖丙是RM調節后的面板，則待測表頭的內阻為________，該測量值________(選填“大于”“小于”或“等于”)真實值。丙(5)將該微安表改裝成量程為2V的電壓表后，某次測量指針指在圖丁所示位置，則待測電壓為________V。丁圖6(6)某次半偏法測量表頭內阻的實驗中，S2斷開，電表滿偏時讀出RN的值，在滑片P不變的情況下，S2閉合后調節電阻箱RM，使電表半偏時讀出RM，若認為OP間電壓不變，則微安表內阻為________(用RM、RN表示)。答案(1)R1R2(2)見解析圖(3)①③②④(4)1998Ω小于(5)1.28(6)eq\f(RNRM,RN－RM)解析(1)根據半偏法的測量原理可知，當閉合開關S2之后，通過RN的電流應基本不變，就需要RN較大，對RM分壓電路影響甚微，故RM應選R1，RN應選R2。(2)按實驗原理圖依次連接實物電路，如圖所示。(3)閉合開關前，需要調節滑動變阻器滑片，使測量電路短路，即滑片P移至最左端，然后斷開S2、閉合S1，使微安表達到滿偏，接著閉合S2，保證滑片P不動，調節RM，使微安表半偏，最后斷開所有開關，拆除導線，整理器材。故正確的操作順序是①③②④。(4)根據半偏法的測量原理可知，讀出的RM即是微安表的內阻，則由圖丙可知微安表內阻為1998Ω。閉合S2后，相當于RM由無窮大變成有限值，RM的阻值變小，流過RN的電流大于原來的電流，則流過RM的電流大于eq\f(Ig,2)，故RM的阻值小于RμA，即測量值小于真實值。(5)按讀數規則，微安表的示數為64μA，則有eq\f(2V,100μA)＝eq\f(U,64μA)，可知待測電壓為U＝1.28V。(6)根據題意可得I(RμA＋RN)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Ig,2)＋\f(\f(Ig,2)RA,RM)))RN＋eq\f(Ig,2)·RμA，整理得RμA＝eq\f(RNRM,RN－RM)。方法三“替代法”測電阻如圖7所示，先讓S擲向1，調節R2，使電表指針指在適當位置讀出電表示數；然后將S擲向2，保持R2阻值不變，調節電阻箱R1的阻值，使電表的讀數仍為原來記錄的讀數，則R1的讀數即等于待測電阻的阻值。圖7例3某實驗小組用如圖8甲所示的電路來測量未知電阻R0以及電源的電動勢E和內阻r，已知電路中的電流表的內阻為r0，先將單刀雙擲開關與1連接，記下電流表的讀數為I1，接著將單刀雙擲開關與2連接，調節電阻箱的阻值，直到電流表的讀數為I1，記下電阻箱的讀數為R，保持電阻箱的阻值為R不變，單刀雙擲開關與2連接，再用一根導線將1、2連接，穩定后記下電流表的讀數為I2，回答下列問題：圖8(1)用筆畫線代替導線將圖乙中的器材參照圖甲連接起來。(2)本實驗測得電阻R0的阻值為________，采用的方法為________(填“半偏法”“安阻法”或“等效替代法”)。(3)本實驗可得電源的電動勢為E＝________，內阻為r＝________。答案(1)見解析圖(2)R等效替代法(3)eq\f(I1I2R,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(I2－I1)))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2I1－I2))R,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(I2－I1)))－r0解析(1)按照圖甲的電路圖連接實物圖如圖所示。(2)開關與1相連，外電路只接有待測電阻；開關與2相連，外電路只接有電阻箱。如果兩種情況下電路中電流相同，則說明待測電阻R0的阻值等于電阻箱R的阻值，該方法稱為等效替代法。(3)用導線把1、2連接，待測電阻與電阻箱并聯，外電路電阻為eq\f(R,2)，根據閉合電路歐姆定律，有E＝I1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋r＋r0))E＝I2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)＋r＋r0))聯立方程，解得E＝eq\f(I1I2R,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(I2－I1)))r＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2I1－I2))R,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(I2－I1)))－r0。方法四“電橋法”測電阻(1)操作：如圖9甲所示，實驗中調節電阻箱R3，使靈敏電流計G的示數為0。(2)原理：當IG＝0時，有UAB＝0，則UR1＝UR3，UR2＝URx；電路可以等效為如圖乙所示。圖9根據歐姆定律有eq\f(UR1,R1)＝eq\f(UR2,R2)，eq\f(UR1,R3)＝eq\f(UR2,Rx)，由以上兩式解得R1Rx＝R2R3或eq\f(R1,R2)＝eq\f(R3,Rx)，這就是電橋平衡的條件，由該平衡條件可求出被測電阻Rx的阻值。例4實驗室有一個靈敏電流計G1，滿偏刻度為30格。某興趣小組想要較精確地測出它的滿偏電流Ig和內阻Rg，實驗室中可供利用的器材有：待測靈敏電流計G1靈敏電流計G2電流表A：(量程為1mA、內阻約為100Ω)定值電阻R1：(阻值為200Ω)定值電阻R2：(阻值為400Ω)電阻箱R：(0～9999.9Ω，最小調節量0.1Ω)滑動變阻器R3：(最大電阻2000Ω，額定電流1.5A)直流電源：電動勢1.5V，內阻不計開關一個，導線若干。該小組設計的實驗電路圖如圖10，連接好電路，并進行下列操作。圖10(1)閉合開關調節滑動變阻器使電流表A示數適當。(2)若靈敏電流計G2中的電流由a流向b，再調節電阻箱，使電阻箱R的阻值________(選填“增大”或“減小”)，直到G2中的電流為0。(3)讀出電阻箱連入電路的電阻為1000Ω，電流表A的示數為0.7mA，靈敏電流計G1的指針指在20格的刻度處，則靈敏電流計滿偏電流Ig＝________μA，內阻Rg＝________Ω(保留3位有效數字)。答案(2)增大(3)300500解析(2)靈敏電流計G2中的電流由a流向b，說明a點電勢比b點電勢高，增大電阻箱R接入電路的阻值，當a、b兩點電勢相等時，流過G2的電流為0。(3)流過G2的電流為零，由圖示電路圖可知eq\f(R,R2)＝eq\f(Rg,R1)即eq\f(1000,400)＝eq\f(Rg,200)解得Rg＝500Ω流過兩支路電流之比為eq\f(I1,IG1)＝eq\f(\f(U,R1＋R2),\f(U,Rg＋R))＝eq\f(Rg＋R,R1＋R2)＝eq\f(500＋1000,200＋400)＝eq\f(5,2)由圖示電路圖可知IG1＋I1＝IA已知IA＝0.7mA解得IG1＝0.2mA靈敏電流計G1滿偏刻度30格，靈敏電流計的指針指在20格的刻度處，則靈敏電流計滿偏電流為Ig＝eq\f(30,20)IG1＝eq\f(3,2)×0.2mA＝0.3mA＝300μA。1.(2024·廣東深圳市高三月考)某同學采用如圖1甲所示電路測量定值電阻的阻值，實驗器材如下：甲電壓表V1(量程0～3V，內阻r1＝3.0kΩ)；電壓表V2(量程0～5V，內阻r2＝5.0kΩ)；滑動變阻器R；待測定值電阻Rx；電源E(電動勢6.0V，內阻不計)；開關和導線若干。操作步驟如下：(1)閉合開關前，將滑動變阻器滑片置于________(選填“左端”“中間”或“右端”)。(2)調節滑動變阻器，兩電壓表V1、V2讀數分別為U1、U2，并讀取多組數據，在坐標紙上描點，連線如圖乙所示。當電壓表V1示數為3V時，通過電阻Rx的電流大小為________A；依據圖像數據可以得出Rx的阻值為________Ω(保留3位有效數字)。(3)若電壓表V1實際電阻小于3.0kΩ，則電阻Rx的測量值與真實值相比________(選填“偏大”“偏小”或“相等”)。乙圖1答案(1)左端(2)1.00×10－31.82×103(1.79×103～1.86×103均對)(3)偏大解析(1)為保護電路，閉合開關前，將滑動變阻器滑片置于左端。(2)當電壓表V1示數為3V時，通過電阻Rx的電流大小為I＝eq\f(U1,r1)＝1.00×10－3A根據實驗電路圖，有Rx＝eq\f(U2－U1,\f(U1,r1))變形得U2＝eq\f(Rx＋r1,r1)U1根據U2－U1圖像可得斜率k＝eq\f(4.82－1.61,3.00－1.00)＝1.605則有1.605＝eq\f(Rx＋r1,r1)代入r1＝3.0kΩ解得Rx≈1.82×103Ω。(3)若電壓表V1實際電阻小于3.0kΩ，則計算出的通過電阻Rx的電流比真實值小，故電阻Rx的測量值與真實值相比偏大。2.某實驗小組要測量一個量程為0～1V的電壓表的內阻，實驗室提供的器材如下：待測電壓表V(量程0～1V，內阻約為1500Ω)滑動變阻器R1(最大阻值為5Ω，額定電流2A)滑動變阻器R2(最大阻值為2kΩ，額定電流0.5A)電源E1(電動勢1.5V，內阻不計)電源E2(電動勢4.5V，內阻不計)電阻箱R(0～999Ω)開關兩個、導線若干該實驗小組根據實驗電路圖操作步驟如下：圖2①按電路圖連接電路，開關閉合前，將滑動變阻器的滑片移至最右端，電阻箱調到最大值；②閉合開關S1和S2，調節滑動變阻器的滑片位置，使電壓表的指針指到滿刻度；③斷開S2，保持S1閉合，滑動變阻器位置不變，調整電阻箱的阻值，發現無論如何都調不到電壓表指針半偏，最后只好調至電壓表指針指到滿刻度的三分之二；④讀出電阻箱的阻值R，得出電壓表的阻值。(1)補全電路圖，注意：滑動變阻器的滑片移至最右端時，電壓表示數為零。(2)電壓表的阻值RV＝________。(3)為了使測量比較準確，滑動變阻器應選______，電源應選________(均填入器材所對應的符號)。(4)用該方法測出的電壓表內阻R測和電壓表真實內阻R真的大小關系為R測________(填“大于”“等于”或“小于”)R真，這種誤差源于系統誤差。答案(1)見解析圖(2)2R(3)R1E1(4)大于解析(1)由于滑動變阻器的滑片移至最右端時，電壓表示數為零，可知，控制電路中滑動變阻器采用分壓式接法，則電路如圖所示。(2)閉合開關S1和S2，調節滑動變阻器的滑片位置，使電壓表的指針指到滿刻度，表明此時控制電路輸出電壓為電壓表的滿偏電壓UV，斷開S2，保持S1閉合，滑動變阻器位置不變，調整電阻箱的阻值，調至電壓表指針指到滿刻度的三分之二，由于測量電路的電阻遠遠大于滑動變阻器的電阻，可以近似認為控制電路輸出電壓不變，仍然為電壓表的滿偏電壓UV，則有eq\f(\f(2,3)UV,RV)＝eq\f(\f(1,3)UV,R)，解得RV＝2R。(3)根據上述分析，開關S2閉合斷開前后，近似認為控制電路輸出電壓不變，即電阻箱的接入對并聯電阻的影響可以忽略，則需要滿足RV?R滑動，滑動變阻器選擇總阻值小一些的，即滑動變阻器選擇R1；由于待測電壓表量程為0～1V，為了確保電表安全，電源選擇電動勢為1.5V的，即電源選擇E1。(4)根據上述可知，實驗時，近似認為控制電路輸出電壓不變，即電阻箱的接入對并聯電阻的影響可以忽略，但實際上，電阻箱接入后，并聯部分電阻增大，則控制電路輸出電壓增大，即電阻箱兩端實際電壓大于電壓表滿偏電壓的三分之一，而測量時按照電壓表滿偏電壓的三分之一處理，即eq\f(\f(2,3)UV,RV)＝eq\f(\f(1,3)UV,R)則測出的電壓表內阻R測和電壓表真實內阻R真的大小關系為R測大于R真。3.(2024·江蘇連云港市高三檢測)某同學用如圖3甲所示的電路測量未知電阻Rx的阻值。已知電源電動勢為4.5V，內阻為1.5Ω，電壓表滿偏電壓為3V，定值電阻R0＝3.5Ω，電阻箱R最大阻值為99.9Ω。(1)將S2接1，閉合開關S1前，該同學首先將電阻箱的阻值調到最大，這樣操作是________(選填“正確”或“錯誤”)的。(2)多次改變電阻箱R的阻值，得到對應電壓表的示數U如下表，請根據實驗數據在圖乙中作出U－R關系圖像。圖3電阻R/Ω1.02.04.06.08.010.0電壓U/V0.751.282.002.452.763.00(3)斷開S1將S2接2，再閉合S1，電壓表示數為1.60V，利用(2)中測繪的U－R圖像可得Rx＝________Ω，考慮到電壓表為非理想電表，則Rx測量值________(選填“大于”“小于”或“等于”)真實值。(4)為了更方便地測量多種未知電阻，圖甲虛線框中電路可作為歐姆表使用，電壓表表盤改動后正確的是________。答案(1)錯誤(2)見解析圖(3)2.9等于(4)C解析(1)當電阻箱電阻調到最大時，閉合開關S1時，電壓表兩端電壓為U＝eq\f(ERm,r＋R0＋Rm)＝eq\f(4.5×99.9,1.5＋3.5＋99.9)V≈4.29V超過了電壓表的量程，則該操作錯誤。(2)作出U－R圖像如圖。(3)電壓表示數為1.60V，利用(2)中測繪的U－R圖像可得Rx＝2.9Ω，該方法為等效替代法，則電壓表內阻對Rx的測量無影響，則Rx測量值等于真實值。(4)設虛線框內電路兩端接的電阻阻值為R′，則兩端電壓U＝eq\f(ER′,r＋R0＋R′)＝eq\f(E,\f(r＋R0,R′)＋1)，則R′與U是非線性關系，將電壓表刻度改為電阻刻度時，刻度分布不均勻，結合U－R圖像可知，當電阻較大，電阻變化相等時，電壓變化越小，即電阻的刻度為右密左疏；當電壓表滿偏時，即3V＝eq\f(4.5R′,1.5Ω＋3.5Ω＋R′)，解得R′＝10Ω，故C正確。4.(2024·江西高三校聯考)某實驗小組用圖4甲所示的電路來測量阻值約為20Ω的電阻Rx的阻值，圖中R0為標準電阻，阻值為R0＝16Ω；V1、V2為理想電壓表，S為開關，R為滑動變阻器，E為電源，采用如下步驟完成實驗。回答下列問題：圖4(1)按照圖甲所示的實驗原理圖在圖5中接好線路圖。圖5(2)實驗開始之前，將滑動變阻器的滑片置于____________(選填“最左端”“最右端”或“中間”)位置。合上開關S，改變滑片的位置，記下兩電壓表的示數分別為U1、U2，則待測電阻的表達式為Rx＝________(用U1、U2、R0表示)。(3)為了減小偶然誤差，改變滑片的位置，多測幾組U1、U2的值