2024學年第一學期八年級期末考試數學科目

（滿分100分考試，時間90分鐘）

考生注意：

1.本試卷含五個大題，共26題；

2.考生務必按答題要求在答題紙規定位置作答，在試卷或草稿紙上答題一律無效.

一、選擇題（本大題共6題，每題2分，滿分12分）

1.下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.《B.78C.V7T1D.77

【答案】C

【解析】

【分析】根據最簡二次根式的概念判斷即可.

【詳解】解：A、E=也,被開方數含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；

\22

B、瓜=2貶，被開方數中含能開得盡方的因數，不是最簡二次根式，不符合題意；

C、J41,是最簡二次根式，符合題意；

D、療=因，被開方數中含能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數不含分母、被開方數中不含能開得盡方的因數或因

式的二次根式，叫做最簡二次根式.

2.已知函數丁=/4/0）中，在每個象限內，y隨尤的增大而增大，那么它和函數y=丘（仁0）在同一直

角坐標平面內的大致圖象是（）

【答案】B

【解析】

【分析】先根據反比例函數圖象的性質判斷出左的范圍，再確定其所在象限，進而確定正比例函數圖象所

在象限即可解答.

【詳解】解：：函數y=^(4/0)中，在每個象限內，y隨尤的增大而增大，

x

：.k<0,

...雙曲線在第二、四象限，函數y=丘的圖象經過第二、四象限，

，B選項滿足題意

故選：B.

【點睛】本題主要考查了反比例函數圖象的性質與正比例函數圖象的性質，掌握k對正比例函數和反比例

函數圖象的影響成為解答本題的關鍵.

3.方程無2=4尤的解是()

A.x=4B.尤=2C.x=4或x=0D.x=0

【答案】C

【解析】

【分析】本題可先進行移項得到：尤2_?=0,然后提取出公因式x,兩式相乘為0,則這兩個單項式必有

一項為0.

【詳解】解：原方程可化為：x2-4x=0,提取公因式：無(x-4)=0,

.'.x=0或x=4

故選：C.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的計算，準確分析計算是解題的關鍵.

4.下列各組數據是線段長，其中丕能作為直角三角形的三邊長的是()

A.1,1,V2B.1,V2,V3C.1,73,2D.""，6

【答案】D

【解析】

【分析】比較較小的兩邊的平方和是否等于較長邊的平方來判定即可.

【詳解】A.仔+f=(&)2,此三角形是直角三角形，故不符合題意；

B.I2+(72)2=(73)2,此三角形是直角三角形，故不符合題意；

C.12+(73)2=22,此三角形是直角三角形，故不符合題意；

D.（、回）2+（4）2/（、后）2,此三角形不是直角三角形，故符合題意；

故選：D.

【點睛】此題考查勾股定理的逆定理，三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，則此三角形為直角三角

形.

5.如圖，一棵直立的大樹在一次強臺風中被折斷，折斷處離地面2米，倒下部分與地面成30°角，這棵

樹在折斷前的高度為（）

A.(2+24米B.(2+2而米C.4米D.6米

【答案】D

【解析】

【分析】根據直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長度，再加上離地面的

距離就是折斷前樹的高度.

【詳解】解：如圖，根據題意BC=2米，

VZBAC=30°,

.?.AB=2BC=2X2=4米，

2+4=6米.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質，比較簡單，熟記性質是解題的關鍵.

6.已知下列命題中：

①有兩條邊分別相等的兩個直角三角形全等；

②有一條腰相等的兩個等腰直角三角形全等；

③有一條邊與一個銳角分別相等的兩個直角三角形全等；

④頂角與底邊分別對應相等的兩個等腰三角形全等.

其中真命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性質逐個排查即可.

【詳解】解：①由于SSA不能判定三角形全等，則有兩條邊分別相等的兩個直角三角形不一定全等，故原

命題是假命題；

②由于滿足ASA,則有一條腰相等的兩個等腰直角三角形全等，故原命題是真命題；

③有一條邊與一個銳角分別對應相等的兩個直角三角形全等，故原命題是假命題；

④由于兩等腰三角形頂角相等，則他們的底角對應相等，再結合底相等，滿足ASA,故原命題是真命題.

其中真命題的個數是2個.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性質等知識點，靈活應用相關知

識成為解答本題的關鍵.

二、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）

7.計算：716=.

【答案】4

【解析】

【分析】根據算術平方根的概念求解即可.算術平方根的定義：一個非負數的正的平方根，即為這個數的

算術平方根，由此即可求出結果.

詳解】解：原式="=4.

故答案為4.

【點睛】此題主要考查了算術平方根的定義，算術平方根的概念易與平方根的概念混淆而導致錯誤.

8.函數y=J3x+6的定義域是.

【答案】%>-2

【解析】

【分析】函數關系中主要有二次根式.根據二次根式的意義，被開方數是非負數.

【詳解】解：根據題意得：3x+6》0,

解得xN-2.

故答案為：x2-2.

【點睛】本題主要考查自變量的取值范圍，函數自變量的范圍一般從三個方面考慮:

(1)當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；

(2)當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

(3)當函數表達式是二次根式時，被開方數為非負數.

9.在實數范圍內分解因式爐-%_3=.

【答案】尤x-

【解析】

【分析】令3=0,然后用公式法解出方程的根，即可寫出因式分解的結果.

【詳解】解：令—3=0,

【點睛】本題考查實數范圍內分解因式，根據㈤：2+bx+c=a(x—%)(%—%)先解方程是關鍵?

10.如果正比例函數>=(左-2)尤的圖象經過第二、四象限，那么人的取值范圍是

【答案】k<2

【解析】

【分析】根據正比例函數的性質列不等式求解即可.

【詳解】解：：正比例函數y=(Z-2)x圖象經過第二、四象限，

：.k-2<Q,

解得，k<2.

故填：k<2.

【點睛】本題主要考查了正比例函數的性質、正比例函數的圖象等知識點，根據正比例函數圖象所在的象

限列出不等式是解答本題的關鍵.

H.近視眼鏡的度數y(度)與鏡片焦距x(米)呈反比例，其函數關系式為丁=圖，如果近似眼鏡鏡

X

片的焦距X=O.25米，那么近視眼鏡的度數y為.

【答案】400

【解析】

【分析】把x=0.25代入y=圖計算即可.

【詳解】把x=0.25代入丁=圖，得

故答案為400度.

【點睛】本題考查了求反比例函數值，將x=0.25正確代入y=U3是解答本題的關鍵.

X

12.已知直角坐標平面內點4(1,2)和點3(—2,4),則線段A3=.

【答案】岳

【解析】

【分析】本題考查了坐標與圖形性質，勾股定理，熟記坐標平面內的兩點間的距離的求解是解題的關鍵.

利用勾股定理列式計算即可得解.

【詳解】解：?.?點41,2),5(—2,4),

AB=,(1+2)2+(2-4,=屈，

故答案為：y/13■

13.命題“直角三角形兩銳角互余”的逆命題是：.

【答案】兩個銳角互余的三角形是直角三角形

【解析】

【分析】找出原命題的條件和結論，再把原命題的條件變為逆命題的結論，把原命題的結論變為逆命題的條

件即可求解.

【詳解】解：命題“直角三角形兩銳角互余”的逆命題是：兩個銳角互余的三角形是直角三角形，

故答案為：兩個銳角互余的三角形是直角三角形.

【點睛】本題考查了寫出原命題的逆命題，熟練掌握命題的條件和結論是解題的關鍵.

14.如圖，在△ABC中，己知點。是邊48、AC垂直平分線的交點，點E是NABC、NACB角平分線的交

點，若/。+/E=180。，則/A=_____度.

o

BC

【答案】36.

【解析】

【分析】連接AO并延長，由垂直平分線和三角形外角的性質可得/BOC=NOBA+/OCA+/BAC=2/BAC,

由角平分線和三角形內角和定理可得NBEC=9(T+gZBAC,再根據已知條件NO+NE=180。即可求解.

【詳解】解：如圖，連接OA并延長.

:點。是AB,AC的垂直平分線的交點，

.,.OA=OB=OC,

.-.ZOAB=ZABO,ZOAC=ZOCA,

VZBOC=ZABO+ZOAB+ZOCA+ZOAC=2ZBAC,

:點E是/ABC、/ACB角平分線的交點，

.-.ZE=180°-1(ZABC+ZACB)

=180°4(180O-ZBAC)

=90°+^ZBAC,

VZBOC+ZE=180°,

.?.2ZBAC+90°+1ZBAC=180°,

.-.ZBAC=36°,

故答案為36.

【點睛】本題考查三角形的內角和定理，線段的垂直平分線的性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵

是靈活運用所學知識解決問題.

15.如圖，AD，AF分別是VABC的高和角平分線，已知NB=36°,NC=76°,則NZMF=____度.

【解析】

【分析】本題主要考查了角平分線，三角形高的定義和三角形的內角和定理，解題的關鍵是掌握以上知識

點.

根據角平分線的定義和高的定義結合三角形的內角和定理來解答.

【詳解】解：???N3=36°,NC=76°,

ZBAC=180-ZB-ZC=180o-76o-36°=68°,

又：AF是ZBAC的平分線，

.?.ZG4F=68°x-=34°,

2

又AD是BAC高線，

:.ZCDA=9Q°,

在mADC中，ZDAC=90-ZC=90°-76°=14°,

于是ZDAF=34°-14°=20°.

故答案為：20.

16.如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=90°,ZADC=90°,AC=26,BD=24,連接AC、BD,

取AC和3D的中點〃、N,連接MN,則MN的長度為.

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上中線的性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，靈活應用直角

三角形斜邊上中線的性質，等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵.

連接利用直角三角形斜邊上中線的性質得出一"8。為等腰三角形，再利等腰三角形“三線合

一”得出D,BN=ND=-BD=U,最后利用勾股定理即可求出MN的長度.

2

【詳解】解：如圖，連接

ZABC=90°,ZADC=90°,M是AC的中點,

：.MB=-AC,MD=-AC,

22

vAC=26,

：.MB=MD=-x26=13,

2

是的中點，BD=24,

：.MN±BD,BN=DN=-BD=-x24=12,

22

MN=siMB2-BN2=7132-122=5，

故答案為：5.

17.在平面直角坐標系中，已知反比例函數？=L(％>0),有若干個正方形如圖依次疊放，雙曲線經過正方

X

形的一個頂點(4,A2,4在反比例函數圖象上)，以此作圖，我們可以建立了一個“凡爾賽階梯”，那

么A2的坐標為.

【解析】

【分析】根據題意求得4（1,1）,設4所在的正方形的邊長為機，則4（m,m+1）,由圖象上點的坐標

特征得到左=機（m+1）=1,解得加=T+君,即可求得上的坐標為（T+正，匕好）.

222

【詳解】解：..?反比例函數的解析式為y=^（x＞。），

X

???4所在正方形的邊長為1,

AA3（1,1）,

設A2所在的正方形的邊長為相，則A2（根，m+1）,

Am（m+1）=1,

解得/〃=T+百（負數舍去），

2

.”2的坐標為（二上乎），

故答案為：（士，?1±@）.

22

【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象性質，正方形的性質，一元二次方程的計算，準確計算是解題

的關鍵.

18.如圖，已知Rt^ABC中，ZACB=90a,ZB=30°,BC=3,。是邊AB上的一點，將△2。沿直線

C。翻折，使點8落在點Bi的位置，若8LDJ_8C,則8。的長度為.

C

AB

D

【答案】E

【解析】

【詳解】延長BO交BC于E,由囪根據含30。角直角三角形和勾股定理的性質，推導得

BD,BE=^-BD,設尤，在R3中根據軸對稱、勾股定理的性質，建立方程計算即可解得答

2

案.

【解答】延長Bi。交8C于E,如圖:

B：

VBiDXBC,

：.ZBED=ZBiEC^9Q°,

VZB=30°,

：.DE=\BD,

6好

:.BE=《BD2-DE2-------DL)

2

設BD=x,

??,將△BCD沿直線CO翻折，使點B落在點Bi的位置,

■:BC=3,

：.CE=3--x,BiC=BC=3,

2

在RtZXBCE中，BiP+CP^BiC2,

(x+4x)2+(3-心-X)2=32

22

=0

???x=0（舍去）或工=百

：.BD=6

故答案為：73.

【點睛】本題考查了勾股定理、一元二次方程、軸對稱、含30。角直角三角形的知識；解題的關鍵是熟練

掌握勾股定理；軸對稱、含30。角直角三角形、一元二次方程的性質，從而完成求解.

三、計算題（本大題共2題，滿分10分）

19.計算：一萬一5（1一百）2+瓜.

【答案】2夜-1

【解析】

【分析】先進行分母有理化、化簡二次根式，再去括號，計算加減即可.

【詳解】解：&+27（1_逐丫+*

=廣石------（）

（6+2）（君3-2）-1+272

=/-2-囪+1+2也

=2也-1.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡和混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

20.解方程：2x（x—2）=%一一3.

【答案】1]=1,%=3

【解析】

【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握選擇合適的方法解一元二次方程是解題的關鍵.本題可以利用

配方法或公式法求解即可.

【詳解】解：2x（x—2）=f—3,

方程變形得：爐―4x+3=0，

a=1,b=-4>c=3,△=/-4ac=（T）2-4xlx3=4,

.-b土-4ac4）土/

??x=--------------------=----------------=2±]，

2a2

.,?玉=2—1=1,々=2+1=3,

即%=1,x2=3.

四、解答題（本大題共5題，21—24每題6分，25題8分，滿分32分）

21.己知關于無的方程（川-1）爐+27nx+相+3=0有兩個實數根，請求出"z的最大整數值.

【答案】加的最大整數值為0

【解析】

【分析】根據方程有兩個實數根，得到根的判別式大于等于。，確定出機的范圍，進而求出最大整數值即

可.

【詳解】解：二,關于x的方程（機-1）/+2如+%+3=0有兩個實數根，

'.b2-4ac—（2m）2-4Cm-1）（m+3）=4源-（4〃於+87a-12）=4/n2-4m2-8/M+12=-8m+12^0,m

-IWO,

3

解得：—且加Wl,

2

則m的最大整數值為0.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式的應用，準確計算是解題的關鍵.

22.為了讓我們的小朋友們有更好的學習環境，我校2020年投資110萬元改造硬件設施，計劃以后每年以

相同的增長率進行投資，到2022年投資額將達到185.9萬元.

（1）求我校改造硬件設施投資額的年平均增長率；

（2）從2020年到2022年，這三年我校將總共投資多少萬元？

【答案】（1）我校改造硬件設施投資額的年平均增長率為30%；（2）從2020年到2022年，這三年我校將總

共投資438.9萬元

【解析】

【分析】（1）設我校改造硬件設施投資額的年平均增長率為無，利用2022年投資額=2020年投資額x（1+

年平均增長率）2,即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；

（2）利用這三年我?？偣餐顿Y的金額=2020年投資額+2020年投資額x（1+年平均增長率）+2022年投資

額，即可求出結論.

【詳解】解：（1）設我校改造硬件設施投資額的年平均增長率為x,

依題意得：110（1+尤）占185.9,

解得：xi=0.3=30%,X2=-2.3（不合題意，舍去）.

答：我校改造硬件設施投資額的年平均增長率為30%.

(2)110+llOx(1+30%)+1859

=110+143+185.9

=438.9（萬元）.

答：從2020年到2022年，這三年我校將總共投資438.9萬元

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及有理數的混合運算，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正

確列出一元二次方程；（2）根據各數量之間的關系，列式計算.

23.如圖：已知，在四邊形ABCD中，于點8,AB=9,BC=12,CD=15,DA=15④,

求四邊形ABC。的面積.

【解析】

【分析】本題考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解題的關鍵.先利

用勾股定理求出AC,再利用勾股定理逆定理判斷ACD為直角三角形，且NACD=90°,再分別求

RtZiABC和RtAACD的面積即可.

【詳解】解：；AB=9,BC=12,

...在中，AC=7AB?+BC2=15,

VCD=15,DA=1572-

22

ACD=15=225-Di=05司=450，AC-=225>

???CD2+AC2=DA2，

ACD為直角三角形，且NACD=90°,

1

ASAABC=-AB-BC=-x9xl2=54,

11225

5A4CD=-AC-CD=-X15X15=——,

△ACD222

?225333

，四邊形ABCD的面積=5c+=54+——=——

AAe22

24.如圖,在△ABC中,AB=AC,28=30。.

（1）在8C邊上求作一點N,使得AN=BN；（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，求證：CN=2BN.

A

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

【詳解】（1）作線段AB的垂直平分線交3C于點N,點N即為所求；

（2）根據等腰三角形的性質計算出/C的度數，再計算出/CAN的度數，然后根據在直角三角形中,

30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得CN=2AM進而得到CN=2BN.

【解答】（1）解：如圖，點N即為所求；

A

(2)證明：連接AN.

'：AB=AC,

AZB=ZC=30°.

/.ZBAC=180°-2/8=120。.

'：AN=BN,

，NBAN=/B=30°

：.ZNAC=ZBAC-NNAB=120。-30°=90°.

：NC=30。，

:.CN=2AN.

:.CN=2BN.

【點睛】此題主要考查了作圖，等腰三角形的性質以及含30度角的直角三角形，關鍵是正確畫出圖形，

掌握在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半.

25.初二年級小王同學堅持環保理念，每天騎自行車上學，學校離家3000米.某天，小王上學途中因自行

車發生故障，修車耽誤了一段時間后繼續騎行，還是按時趕到了學校，如圖描述的是他離家的距離s和離

家的時間r之間的函數圖像，根據圖像解決下列問題：

(1)修車時間為分鐘：

(2)到達學校時共用時間分鐘；

(3)小王從離家時到自行車發生故障時，離家的距離S和離家的時間f之間的函數關系式為定義域

為;

(4)自行車故障排除后他的平均速度是每分鐘米.

【答案】(1)5分鐘；(2)20分鐘；(3)5=150/；0<X<10；(4)300.

【解析】

【分析】(1)線段A8表示修車時段，時間為5分鐘；

(2)根據C點橫坐標為20,得出到達學校時共用時間；

(3)觀察圖象，獲取有關信息：線段表示故障前行使情況：10分鐘行使了1500米；

(4)根據線段表示修車后行使情況：5分鐘行使了1500米，即可求出行駛速度.

【詳解】解：(1)線段表示修車時段，時間為5分鐘；

故答案為:5；

(2)利用C點橫坐標為20,得出從家到學校用時20分鐘；

故答案為：20；

(3)由圖象可知：小王從離家時到自行車發生故障時，10分鐘行使了1500米，故速度為150米/分，圖象

過原點，所以函數關系式為S=150t(0Wf<10)；

故答案為：S=150/；0<r<10；

(4)線段2C表示修車后行使情況：5分鐘行使了1500米，

故速度為1500-5=300(米/分)；

故答案為：300.

【點睛】此題考查一次函數及其圖象的應用，同學們要注意分析其中的“關鍵點”，還要善于分析各圖象的

變化趨勢，能夠從圖象中獲取相關信息是關鍵.

五、綜合題：(本大題只有I題，滿分10分)

26.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CA=CB,點、D、E在線段AB上.

(1)如圖1,若CD=CE,求證：AD=BE；

(2)