熱點題型?選填題攻略

專題04三角函數與解三角形(十二大題型)

O----------------題型歸納?定方向----------*>

題型01任意角和弧度制.................................................................2

題型02任意角的三角函數...............................................................3

題型03同角三角函數的基本關系.........................................................6

題型04三角函數的誘導公式.............................................................7

題型05三角恒等變換...................................................................9

題型06三角函數的有關概念............................................................11

題型07三角函數圖像的變換............................................................13

題型08三角函數的求參問題............................................................15

題型09解三角形.......................................................................17

題型10解三角形一面積問題、解的個數等問題............................................19

題型11解三角形與平面向量、數列等....................................................21

題型12三角函數與解三角形的實際應用..................................................26

*>----------題型探析?明規律----------*>

【解題規律?提分快招】

1、利用三角函數的定義，已知角a終邊上一點P的坐標可求a的三角函數值；已知角a的三角函數值，也可以

求出角a終邊的位置.

2、判斷三角函數值的符號，關鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結合三角函數值在各象限的符號確定所求三

角函數值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況.

3、誘導公式的兩個應用

①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了；

②化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.

4、常用的拆角、配角技巧:2a=(a+P)+(a—P)；a=(a+P)—P=(a—P)+P；P=—=(a+2p)—(a+P)；a—P=(a

-y)+(y-p)；15o=45°-30°；+a=一等.

5、確定y=Asin?x+(p)+b(A>0,a>>0)的步驟和方法：

M—TYlTYl

(1)求A,b.確定函數的最大值M和最小值m,則A=-—，b=一?一.

2冗

⑵求8.確定函數的最小正周期T,則8=于

(3)求(P，常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區間上還是在下降區間上)或把圖象

的最高點或最低點代入.

6、解三角形問題的技巧

(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一

次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

(2)三角形解的個數的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三

角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.

7、判斷三角形形狀的兩種思路

(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀.

(2)化角：通過三角恒等變形，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應用A+B+C=7T這個結論.

8、平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優化設計等問題，通常是轉化到三角形中，

利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決.在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把

要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函數思想.

題型01任意角和弧度制

【典例1-1].已知扇形的半徑是3,弧長為6,則扇形圓心角的弧度數是.

【答案】2

【分析】利用扇形的弧長得到關于圓心角的方程，解之即可得解.

【解析】依題意，設扇形的圓心角為。（。＞0）,

因為扇形的半徑是r=3,弧長為/=6,

所以由/=/r，得6=3a,則0二:二？.

故答案為：2.

【典例1-2】?母線長為5、底面半徑為2的圓錐的側面展開圖的圓心角的弧度數為.

【答案】岸477//4萬

【分析】設圓錐的側面展開圖的圓心角的弧度數為a,根據底面周長等于側面展開圖的弧長計算可得.

【解析】設圓錐的側面展開圖的圓心角的弧度數為a,

又母線/=5,底面半徑r=2

47r

則al=2兀r,即5a=4兀，解得a=—.

4兀

故答案為：y

【變式1-1】.若扇形的半徑為2,弧長為3,則扇形的面積為.

【答案】3

【分析】根據扇形的面積公式直接運算求解.

【解析】由題意可得：扇形的面積為]x3x2=3.

故答案為：3.

【變式1-2】?設a是第一象限的角，則言所在的象限為（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限

【答案】C

【分析】根據a是第一象限的角，求出，的范圍判斷即可得解.

【解析】因為a是第一象限的角，

71

所以2kli<a<2kji+—,keZ,

2

OfTT

所以E<一<E+一,左eZ

24

OfTTCt

當后二2〃,〃￡Z時，2〃兀<—<2ml+—,HGZ,一為第一象限角；

242

ryTT（y

當左=2〃+l,〃eZ時，2〃兀+兀<—<2”兀+兀+—eZ,—為第三象限角.

242

故選：C

【變式1-3】?折扇在我國已有三千多年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的

形式體現我國的傳統文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）,圖2為其結構簡化圖，設

扇面A,8間的圓弧長為/,A,B間的弦長為d,圓弧所對的圓心角為。（。為弧度角），則/、d和0所滿足

的恒等關系為（）

圖1圖2

e~13~1

coo

廠2cos—,ccos—7

C.2_uD.2_￡

e~19~1

【答案】A

【分析】先用。表示出d和/,進而求得彳的值.

【解析】過點。作于。，則NAO3=。，ZDOB=-

n

則d=2忸必=2|03河口5，l=\OB\-0

故選：A

題型02任意角的三角函數

【典例2-1】.若角a的終邊過點（4,3）,則sin（a+$=.

【答案】》0.8

【分析】根據三角函數的定義求得cosa,再利用誘導公式即可求得.

44

【解析】依題意，cose5+32=于

兀4

則sin（a+—）=cos0=丁

4

故答案為：—.

【典例2-2].“sin人^”是”的（

24

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】判斷“sinO=""和“”之間的邏輯推理關系，即可得答案.

24

【解析】當正時,

sin”0=—+2kn,k^Z^3=—+2fai,keZ,推不出。二工;

2444

當。=:時，必有sin6=包，

42

故"sin。=走”是“。：”的必要不充分條件，

24

故選：C

3

【變式2.1】.已知點尸（3,%）（典〈0）是角a終邊上一點，若cosa=g,貝ijtana=

【答案】=4

【分析】由任意角的三角函數定義即可求解.

33

【解析】COS6Z=-===-,又為＜0,

49+%3

解得：為=-4,

4

所以tana=-],

4

故答案為：

【變式22】.下面有四個命題:

①若點P（a,2a）（?20）為角a的終邊上一點，則sina=等；

②同時滿足sina='，cosa=走的角a有且只有一個；

22

③如果角a滿足-3n<a<-：兀，那么角a是第二象限的角；

④滿足條件tanx=-若的角x的集合為卜|x=E-g，左ez1.

其中真命題的序號為.

【答案】④

【分析】①根據正弦函數定義求正弦值判斷；②注意任意角定義即可判斷；③直接判斷角所在象限即可；

④根據正切值及任意角定義求角即可判斷.

【解析】①若點以。,2。）（分0）為角a的終邊上一點，5m。=一^=±攣（注意參數。的符號不確定）,

+4/5

假命題；

②同時滿足sina=1,cosa=昱,只要終邊與a=各相同的角都滿足，假命題；

226

③如果角a滿足-兀，那么角a是第三象限的角，假命題；

④滿足條件tanx=-右的角x=］+E,keZ,真命題.

故答案為：④

【變式2-3］.已知銳角a的頂點為原點，始邊為x軸的正半軸，將a的終邊繞原點逆時針旋轉g后交單位

O

圓于點貝hina的值為.

［答案］2&+1

6

【分析】先求得3,+胃2m3+胃，然后利用三角恒等變換的知識求得sina

【解析】由于在單位圓上，所以［Tj+y2=l,y2=|,

由于a是銳角，所以,2=?=>>=HE,則尸,

93（33）

二匚1“（吟1?（兀）2A/2

I6；3l6；3

.兀兀7171.兀

所以sin。=sina-\--------=sina+—cos——cosa+—sm—

（66I6666

11276+1

=述苕+-x—=

323-26

故答案為：馬位口

6

題型03同角三角函數的基本關系

【典例3」】.已知tanx=2,則2sin%cos%=

【答案】弛8

2sinxcosx

【分析】由2sinxcosx二,再將弦化切，最后代入計算可得.

sin2x+cos2x

2sinxcosx2tanx2x24

【解析】因為tanx=2,所以2sinxcos;r=

sin2x+cos2xtan2x+122+15

4

故答案為：—

【典例3-2】.設。為第二象限角，若tan6=-g,貝ijsin6?+cos6>=

布z-A/5

【答案】--------/---------

55

【分析】由同角三角函數的基本關系，列方程組解出sinacos0,求和即可.

【解析】6為第二象限角，貝Usin6>0,cos0<0,

sin。1sin8=——

若tan6=-；，則有<5

cos62解得

A2后

sin2+cos20=1cos"=--------

5

所以sin6+cos0=

555

故答案為：T

cosa+sina

【變式3“】.若tana=V^，則的值為

cosa—sina

【答案】-3-272

【分析】弦化切，代入tana即可.

cosa+sina

cosa+sina1+tan。

【解析】cos。=-（3+2及）

cosa-sinacosa—sina1—tana

cos。

故答案為：-3-272

【變式3?2】.已知角a的終邊不在坐標軸上，則下列一定成等比數列的是（）

A.sina,cos%tanaB.sina,tana,cosa

C.sin2%cosa,tan2aD.cos26Z,sinof,tan26Z

【答案】D

【分析】對于ABC,舉反例排除即可；對于D,利用三角函數的基本關系式即可判斷.

sinci

【解析】角。的終邊不在坐標軸上，有cosawO,sinawO,tanawO,tana=-------,

cosa

對于A,令a=；,則sina=Y^,cosa=?^,tana=l,

422

cos2cr=—,sinatma=x1=,即cos2。wsinatana,A不是；

222

兀]

對于B,令1=:，貝!|tan%=1,cosasine=:，即tan%wcosasine,B不是；

42

對于C,令a=￡,則sin2a=（；）2=；,cosc=孝,tan%=（弓y=g,

于是cos%=：,sin%tan%=-x-=—,即cos%wsiratan%,C不是；

44312

對于D,sin<z=cosatancz,則sin2（z=cos%tan2￡,貝ljcos%,sine,tan?。一定成等比數列，D是.

故選：D

1+sinOcos。

【變式3-3].若tand=-2,那么

sin26>-cos20

【答案】1

【分析】弦化切即可.

1+sindcosO_sin2J+cos,e+sin-cosJ_tan26+\+tan0

【解析】

sin2cos20sin20-cos20tan20-1

故答案為：1

題型04三角函數的誘導公式

sin（一2cos--a

【典例4」】.已知tana=2,則''”上.

cos（兀+a）

【答案】6

【分析】由誘導公式化簡即可得出答案.

sin2cos--a

【解析】\2）-sma-2sma3sina。/

----------------------------===3tana=6

cos（兀+a）--------cosa---------cosa

故答案為：6.

【典例4-2】?已知sin(e+"=g,則cos(""=

【答案】1/0.5

【分析】依題意利用兩角之間的關系并根據誘導公式計算可得結果.

【解析】根據題意，由誘導公式可得sin(e+E)=cos]-=cos(￡-々=85標一；]=：

故答案為：?

【變式4?1】.已知sin(a+i)=4cosa,則tan2a=.

【答案】卷

【分析】利用誘導公式將sinQ+萬)=4cosa化簡，求出tana,再利用二倍角公式求值.

【解析】因為sin(a+萬)=4cosa,所以一sina=4cosa,所以tana=Y,

““Ic2tana8

所以tan2a=------

1-tana15

故答案為：—

【變式4?2】.已知等差數列｛4｝的前〃項和為S“，若S]2=7?,則COS(4+%)=.

【答案】一也

2

【分析】由條件可得5]2=6(%+%)=7%，然后可得cosa+^XcosgECOs,即可得到答案.

【解析】因為S,是等差數列｛%｝的前〃項和，所以兀=6(4+%)=7萬，即g+%=?

以cos(4+%)=cos$=-cos————

故答案為：4

【變式4-3].已知角a的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，將角a的終邊按逆時針方向旋轉￡TT

0

后經過點(-1,73),則Sina=.

【答案】1

【解析】由題意利用任意角的三角函數的定義，先求得。的值，可得sina的值.

【解析】角a的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，

將角a的終邊按逆時針方向旋轉?后經過點㈠道卜

/.tana+—==—>/3,a+—=+2k7i,左￡Z,

I6—163

JIJI

所以a=5+2k兀,左￡Z,sincr=sin(—+2ki)=1.

故答案為：1.

【點睛】本題考查已知終邊上一點求三角函數值的問題，涉及到三角函數的定義，是一道容易題.

題型05三角恒等變換

【典例.若tana=5,貝Itan2a二

【答案】4

【分析】直接利用二倍角公式計算可得.

【解析】因為tana=5,

2tana2x5

所以tan2a=

1—tan2a1-52~12

5

故答案為:

12

71+S23,貝！畝［一

【典例5-2］.已知sin|a+三|52￡2

34

7

【答案】-三/-0.875

o

【分析】利用輔助角公式求出

sin(a+￡j=再利用誘導公式和二倍角公式求解即可.

立

【解析】sin|cr+—71j+sincr=—sin6z+c°sa+sina=

3224

-,故sina+$兀=

6sina+cosa=—f則

222464

27

sinf2a一看=sin2a+二=-cos2a+—=-l-2sin(+

(38

7

故答案為：

O

■什ccosa

【變式5?1】?右tanZaM；；；—；---,且會,則tana

2—sma

［答案】

1515

【分析】由同角三角函數的關系，結合二倍角公式求解.

cosa

【解析】由tan2a=

2—sina

2sincrcosa_coscr

l-2sin2a2-sina

jr

又ae(0,—),貝！Jcosa>0,

BP2sina(2-sina)=1-2sin2a,

解得2；,

貝1Jcosa=A/1-SIII2a=

4

,sinaV15

改/rtana=-------=------

cosa15

故答案為：姮

15

【變式5.2】?已知cos(a+￡)=；,tanatan/=2,則8$(。一分)=()

1

AB.D

-412cA-7

【答案】A

【分析】根據兩角和的余弦公式及同角三角函數的基本關系求出cosacos/7、sinasin/，再由兩角差的余

弦公式計算可得.

【解析】因為cos（。+4）=cosacos夕一sinasin夕=；,

csinasin[3",

=解得

3

所以cos(a-￡)=cosacos￡+sinasin§=--.

故選：A

冗

【變式5?3】.函數y=3sin2x+2百sinxcos%+cos2,0,-的值域為

【答案】[1,4]

【分析】由三角恒等變換得/(x)=2sin]2x-"+2,再整體代換求解值域即可.

百2十

【解析】y=3sin"+2sinxcosx+cosx=3^—+?x+1

=百sin2x-cos2x+2=2sin+2,

._,,,c兀r-r'Ir\兀兀5兀

因為xe0,~，所以2元一工￡一72,

2J6L66

所以sin(2x-胃e-pl,所以2sin(2x-eJ+2e[1,4],

所以函數y=3sin，+2百sinxcosx+cos尻xe0,；的值域為[1,4].

故答案為：[1,4]

題型06三角函數的有關概念

【典例6-1】.函數y=tan12x+gj的最小正周期為.

兀1

【答案】

【分析】根據條件，利用三角函數的周期公式，即可求出結果.

【解析】y=tan"x+T，所以函數的周期T=',

故答案為：y.

【典例6-2】?函數y=2sin[x+e]+l的單調遞增區間是.

【答案】[2far-y,2fat+1],(Z:eZ)

【分析】利用整體代入法求得y=2sin(x+5+1的單調遞增區間.

JTJT

【解析】函數y=sinx的單調區間為[2E—，乂配十萬],伏￡Z)

由2kli一方4x十三4Zkit+5QeQ,

解得2E一年

所以函數y=2sin[+"+l的單調遞增區間是[2E-g,2E+學(丘Z)

【變式6-1】.已知函數/(x)=cos?x+")(o>0，M〈卷，的部分圖象如圖所示，貝ij/(x)=

【分析】根據圖象得到函數周期，進而得到0的值，再結合特殊點函數值求得答案.

71712兀

【解析】由題意得，函數周期為T=4x=兀，所以/=干=2,

312

71

所以〃x）=cos（2x+9）,由了cos*+可=1,

12

^—+cp=2kji{keZ),即0=2左兀一二(％EZ),

66

又因為ld<]，所以e=所以〃x）=cosf2x-^j.

26

故答案為：cosf2%-^

T

【變式6-2].函數〃尤）=sin（5+0）（0>O,O<°<n）,設T為/'（力的最小正周期,若了號則

0=

711

【答案】—/一

44

9IT

【分析】由T=」，代入函數解析式中，結合0<9〈兀，可得。的值.

CD

97r

【解析】函數〃尤)=sin(&x+/)(0>O,O<e<7i),最小正周期T=—

CD

sijox女2兀+》=",

由于/.?.sin(]+0…等

(4GJ2

又。<0<兀，可得夕三.

故答案為：5

【變式6-3】.函數y=2cos2x+百sin2x的值域為

【答案】[T3]

TT

【分析】化簡函數的解析式為y=2sin（2x+：）+l,結合正弦函數的性質，即可求解.

6

【解析】由函數y=2cos2x+Gsin2]=(2cos2x—l)+V5sin2x+l=cos2x+V3sin2x+1=2sin(2x+-^)+1,

TTjr

因為sin(2x+—),所以2sin(2x+—)+le[-l,3],

66

所以函數的值域為[T,3].

故答案為：[—1,3].

題型07三角函數圖像的變換

27r

【典例7-1】.把關于尤的函數y=sin(x+6),040<2兀的圖像向左平移T，可得函數'=國型的圖像，貝I]。

的值為.

【答案】~^~11兀

【分析】利用y=Asin(ox+°)的圖象變換規律，結合誘導公式即可得解.

【解析】把函數y=sin(x+。)的圖象向左平移g,得函數-(+l+。]=$山》的圖象，

2兀2冗

貝l」7+e=2E,左￡Z,即e=—彳+2而/￡2,

4TT

因為ov〃<2兀，所以e=?-.

47r

故答案為：—.

【典例7-2】?函數/(x)=sin(2x+°)的圖象向左平移方個單位得到函數g(x)的圖象，若函數g(x)是偶函數，

則tan°=.

【答案】一且

3

【分析】根據函數圖象的平移可得g(x)=/1+，=sin(2x+g+e),進而根據偶函數即可求解

7T

夕=-：+E,左eZ,進而可求解.

6

【解析】g(x)=/^x+|j=sin(2x+y+^),

由于g(x)是偶函數，所以§+e=g+故e=+

326

所以1211夕=1211]一6+阮)=tan[_￡)=一^^,

故答案為：_昱

3

【變式7-1】.將函數〉=5也2龍的圖像向左平行移動￡個單位長度，再將得到的圖像上各點的橫坐標縮小

6

到原來的5（縱坐標不變），得到的函數圖像的解析式是

【答案】y=sin（4x+g）

【分析】利用平移和伸縮變換得出答案：向左平移。個單位，即將x換成x+a；橫坐標變為原來的工倍，

m

即將X換成機X.

【解析】把函數y=sin2x的圖像上所有的點向左平行移動￡jr個單位長度，

0

得至Uy=sin21x+胃=sin（2x+]）的圖象，

再把所得圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的1倍（縱坐標不變），

得至I」y=sin+（）的圖象.

故答案為：y=sin（4x+1^.

【變式7-21.若將函數y=tan[s+￡|（0>0）的圖像向右平移7個單位長度后，與函數y=tan,x+￡|的

圖像重合，則。的最小值為.

【答案】|

【分析】根據圖象的平移求出平移后的函數解析式，與函數y=tan[ox+^]的圖象重合，比較系數，求出

0=6k+g（%eZ）,然后求出。的最小值.

【解析】解：y=tan/x+小（0>0）,向右平移套個單位可得：

/.co—6k+—(k￡Z),

又,①>0,

1

4in=5.

故答案為：

【點睛】本題考查三角函數的圖象的平移，待定系數法的應用，考查計算能力，是基礎題.

【變式7-3].已知/（x）=sin（ox+￡|（0>O）,函數y=〃x）,xeR的最小正周期為兀，將y=〃x）的圖

像向左平移。個單位長度，所得圖像關于了軸對稱，則。的值是.

【答案】苦77兀|

【分析】由周期求出。，即可求出/>（X）的解析式，再根據三角函數的變換規則得到平移后的解析式，最后

根據對稱性得到。的值.

【解析】/（x）=sin，x+￡|（0>o）,函數y=/（x）的最小正周期為7等=….0=2,"x）=sin（2x+「

將>=/（尤）的圖像向左平移。個單位長度，可得尸sin+2。+：）的圖像，

根據所得圖像關于，軸對稱，可得2°+；=M+W，kuZ,解得0="+keZ,

4228

又。<。<小則令左=0,可得。的值為3

2o

故答案為：方.

題型08三角函數的求參問題

【典例8-1】.若函數y=tan3x在區間[九上是嚴格增函數，則實數加的取值范圍為.

【答案】U

【分析】解出正切型函數單調區間，則得到加的范圍.

【解析】令E—<3x<kTt-\—,keZ,解得-----<x<---1—,keZ,

223636

令左=0,則其一個單調增區間為Jcvg則實數機的取值范圍為卜

66L66；

故答案為：卜親胃.

【典例8-2].函數〃x）=2sin（0x-U（（y>0）在0,芻上存在最小值-2,則實數。的最小值是.

【答案】5

7T

【分析】先由X的范圍求得。的范圍，再利用正弦函數的性質得到關于。的不等式，解之即可得解.

0

【解析】因為xe。，彳，所以啰式-工￡，

因為函數〃x）=2sin10x-W（0>O）在區間0,y上存在最小值-2,

所以gty-gN當，解得025,

362

所以實數。的最小值是5.

故答案為：5.

TT7T

【變式8?1】.已知函數丁=5皿2%-7）-根在［0,不上有兩個零點，則機的取值范圍為____.

62

【答案】［1,1）

【分析】根據給定條件，探討函數丁=5足（2%-今TT-機的單調性，結合函數值情況列出不等式求解即得.

6

【解析】當xe［O,勺時，f=,

由2x-?e［-］勺，得xe［O,勺；

6623

由芻,得xw百勺,

62632

因此函數丁=sin,一機，

在［-￡勺上單調遞增，函數值從-1-加增大到1-m，

o22

在耳，手上單調遞減，函數值從1-帆減小到;-機，

口11

n.—m>-----m,

22

l-m>0

jrjr|

由函數y=sin（2x-：）-用在［0<］上有兩個零點，得11,解得74加<1,

12

所以加的取值范圍為［；』）.

故答案為：g』）

【變式8.2】.關于1的不等式sinxZcos2%+〃對任意尤￡氏恒成立，則實數〃的最大值為.

【答案】-3/T.25

4

【分析】々t=sinxJe［-M］,將不等式轉化成關于，的一元二次不等式，根據一元二次函數性質即可求出

結果.

【解析】因為sinx>cos2x+?，

所以sin無之1—sin2無+。，BPsin2x+sinx—1>a,

☆/=sinx,t2+t-l>a

令/⑺=『+%-1,,要使不等式si/x+sinx-lZa對于任意％ER恒成立，

只需滿足a</（以“，te[-1,1],

函數/⑴在-1>-|上單調遞減，在上單調遞增，

所以/=—5時，即sinx=—得x=不+（2左+左eZ或x=-^~+（2E+左eZ,有最小值，

=得aV-J,所以實數”的最大值為-）.

故答案為：-J

4

【變式8?3】?設函數y=sing3>0）在區間（0,2兀）上恰有三個極值點，則①的取值范圍為

■林金▼（57一

【答案】匕4

【分析】由元的取值范圍得到口工的取值范圍，再結合正弦函數圖象的性質得到不等式組，解得即可.

【解析】由已知工￡（0,2兀）,G>0得妙￡（0,2S）.

要使函數y=sin以3>0）在區間（0,271）上恰有三個極值點，

5兀771

由y=sin%,N￡（0,47i）圖象可得萬<2師工彳，

題型09解三角形

【典例9-1].在VABC中，若AB=5,8C=J^T,CA=4,則NA=.

【答案】y

【分析】根據給定條件，利用余弦定理求解即得.

【解析】在7ABC中，由余弦定理得cosA=叱+斯-叱=2"16-21=J_

2ABCA2x5x42

兀

而OVAVTI,所以A=].

故答案為：—

【典例9?2】,在VABC中，已知8C=5,AC=4,A=25,貝(Jcos5的值為.

【答案】j/0.625

O

【分析】根據給定條件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得.

【解析】在VABC中，由正弦定理得4=旦，而BC=5,AC=4,A=2B,

sinAsmB

54545

因此上一=——，即-----------=——，所以COSB=L

sin23sin32sinBcosBsinB8

故答案為："I

o

【變式9-1].在VABC中，角A,8,C對應邊為a,6,c,其中6=4.若A+C=120，且a=2c,則c邊長為

【答案】疸占6

33

【分析】利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得J

【解析】依題意，a=2c,

由正弦定理得sinA=2sinC,即sin(120—C)=2sinC,

61.,r

—cosCrH—sinC=2sinC,tanC——，

223

由于0<C<120,所以。=30,則A=90,3=60,

由正弦定理得三bc—_b_s_in__C—____9—_4_石_

sinCsinBsin383

2

故答案為:理

【變式9-2】?AFC中，sinA:sinB:sinC=1:\[1:,則cos4+cosb+cosC=.

【答案】73+76

-3

【分析】利用正弦定理角化邊，再結合勾股定理即可求得答案.

【解析】因為sinA:sinB:sinC=l:0：6\所以Q:Z?:C=1:0:百，

設a=左（左＞0）,則人=及k,c=?,

又/+〃=3左2=，，所以該三角形為直角三角形，

所以cosA=,cosB=,cosC=0,

y/3k3辰3

所以cosA+cosB+cosC=4+，

3

故答案為：一+二.

3

【變式9.3】.在VABC中,已知角A3。所對的邊分別為。，仇若石asinB+csinC=asinA+OsinB,則

C=.

【答案】

6

【分析】根據正余弦定理邊角互化即可求解.

【解析】由y/3asinB+csinC=asinA+bsinB可得6ab+c2=a2+b2

進而可得廿二百"，

a2+b2-c2yfiab_V3

所以cosC=

lablab2

由于Ce（0,兀）,故C=m，

故答案為：—

0

題型10解三角形一面積問題、解的個數等問題

【典例10-1】.在VA3C中，已知/AC8=120,AB=2A/7,若3c=2AC,則VA5c的面積為.

【答案】2也

【分析】根據給定條件，利用余弦定理求出AC,再利用三角形面積公式計算即得.

【解析】在VABC中，NACB=12Q,AB=2幣,BC=2AC,

由余弦定理得28=AB?=AC2+8C2-2AC-BCCOS120=1AC2,

解得AC2=4,

所以VABC的面積為LACxBCxsinl20=AC2--=2y/3.

22

故答案為：2陋

【典例10-2】.在VABC中，AB=4,BC=3,S^=3y/3,貝!]AC=.

【答案】而或歷

【分析】由三角形面積公式求出sin3,分類討論得到cosB,由余弦定理得出AC的值.

【解析】5=

sinB=,

2

當Be(0,J時，cosB=Jl-sin?B=',

由余弦定理得AC=^AB2+BC2-2AB-BC-cosB=J42+32-2x4x3x1=^/13,

當Be(右"時，cosB=71-sin2B=-；,

由余弦定理得AC=JA52+8C2-2AB.8C-COS8=J42+32—2x4x3x1-g)=歷,

,AC=g或歷，

故答案為：屈或后.

【變式10-11.記VA3C的內角A