第21章一元二次方程全章復習與測試

【知識梳理】

一、一元二次方程的有關概念

i.一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程，叫做一元二次

方程.

2.一元二次方程的一般式：

ax2+bx+c=0（。w0）

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要點詮釋：

判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次

再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0,看是否具備另兩個條件：①一個未知數；②未知數的最高次數為

2.

對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數不為0.

二、一元二次方程的解法

1.基本思想

一元二次方程降次>一元一次方程

2.基本解法

直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.

要點詮釋：

解一元二次方程時，根據方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法.

三、一元二次方程根的判別式及根與系數的關系

1.一元二次方程根的判別式

一元二次方程a/+/?%+c=0（。w0）中，b2-4ac叫做一元二次方程。%之+/?%+c=0（aw0）的根的

判別式，通常用來表示，即A=Z?2—

(1)當△>()時，一元二次方程有2個不相等的實數根;

(2)當△=()時，一元二次方程有2個相等的實數根；

(3)當△<()時，一元二次方程沒有實數根.

2.一元二次方程的根與系數的關系

2

如果一元二次方程ax+bx+c-0(。*0)的兩個實數根是馬，x2,

??,bc

那么Xi+x,=——，％1尤2=一.

一aa

注意它的使用條件為aWO,A^O.

要點詮釋：

1.一元二次方程ax2+6x+c=0(aw0)的根的判別式正反都成立.利用其可以解決以下問題:

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據參系數的性質確定根的范圍；

(3)解與根有關的證明題.

2.一元二次方程根與系數的應用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數系數；

(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數式的值及有關未知數系數；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數式為根的一元二次方程.

四、列一元二次方程解應用題

1.列方程解實際問題的三個重要環節：

一是整體地、系統地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

2.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

3.解決應用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關系等)；

設(設未知數，有時會用未知數表示相關的量)；

列(根據題目中的等量關系，列出方程)；

解（解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰）；

驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）；

答（寫出答案，切忌答非所問）.

4.常見應用題型

數字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤（銷售）問題、形積問題等.

要點詮釋：

列方程解應用題就是先把實際問題抽象為數學問題（列方程），然后由數學問題的解決而獲得對實際問

題的解決.

D【考點剖析】

一元二次方程的定義（共3小題）

1.（2023?大連一模）若方程b2_2尤+1=0是關于x的一元二次方程，則上的取值范圍是（）

A.k>0B.左WOC.左<0D.左為實數

2.（2023?桐柏縣一模）關于x的方程（m+1）尤歷因-?u+6=0是一元二次方程，則小的值是（）

A.-1B.3C.1D.1或-1

3.（2022秋?鎮江期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）

A.^~+2=0B.X2+2X+3=X（X+1）

x

C.2x+3y—6D.x2-2x+3=0

二.一元二次方程的一般形式（共2小題）

4.（2022秋?新會區期末）把方程x（x+1）=3（x-2）化成一般式小+加大尸。（a>0）的形式，則。、b、

c的值分別是（）

A.a—\,b--2,c--3B.q=l,b=-2,c=-6

C.a=l,b--2,c=3D.a=lfb=-2,c=6

5.（2022秋?雙峰縣期末）方程3x（1-x）+10=2（x+2）化成一般形式后，二次項系數、一次項系數、常

數項分別為（）

A.-3X2,1,6B.3f,1,6C.3,1,6D.3,-1,-6

三.一元二次方程的解（共2小題）

6.（2023?微山縣三模）己知根是方程3/-尤-1=0的一個根，則代數式6m2-2m+百的值應（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

7.（2023?隴西縣校級模擬）若x=l是關于尤的一元二次方程/+辦+2b=0的解，則3。+66=（）

A.-1B.-2C.-3D.-6

四.解一元二次方程-直接開平方法（共2小題）

8.（2022秋?南關區校級期末）解方程：2（%-3）2=8.

9.（2023?樺南縣一模）解方程：（x+3）2-25=0.

五.解一元二次方程-配方法（共1小題）

10.（2023春?通州區期末）解方程：

（1）3?-27=0.（2）X2-4X-2=0.

六.解一元二次方程-公式法（共3小題）

11.（2023?博山區二模）請分別用公式法和配方法兩種方法解方程：X2+2X-1=0.

12.（2023?西安校級三模）用適當的方法解一元二次方程：，-3尤-2=0.

13.（2022秋?東莞市期末）解方程：?-4x+7=10.

七.解一元二次方程-因式分解法（共1小題）

14.（2023春?泰安期中）按照指定方法解下列方程：

（1）3X2-4A+1=0（配方法）；（2）2-2^2x+l=0（公式法）;

(3)3x(x-2)=2x-4.

A.換元法解一元二次方程（共4小題）

15.（2022秋?牡丹區校級期末）已知（x2+/+l）（x2+/-3）=5,則的值為（）

A.0B.4C.4或-2D.-2

16.（2023?鎮海區校級一模）已知（/+房）2_°2_/一6=0,求/+序的值為.

17.（2022秋?集賢縣期末）解方程：（7-1）2-5（?-1）+4=0,利用整體思想和換元法可設f-1=?

則原方程可化為：.

18.（2022秋?新邵縣期末）請你先認真閱讀下列材料，再參照例子解答問題：

已知（x+y-3）（x+y+4）=-10,求x+y的值；

解：設x+y=t,則原方程可變形為（L3）（f+4）=-10.BPr+t-2=0

G+2）（t-1）=0得力=-2,t2=l,

?\x+y=-2或x+y=1.

已知(/+y2-2)(f+y2-3)=12,求W+/的值.

九.根的判別式（共3小題）

19.（2023?扎蘭屯市一模）已知a、b、c是△ABC的三條邊的長，那么方程cx2+（a+b）x4=0的根的情

況是（）

A.沒有實數根B.有兩個相等的實數根

C.有兩個不相等的負實根D.有兩個不相等的正實根

20.（2023?荊州）已知關于x的一元二次方程區2-（2左+4）尤+/-6=0有兩個不相等的實數根.

（1）求左的取值范圍；

（2）當左=1時，用配方法解方程.

21.（2023?杭州）設一元二次方程/+6x+c=0.在下面的四組條件中選擇其中一組6,c的值，使這個方程

有兩個不相等的實數根，并解這個方程.

①b=2,c=l；②Z?=3,c=l；③Z?=3,c=-1；④b=2,c=2,

注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分.

一十.根與系數的關系(共3小題)

22.(2023?迎江區校級三模)已知xi,X2是方程5/+2x=x+5的兩個實數根，計算xi-XLX2+X2值得()

A.-AB.1C.?D.

555

23.(2023?通遼)閱讀材料：

材料1：關于x的一元二次方程o?+6尤+c=0QW0)的兩個實數根尤1x2和系數a,b,c,有如下關系：

Xl+X2=--,XI無2=工

aa

材料2：已知一元二次方程%-1=0的兩個實數根分別為m，n,求機2〃+機〃2的值.

解：??,加，及是一元二次方程/-1-1=0的兩個實數根，

m+n=1?mn=-1.

貝!Jm2n+mn2=mn(m+n)=-lXl=-l.

根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：

(1)應用：一元二次方程2/+3X-1=0的兩個實數根為XI,X2,則Xl+X2=,

X1X2=?

(2)類比：已知一元二次方程27+3x-1=0的兩個實數根為加，n,求川+層的值；

(3)提升：已知實數s,f滿足2/+3s-1=0,2，+3-1=0且sWf,求上」的值.

st

24.(2023?湖北)已知關于x的一元二次方程/-(2/w+l)x+m2+m=0.

Cl)求證：無論相取何值時，方程都有兩個不相等的實數根；

(2)設該方程的兩個實數根為a,b,若(2a+6)(a+26)=20,求機的值.

一十一.由實際問題抽象出一元二次方程(共2小題)

25.(2023?羅山縣校級三模)冰墩墩是2022年北京冬季奧運會的吉祥物，其以國寶熊貓為原型設計創作,

將熊貓憨態可掬的形象與富有超能量的冰晶外殼相結合，體現了冬季冰雪運動和現代科技的特點，一經

開售供不應求.已知該款吉祥物在某電商平臺上2月4日的銷售量為5000個，2月5日和2月6日的總

銷售量是22500個.若2月5日和6日較前一天的增長率均為無，則無滿足的方程是()

A.5000(1+x)2=22500

B.55000(1-%)2=22500

C.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=22500

D.5000(1+x)+5000(1+無)2=22500

26.(2023春?瑤海區期末)某商店對一種商品進行庫存清理，第一次降價30%,銷量不佳；第二次又降價

10%,銷售大增，很快就清理了庫存.設兩次降價的平均降價率為無，下面所列方程正確的是()

人300+10%

A?--------二Y

2

B.(1-30%)(1-10%)=(1-2%)

C.(1-30%)(1-10%)=2(1-x)

D.(1-30%)(1-10%)=(1-尤)2

一十二.一元二次方程的應用(共8小題)

27.(2023?東營)如圖，老李想用長為70/7；的柵欄，再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個矩形羊圈

ABCD,并在邊上留一個2%寬的門(建在所處，另用其他材料).

(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640川的羊圈？

(2)羊圈的面積能達到650%2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由.

AD

BEFC

28.（2023春?金安區期中）某運動品牌銷售一款運動鞋，已知每雙運動鞋的成本價為60元，當售價為100

元時，平均每天能售出200雙；經過一段時間銷售發現，平均每天售出的運動鞋數量y（雙）與降低價格

尤（元）之間存在如圖所示的函數關系.

（1）求出y與尤的函數關系式；

（2）公司希望平均每天獲得的利潤達到8910元，且優惠力度最大，則每雙運動鞋的售價應該定為多少？

（3）為了保證每雙運動鞋的利潤不低于成本價的50%,公司每天能否獲得9000元的利潤？若能，求出

定價；若不能，請說明理由.

29.（2023?臨淄區一模）春節期間，某網店從工廠購進A、8兩款商品，進貨價和銷售價如下表：（注：利

潤=銷售價-進貨價）

類別價格A款商品B款商品

進貨價（元/件）3025

銷售價（元/件）4537

（1）網店第一次用850元購進A、8兩款商品共30件，求兩款商品分別購進的件數；

（2）第一次購進的商品售完后，該網店計劃再次購進A、B兩款商品共80件（進貨價和銷售價都不變），

且進貨總價不高于2200元.應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？

（3）春節臨近結束時，網店打算把2款商品調價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售4件，經調查

發現，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款商品平均每天銷售

利潤為90元？

30.（2023?郴州）隨旅游旺季的到來，某景區游客人數逐月增加，2月份游客人數為1.6萬人，4月份游客

人數為2.5萬人.

（1）求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；

（2）預計5月份該景區游客人數會繼續增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率.已知該景區

5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數最多是多少萬人？

31.（2023?西鄉塘區校級模擬）當今社會，“直播帶貨”已經成為商家的一種新型的促銷手段.小亮在直播

間銷售一種進價為每件10元的日用商品，經調查發現，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）

滿足一次函數關系，它們的關系如下表：

銷售單價彳（元）202530

銷售量y（件）200150100

（1）求y與尤之間的函數關系式;

（2）該商家每天想獲得2160元的利潤，又要盡可能地減少庫存，應將銷售單價定為多少元?

32.（2023?福田區校級二模）冰墩墩是2022年北京冬季奧運會的吉祥物.某商場以20元/臺的價格購進一

批冰墩墩玩偶出售，在銷售過程中發現，其日銷售量y（單位：只）與銷售單價無（單位：元）之間存在

如圖所示的函數關系.

（1）求y與尤的函數關系式；

（2）若物價局規定，產品的利潤率不得超過60%,該商場銷售冰墩墩玩偶每天要想獲得150元利潤，銷

售單價應定為多少？

33.（2023?六安三模）春季是傳染病多發季節.2023年3月，我國某地甲型流感病毒傳播速度非常快，開始

有4人被感染，經過兩輪傳播后，就有256人患了甲型流感.若每輪傳染的速度相同，求每輪每人傳染

的人數.

34.（2023?朝陽二模）世界讀書日是在每年的4月23日，“世界圖書日”設立目的是推動更多的人去閱讀和

寫作，希望所有人都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻的文學、文化、科學、思想大師們，保護

知識產權.某批發商在世界讀書日前夕，訂購了一批具有紀念意義的書簽進行銷售，平均每天可售出500

張，每張可獲利0.5元.調查發現，如果每張書簽的售價每降價0.1元，平均每天可多售出200張.批發

商要想平均每天獲利270元，求每張書簽應降價多少元.

一十三.配方法的應用（共2小題）

35.（2023春?永州期中）不論x、y是什么數，代數式f+y+2x-2y+7的值（）

A.總大于7B.總不小于7C.可能為負數D.總不小于5

36.（2023春?江都區月考）【閱讀材料】配方法是數學中重要的一種思想方法.它是指將一個式子的某一部

分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法.這種方法常被用到代數式的變形中，并

結合非負數的意義來解決一些問題.

我們定義：一個整數能表示成次+廬（人6是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”.例如，5是“完

美數”.理由：因為5=22+P,所以5是“完美數”.

【解決問題】

（1）數11“完美數”（填“是”或“不是”數53“完美數”（填“是”或“不是”）；

【探究問題】

(2)已知x2+y2-4x+2y+5=0,貝ij尤+y=；

【拓展提升】

(3)已知S=27+/+2孫+12x+左(x、y是整數，左是常數)，要使S為“完美數”，試求出符合條件的左值,

并說明理由.

【過關檢測】

一、單選題

1.關于X的一元二次方程日?+（2左一1）X+Z=O有兩個實數根，則上的取值范圍是（）

A.k<-B.k<-^.k^OC.LW4且左WOD.k>-

444

2.方程N=1的解是（）

A.制=0,X2=lB.xi=0,X2=-1C.X1=1,X2=-1D.X1=X2=1

3.一元二次方程f+4=2x根的情況是（）

A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根

C.沒有實數根D.只有一個實數根

2

4.用配方法解方程爐-§龍-1=0時，應將其變形為（）

B."小910

C.=0D.

~9

5.關于工的方程/—缶+cosa=0有兩個相等的實數根，則銳角。的度數（）

A.等于30。B.等于45。C.等于60。D.不影響方程的解

6.在下列方程中，一元二次方程是（）

A.3x2-6xy+2y2=0B.x2-2xy=0C.x2—5=—2xD.2x--=0

x

7.若關于x的一元二次方程1（X-2）=2如有兩個相等的實數根，則實數機的值為（）

A.-1B.0C.—1或0D.4或1

8.將方程2/=3-5%化為一般形式，b,。的值分別為（）

A.a=2b—5,c=3B.a=2,Z?=—5,c=3

C.a=2fb=5,c=—3D.a=2,b=—5,c=—3

9.對于兩個不相等的實數a,b,我們規定符號冽b}表示a、b中的較大的數，如：max{2,4}=4,

按照這個規定，方程〃zax{x,-x}=N-尤-1的解為（）

A.1+及或1-&B.1或-1C.1-0或1D.1+0或-1

10.如圖，若將圖1正方形剪成四塊，恰能拼成圖2的矩形，設a=l,貝Ub的值為（）

D.75-1

二、填空題

11.關于》的一元二次方程”/+3%_2=0有兩個不相等的實數根，貝壯的取值范圍是

12.方程j3-2x=-x的解是.

13.（1）一元二次方程（x-2Mx-3）=0的根是.

（2）以正方形ABCD的邊AD作等邊ADE,貝！II3BEC的度數是.

14.若方程2N-4x-3=0的兩個實數根分別為出尤7,必貝l」x/+X2=.

15.一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握一次手，有人統計一共握了36次手，設到會的人數為x

人，則根據題意列方程為.

16.把方程化成一般形式為.

17.對于任意實數。、b,定義一種運算：a0b=a2+b2-ab,若x?）（x-l）=3,則x的值為.

18.如圖都是由同樣大小的小球按一定規律排列的，依照此規律排列下去，第一個圖形共有210個小

球.

@@@@@@

@@@@@@@@?@

（第1個圖）（跳2個圖）（第3個圖）（第4個圖）

三、解答題

19.用合適的方法解方程.

2

（1）（2X-3）=64；(2)2f—4x-l=0

20.解下列方程:

(l)x2+6x+l=0;(2)(^-3)2=2(X-3).

_./.、、」咨(-3q—4、t/2—+9

21.(1)計算：Q+2-------+-----------

ya_2ya_2

（2）已知關于尤的一元二次方程x2-6x+m+4=0有兩個實數根為，x2.求相的取值范圍.

22.已知：關于x的方程kx2-（3k-l）x+2（k-1）=0

（1）求證：無論k為何實數，方程總有實數根;

（2）若此方程有兩個實數根Xi,X2,且X；+X：=4,求k的值.

23.某生物實驗室需培育一群有益菌.現有60個活體樣本，經過兩輪培植后，總和達24000個，其中每個

有益菌每一次可分裂出若干個相同數目的有益菌.

⑴每輪分裂中平均每個有益菌可分裂出多少個有益菌？

⑵按照這樣的分裂速度，經過三輪培植后有多少個有益菌？

24.收發微信紅包已成為各類人群進行交流聯系，增強感情的一部分，下面是甜甜和她的雙胞胎妹妹在六

一兒童節期間的對話.

請問：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到紅包的年增長率是多少；

（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少錢的微信紅包.

25.去年某商店"十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業額為450萬元，第七天的營業額是前六

天總營業額的12%.

（1）求該商店去年"十一黃金周”這七天的總營業額；

（2）去年，該商店7月份的營業額為350萬元，8、9月份營業額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天

的總營業額與9月份的營業額相等.求該商店去年8、9月份營業額的月增長率.

26.安順市某商貿公司以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧

客得到更大的實惠，現決定降價銷售，已知這種干果銷售量y（千克）與每千克降價x（元）（0＜尤＜20）

之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示:

(1)求y與x之間的函數關系式；

(2)商貿公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價多少元?

第21章一元二次方程全章復習與測試

【知識梳理】

一、一元二次方程的有關概念

i.一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程，叫做一元二次

方程.

2.一元二次方程的一般式：

ax2+bx+c=0（。w0）

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要點詮釋：

判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次

再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0,看是否具備另兩個條件：①一個未知數；②未知數的最高次數為

2.

對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數不為0.

二、一元二次方程的解法

1.基本思想

一元二次方程降次>一元一次方程

2.基本解法

直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.

要點詮釋：

解一元二次方程時，根據方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法.

三、一元二次方程根的判別式及根與系數的關系

1.一元二次方程根的判別式

一元二次方程a/+c=0（〃w0）中，b2-4ac叫做一元二次方程a/+/?%+c=0（〃w0）的根

的判別式，通常用來表示，即A=/—4。。

（1）當△＞（）時，一元二次方程有2個不相等的實數根;

（2）當△=（）時，一元二次方程有2個相等的實數根；

（3）當△＜（）時，一元二次方程沒有實數根.

2.一元二次方程的根與系數的關系

如果一元二次方程ax2+bx+c^0（。豐0）的兩個實數根是毛，%,

,bc

那么九1+九2=——，=一?

一aa

注意它的使用條件為aWO,A20.

要點詮釋：

1.一元二次方程ax2+6x+c=0（a，0）的根的判別式正反都成立.利用其可以解決以下問題:

（1）不解方程判定方程根的情況；

（2）根據參系數的性質確定根的范圍；

（3）解與根有關的證明題.

2.一元二次方程根與系數的應用很多：

（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及參數系數；

（2）已知方程，求含有兩根對稱式的代數式的值及有關未知數系數；

（3）已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數式為根的一元二次方程.

四、列一元二次方程解應用題

1.列方程解實際問題的三個重要環節：

一是整體地、系統地審題；

二是把握問題中的等量關系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

2.利用方程解決實際問題的關鍵是尋找等量關系.

3.解決應用題的一般步驟：

審（審題目，分清已知量、未知量、等量關系等）；

設（設未知數，有時會用未知數表示相關的量）；

列（根據題目中的等量關系，列出方程）；

解（解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰）;

驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）；

答（寫出答案，切忌答非所問）.

4.常見應用題型

數字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤（銷售）問題、形積問題等.

要點詮釋：

列方程解應用題就是先把實際問題抽象為數學問題（列方程），然后由數學問題的解決而獲得對實際問

題的解決.

‘一」【考點剖析】

一元二次方程的定義（共3小題）

1.（2023?大連一模）若方程入2-2尤+1=0是關于x的一元二次方程，則上的取值范圍是（）

A.k>0B.左WOC.左<0D.左為實數

【考點】一元二次方程的定義.

【分析】根據是一元二次方程的條件：二次項系數不為0,即可確定左的取值范圍.

【解答】解：根據題意得：20.

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次方程的概念.只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元

二次方程，一般形式是"2+公+0=0（a=0）.特別要注意的條件.這是在做題過程中容易忽視的知

識點.

2.（2023?桐柏縣一模）關于x的方程（m+1）-mx+6=0是一元二次方程，則機的值是（）

A.-1B.3C.1D.1或-1

【考點】一元二次方程的定義；絕對值.

【分析】根據一元二次方程的定義，即可求解.

【解答】解：?.,關于x的方程（〃?+1）刖什1-3+6=0是一元二次方程，

|m|+l=2且m+17^0,

解得m=l.

故選：C.

【點評】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數，且未知數的最高次數為2的

整式方程是一元二次方程是解題的關鍵.

3.（2022秋?鎮江期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）

22

A.x--+2=0B.X+2X+3=X（X+1）

x

C.2x+3y=6D.x2-2x+3=0

【考點】一元二次方程的定義.

【分析】根據一元二次方程的定義逐個判斷即可.

【解答】解：A.此方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

B.由原方程變形得到：x+3=O,該方程是關于x的一元一次方程，故本選項不符合題意；

C.方程2x+3y=6中含有兩個未知數，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

D.方程/-2x+3=0是一元二次方程，故本選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，只有一個未知

數，并且所含未知數的項的最高次數是2的整式方程，叫一元二次方程.

二.一元二次方程的一般形式（共2小題）

4.（2022秋?新會區期末）把方程x（x+1）=3（尤-2）化成一般式（a>0）的形式，則。、b、

c的值分別是（）

A.b~~~2,c~~~3B.a=l,b~~~2,c=-6

C.a=l,b--2,c=3D.a—\,b=-2,c=6

【考點】一元二次方程的一般形式.

【分析】先去括號，再移項、合并同類項，化為af+6x+c=0（?>0）的形式，再根據對應相等得到a、

b、c的值.

【解答】解：去括號得，/+尤=3x-6,

移項得，%2-2x+6=0,

所以a、b、c的值可以分別是1,-2,6.

故選：D.

【點評】一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（aWO,a,6,c為常數），其中。叫二次項系數，6叫

一次項系數，c叫常數項.

5.（2022秋?雙峰縣期末）方程3x（1-x）+10=2（x+2）化成一般形式后，二次項系數、一次項系數、常

數項分別為（

A.-3?,1,6B.3?,1,6C.3,1,6D.3,-1,-6

【考點】一元二次方程的一般形式.

【分析】任何一個關于尤的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式—+bx+c=OQWO).這種形式

叫一元二次方程的一般形式，其中辦2叫做二次項，。叫做二次項系數；版叫做一次項；c叫做常數項.

【解答】解：方程3尤(1-%)+10=2(x+2)化成一般形式后，為3怔-X-6=0,

所以二次項系數、一次項系數、常數項分別為3、-1、-6,

故選：D.

【點評】本題主要考查一元二次方程的一般形式，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成

如下形式次+c=0(aNO).這種形式叫一元二次方程的一般形式，其中"2叫做二次項，。叫做二次

項系數；b尤叫做一次項；c叫做常數項.

三.一元二次方程的解(共2小題)

6.(2023?微山縣三模)已知根是方程37-尤-1=0的一個根，則代數式6m2-2m+百的值應()

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【考點】一元二次方程的解；估算無理數的大小.

【分析】根據一元二次方程解的意義可得3川-m-1=0,從而可得3層-m=i,然后把3層-機=1代

入式子中進行計算，即可解答.

【解答】解：由題意得：3m2-m-1=0,

3m-m—1,

,?6m^-2m+V3

=2(3m2-m)+Vs

=2義1+迎

=2+Vs,

Vl<3<4,

/.1<V3<2,

.\3<2+V3<4,

代數式6m2-2m+V3的值應在3和4之間，

故選：c.

【點評】本題考查了一元二次方程的解，估算無理數的大小，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

7.（2023?隴西縣校級模擬）若x=l是關于尤的一元二次方程/+以+26=0的解，貝I]3a+66=（）

A.-1B.-2C.-3D.-6

【考點】一元二次方程的解.

【分析】把x=l代入一元二次方程得到。+26=-1,再把3a+6b變形為3（a+2b）,然后利用整體代入的

方法計算.

【解答】解：把x=l代入方程尤+26=0得l+a+2b=0,

所以a+2b=-1,

所以3。+66=3（a+2b）=3X（-1）=-3.

故選：C.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程

的解.

四.解一元二次方程-直接開平方法（共2小題）

8.（2022秋?南關區校級期末）解方程：2（%-3）2=8.

【考點】解一元二次方程-直接開平方法.

【分析】先把方程變形得到（尤-3）2=4,再把方程兩邊開方得到x-3=±2,然后解一次方程即可.

【解答】解：2（x-3）2=8,

（x-3）2=4,

尤-3=±2,

所以Xl=5,X2=l.

【點評】本題考查了解一元二次方程-直接開平方法：形如/=。或（加+加）2=p（p'O）的一元二次

方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.

9.（2023?樺南縣一模）解方程：（x+3）2-25=0.

【考點】解一元二次方程-直接開平方法.

【分析】先把方程變形為解（尤+3）2=25,然后利用直接開平方法解方程.

【解答】解：（x+3）2=25,

%+3=±5,

所以xi=2,X2=-8.

【點評】本題考查了解一元二次方程-直接開平方法：形如/=。或（依+相）2=p（p20）的一元二次

方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.

五.解一元二次方程-配方法（共1小題）

10.（2023春?通州區期末）解方程:

（1）3?-27=0.

（2）?-4.r-2=0.

【考點】解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-直接開平方法.

【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；

（2）利用配方法求解即可.

【解答】解:（1）3?-27=0,

移項得：3?=27,

化簡得：JC—9.

兩邊開方得：x=±3,

解得：xi=3,X2=-3；

（2）x2-4x-2=0,

移項得：/-4x=2,

配方得：/-4x+4=2+4,

即（%-2）2=6,

開方得：尤-2=土加，

，原方程的解是：xi=2+娓,X2=2-娓.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方

法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵.

六.解一元二次方程-公式法（共3小題）

11.（2023?博山區二模）請分別用公式法和配方法兩種方法解方程：?+2x-1=0.

【考點】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法.

【分析】用配方法解方程，首先移項，把常數項移到等號的右邊，再將二次項系數化為1,然后在方程的

左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方，即可使左邊變形成完全平方式，右邊是常數，直接開方即可

求解；用公式法解方程，首先找出方程中二次項系數一次項系數b及常數項c,計算出根的判別式,

由根的判別式大于0,得到方程有解，將mb及C的值代入求根公式即可求出原方程的解.

【解答】解：配方法，

移項得/+2x=l,

配方得：/+2x+l=l+l,即(x+1)2=2,

開方得：x+l=±&，

;

解得：x^V2-Px2=-V2-1

公式法：

b=2,c=-1,

：.b2-4rtc=22-4X1X(-1)=8>0,

...士并一i士人,

*',xj=V2-PX2=-V2-1-

【點評】此題考查了解一元二次方程-公式法和配方法，解題時要注意解題步驟的準確應用.

12.(2023?西安校級三模)用適當的方法解一元二次方程：W-3尤-2=0.

【考點】解一元二次方程-公式法.

【分析】先計算根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解.

【解答】解：％2-3尤-2=0,

a=l,b=-3,c=-2,

△=(-3)2-4XlX(-2)=17>0,

_-b±7b2-4ac_3±V17_3±V17

X--------—--------，

2a2X12

所以x尸丑叵，衣.

22

【點評】本題考查了解一元二次方程-公式法：熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟是解決問

題的關鍵.

13.(2022秋?東莞市期末)解方程：X2-4X+7=10.

【考點】解一元二次方程-公式法.

【分析】根據配方法先配成：(x-2)2=7,然后解一元二次方程即可(方法不唯一).

【解答】解：%2-4^+7=10,

.".x2-4x+4=7,

(x-2)2=7,

.,.x-2=±W，

xj=2+\/7,x2=2-V7,

【點評】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵.

七.解一元二次方程-因式分解法(共1小題)

14.(2023春?泰安期中)按照指定方法解下列方程：

(1)3X2-4.r+l=0(配方法)；

⑵2X2-2V2X+1=0(公式法)；

(3)3x(尤-2)=2x-4.

【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法.

【分析】(1)方程利用配方法求出解即可；

(2)方程利用公式法求出解即可；

(3)方程整理后，利用因式分解法求出解即可.

2

【解答】解：(1)方程變形得：x-Ax=-1,

33

配方得：X2-—X+—=-—,即(X-—)2=_1,

393939

開方得：x-l=+l,

33

解得：Xl=l,X2——；

3

(2)這里a=2,b—-2V2,c=l,

A=(-2V2)2-4X2Xl=8-8=0,

.、一-b±Vb2-4ac-2A/2±0

??X-----------------------------------------,

2a42

解得：X1=X2=YZ；

2

(3)方程整理得：3x(x-2)-2(x-2)=0,

分解因式得：(％-2)(3x-2)=0,

所以x-2=0或3x-2=0,

解得：xi=2,Xi——.

3

【點評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，以及公式法，熟練掌握各自的解法是解本

題的關鍵.

八.換元法解一元二次方程（共4小題）

15.（2022秋?牡丹區校級期末）已知（/+9+1）-3）=5,則/+/的值為（）

A.0B.4C.4或-2D.-2

【考點】換元法解一元二次方程.

【分析】設d+/=z,則原方程換元為Z2-2Z-8=0,可得ZI=4,Z2=-2,即可求解.

【解答】解：設/+『=z,則原方程換元為Z2-2Z-8=0,

（z-4）（z+2）=0,

解得:zi=4,Z2=-2,

即x2+y2=4或/+/=-2（不合題意，舍去），

；./+/=4.

故選：B.

【點評】本題考查了換元法解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關鍵.

16.（2023?鎮海區校級一模）已知（/+院）2_.2一戶一6=0,求J+序的值為3.

【考點】換元法解一元二次方程.

【分析】設/+必為尤，利用換元法解答即可.

【解答】解:設d+d為x,可得：/-x-6=0,

（x-3）（x+2）=6,

解得：xi=3,X2=-2（不合題意舍去），

所以/+戶的值是3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了換元法解方程問題，掌握把未知數看作一個整體進行解答是關鍵.

17.（2022秋?集賢縣期末）解方程：（/-I）2-5（？-1）+4=0,利用整體思想和換元法可設/-1=?

則原方程可化為：?-5y+4=0.

【考點】換元法解一元二次方程.

【分析】根據換元法，設/-l=y,代入原方程即可求解.

【解答】解：設則原方程可化為