專題1三角函數與解三角形【大題精做*精做】

大題精做U-LI最新模擬

（考向：邊角計算問題）（24-25高三上?江蘇?階段練習）

1.記VABC的內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且2c=>+2acos3.

⑴求A；

⑵若2C邊上的高為1,且c-b=l,求a.

（考向：周長問題）（24-25高三上?河北保定?期末）

2.在VABC中，內角A,5,C的對邊分別為a,女c,已知asinB=6cos（A-0.

⑴求角A；

（2）若。=有,sinBsinC=',求VABC的周長.

4

（考向：面積問題）（24-25高三上?江蘇?期末）

3.在VA2C中，AB=6,BC=5.

（1）若C=2A,求sinA的值；

9

（2）若VABC為銳角三角形，cosA=—,求VABC的面積.

16

（考向：最值范圍問題）（24-25高三上?河北承德?期中）

4.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ZABC=150°,就>，8c交AC于點

D,且3￡>=1.

（1）若AZ）=S，求△ABD的面積；

（2）求2a+若c的最小值.

（考向：探索性問題）（2024?湖南長沙?一模）

5.在VABC中，角A,3,C所對的邊長分別為a,b,c,且滿足sin8+sinC=2sinAcosB.

⑵如圖，點O在線段48的延長線上，且|AB|=3,忸。=1,當點C運動時，探究

是否為定值？

大題精做I」最新模擬

（考向：邊角計算問題）（24-25高三上?江蘇鹽城?期中）

TT

6.在VABC中，AB=6,AC=3,/A4C=g,點。在邊2C上，AD為NR4c的平分線.

⑴求A￡）的長；

（2）若點尸為線段AD上一點，且△PCD為等腰三角形，求tan/ABP的值.

（考向：周長問題）（24-25高三上?河北滄州?階段練習）

7.已知VABC的內角A,5,C的對邊分別為a,6,c,若病inA+cosA=百.

⑴求A；

⑵若csinB+06sinCcos（A+C）=0,sinA<sinB,b=20,求VABC的周長.

（考向：最值范圍問題）（24-25高三上?山東煙臺?期末）

8.在銳角V43c中，角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,且包"二型￡="1.

sinCc2

⑴求8;

（2）若》=2,求VA3C周長的取值范圍.

（考向：面積問題）（24-25高三上?浙江?開學考試）

9.設VABC中的內角A,B,C的對邊分別為。，瓦c,且2asin[c+：j=b+c'.

⑴求A；

⑵若a=2#,Z\ABC的周長為6+2"，求VABC的面積.

（考向：探索性問題）（2024.四川自貢?一模）

7171

10.如圖，在平面四邊形A2CZ）中，角/BA。=1,4M>B=5，JBC=2,C。=3.設/BCD=a

⑴用。表示四邊形ABC。對角線AC的長；

⑵是否存在。使四邊形ABCD對角線AC最長，若存在求出cos夕及四邊形對角線AC最長的

試卷第2頁，共4頁

值，若不存在請說明理由.

（押題點：三角形面積、正弦定理、余弦定理的應用，邊角計算的基本問題）

11.已知VA5C的內角A,B,C的對邊分別為且siYA+sin*<sin2c.

（1）證明：VABC為鈍角三角形.

（2）若VABC的面積為各女,sinC=c=3,求。,尻

48

（押題點：邊角計算問題，與圖形幾何特征、平面向量的應用結合，體現新課標要求）（2024?新

疆?模擬預測）

12.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,4c,是—BAC的平分線，AE是邊BC的中

線，6=8,c=4,cos2=冬夕.

7

（1）求。；

（2）求AD,AE的長.

（押題點：綜合考查正弦定理求外接圓半徑、正弦定理邊角互化、三角形面積公式、余弦定

理的應用）（2024?四川眉山?一模）

13.己知VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA:sinB:sinC=3:5石:J國.

⑴求C的大小；

（2）若VABC的面積為15g,求VABC外接圓的直徑.

（押題點：周長、面積、最值問題，突出正弦定理、余弦定理的綜合應用）（24-25高三上?江

蘇?階段練習）

14.在面積為S的VABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

2s坐+3=—

Isin5sinC）'7

（1）若c=0,求VABC周長的最大值；

⑵若VABC為銳角三角形，且邊上的高//為2,求VABC面積的取值范圍.

（押題點：探索性問題，三角形特征、最值、三角恒等變換、正弦定理應用，體現綜合性）

（24-25高三上?江蘇揚州?期中）

15.在VABC中，內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,sinA+sin（C-B）=sin2B.

⑴判斷VABC的形狀;

(2)已知6wc,a=2>/3,A=1,點p、。是邊AC上的兩個動點(尸、。不重合，且點尸靠

近A,點。靠近C).記NPBQ=9,ZCBQ=a,ZABP=/3.

①當。=9時，求線段尸。長的最小值；

O

②是否存在常數。和左，對于所有滿足題意的a、B,都有sin2a-sin2/?+k=6ksinacos/?

成立？若存在，求出cos。和％的值；若不存在，請說明理由.

a+f3a-pa+/3.a-p

參考公式：sina+sin/3=2sin,sin6T-sin/?=2cos

試卷第4頁，共4頁

《專題1三角函數與解三角形【練】一大題精做（題型破局）》參考答案：

1.d）A=p

⑵a=6.

【分析】（1）解法一：由已知條件結合正弦定理、兩角和的正弦公式化簡得出cosA的值，

結合角A的取值范圍可得出角A的值；

解法二：由已知條件結合余弦定理可得出cosA的值，結合角A的取值范圍可得出角A的值；

（2）由三角形的面積公式可得出°=在A，利用余弦定理結合已知條件可得出關于。的方

2

程，即可解得。的值.

【詳解】（1）解法一：由2。=人+2。85呂及正弦定理得25111。=5111^+251114855,

所以2sin（A+B）=sinB+2sinAcosB,

即2sinAcosB+2cosAsinB=sinB+2sinAcosB,即2cosAsinB=sinB,

因為A、BG（O.H）,則sinB>0,

1兀

所以cosA=],所以A=g；

〃24*_方2

解法二：由2。=〃+2]85呂及余弦定理得2。=/?+2。----------，

lac

所以。2=歷+4—凡即〃+。2一，2=歷，所以COSA=2十。二^二）,

2bc2

又A?（U）,所以A=,

（2）記邊上的高為無，貝！JS^c=gbcsinA=gQ/z,

由（1）得^~be=工a,所以

422

所以由余弦定理可得。2=b2+c2-2bccosA=b2+c2—be=（b—c）2+bc=l+bc,

所以片=1+寺°,所以卜一孝]=|,所以q=6或。=-g（舍），故a=6.

2.（嗚

⑵遙+g

【分析】（1）由正弦定理結合兩角差的余弦展開式化簡后再利用特殊角的正切值求出即可;

（2）由正弦定理和余弦定理結合題意求解即可；

答案第1頁，共15頁

【詳解】(1)在VASC中，由正弦定理旦=上-得asinB=》sinA,

sinAsinB

又因為〃sin5=/?cos|A--^-j,所以加inA=bcos[A--^-j,

所以sinA=cos(A-C)=^^cosA+^sinA,

\6)22

化簡得tanA=G，又因為A?0,7i),所以A=g.

(2)在VA2C中，由正弦定理旦=上=工得，b=2sinB,c=2sinC,

sinAsinBsmC

因為sinBsinC=！，所以6c=1,

4

在VABC中，由余弦定理得/=》2+c?-26ccosA,即3=8?+c?-2xlxL

2

所以〃=4,所以S+c)2=〃+/+26c=4+2=6,

所以b+c=后，所以VABC周長為n+6.

⑵

【分析】(1)利用二倍角公式以及正弦定理即可求得結果.

(2)利用同角三角函數的平方關系先求出sinA的值，再正弦定理即可求得sinC,

進而求得cosC,sin8,利用三角形的面積公式即可求的結果.

【詳解】(1)因為C=2A,所以sinC=sin2A=2sinAcosA,

sinC,在VABC中，由正弦定理得任CAB

所以cosA=

2sinAsinABC

.…sinC3

而AB=6,BC=5,所以cosA4=--------=一

2sinA5

因為A?O,71),所以sinA=J?-cos2A4

5

9

(2)在VABC中，因為cosA=一

16

由正弦定理得當AB所以sinC=~^sinA=9x9近=>不,

sinABCBC5168

因為VABC為銳角三角形，所以cosC=Jl-side

8

答案第2頁，共15頁

所以sinb=sin[兀一(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

所以VABC的面積SM”=-xABxBCxsinB=-x6x5x^=—77.

△ABC2244

4.

(2)8A/3

【分析】（1）在△他）中利用余弦定理得到AB,然后利用三角形面積公式計算;

（2）利用面積相等的思路得到1=3+2,然后利用基本不等式求最值即可.

ac

【詳解】（1）

B

ADC

由NABC=150°,BD±BC,可得NAFD=60°.

在△ABD中，由余弦定理得Ab2+3r>2—2A8-BDcosNASD=AC>2,gpAB2+1-AB=1,可

得AB=3.

^S..Kn=-BD-ABsinZABD=-xlx3x^-=^~.

Bo2224

ABC

(2)S?=S4Ag0+S4CD,

—acsinB=-c-BDsinZABD+—a-BDsinZCBD,：,—acx—=-cxlx—+—axlxl,

22222222

:.ac=y/3c+2a，

2a+^c=(2a+V3c)[—+-^=2>/3+—+—+2^>4^+2.^^=873,

acJcaVca

當且僅當出=主，即c=4,0=26時，等號成立.

ca

故2a+&的最小值為8省.

5.（1）證明見解析

⑵2為定值.

【分析】（1）利用正弦定理與余弦定理的邊角變換即可得證;

答案第3頁，共15頁

(2)利用誘導公式與余弦定理，結合(1)中結論化得|CD|=b+2,從而得解.

【詳解】(1)因為si」3+sinC=2sinAcos3,

由正弦定理可得b+c=2〃cosB,

再由余弦定得得b+c=2。?"'一",整理得a』=bc.

lac

(2)因為ZABCNCBD互補，所以cosZABC+cosNC5D=0,

n24-r2-h2,a2+\BD2-\CD^

結合余弦定理可得.=0，

2a-BD\

因為c=|AB|=3,忸￡>|=1,則/+9—獷+〃+]一|叫=。,

31

整理得4〃_〃+i2_3|8「=0,又4=k+兒=廿+36，

貝I]|C￡>『=|a2+4=|(Z?2+3b)-^b2+4=b2+46+4=(6+2?,

從而1cqs+2,故|CD|-|/=2為定值.

6.(1)AZ>=2A/3

⑵￡

【分析】(1)由工WC=￡A即+其48,結合面積公式即可得出答案；

(2)由余弦定理和角平分線定理可得BD=26,Z>C=g,即可求出NC=],△PCD為等

邊三角形，再由余弦定理和同角三角函數的基本關系即可得答案.

【詳解】(1)因為AD為ZA4C的平分線，所以/B4D=NC4D=30。，

所以SAABC=SAABD+S^ACD,

所以LAB-ACsin/BAC」皿AC-sin/CW+LAB.AD-sin/R4。，

222

所以工x6x3x^^=LA?3XL+L6??1￡)-L即9A/^=2A￡),

2222222

可得：AD=2日

(2)由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos60°,

所以BC2=36+9-2x6x3x^=27,所以BC=3g,

2

由角平分線定理可得：黑=器*=2,又因為BC=3A/L

答案第4頁，共15頁

所以BD=25DC=m,又因為AC=3,AD=2^3,

TTTT

所以。。2+4。2=4。2,所以NC=5，/ADC=§,

TT

又因為△PCD為等腰三角形，ZADC=-,所以△PCD為等邊三角形，

所以=則尸為4。的中點，在△3。尸中，

由余弦定理可得2尸=2。2+尸。2-28?尸》85120。=12+3-2-2道―61-3

=15+6=21,所以旅=回

所以，在44B尸中，

BP、AB2-AP221+36-3549>/21

由余弦定理可得cosZABP=

2ABBP2-V21-6-12亞42

因為NABPe所以sinZABP=V1-COS2ZABP=—,

14

sin/ABP

所以tan/ABP=

cosNABP9

7.(1)A=?或A=B；

o2

(2)2+后+30.

【分析】⑴應用輔助角公式得出5中+野=曰再結合角的范圍求角；

（2）根據正弦定理和三角形內角和化簡得出1_&COSB=0即可求角，最后應用正弦定理角

化邊得出周長即可.

【詳解】（1）依題意，6sinA+cosA=2sin（A+:|=6,

所以sin〔A+胃=手，

因為4?0,兀），所以4+3=冷或4+?==,所以4或A=g.

''636362

答案第5頁，共15頁

(2)由csinB+A/^bsinCcos(A+C)=0,

根據正弦定理和三角形內角和定理可得sinCsinB-V2sinBsinCcosB=0，

又sinCsinBwO,所以1一J5cos5=0，即cosB='，

又5￡（0,兀），所以3=巳，

71

在VABC中，因為sinAvsinB,則A<3,所以A=,，

77t.e.7兀.(兀兀)V2+V6

所以c*冷=——,sine=sin——=sin—+—=

1212143J4

a_2\/2_c

根據正弦定理可得三=占c

即.兀.71.7兀,

sinAsmBsinCsin-sm—sin——

6412

所以a=2,c=A/6+5/2，

所以VABC的周長為2+指+3后.

【分析】（1）利用給定條件結合余弦定理求解角度即可.

（2）利用正弦定理邊化角，再結合三角形周長公式將目標式用三角函數表示，利用三角函

數的性質求解取值范圍即可.

【詳解】（1）在銳角VABC中，因為sinAfinC=^^,

sinCc2

所以由正弦定理得@三=匚故c2（a-c）=c（4-b2）,

CC

得到c（a-。）=/一〃，化為加一c1=a2-b29

n24-r2-h2

故得比=〃+，—廿，化簡得q+.一"=i,

ac

〃2q2_序i

+c-b

即0n----------由余弦定理得cos2==-

lac22ac2

TTTT

因為Be(0,5),所以B=

a_c_2_46

(2)因為b=2,由正弦定理得sinA-sinC一,一萬~

2

答案第6頁，共15頁

所以Q=t8sinA,c=g8sinC,且設VABC周長為/,

33

而卜[7cc4^/3.4A/3.c4-\/3.45/3.2JI

Bn以/=2+〃+C=2H-------sinAH-------sinC=2H-------sinAH--------sin(------A),

33333

c卷.人41?八c46.人c人26.人

=2H-------sinAd-------(——cosA+—sinA)=2+------sinA+2cosAH-------sinA，

332233

=2+2A/3sinA+2COSA=2+4sin(A+—),

6

因為在銳角VABC中，所以Ae(0，m),Ce(0,]),

所以今一Ae(0,g),解得Ae([§),

32o3

綜上可得Ae吟,1),所以A+JeG，§),

62633

71

故sin(A+?e,1,貝|4sin(A+*e(2萬,4],

得至lj4sin(A+^)+2e(273+2,6],即/e(2出+2,61，

故VABC周長的取值范圍為(26+2,6]

9.嗚

⑵出

【分析】(1)根據題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式，求得道sinA-cosA=l,進而

得到sin(Aj)=:，即可求得A的值；

o2

(2)根據題意，得到6+c=6,再由(1)和余弦定理，求得稅=4,結合三角形的面積公

式，即可求解.

【詳解】(1)解：因為2〃sin[c+j=Z?+c,可得G〃sinC+〃cosC=Z?+c,

由正弦定理得\/3sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，

又因為3=TI-(A+C),可得sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以百sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，

BP6sinAsinC=cosAsinC+sinC，

因為CE(0,兀)，可得sinC>0,所以0sinA=cosA+l,即^^sinA-cosA=1,

答案第7頁，共15頁

可得百sinA-cosA=2sin(A-工)=1,即sin(A--)=—,

662

因為A￡(0,7i),所以A—￡=解得A=?.

oo3

(2)解：因為〃=2斯,△ABC的周長為6+2",可得。+c=6,

TT

由(1)知A=§,由余弦定理得/=/+C2—20CCOSA,

可得(246)2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=62-3bc,解得bc=4,

所以VABC的面積為S=—/?csinA=—x4xsin—=A/3.

223

10.wAC=)8sin^6?-^+y

⑵存在，cos0=-1,AC的最大值為空

23

【分析】(l)根據余弦定理求得AC關于。的表達式.

(2)根據三角函數的最值等知識求得正確答案.

【詳解】(1)設=在三角形88中,

2BD.2sin0

由正弦定理得,sma=-----

sinasin6BD

由余弦定理得B￡>2=4+9—2x2x3xcos6=13-12cose,

在中，ZBAD=-,所以AD=@8。,

33

在三角形ACD中,

、2昱

由余弦定理得ACBD-2x3xBDxcos—+a

3(2

AC=J9+；BO?+2抬?BDxsina

'9+^BD2+2s/3-BD2sin。

x--------

BD

'4V3sin6>+9+1BZ)2=J4>/3sin6>+9+1(13-12cos6>)

百sin。-4cos6+.=We」71+竺.

63

(2)存在，理由如下:

由(1)Issinp-^j+y

答案第8頁，共15頁

所以當。-弓0=1時，AC取得最大值為,8+9=手,

此時cos。二一

2

11.(1)證明見解析；

(2)a=b=2.

【分析】(1)由正弦定理可得"+〃<，，再由余弦定理即可證明；

(2)由三角形的面積公式可得次;=4，再由余弦定理可得9=/+〃+i,解方程即可求出a,b.

【詳解】(1)證明:因為siYA+si/^vsir?。，+b2<c2,

〃2工人22

所以cosC=^—-——<0,所以C為鈍角，故VA3C為鈍角三角形.

lab

(2)解：因為VA6C的面積S=，〃/?sinC=!次?=土夕，

2284

所以必=4.

由(1)矢口cosC<0,所以cosC=—

8

由余弦定理/=a2+b2-2abcosC,得9=4+02+1,

結合"=4,角軍得a=6=2.

12.(1)〃=4不

Q

(2)AD=-,AE=2^[3

【分析】(1)根據余弦定理即可求解,

27r2

(2)根據余弦定理可得A=與~,進而根據等面積法即可求解AO=1，利用向量的模長公

式即可求解AE=20.

【詳解】(1)由余弦定理可得/=4+/—2〃ccosB=>64="+16—，

7

進而可得/-坦立a-48=0,解得a=4夕或a=-"立(舍去)，

77

(2)由余弦定理可得+--片_16+64-(4近)-1,

2bc2x4x82

27r

由于Ae(O,兀)，4=可

由題意知，設/BAD=NC4D=cr,則NBAC=2c=4，貝!Isin2a=sina=,

32

如圖所示，

答案第9頁，共15頁

x

由S&ABD+5必加-S/Be—4x8sin2cif=-x4xADsin6r+—x8xADsintr,

Q

所以4x8=4xAD+8xAD,解得AZ)=§,

由4E是BC邊上的中線，得荏=；(通+/)

AE2=1(AB+AC)2

=：(AB+AC+2AB.AC1)=；僅*+c，+26ccos2a)=；(/+c?—

=1(82+42-8X4)=12.

所以，中線長A石=20.

13.(1泮

o

(2)4A/129

【分析】（1）由正弦定理得a:b:c=3:5』：Vi前，設a=3x,b=s+x,c=J129x,x>0,進

而結合余弦定理即可求解；

（2）結合題意，由三角形的面積公式可得岫=606，進而（1）所設，求出c=2同，進

而結合正弦定理求解即可.

【詳解】（1）因為5111A:sin8:sinC=3:5石:,

由正弦定理得，a:b:c=3;5^：s/l29,

不妨設a=3x,b=5至ix,c=J129x,尤>0,

2h2-r19r2+75r2-129x2拒

則由余弦定理得，cosC="a+"=",尸=*,

2ab23x502

S7T

又C?0,7T),貝lJC==.

(2)設VABC外接圓的半徑為R,

答案第10頁，共15頁

由題意，SVABC=5。從111。=5。/??5=15BPab=60A/3,

由(1)知，設〃=3x,4=5指羽c=J129x,x>0,

則ah=3x?5百%=606，解得％=2,

皿1.r—r：27?=—^―==4A/129

則c=2，129,所S以r(sinC1，

2

則VABC外接圓的直徑為47129.

14.(1)3夜

⑵呼,2百)

7T

【分析】(I)由正弦定理邊角互換，代入已知條件，可以求得c=q,再結合余弦定理和基

本不等式即可求得最值；

(2)通過等面積法，用兩種方法表示三角形的面積即可求得三邊之間的關系，用正弦定理

將邊化為角，用輔助角公式化簡，借助角的范圍來求得最值.

【詳解】(1)由2s[/+黑]=(/+〃卜inA和正弦定理，三角形面積公式得，

ftcsinA(—4—)=(4+/?2卜inA,因sinA>0,故得，c2+ab=a2+b29

由余弦定理，COSC=H￥Y=處=1,因Ce(0,7t),則C=W；?

lablab23

由余弦定理，a2+b2-2abcosC=c2，a2+b2-ab=2,

整理得，(。+力2=2+3岫42+3(*)2,當且僅當a=6時等號成立，即(a+力2<8,

于是，O<a+b420，即當a=6=亞時，VABC周長的最大值為30;

(2)由S.MC=gc"=；"sinC可得，4c=43ab

a_b_c_y/3ab_ab??

由正弦TH理'sinAsin8sinCJ3即得，b=--,a=~~,?

4xJsinAsmB

2

c_1-「_1____2_______2____百__________G

則"一22一2%屋sinC2%村吟-A)

_______________________________________________4g

sin4(^cosA+gsinA)/sin2A+：(1—cos2A)2sin(2A—6)+1'

答案第11頁，共15頁

C4兀

0<A<—

由VABC為銳角三角形可得，.2,解得1<A<~

八2兀，兀62

0<------A<—

［32

則［。人-夫笠由正弦函數的圖象知，1<sin(2A-J)<l,故得生叵小謝“百，

即VABC面積的取值范圍為［半,2道).

15.(1)直角三角形或等腰三角形

⑵①46一6;②成立，cos(9=1,左=勺2

【分析】(1)利用三角形的內角和定理和誘導公式將sinA化為sin(C+B),再利用兩角和差

公式和二倍角公式進行化簡可得cos3(sinC-sinB)=0,進而可得結果；

TT

(2)①設NC8Q=e,ae0,—,

方法一：在△CBQ中利用正弦定理求出8Q,P。，再利用三角形的面積公式和三角函數的性

質進行求解；

方法二:在AABP中,利用正弦定理求出8。,PQ,再利用三角形的面積公式和三角函數的

性質進行求解；

方法三:在△C3Q中,利用正弦定理求出8Q,P。，再利用三角形的面積公式和三角函數的

性質進行求解；

2cos(a+4)-3左=0

②假設存在常數。和％,利用三角恒等變形得到恒等式，將其轉化為卜［i〕3sin(；+q)］=0

進行求解.

【詳解】(1)在VABC中，因為A+B+C=TI,且sinA+sin(C-3)=sin23,

所以sin(C+3)+sin(C-3)=sin23,

即2sinCeosB=2sinBcosB,cossinC-sinB)=0,

所以cos3=0或者sinC=sin8.

當cos3=0時，所以3=90。，VABC為直角三角形；

當sinC=sin3時，所以VABC為等腰三角形.

綜上所述，VABC為直角三角形或等腰三角形.

答案第12頁，共15頁

(2)①因為cw〃，所以5=3，又A=g，a=2g,所以。=2,b=4.

八兀

如圖，設NC5Q=a,a￡0,—,

BQ_BC

?兀.兀

sin—sin一+a

66

所以叱6

sina+工

I6

BQ

在V8PQ中，由正弦定理,得.(71

sina+—

I3

BQ73

所以吟

71

2sin[a+g2sina+—sina+—

63

.11.

sina+—cos。-sina+——cosa

222

7

_6_2小

c.y/32sin2cr+^3?

2smacosad-----

2

TT9jr

因為a?0,j,所以2aw0,丁，

故當2a=],即&=:時，Pemin=2^3(2-V3)=4V3-6.

BP_AB73

方法二：在中，由正弦定理，得二777^斗，所以■。二