第04講隨機(jī)變量的數(shù)字特征

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

通過具體實(shí)例，了解離散型隨機(jī)變量的概

1.理解離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征的意義.

念，理解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特

2.理解并會(huì)求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征.

征（均值、方差）.

02思維導(dǎo)圖

求離散型隨機(jī)變■的均值

均值性質(zhì)的應(yīng)用

離散型隨機(jī)變■的方差與標(biāo)準(zhǔn)差

離散型隨機(jī)變■的均值,方差的性質(zhì)

＜兩點(diǎn)分布的均值與方差

離散型隨機(jī)變■的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

隨機(jī)變量的數(shù)字特征題型-二項(xiàng)分布的均值與方差

特殊分布的數(shù)字特征—、超幾何分布的均值與方差

實(shí)際問題中的均值問題

均值方差在生活決策中的應(yīng)用

均值方差中的遞推問題

均值方差中的最值問題

03知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01離散型隨機(jī)變量的均值

1.離散型隨機(jī)變量的均值的概念

（1）一般地，若離散型隨機(jī)變量x的分布列為

??????

XX\X2Xi

……

PPiP2PiPn

則稱E（X）xipi+x2P2H------------------------------￡七Pj為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.

/=1

【解讀】均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,

反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.

⑵均值的性質(zhì)

設(shè)X的分布列為尸(Xxj)pi,il,2,n.

①ECX+b)E(X)+b.

②E(aX)aE(X).

③E(aX+b)aE(X)+b.

【即學(xué)即練1】若隨機(jī)變量X的分布列為

X146

P0.550.30.15

則E(X)等于()

AlB.-C.4.5D.2.65

3

知識(shí)點(diǎn)02離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

(1)定義①。(X)(xi—E(X))%+(X-E(X))2p+...+(x-E(X))(Xi-E(X))2

22ni=lPi

為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為%r(X),并稱J5面為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為c(X).

②公式：D(X)fxlpi~(E(X))3

i=l

(2)方差的性質(zhì)

①離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)6,僅僅使X的值產(chǎn)生一個(gè)平移，不改變X與其均值的離散程度，

方差保持不變，即。(X+b)D(X).而離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)常數(shù)a,其方差變?yōu)樵讲畹?倍，即

D(aX)a2D(X).

一般地，可以證明下面的結(jié)論不成立：D(aX+6)a2D(X).

②隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離

散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越圜集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.

【解讀】

1.隨機(jī)變量的線性關(guān)系

若X是隨機(jī)變量，YaX+b,a,b是常數(shù)，則V也是隨機(jī)變量.

2.判斷所求離散型隨機(jī)變量的分布列是否正確，可用p,K),〃，2,“及pi+p2+…+p“l(fā)檢驗(yàn).

3.均值與方差的四個(gè)常用性質(zhì)

(l)E(k)k,D(k)0,其中％為常數(shù).

(2)E(XI+X2)E(XD+E(X2).

(3)D(X)E(X2)-(E(X))2.

(4)若XI,X2相互獨(dú)立，則E(XIX2)E(XI>E(X2).

【即學(xué)即練2】牧場(chǎng)的10頭牛，因誤食瘋牛病毒污染的飼料被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02,設(shè)發(fā)

病牛的頭數(shù)為X,則。(㈤等于.

知識(shí)點(diǎn)03特殊分布的數(shù)字特征

(1)兩點(diǎn)分布

若X?3(1,p),則E(X)p,D(X)p(l-p)；

(2)二項(xiàng)分布

若X?B(n,p),則E(X)〃p,D(X)np(l—p).

(3)超幾何分布

HM

若禺散型隨機(jī)變量X服從超幾何分布(N,M,11),則有若X~H(N,M,n),則改為不尸

【即學(xué)即練31某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p0.6,則

①投籃1次時(shí)命中次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為；

②重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)丫的數(shù)學(xué)期望為.

'P______________

04

題型01求離散型隨機(jī)變量的均值

【典例1](23-24高二下?浙江?期中)從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，抽到的女生人

數(shù)的均值為()

36一9_

A.-B.—C.—D.2

255

【變式1】(23-24高二下?天津?期中)隨機(jī)變量X的分布列如下：其中瓦。成等差數(shù)列，若尸(X2O)=[

則E(X)=()

X-202

pabc

312

A.—B.—C.一D.1

223

【變式2]（23-24高二下?河南開封?期末）一批產(chǎn)品中次品率為5%,隨機(jī)抽取

則E（X）=（）

A.0.05B.0.5C.0.95D.0.095

【變式3](23-24高二上?全國(guó)?課時(shí)練習(xí))某班舉行了一次“心有靈犀"的活動(dòng)，教師把一張寫有成語的紙條

出示給A組的某個(gè)同學(xué)，這個(gè)同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué).若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)

成語的概率是0.4,同學(xué)乙猜對(duì)成語的概率是0.5,且規(guī)定猜對(duì)得1分，猜錯(cuò)得0分，則這兩個(gè)同學(xué)各猜1

次，得分之和X的均值（）

A.0.9B.0.8

C.1.2D.1.1

【變式4］（23-24高二下?內(nèi)蒙古赤峰?期末）盒子中有5個(gè)大小和形狀均相同的小球，其中白球3個(gè)，紅球

2個(gè)，每次摸出2個(gè)球.若摸出的紅球個(gè)數(shù)為X,則石（X）=（）

469

A.—B.—C.—D.2

555

題型02均值性質(zhì)的應(yīng)用

【典例2］（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期末）已知隨機(jī)變量X的分布列如下:

X-101

111

P———

236

設(shè)y=2x+i,則y的數(shù)學(xué)期望召（y）的值是（）

【變式1】（23-24高二下?山東棗莊?期中）隨機(jī)變量X的概率分布為

X124

P0.40.3a

則E（5X+4）等于（）

A.5B.15C.45D.與。有關(guān)

【變式2】（23-24高二下?安徽?期末）從一批含有8件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次，每次抽取

1件,設(shè)抽取的次品數(shù)為在則E（5J+1）=（）

A.2B.1C.3D.4

【變式3】（2024高二上?全國(guó)?專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為

且y=oX+3,若磯y）=—2,貝/等于（）

5

A.—3B.-2C.—D.3

3

【變式4）（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，若E（3X+4）=5,則a+）=

()

X-10a2

51J_

Pb

1244

題型03離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差

【典例3］（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從0出發(fā)，每次等可能地

向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)3次，設(shè)質(zhì)點(diǎn)最終所在位置的坐標(biāo)為X,則。（X）=.

IIII1II1I

-4-3-2-101234x

【變式1】已知隨機(jī)變量x的分布列如下表（其中。為常數(shù)）則下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）

X0123

P0.2a0.40.1

A.a=0.2B.P（X<l）=0.7C.E（X）=1.4D.￡>（X）=6.3

【變式2】（23-24高二上?遼寧遼陽?期末）小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次

能射中的概率為彳，記小明射擊2次的得分為X,則。（X）=（）

8162026

A.—B.■-C.—D.—

9999

【變式3】（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X（單位：mm）對(duì)

工期的影響如下表所示.

降水量XXv3OO300<X<700700<X<900X>900

工期延誤天數(shù)y02610

若歷史氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0,7,0.9,則工期

延誤天數(shù)y的數(shù)學(xué)期望是,工期延誤天數(shù)y的方差為.

題型04方差的性質(zhì)

【典例4］（23-24高二下?江蘇無錫?期中）已知隨機(jī)變量X的分布列如下，則O（3X+2）=.

X1234

p0.10.20.30.4

【變式1】（24-25高二下?全國(guó),課后作業(yè)）已知隨機(jī)變量X的分布列為

X-2-1012

P0.10.2a2a0.4

則b(5X+l)=,

【變式2】（23-24高二下?新疆,期中）（多選）已知E（X）=3,D（2X-1）=8,則（）

A.E（2X-1）=5B.E（2X-1）=6

C.D（X）=2D.D（X）=4

【變式3】（24-25高二下,全國(guó),課后作業(yè)）（多選）已知隨機(jī)變量J的分布列為

k

P^=k）=C3［J*=0,1,2,3.若〃=2J+1,貝l］（）

A.隨機(jī)變量4的均值為1B.隨機(jī)變量〃的均值為2

C.隨機(jī)變量占的方差為3D.隨機(jī)變量〃的方差為三

題型05兩點(diǎn)分布的均值與方差

【典例5］（23-24高二下?內(nèi)蒙古,期末）若X服從0-1分布，且尸（X=0）=3尸（X=l）,則E（X）=（）

A.0.75B.1.25C.0.25D.0.5

【變式1］（23-24高二下?四川遂寧?階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且尸（X=1）=0.7,設(shè)y=2X-1,

那么。（丫）的值是（）

A.0.84B.0.7C.0.4D.0.3

【變式2】3.（23-24高三上?陜西西安?開學(xué)考試）已知隨機(jī)變量。.服從兩點(diǎn)分布，且尸侑=1）=口（7=1,2）,

若。＜0＜。2＜1，則下列判斷正確的是（）

A.風(fēng)立）＜。值）B.E?）＞E值）

C.E侑）＜￡＞信）D.。㈤＞。（務(wù)）

【變式3】（23-24高二下?河南?期中）若甲同學(xué)在某次期中考試中數(shù)學(xué)成績(jī)班級(jí)第一的概率為記該同學(xué)

在本次期中考試中數(shù)學(xué)成績(jī)班級(jí)第一發(fā)生的次數(shù)為離散型隨機(jī)變量X,則。（2X+3）=.

【變式4】（2024高二下?全國(guó)?專題練習(xí)）若某事件A發(fā)生的概率為。（0＜p＜l）,則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)

生的次數(shù)X的方差的最大值為.

題型06二項(xiàng)分布的均值與方差

【典例6】2.（23-24高二下.廣西南寧?期末）已知隨機(jī)變量X~B（3,p）,0＜p＜l,且E（X）=3D（X）,則。=

()

112

A.B.—C.—D.一

4323

【變式1］（23-24高二下?遼寧大連?期末）己知隨機(jī)變量X:且y=3X+4,則。"）=（）

A.1B.2C.3D.9

【變式2］（23-24高二下?北京海淀?期末）小明投籃3次，每次投中的概率為0.8,且每次投籃互不影響，

若投中一次得2分，沒投中得0分，總得分為X,則（）

A.E（X）=2.4B.E（X）=4.8C.D（X）=0.48D.D（X）=0.96

Q

【變式3）（23-24高二下?山東臨沂?期末）隨機(jī)變量*~若E（X）=1,D（X）=-,則P（X=3）=（）

1313

A.——B.—C.—D.-----

166464256

【變式4］（23-24高二下?安徽?期末）已知隨機(jī)變量X~N（/id）,Y~2（6,必，且尸（XW4）=1,E（X）=E（K）,

則0=（）

1211

A.-B.-C.-D.一

3342

題型07超幾何分布的均值與方差

【典例7】（23-24高二下?河南信陽?期末）2024年5月中國(guó)郵政發(fā)行了《巢湖》特種郵票3枚，巢湖是繼《太

湖》（5枚）、《鄱陽湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四個(gè)登上特種郵票的五大淡水湖.現(xiàn)從15枚郵票中

隨機(jī)抽取2枚，記抽取郵票《巢湖》的枚數(shù)為X,則E（X）=（）

223

A.-B.-C.1D.-

532

【變式11（23-24高二下?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心"

出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為（）

3354

A.-B.—C.-D.一

5443

【變式2】）（22-23高二下?江蘇連云港?階段練習(xí)）已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)

抽取3件進(jìn)行檢測(cè)，記取到的正品數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是（）

41

A.￡（2X-1）=-B.D（X）=-

Q

C.E（X）=1D.D（2X-1）=-

【變式3](23-24高二下?浙江?期中)一個(gè)不透明的袋子有10個(gè)除顏色不同外，大小、質(zhì)地完全相同的球,

其中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球.現(xiàn)進(jìn)行如下兩個(gè)試驗(yàn)，試驗(yàn)一：逐個(gè)不放回地隨機(jī)摸出3個(gè)球，記取到白球的

個(gè)數(shù)為XI,期望方差分別為E(Xj,O(Xj；試驗(yàn)二：逐個(gè)有放回地隨機(jī)摸出3個(gè)球，記取到白球的個(gè)數(shù)為

X2,期望和方差分別為E(X?),0(X2),則下列判斷正確的是()

A.E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X2)B,E(Xl)=E(X2),D(X1)>D(X2)

c.D.E(xJ<

E(X1)>E(X2),D(X1)>D(X2)E(X2),D(X1)<D(X2)

題型08實(shí)際問題中的均值問題

【典例8](24-25高二上?黑龍江齊齊哈爾?期中)4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書日為了

解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了700名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這700

名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))，并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],

(12,14],(14,16],(16,18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴從這700名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；

⑵為進(jìn)一步了解這700名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在

(12,14],(14,16],(16,18]三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3

人，記日平均閱讀時(shí)間在。4,16]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望和方差；

⑶以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用P(A)表示這10名學(xué)生中恰有

女名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在(8,12]內(nèi)的概率，其中％=0,1,2,10.當(dāng)尸仔)最大時(shí)，寫出左的值.(寫

出證明)

【變式1】(23-24高二下?天津北辰?階段練習(xí))2024年世界羽聯(lián)賽已經(jīng)開始，同時(shí)，也是奧運(yùn)年，4年一度

最精彩賽事即將來臨！為了激發(fā)同學(xué)們的奧運(yùn)精神，某校組織同學(xué)們參加羽毛球比賽，若甲、乙兩位同學(xué)

相約打一場(chǎng)羽毛球比賽，采用五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，假設(shè)在每局比賽中，甲獲勝

21

的概率為乙獲勝的概率為各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲以3:1的比分獲勝的概率；

(2)設(shè)X表示比賽結(jié)束時(shí)進(jìn)行的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【變式2】(23-24高二下?廣西貴港?期末)某種資格證考試分為筆試和面試兩部分，考試流程如下：每位考

生一年內(nèi)最多有兩次筆試的機(jī)會(huì)，最多有兩次面試的機(jī)會(huì).考生先參加筆試，一旦某次筆試通過，不再參

加以后的筆試，轉(zhuǎn)而參加面試；一旦某次面試通過，不再參加以后的面試，便可領(lǐng)取資格證書，否則就繼

續(xù)參加考試.若兩次筆試均未通過或通過了筆試但兩次面試均未通過，則考試失敗.甲決定參加考試，直

至領(lǐng)取資格證書或考試失敗，他每次參加筆試通過的概率均為;，每次參加面試通過的概率均為g,且每

次考試是否通過相互獨(dú)立.

(1)求甲在一年內(nèi)考試失敗的概率；

⑵求甲在一年內(nèi)參加考試次數(shù)X的分布列及期望.

【變式3】(23-24高二下?貴州遵義?期中)隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用越來越廣泛.某科技

公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答.該人機(jī)交互軟件測(cè)試階段，

共測(cè)試了1000個(gè)問題，測(cè)試結(jié)果如下表.

回答正確回答錯(cuò)誤

問題中存在語法錯(cuò)誤100300

問題中沒有語法錯(cuò)誤700100

結(jié)果顯示問題中是否存在語法錯(cuò)誤會(huì)影響該軟件回答問題的正確率，依據(jù)測(cè)試結(jié)果，用頻率近似概率，解

決下列問題.

⑴測(cè)試2個(gè)問題，在該軟件都回答正確的情況下，求測(cè)試的2個(gè)問題中恰有1個(gè)問題存在語法錯(cuò)誤的概率；

(2)現(xiàn)輸入3個(gè)問題，每個(gè)問題能否被軟件正確回答相互獨(dú)立，記軟件正確回答的問題個(gè)數(shù)為X,求X的分

布列與數(shù)學(xué)期望.

題型09均值方差在生活決策中的應(yīng)用

【典例9](23-24高二下?安徽蚌埠?階段練習(xí))在氣象預(yù)報(bào)中，過往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)至關(guān)重要，如圖所示是根據(jù)

甲地過去70年的氣象記錄所繪制的每年的高溫天數(shù)(若某天氣溫達(dá)到35回及以上，則稱之為高溫天)的頻

率分布直方圖.若某年的高溫天數(shù)達(dá)到15天及以上，則稱該年為高溫年.假設(shè)每年是否為高溫年相互獨(dú)立，

以這70年中每年高溫天數(shù)的頻率作為今后每年是否為高溫年的概率.

O9頻率/組距

O8

O7

O6

O5

O4

O3

O2

O1

o\510152025高溫天數(shù)

⑴求今后4年中，甲地至少有3年為高溫年的概率；

⑵某同學(xué)在位于甲地的大學(xué)里勤工儉學(xué)，成為了校內(nèi)奶茶店（消費(fèi)區(qū)在戶外）的店長(zhǎng)，為了減少高溫年帶

來的損失，該同學(xué)現(xiàn)在有兩種方案選擇.方案一：不購(gòu)買遮陽傘，一旦某年為高溫年，則預(yù)計(jì)當(dāng)年的收入會(huì)

減少8000元；方案二：購(gòu)買一些遮陽傘，費(fèi)用為7000元，可使用4年，一旦某年為高溫年，則預(yù)計(jì)當(dāng)年

的收入會(huì)增加1000元.以4年為期，試分析該同學(xué)是否應(yīng)該購(gòu)買遮陽傘.

【變式1】（23-24高二下?江蘇南京?階段練習(xí)）在一次知識(shí)競(jìng)賽中，參賽選手應(yīng)從8個(gè)不同的題目中隨機(jī)抽

取3個(gè)題目進(jìn)行作答.已知這8個(gè)題目中，選手甲只能正確作答其中的6個(gè)，而選手乙正確作答每個(gè)題目的

概率均為Q75,且甲、乙兩位選手對(duì)每個(gè)題目作答都是相互獨(dú)立的.

⑴記選手甲正確作答的題目的個(gè)數(shù)為X,乙正確作答的題目個(gè)數(shù)為y,求X,丫概率分布；

（2）結(jié)合你所學(xué)過的概率知識(shí)說明：甲乙兩名選手誰更優(yōu)秀.

【變式2】（23-24高二下，甘肅臨夏?期末）某種藥材的種植加工過程，受天氣、施肥、管理等因素影響，農(nóng)

民按照藥材色澤、大小等將藥材分為上等藥材、中等藥材、普通藥材，并分類裝箱，已知去年生產(chǎn)了8箱

藥材，其中上等藥材2箱，中等藥材2箱，其他為普通藥材.

⑴若在去年生產(chǎn)的藥材中隨機(jī)抽取4箱，設(shè)X為上等藥材的箱數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵已知每箱藥材的利潤(rùn)如表：

等級(jí)上等藥材中等藥材普通藥材

利潤(rùn)（元/箱）40002000-1200

今年市場(chǎng)需求增加，某農(nóng)戶計(jì)劃增加產(chǎn)量，且生產(chǎn)的上等藥材、中等藥材、普通藥材所占比例不變，但需

要的人力成本增加，每增加機(jī)箱，成本相應(yīng)增加（1000"-20001n7〃）元，假設(shè)你為該農(nóng)戶決策，你覺得目前

應(yīng)不應(yīng)該增加產(chǎn)量？如果需要增加產(chǎn)量，增加多少箱最好？如果不需要增加產(chǎn)量，請(qǐng)說明理由.

【變式3】（23-24高二下?重慶九龍坡?期中）某健身館為預(yù)估2024年2月份客戶投入的健身消費(fèi)金額，隨機(jī)

抽樣統(tǒng)計(jì)了2024年1月份100名客戶的消費(fèi)金額，分組如下：[0,200）,[200,400）,[400,600）,...,[1000,1200]

（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖:

⑴若消費(fèi)金額不少于800元的客戶稱為健身衛(wèi)士，不少于1000元的客戶稱為健身達(dá)人，現(xiàn)利用分層隨機(jī)抽

樣的方法從健身衛(wèi)士中抽取6人，再?gòu)倪@6人中抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，求抽到的2人中至少1人為健身

達(dá)人的概率;

⑵為吸引顧客，在健身項(xiàng)目之外，該健身館特推出健身配套營(yíng)養(yǎng)品的銷售，現(xiàn)有兩種促銷方案.

方案一：每滿800元可立減100元；

方案二：金額超過800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率為且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)1次打9折，中

2

獎(jiǎng)2次打8折，中獎(jiǎng)3次打7折.

若某人打算購(gòu)買1000元的營(yíng)養(yǎng)品，請(qǐng)您幫他分析應(yīng)該選擇哪種促銷方案.

題型10均值方差中的遞推問題

【典例10]（23-24高二下?江西南昌?階段練習(xí)）某中學(xué)舉辦學(xué)生體育技能測(cè)試，共有兩輪測(cè)試，第一輪是籃

球定點(diǎn)投籃測(cè)試，每位學(xué)生投兩次籃，每次投籃若投中得2分，沒投中得0分；第二輪是四個(gè)人踢毯子，

互相傳遞測(cè)試.

⑴已知某位學(xué)生定點(diǎn)投籃投中的概率為：，求該學(xué)生在第一輪得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四個(gè)人參加第二輪踢毯子互相傳遞測(cè)試，第一次由甲踢出，每次傳遞時(shí)，踢出

者都等可能將毯子踢給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳遞都能被接到.記第n

次甲踢到建子的概率為匕，則片=L

①證明：數(shù)列]與為等比數(shù)列；

②比較第人次與第左+2優(yōu)eN+）次踢到毯子者是甲的可能性大小.

【變式1]（23-24高二下?河北邢臺(tái)?期中）"布朗運(yùn)動(dòng)”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息

的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉(cāng)組成，某粒子做布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉(cāng)的通

道口中等可能隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉(cāng)，且粒子經(jīng)過"次隨機(jī)選擇后到達(dá)2號(hào)倉(cāng)的概率為匕，已知該粒子

的初始位置在2號(hào)倉(cāng).

⑴求耳透;

（2）證明數(shù)歹!]｛匕-是等比數(shù)列，并求數(shù)列仍,｝的通項(xiàng)公式；

⑶粒子經(jīng)過4次隨機(jī)選擇后，記粒子在1號(hào)倉(cāng)出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【變式2】（23-24高二下?廣東廣州?期末）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，乙口袋中裝有5個(gè)白球.現(xiàn)

從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)"次這樣的操作.記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為x“，

恰有1個(gè)黑球的概率為P.，恰有2個(gè)黑球的概率為qn.

（1）求Pr%與P*%;

⑵設(shè)an=pn+2qn,求證：數(shù)列｛%-1｝是等比數(shù)列；

⑶求X”的數(shù)學(xué)期望E（X“）（用〃表示）.

題型11均值方差中的最值問題

【典例11】（23-24高二下?廣東梅州?階段練習(xí)）假設(shè)某同學(xué)每次投籃命中的概率均為

2

⑴若該同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率；

⑵該同學(xué)參加投籃訓(xùn)練，訓(xùn)練計(jì)劃如下：先投〃5eN+，〃V33）個(gè)球，若這〃個(gè)球都投進(jìn)，則訓(xùn)練結(jié)束，否

則額外再投100-3〃個(gè).試問〃為何值時(shí)，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大？

【變式11（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）甲乙兩名選手進(jìn)行象棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，

負(fù)者得。分，平局雙方均得。分，比賽一直到一方比另一方多2分為止，多得2分的一方贏得比賽，已知

每局比賽中，甲獲勝的概率為。，乙獲勝的概率為％,雙方平局概率為c,Ca+b+c=l,a>0,b>0,c>0）,

且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴若a=b=c=；,求甲選手恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率.

（2）若c=0,若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E（X）的最大值.

【變式2】（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）小張參加某項(xiàng)專業(yè)能力考試.該考試有A,B,C三類問題，考生可

以自行決定三類問題的答題次序，回答問題時(shí)按答題次序從某一類問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答

正確則考試通過，若回答錯(cuò)誤則繼續(xù)從下一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，依此規(guī)則，直到三類問題

全部答完，仍沒有答對(duì)，則考試不通過.已知小張能正確回答A,B,C三類問題的概率分別為B，。3,

且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）若小張按照A在先，3次之，C最后的順序回答問題，記X為小張的累計(jì)答題數(shù)目，求X的分布列；

（2）小張考試通過的概率會(huì)不會(huì)受答題次序的影響，請(qǐng)作出判斷并說明理由；

⑶設(shè)。<。3<0<月<1，為使累計(jì)答題數(shù)目的均值最小，小張應(yīng)如何安排答題次序？并說明理由.

jiff強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2024高二下?全國(guó)?專題練習(xí)）某射手射擊所得環(huán)數(shù)&的分布列如下：

J78910

pXo.i0.3y

若0.l,羽成等差數(shù)列,則石（1）=（）

A.7.3B.8.9C.9D.9.4

2.（23-24高二下?山東東營(yíng)?期末）已知一批產(chǎn)品的次品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回

地抽取70次，假設(shè)抽出的產(chǎn)品需要專門檢測(cè)，檢測(cè)費(fèi)用丫元與抽到的次品數(shù)X有關(guān)，且y=iox+3OO,則

。（丫）二（）

A.97B.98C.99D.100

3.（23-24高二下?黑龍江牡丹江?階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X滿足E（2X+3）=7,Q（2X+3）=16,則下列選項(xiàng)

正確的是（）

713

A.E（X）=—,D（X）=—B.石（X）=2,D（X）=4

22

7

C.石（X）=2,D（X）=8D.石（X）=],D（X）=8

4.（23-24高二下?湖北武漢?期末）若隨機(jī)變量XB（M,0.4）,且D（X）=1.2,貝lj,X=4）的值為（）

A.2x0.44B.3x0.44C.2x06D.3x06

21

5.（23-24高二下?甘肅慶陽?期末）若X是離散型隨機(jī)變量，P（X=%1）=-,P（X=%2）=-,又已知

42

E（X）=￡,￡＞（X）=X，則上-切的值為（）

39

77

A.-B.1C.2D.-

93

6.（23-24高二下?安徽淮南?期中）如圖，某考古隊(duì)在挖掘一古墓群，古墓外面是一個(gè)正方形復(fù)雜空間，且

有4個(gè)形狀、大小均相同的入口1,2,3,4,其中只有1個(gè)入口可以打開，其他的是關(guān)閉的.現(xiàn)讓一個(gè)機(jī)

器狗從點(diǎn)。出發(fā)探路，從4條路線中任選一條尋找打開的入口，找到后直接進(jìn)入古墓，若未找到，則沿原

路返回到出發(fā)點(diǎn)，繼續(xù)重新尋找.若該機(jī)器狗是有記憶的，它在出發(fā)點(diǎn)選擇各條路線的嘗試均不多于1次，

且每次選哪條路線是等可能的，則它能夠進(jìn)入古墓的總嘗試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是（）

7.（23-24高二下?遼寧沈陽?期中）設(shè)隨機(jī)變量X~B（6,p）,若E（X）42,則D（X）的最大值為（）

A.4B.3

8.（23-24高二下?廣東廣州?期末）某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位二進(jìn)制數(shù)6出。3aM（例如

1?

01001）,其中以（4二1,2,3,4,5）出現(xiàn)0的概率為出現(xiàn)1的概率為記乂=%+4+。3+。4+。5，則當(dāng)程

序運(yùn)行一次時(shí)，下列說法正確的是（）

/25

A.P（X=1）=——B.￡（%）=-

v7243v73

C.￡>（x）=JD.五位二進(jìn)制數(shù)10100與10001出現(xiàn)的概率相同

二、多選題

9.（23-24高二下?甘肅臨夏?期末）離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則（）

X0124

]_]_1

Pa

663

117

A.a=-B.P（X<2）=-C.E（X）=2D.D（X）=-

10.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期末）已知隨機(jī)變量X：滿足X8（4,p），且尸（X=0）=普，且X+F=l,

81

則（）

41

A.￡（x）=-B.￡（y）=--

3o

C.O（X）=|D.D（y）=|

11.（23-24高二下?江蘇泰州?階段練習(xí)）袋中有6個(gè)大小相同的球，其中4個(gè)黑球，2個(gè)白球，現(xiàn)從中任取

3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量y為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出

一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出3個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論正確的是（）

A.E（X）=2E（X）B.P（|Z-5|<1）=|

2

C.E（Z）=4D.Z）（Z）=-

三、填空題

12.（23-24高二下?寧夏吳忠?階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為P（X=k）=ak+b[k=1,2,3）.又X的均

值磯X）=3,則a+6=一

13.（23-24高二下?重慶?階段練習(xí)）如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔1秒等可能的

向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)"次之后的質(zhì)點(diǎn)位于X“，則E（X“）=.

-2-1012

14.(23-24高二下?黑龍江大慶?期末)全期望公式與卜)=X=x*(X=%)是條件數(shù)學(xué)期望的一個(gè)非

常重要的性質(zhì)。全期望公式具有廣泛的應(yīng)用.例如，小明按照如下規(guī)則扔一個(gè)骰子：如果扔到1點(diǎn)，就再扔

一次并規(guī)則不變，如果扔到其他點(diǎn)數(shù)則停止.設(shè)X為小明停止扔骰子后扔骰子的總次數(shù)，則根據(jù)全期望公式

可得E(X)=J(l+E(x))+Jxl,解得E(X)=：,其中1+E(x)表示小明投一次1點(diǎn)后，再投骰子停止后次數(shù)

6o5

期望仍為E(X),加上之前投的一次總次數(shù)為1+E(x).參考以上方法完成下列問題：一只小白鼠陷入一個(gè)有

三扇門的迷宮中，它每次都是等可能得選擇其中一扇門，如選擇第一扇門，小白鼠2分鐘后到達(dá)安全區(qū)；

如選擇第二扇門，小白鼠3分鐘后回到迷宮起點(diǎn)；如選擇第三扇門，小白鼠5分鐘后回到迷宮起點(diǎn).設(shè)小白

鼠達(dá)到安全區(qū)所需的時(shí)間為X,則E(X)=分鐘.

四、解答題

15.(23-24高二下?山東棗莊?期中)一批筆記本電腦共有10臺(tái)，其中A品牌3臺(tái)，8品牌7臺(tái)，如果從中

隨機(jī)挑選2臺(tái)，設(shè)挑選的2臺(tái)電腦中A品牌的臺(tái)數(shù)為X.

⑴求X的分布列；

⑵求X的均值和方差.

16.(23-24高二下?河北石家莊?期末)某大學(xué)數(shù)理教學(xué)部為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，并加強(qiáng)同學(xué)間的交流，特

組織以“讓心靈沐浴陽光，讓快樂充滿胸膛”為主題的趣味運(yùn)動(dòng)比賽，其中A、8兩名學(xué)生進(jìn)入趣味運(yùn)動(dòng)比賽

的關(guān)鍵階段，該比賽采取累計(jì)得分制，規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽不存在平局，獲勝者得1分，失敗者不得分，

其中累計(jì)得分領(lǐng)先對(duì)方2分即可贏得最終勝利，但本次比賽最多進(jìn)行6場(chǎng).假設(shè)每場(chǎng)比賽中A同學(xué)獲勝的

概率均為；，且各場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴求趣味比賽進(jìn)行到第2場(chǎng)時(shí)比賽就結(jié)束的概率；

(2)此次趣味比賽中記比賽停止時(shí)已比賽的場(chǎng)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

17.(23-24高二下?天津?yàn)I海新,期末)某校團(tuán)委為加強(qiáng)學(xué)生對(duì)垃圾分類意義的認(rèn)識(shí)以及養(yǎng)成垃圾分類的習(xí)慣,

組織了知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)高一和高二兩個(gè)年級(jí)各派一位學(xué)生代表參加決賽，決賽的規(guī)則如下：

決賽一共五輪，在每一輪中，兩位學(xué)生各回答一次題目，累計(jì)答對(duì)題目數(shù)量多者勝；若五輪答滿，分?jǐn)?shù)持

平，則并列為冠軍；

如果在答滿5輪前，其中一方答對(duì)題目數(shù)量已經(jīng)多于另一方答滿5次題可能答對(duì)的題目數(shù)量，則不需再答

題，譬如：第3輪結(jié)束時(shí)，雙方答對(duì)題目數(shù)量比為3回0,則不需再答第4輪了；

21

設(shè)高一年級(jí)的學(xué)生代表甲答對(duì)比賽題目的概率是,，高二年級(jí)的學(xué)生代表乙答對(duì)比賽題目的概率是5,每

輪答題比賽中，答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.

⑴在一次賽前訓(xùn)練中，學(xué)生代表甲同學(xué)答了3輪題，且每次答題互不影響，記X為答對(duì)題目的數(shù)量，求X

的分布列及數(shù)學(xué)期望；

⑵求在第4輪結(jié)束時(shí)，學(xué)生代表甲答對(duì)3道題并剛好勝出的概率.

18.（23-24高二下?北京通州?期末）某農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商計(jì)劃分別在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)銷售某種農(nóng)產(chǎn)品（兩個(gè)市場(chǎng)

的銷售互不影響），為了了解該種農(nóng)產(chǎn)品的銷售情況，現(xiàn)分別調(diào)查了該農(nóng)產(chǎn)品在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)過去10個(gè)

銷售周期內(nèi)的銷售情況，得下表：

銷售量

銷售周期個(gè)數(shù)3噸4噸5噸

市場(chǎng)

甲343

乙253

⑴從過去10個(gè)銷售周期中隨機(jī)抽取一個(gè)銷售周期，求甲市場(chǎng)銷售量為4噸的概率；

（2）以市場(chǎng)銷售量的頻率代替銷售量的概率.設(shè)X（單位：噸）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場(chǎng)的總銷售量，求

隨機(jī)變量X概率分布列；

⑶在（2）的條件下，設(shè)該經(jīng)銷商計(jì)劃在下個(gè)銷售周期購(gòu)進(jìn)“噸該產(chǎn)品，在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)同時(shí)銷售，已知

該產(chǎn)品每售出1噸獲利1000元，未售出的產(chǎn)品降價(jià)處理，每噸虧損200元.以銷售利潤(rùn)的期望作為決策的

依據(jù)，判斷〃=7與〃=8應(yīng)選用哪一個(gè).

19.（23-24高二下?河南漠河?階段練習(xí)）為不斷改進(jìn)勞動(dòng)教育，進(jìn)一步深化勞動(dòng)教育改革，現(xiàn)從某單位全體

員工中隨機(jī)抽取3人做問卷調(diào)查.已知某單位有N名員工，其中1■是男性，:是女性.

⑴當(dāng)N=10時(shí)，求出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵我們知道，當(dāng)總量N足夠大而抽出的個(gè)體足夠小時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.現(xiàn)在全市范圍內(nèi)考慮，

從N名員工（男女比例不變）中隨機(jī)抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作月，在二項(xiàng)分布

中，即男性員工的人數(shù)X213,|）男性員工恰有2人的概率記作舄.那么當(dāng)N至少為多少時(shí)，我們可以在

誤差不超過0.001（即片-1V0.001）的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二項(xiàng)分布（參考數(shù)據(jù):同它24.04）

第04講隨機(jī)變量的數(shù)字特征

學(xué)