難點與解題模型10平行線中的常見的四種“拐角”模型題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）題型二：“鉛筆”模型題型三：“雞翅”模型題型四：“骨折模型”題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）一、“豬蹄”模型豬蹄模型的基本特征：一組平行線，中間有一個點，分別與平行線上的點構成“豬蹄”。豬蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）步驟總結步驟一：過豬蹄（拐點）作平行線步驟二：借助平行線的性質找相等或互補的角步驟三：推導出角的數量關系模型結論：∠B＋∠D＝∠DEB．二、鋸齒模型已知圖示結論（性質）證明方法AB∥DE∠B+∠E=∠C遇拐點做平行線（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和【中考母題學方法】【典例1-1】（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，直線，將一個含角的直角三角尺按圖中方式放置，點E在上，邊、分別交于點H、K，若，則等于（

）．

A． B． C． D．【典例1-2】（2020·湖南·中考真題）如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數為（）A．70° B．65° C．35° D．5°【典例1-3】（2024?茌平區一模）如圖，，，則，，的關系是（

）A． B．C． D．【典例1-4】（2024·河南南陽·模擬預測）傳統文化如同一顆璀璨的明珠，熠熠生輝，為增強學生體質，同時讓學生感受中國傳統文化，某校將國家非物質文化遺產“抖空竹”引入陽光特色大課間．如圖①是某同學“抖空竹”時的一個瞬間，小紅同學把它抽象成數學問題：如圖②，已知，，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【典例1-5】（2023·北京西城·統考一模）下面是解答一道幾何題時兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．已知：如圖，AB∥CD．求證：∠AEC=∠A+∠C方法一證明：如圖，過點E作MN∥AB方法二證明：如圖，延長AE，交CD于點F．【中考模擬即學即練】【變式1-1】（2024·遼寧·模擬預測）汽車前照燈的反射鏡具有拋物線的形狀，它們是拋物面(如圖)，明亮的光束是由位于拋物線反射鏡焦點F上的光源產生的，此時光線沿著與拋物線的對稱軸平行的方向射出，若，則光線與形成的的度數為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖，，，若，則的度數為（

）A． B． C．72° D．108°【變式1-3】（2024·甘肅·模擬預測）如圖1，是我國具有自主知識產權、用于探索宇宙的單口徑球面射電望遠鏡“中國天眼”．如圖2，是“中國天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中為豎直方向的饋源（反射面），入射波經過三次反射后沿水平射出，且，已知入射波與法線的夾角，則（

）A． B． C． D．【變式1-4】（2024·云南昆明·模擬預測）如圖，已知，若與的夾角為，，則的度數為（

）A． B． C． D．【變式1-5】（2024·江蘇常州·一模）如圖，直線，點A在直線a上，點C在直線b上，，若，則．【變式1-6】問題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度數．

經過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據平行線有關性質，可得∠PAB+∠PCD=360°?∠APC=252°．問題遷移：如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)當點P在A、B兩點之間運動時，∠CPD、∠α、∠β之間有何數量關系？請說明理由．(2)如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數量關系．(3)問題拓展：如圖4，MA1∥NAn，A題型二：“鉛筆”模型從豬蹄模型可以看出，點E是凹進去了，如果點E是凸出來，如下圖：那么，像這樣的模型，我們就稱為鉛筆頭模型。模型結論：∠B+∠E+∠D=360°【中考母題學方法】【典例2-1】（崇川區校級三模）如圖，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E=120°，則∠C的度數是（）A．80° B．100° C．120° D．140°【典例2-2】（2024春?啟東市校級月考）如圖，直線a∥b，∠1＝28°，則∠3＝度，∠3+∠4+∠5＝度．【典例2-3】請在橫線上填上合適的內容．（1）如圖（1）已知//，則．解：過點作直線//．∴（

）．（

）∵//，//，∴（

）//（

）．（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）∴（

）．（

）．∴．∴．（2）如圖②，如果//，則（）【典例2-4】如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．【中考模擬即學即練】【變式2-1】（江蘇模擬）如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中AB∥DE，測得∠B=140°，∠D＝120°，則∠C的度數為（）A．120° B．100° C．140° D．90°【變式2-2】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求思路點撥：小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質，可分別求出∠APE、∠CPE的度數，從而可求出∠APC的度數；小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質以及三角形內角和的知識可求出∠APC的度數；小芳的思路是：如圖4，延長AP交DC的延長線于E，通過平行線性質以及三角形外角的相關知識可求出∠APC的度數．問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進行推理計算，你求得的∠APC的度數為°；問題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、（2）在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數量關系．【變式2-3】（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫出結果）（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫出結果）（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫出結果）（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接寫出結果）題型三：“雞翅”模型已知圖示結論（性質）AB∥DE∠1=∠2+∠3AB∥DE∠1+∠3-∠2=180°【中考母題學方法】【典例3-1】（2024·廣東深圳·模擬預測）抖空竹是我國的傳統體育，也是國家級非物質文化遺產之一．明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的歷史至少在年以上．如圖，通過觀察抖空竹發現，可以將某一時刻的情形抽象成數學問題：，，，則的度數為（

）A． B． C． D．【典例3-2】AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內的一點．（1）如圖1，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數量關系，并證明；（2）如圖2，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數量關系，并證明；（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數．【典例3-3】（2023·重慶大渡口·統考模擬預測）在數學課上老師提出了如下問題：如圖，∠B=160°，當∠A與∠D滿足什么關系時，BC∥DE?小明認為∠D?∠A=20°時BC∥DE，他解答這個問題的思路和步驟如下，請根據小明的思路完成下面的作圖與填空：解：用直尺和圓規，在DA的右側找一點M，使∠DAM=∠D（只保留作圖痕跡）．∵∠DAM=∠D，∴①_____________∵∠D?∠DAB=20°∴∠BAM=②_________°，∵∠B=160°，∴∠B+∠BAM=③__________°，∴④_____________∴BC∥DE．所以滿足的關系為：當∠D?∠A=20°時，BC∥DE．【中考模擬即學即練】【變式3-1】如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數為【變式3-2】問題探究：如下面四個圖形中，ABCD．（1）分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中，∠1與∠2、∠3三者之間的關系．（2）請你從中任選一個加以說明理由．解決問題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于O點的燈泡發出兩束光線OB、OC經燈碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．【變式3-3】已知直線AB∥CD，P為平面內一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數量關系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數．題型四：“骨折模型”模型結論：∠E=∠B-∠D【中考母題學方法】【典例4-1】（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，，，．則．【典例4-2】（2023·四川資陽·中考真題）如圖，，交于點F，則．

【典例4-3】①如圖1，ABCD，則∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A＋∠C；③如圖3，ABCD，則∠A＋∠E－∠1＝180°；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C＋∠P．以上結論正確的個數是（）A．①②③④