勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系研究目錄TOC\o"1-4"\h\z\u摘要 勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系摘要:隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,積分迎來(lái)了新的發(fā)展.數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的同學(xué)都知道黎曼積分與勒貝格積分在數(shù)學(xué)中是非常難學(xué)和難以理解的內(nèi)容.因此本文簡(jiǎn)要的概述了黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別與聯(lián)系,為同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供一些參考.本文首先介紹勒貝格積分和黎曼積分的研究背景;其次運(yùn)用比較分析法,從定義、可積條件、性質(zhì)、極限定理、幾何意義這五個(gè)方面，分析這兩種積分;最后根據(jù)比較分析的結(jié)果,得出結(jié)論.關(guān)鍵詞：黎曼積分;勒貝格積分;可積;極限.引言積分學(xué)開(kāi)始于公元前3世紀(jì)，當(dāng)時(shí)阿基米德使用圓的內(nèi)接多邊形計(jì)算圓的周長(zhǎng)和面積.同時(shí)在中國(guó)的魏晉時(shí)期,劉徽發(fā)明了割圓術(shù),主要用于計(jì)算圓的周長(zhǎng)、面積、圓周率等.隨后,南北朝時(shí)期的祖沖之改進(jìn)了割圓術(shù),成功提高了圓周率的精度.17世紀(jì),牛頓創(chuàng)作了《流數(shù)簡(jiǎn)論》,此時(shí)微積分正式誕生.同時(shí)，萊布尼茨發(fā)明了微積分符號(hào),使微積分的概念更加準(zhǔn)確和簡(jiǎn)潔.18世紀(jì)微積分迅速發(fā)展,歐拉引入了形式化的觀點(diǎn).19世紀(jì)初,柯西給出了微積分基本定理的現(xiàn)代形式,之后黎曼發(fā)現(xiàn)了黎曼積分.但是隨著積分學(xué)的發(fā)展,數(shù)學(xué)家們?cè)絹?lái)越感到黎曼積分存在著嚴(yán)重的的缺陷:一是黎曼意義下可積的函數(shù)類(lèi)太少;二是黎曼積分與極限可交換的條件過(guò)于苛刻.例如:函數(shù)看上去非常簡(jiǎn)單,但在黎曼意義下不可積.為了彌補(bǔ)黎曼積分的不足,法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格第一次闡述了被今人稱(chēng)之為勒貝格積分的思想,從而引發(fā)了積分學(xué)的變革.勒貝格積分是《實(shí)變函數(shù)》中非常重要的內(nèi)容，目前許多學(xué)者對(duì)勒貝格積分進(jìn)行了研究.[1-6]文獻(xiàn)[1]對(duì)黎曼積分做了介紹;文獻(xiàn)[2]與[3]講述了與勒貝格積分相關(guān)的理論知識(shí);文獻(xiàn)[4]闡述了勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系;文獻(xiàn)[5]也對(duì)勒貝格積分、黎曼積分做了深入的研究,并點(diǎn)明了二者之間的區(qū)別與聯(lián)系.本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步總結(jié)了勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系,為同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供參考.1.積分定義的比較1.1黎曼積分的定義(1)黎曼積分的“極限式”定義定義1[1]設(shè)上有個(gè)點(diǎn),依次是,它們把分成個(gè)小區(qū)間.這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì)的一個(gè)分割,記為.小區(qū)間的長(zhǎng)度用表示,并且稱(chēng)為分割的模.定義2[1]設(shè)函數(shù)在上有定義,.若,,使得對(duì)的任何分割以及在其上任意選取的點(diǎn)集,如果,就有,則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上黎曼可積(Riemann可積,簡(jiǎn)稱(chēng)可積);稱(chēng)為在上的黎曼積分.(2)黎曼積分的“確界式”定義定義3[2]設(shè)在上有界,表示的任一分劃,,這里為任一自然數(shù),可隨而不同.設(shè),分別表示在上的上、下確界().分別稱(chēng),,為關(guān)于分劃的達(dá)布上和與下和,這里;分別稱(chēng),為在上的達(dá)布上積分與下積分.如果,則稱(chēng)在區(qū)間上可積,并稱(chēng)此共同值為在上的黎曼積分,記為.(3)達(dá)布定理定理1[1]設(shè)是測(cè)度有限集上的有界函數(shù),對(duì)的任一分劃,當(dāng)分劃的最大區(qū)間長(zhǎng)時(shí),,.顯然基于定理1,定義2與定義3等價(jià).1.2勒貝格積分的定義(1)勒貝格積分的極限式定義定義4[3]設(shè)為可測(cè)集,,函數(shù)在上有界可測(cè).實(shí)數(shù),使得.在中任取一分點(diǎn)組:,記,,并任取.作和,若有限實(shí)數(shù),滿(mǎn)足,則稱(chēng)是在上的勒貝格積(Lebesgue積分,簡(jiǎn)稱(chēng)積分).記作.(2)非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分定義5[6]設(shè)是(可測(cè),互不相交)上非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù),稱(chēng)為在上的積分.(3)非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分定義6[7]設(shè)為可測(cè)集,函數(shù)在上非負(fù)可測(cè),則在上的積分定義為.顯然,若,則稱(chēng)在上可積.(4)一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分定義7[8]設(shè)為可測(cè)集,函數(shù)在上可測(cè).令,,則和都是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù),且當(dāng)時(shí),,.=1\*GB3①若或,則稱(chēng)在上積分確定,稱(chēng)為在上的積分,記作.=2\*GB3②若且,則稱(chēng)在上可積.定義4是用分割方法來(lái)定義的,定義7則是利用兩個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分給出的.雖然定義4比定義7復(fù)雜,但仍然是相互等價(jià)的.通過(guò)比較積分與積分的定義,我們發(fā)現(xiàn)這兩種積分在定義方面既有相同點(diǎn)又有不同點(diǎn).相同點(diǎn)是:這兩種積分都是通過(guò)分割區(qū)間來(lái)進(jìn)行的.不同點(diǎn)是:分割的對(duì)象不同,前者是對(duì)定義域進(jìn)行分割,后者是對(duì)值域進(jìn)行分割.2.積分可積條件的比較2.1黎曼可積(1)必要條件定理2[9]若在上可積,則在上有界;反之不成立.(2)充要條件引理1[10]設(shè)函數(shù)在上有定義且有界,在上的振幅用表示,則.定理3設(shè)函數(shù)在上有界,則在上可積當(dāng)且僅當(dāng)下述條件之一成立:=1\*GB3①在上的上積分與下積分相等,即;=2\*GB3②當(dāng)時(shí),();=3\*GB3③在上的不連續(xù)點(diǎn)成一零測(cè)度集.證明=1\*GB3①必要性:設(shè)在上可積,.由定義2得,,,只要,就有.又因?yàn)榕c分別為積分和關(guān)于點(diǎn)集的上、下確界,所以當(dāng)時(shí)又有,.這說(shuō)明當(dāng)時(shí),與都以為極限.由定理1,.充分性:設(shè).由達(dá)布定理得.,,當(dāng)時(shí),滿(mǎn)足.從而在上可積,且.=2\*GB3②必要性:設(shè)在上可積,有.于是,,只要足夠小,總分割,使得.充分性:若條件=2\*GB3②得到滿(mǎn)足,則由可推得.由于的任意性,必有,故由=1\*GB3①證得在上可積.=3\*GB3③必要性:若在上可積,則的達(dá)布上、下積分相等.從而由引理1可知.因?yàn)?所以,a.e..這說(shuō)明在上是幾乎處處連續(xù)的.充分性:若在上的不連續(xù)點(diǎn)集是零測(cè)集,則的振幅函數(shù)幾乎處處等于零,從而由引理1知,即.所以在上可積.條件=1\*GB3①和條件=2\*GB3②沒(méi)有將函數(shù)的可積性歸結(jié)到函數(shù)的其他內(nèi)在性質(zhì),如連續(xù)性.而條件=3\*GB3③就很好地解決了這個(gè)問(wèn)題.并且由條件=3\*GB3③,我們可以得出:對(duì)于上的有界函數(shù),不連續(xù)點(diǎn)的測(cè)度決定了其可積性,而不連續(xù)點(diǎn)處的狀態(tài)并不能決定可積.2.2勒貝格可積定義8[8]設(shè)是一個(gè)非空可測(cè)集,如果,(各為互不相交的非空可測(cè)集),則稱(chēng)有限集合族是的一個(gè)可測(cè)分劃,簡(jiǎn)稱(chēng)分劃.定理4設(shè)函數(shù)在可測(cè)集上有界,則在上可積當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立:=1\*GB3①,的劃分使,這里.換言之，即.=2\*GB3②在上可測(cè).證明=1\*GB3①充分性:由得.因?yàn)槭侨我獾?故.必要性:設(shè),的分劃,,使,.因此,對(duì)分劃,有,.將這兩式相加,即得.=2\*GB3②充分性:設(shè)在上可測(cè),且,任給,作的任意分劃：使.令,則各可測(cè)且互不相交,,所以構(gòu)成的一個(gè)分劃.關(guān)于它的大和與小和,顯然有,,這是因?yàn)?從而.因?yàn)榭梢匀我庑?所以在上可積.必要性:設(shè)在上可積,我們可以用兩列簡(jiǎn)單函數(shù)從上、下兩方面來(lái)逼近,從而證明可測(cè).首先對(duì),依次作分劃使.不妨假設(shè)這列中的各分劃是逐步加細(xì).如果不是如此變化,只需用,,來(lái)代替即可,這時(shí)仍有.設(shè),,,.由此出發(fā)作兩列簡(jiǎn)單函數(shù):,當(dāng);,當(dāng),;顯然而且由于一個(gè)比一個(gè)細(xì),且因此,存在.由于從而作為簡(jiǎn)單函數(shù)的極限與也都是可測(cè)函數(shù).所以若我們能證明a.e.于,則一定有a.e.于,從而也就證明了的可測(cè)性.假定a.e.于不成立,則由于,必使.記,則在上有,從而有,也就是當(dāng)時(shí),,這樣一來(lái)便有這同(),矛盾.因此,可測(cè).從定理2、3、4,我們可以清楚地看出,積分比積分有明顯的優(yōu)點(diǎn),它可以把可積函數(shù)類(lèi)推廣到一般可測(cè)函數(shù),而不是局限于有限函數(shù),彌補(bǔ)了積分的缺點(diǎn).并且積分的可積函數(shù)類(lèi)范圍更廣,比如：上的連續(xù)函數(shù)可積,也可積,函數(shù)可積但不可積.2.3勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系定理5[11]設(shè)有界函數(shù)在上可積,則它在上必可積,且.證明因?yàn)樵谏峡煞e,所以在上的不連續(xù)點(diǎn)成一零測(cè)度集.此時(shí),在上有界可測(cè),故在上可積.令則當(dāng)時(shí),;當(dāng)為的連續(xù)點(diǎn)且時(shí),.因而a.e.于.于是積分與積分有著一定的關(guān)系,對(duì)于函數(shù),如果它是可積的,則一定是可積,而且積分值相等.但是可積的函數(shù)未必可積.例如函數(shù).例1對(duì)于函數(shù)其在閉區(qū)間上不是可積而是可積的,且積分值為0.證明.設(shè)是區(qū)間的任意分割,.若取,且是上的有理數(shù)，則積分和.若取,且是上的無(wú)理數(shù),則積分和.從而,但.根據(jù)定義,在上不是可積.但因?yàn)槭呛?jiǎn)單函數(shù),所以可測(cè).所以是可積的且積分值為.3.積分性質(zhì)的比較3.1黎曼積分的性質(zhì)(1)線(xiàn)性性=1\*GB3①如果和在上可積,和是常數(shù),則;=2\*GB3②如果和在上可積,是常數(shù),則.(2)有限可加性若,,均為有限區(qū)間,,則有.(3)單調(diào)性設(shè),在上可積,且,則.3.2勒貝格積分的性質(zhì)(1)線(xiàn)性性=1\*GB3①設(shè),在可測(cè)集上可積,則在上也可積,且；=2\*GB3②設(shè)在上可積,則常數(shù),在上也可積,且.證明=1\*GB3①由于,在上可積,故,,,都在上非負(fù)可積.所以和都在上非負(fù)可積.由于,,所以和都在上非負(fù)可積,因而在上可積.由于,,,故,所以.因?yàn)樗约?=2\*GB3②是顯然的,假設(shè),這時(shí)同理可證.所以再設(shè),則由,據(jù)積分的定義,有從而.(2)可數(shù)可加性設(shè)為可測(cè)集,,這里每個(gè)都是可測(cè)集且時(shí).設(shè)在上積分確定,則.證明,令,則每個(gè)在上非負(fù)可測(cè),且當(dāng)時(shí),,所以同理.由于在上積分確定,所以?xún)蓚€(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和中至少一個(gè)收斂,因而(3)單調(diào)性設(shè),在上可積,且,則;特別地,當(dāng)時(shí),有.證明由于a.e.于,故a.e.于且a.e.于.又因?yàn)?都在上積分確定,故(4)絕對(duì)連續(xù)性設(shè)是上可積,則,及任何可測(cè)子集,當(dāng)時(shí)有.證明由于在上可積,故在上可積.對(duì)于,上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù),使得當(dāng)時(shí),,且.令,,則對(duì)于任何可測(cè)子集,只要,就有(5)絕對(duì)可積性設(shè)在上可積，則在上也可積，且.證明由于在上可積,故在上可測(cè),,和在上非負(fù)可測(cè)且,.因而由此可知在上非負(fù)可積且積分滿(mǎn)足線(xiàn)性性、單調(diào)性、有限可加性,同樣在積分理論下也具有這些性質(zhì),但是也有一些性質(zhì)是積分獨(dú)有的.如:可數(shù)可加性、絕對(duì)可積性,彌補(bǔ)了積分的缺陷.從有限可加性到可數(shù)可加性,反映了現(xiàn)代社會(huì)人們對(duì)于客觀世界的看法正在不斷地改變和提高,從“有限”的初級(jí)水平逐漸發(fā)展成為“可數(shù)無(wú)限”的高級(jí)水平.此外,積分本身就是一種絕對(duì)收斂的積分,即在在上可積當(dāng)且僅當(dāng)在上可積(在上可測(cè)).絕對(duì)可積性對(duì)積分成立,但對(duì)積分不成立.如例2.例2設(shè)顯然在上不是可積,但,在上可積.由此知是上的可積函數(shù),則也是上的可積函數(shù).4.積分極限的比較4.1黎曼積分極限定理定理6[12]若函數(shù)列在上一致收斂且每一項(xiàng)都連續(xù),則.4.2勒貝格積分極限定理(1)萊維(Levi)定理定理7[13]設(shè)為可測(cè)集上的一列非負(fù)可測(cè)函數(shù),當(dāng)時(shí),,有,令,,則.證明首先,由于是單調(diào)列,所以存在可測(cè)且,可得,從而得.其次,為了得到相反的不等式,對(duì)于固定的,考慮可測(cè)函數(shù)列:在上它們都有定義而且不難證明.設(shè),如果,使,則對(duì)有,從而故.如果有,則,這時(shí).總之無(wú)論哪種情況,都成立.因此由控制收斂定理得.所以.(2)法圖(Fatou)引理定理8設(shè)為可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)序列,則.證明令,則是上的一列非負(fù)可測(cè)函數(shù),且當(dāng)時(shí),.于是.由Levi定理得.(3)勒貝格控制收斂定理定理9設(shè)為可測(cè)集上的一列可測(cè)函數(shù).是上的非負(fù)可積函數(shù),如果,a.e.于且a.e.于,則(1);(2).證明(1)顯然在上可測(cè)且a.e.于.由在上可積,每個(gè)也在上可積.令,,則在上非負(fù)可積,a.e.于且a.e.于.因而和都a.e.于.由法圖引理得所以.由于,故,即.(2)由(1)即得.通過(guò)定理7、8、9的證明,我們可以得到這三個(gè)定理的關(guān)系如圖1所示.圖1這表明定理7、8、9是等價(jià)的,這三個(gè)定理被稱(chēng)為勒貝格三大收斂定理.其中勒貝格控制收斂定理常被用來(lái)判斷積分與極限之間是否可交換.通過(guò)定理6、7、8、9我們了解到,為了保證極限與積分之間的的運(yùn)算在黎曼積分意義上是可交換的,必須加上一個(gè)強(qiáng)條件,即一致收斂;而在勒貝格積分的意義下,只要很弱的條件即收斂就可以.因此,在黎曼積分的范圍內(nèi)不能求的最小極限在勒貝格積分的范圍內(nèi)更容易得到.例3求.解因?yàn)樵诜e分中不一致收斂,所以在積分中該題無(wú)法計(jì)算.又因?yàn)?滿(mǎn)足勒貝格控制收斂定理,所以.又因?yàn)樗?例4函數(shù)列求函數(shù)列積分的極限.解因?yàn)楹瘮?shù)列在閉區(qū)間上處處收斂于.又因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?于是.所以函數(shù)列在上非一致收斂于.但在上,.由定理9知積分和極限的次序可交換,即.5.積分幾何意義的比較5.1黎曼積分的幾何意義設(shè)定義在上的非負(fù)函數(shù)可積,則的幾何意義是由直線(xiàn)及曲線(xiàn)所圍成的曲邊梯形的面積.(如圖2所示)0圖25.2勒貝格積分的幾何意義定義9[14]設(shè)在上非負(fù),則稱(chēng)中的點(diǎn)集為在上的下方圖形,記作.定理10設(shè)為可測(cè)集上的非負(fù)函數(shù),則①是上的可測(cè)函數(shù)的充要條件是是中的可測(cè)集;②當(dāng)在上可測(cè)時(shí),.證明設(shè),則所以中的可測(cè)集.設(shè)為上的簡(jiǎn)單函數(shù),因?yàn)閷?duì)于(各可測(cè),互不相交),總有,故可測(cè).設(shè)是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù),總一列簡(jiǎn)單函數(shù)使,.所以.所以且.又因?yàn)槭呛?jiǎn)單函數(shù),所以都可測(cè),所以可測(cè).反之,如果是可測(cè)的,是在中a.e.有定義的可測(cè)函數(shù),且所以在上可測(cè)且.定理10表明積分的幾何意義就是求函數(shù)下方圖形的測(cè)度.并且對(duì)于一般的在上的可積函數(shù)有.即在上的積分相當(dāng)于的正部與負(fù)部下方圖形的測(cè)度之差.這與積分的幾何解釋是一致的.結(jié)束語(yǔ)本文首先對(duì)勒貝格積分和黎曼積分分別做了簡(jiǎn)單的說(shuō)明和介紹,其次詳細(xì)闡述了這兩種積分的基本性質(zhì)、可積條件、極限定理等,并在論文中給出了相關(guān)的證明.最后得出結(jié)論,勒貝格積分是黎曼積分推廣,是為了彌補(bǔ)黎曼積分的缺點(diǎn).此外,因?yàn)楸救说闹R(shí)有限,本文在內(nèi)容上還存在著不足.對(duì)于這兩種積分之間的區(qū)別與關(guān)聯(lián)還有待進(jìn)一步深入.我們都知道科學(xué)技術(shù)是不斷進(jìn)步的,那么數(shù)學(xué)也還是在不斷前進(jìn)的,未來(lái)仍然會(huì)有許多關(guān)于黎曼積分和勒貝格積分特殊聯(lián)系的問(wèn)題等著我們一起去研究發(fā)現(xiàn).參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2001:204-216.[2]孫雨雷,馮君淑.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解[M].北京:中國(guó)水利水電出