專題14解直角三角形

1.銳角三角函數的定義

如圖,在△ABC中,∠C=90°.

(1)銳角A的對邊與斜邊的比叫作∠A的正弦,記為sinA,即sinA=.

(2)銳角A的鄰邊與斜邊的比叫作∠A的余弦,記為cosA,即cosA=.

(3)銳角A的對邊與鄰邊的比叫作∠A的正切,記為tanA,即tanA=.

2.一些特殊角的三角函數值

α

0°30°45°60°90°

三角函數

sinα

cosα

tanα

3.各銳角三角函數之間的關系

(1)互余關系:sinA=,cosA=.

(2)推導關系：tanA=.

4.解直角三角形?的??概2?念+???2?=

在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三個和兩個.由直角三角形中除直角外的已知

元素求出所有其他元素的過程叫作解直角三角形.解直角三角形的理論依據:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所

對的邊分別為a,b,c.

(1)三邊之間的關系：.

(2)銳角之間的關系：.

(3)邊角之間的關系：

sinA=,cosA=,tanA=;

sinB=,cosB=,tanB=.

5.了解測量等實際問題中的概念

(1)方位角從某個參照點看物體，視線與正北(或正南)方向射線的夾角稱為.

(2)仰角與俯角

視線與水平線所成的角中，視線在的叫作仰角，在的叫作俯角.如圖1，仰角是，俯角是.

(3)坡度與坡角

坡面的垂直高度h和水平寬度l的比叫作或，一般用i表示；坡角α是坡面與水平線的夾角.如圖2，

AB的坡度,∠α叫,tanα=i=.

???=

實戰演練

1.tan45°的值等于()

A.2B.1

23

2.?如.2圖，某博物館?大.3廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是()

A.12sinα米B.12cosα米

米米

1212

sin?cos?

3.?如.圖,AD是△ABC的?.高.若BD=2CD=6,tanC=2,則邊AB的長為()

?.32?.35

4.?圖.317是第七屆國?際.數6學2教育大會(ICME)的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得

到如圖2所示的四邊形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=α,則OC2的值為()

1

2

?.sin?+1?.???2?+1

1

2

5.?如.c圖os，?+小1明想要測?量.??學?2校?操+場1上旗桿AB的高度，他作了如下操作：(1)在點C處放置測角儀，測得旗桿頂的

仰角∠ACE=α;(2)量得測角儀的高度CD=a；(3)量得測角儀到旗桿的水平距離DB=b.利用銳角三角函數解直角三角形

的知識，旗桿的高度可表示為()

A.a+btanα

B.a+bsinα

?

?.?+tan?

?

6.?如.?圖+,沿sin?AB方向架橋修路,為加快施工進度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時施工.取∠ABC=150°,

BC=1600m,∠BCD=105°,則C,D兩點的距離是m.

7.如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點處測得乙建筑物D點的俯角α為45°,C點的俯角β為58°,BC為

兩座建筑物的水平距離.已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為m.

0.53,tan58°≈1.60,結果保留整數)(???58°≈

0.85,???58°≈

8.如圖，海中有一個小島A.一艘輪船由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上;航行12nmile

到達C點,這時測得小島A在北偏東30°方向上.小島A到航線BC的距離是nmile，結果

用四舍五入法精確到0.1).(3≈1.73,

9.一條上山直道的坡度為1：7，沿這條直道上山，每前進100米所上升的高度為米.

10.2022年6月6日是第27個全國“愛眼日”，某數學興趣小組開展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離

桌面的高度與用眼舒適度關系”的實踐探究活動.

如圖,當張角∠AOB=150°時,頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長為10cm,此時用眼舒適度不太理想.小組成

員調整張角大小繼續探究，最后聯系黃金比知識，發現當張角∠A'OB=108°時(點A′是A的對應點)，用眼舒適度較

為理想.求此時頂部邊緣A'處離桌面的高度A'D的長.(結果精確到1cm；參考數據：sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°

≈3.08)

11.湖中小島上碼頭C處一名游客突發疾病，需要救援.位于湖面B點處的快艇和湖岸A處的救援船接到通知

后立刻同時出發前往救援.計劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿CA方向行駛，與救援船相遇后將該游客轉運到

救援船上.已知C在A的北偏東30°方向上，B在A的北偏東60°方向上，且在C的正南方向900米處.

(1)求湖岸A與碼頭C的距離(結果精確到1米，參考數據：

(2)救援船的平均速度為150米/分，快艇的平均速度為400米/分.在3≈接1到.7通32知);后，快艇能否在5分鐘內將該游

客送上救援船?請說明理由.(接送游客上下船的時間忽略不計)

12.每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災減災意識，某消防大隊進行了

消防演習.如圖1，架在消防車上的云梯AB可伸縮(最長可伸至20m)，且可繞點B轉動，其底部B離地面的距

離BC為2m，當云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時,底部B到EF的距離BD為9m.

(1)若∠ABD=53°,求此時云梯AB的長；

(2)如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發險情，請問在該消防車不移動位置的前提下，云梯能否伸

到險情處?請說明理由.

(參考數據：

???53°≈0.8,???53°≈0.6,???53°≈1.3)

13.知識小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α一般要滿足53°≤α≤7

2°.(參考數據：sin53°≈0.80,

;0.91,cos66°≈0.41,ta?n?6?65°3≈°2≈.250).60,???53°≈1.33,???72°≈0.95,???72°≈0.31,???72°≈

3.08,如??圖?6，6°現≈有一架長4m的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上.

(1)當人安全使用這架梯子時，求梯子頂端A與地面距離的最大值；

(2)當梯子底端B距離墻面1.64m時,計算∠ABO等于多少度?并判斷此時人是否能安全使用這架梯子?

14.一座吊橋的鋼索立柱AD兩側各有若干條斜拉的鋼索，大致如圖所示.小明和小亮想用測量知識測較長鋼索

AB的長度.他們測得∠ABD為30°,由于B、D兩點間的距離不易測得，通過探究和測量,發現∠ACD恰好為45°,

點B與點C之間的距離約為16m.已知點B、C、D共線,AD⊥BD.求鋼索AB的長度.(結果保留根號)

15.拓展小組研制的智能操作機器人，如圖1，水平操作臺為l，底座AB固定,高AB為50cm,連桿BC長度

為70cm,手臂CD長度為60cm.點B,C是轉動點，且AB，BC與CD始終在同一平面內.

(1)轉動連桿BC,手臂CD,使∠ABC=143°,CD∥l,如圖2,求手臂端點D離操作臺l的高度DE的長(精確到1

cm,參考數據：

(2)物品在操?作??臺53°l≈上0，.8距,?離??底53座°≈A0.6端);110cm的點M處,轉動連桿BC,手臂CD，手臂端點D能否碰到點

M?請說明理由.

壓軸預測

1.如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D,若AD:CD=4:3,則tanB的值為()

A.B.

34

C.5D.5

34

2.某4公園有一座古塔，古塔3前有一個斜坡CD,坡角∠DCE=42°,斜坡高DE=1.8米，DQ是平行于水平地面

BC的一個平臺.小華想利用所學知識測量古塔的高度AB，她在平臺的點G處水平放置一平面鏡，她沿著GQ方

向移動，當移動到點N時，剛好在鏡面中看到古塔頂端點A的像，這時，測得小華眼睛與地面的距離MN=1.5

米,GN=2米,BC=16米,DG=8米,已知AB⊥BC,MN⊥DQ,根據題中提供的相關信息，古塔的高度AB約為(參考數

據：sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)()

A.19.5米

B.19.7米

C.21.3米

D.22.1米

3.如圖,C島在A島的北偏東45°方向,在B島的北偏西25°方向.

(1)直接寫出∠ACB的度數是;

(2)測量發現∠BAC=20°,A島與C島之間的距離AC=20海里,求A島與B島之間的距離.(結果精確到0.1海

里)(參考數據：0.36)

???20°≈0.34,???20°≈0.94,???20°≈

4.某地為了讓山頂通電，需要從山腳點B開始接駁電線，經過中轉站D，再連通到山頂點A處,測得山頂A

的高度AC為300米，從山腳B到山頂A的水平距離BC是500米,斜面BD的坡度i=1:2(指DF與BF的

比),從點D看向點A的仰角為45°.

(1)斜面AD的坡度i=;

(2)求電線AD+BD的長度(結果保留根號).

參考答案

的對邊

∠?斜邊?

1.1=?

的鄰邊

∠?斜邊?

2=?

1233213

2.，，,1,1，，，，0,0，，3，不存在

2222223

3.1???90°?????90°??

sin?

4.邊21角cos?

(2)互余1?2+?2=?2

ababab

(3),,,,,

ccbcca

5.(1)方位角

(2)水平線上方水平線下方∠AOB∠AOC

(3)坡度坡比hl坡角hl

1.B【解析】本題考查特殊角的三角函數值.tan45°=1,故選B.

2.A【解析】本題考查解直角三角形的實際應用.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,所以所以BC=1

????

sin?=??=12,

2sinα米,故選A.

3.D【解析】本題考查解直角三角形.∵BD=2CD=6,

∴CD=3.∵tanC=2,AD是△ABC的高,∴AD=6.在Rt△ABD中,.故選D.

??22

??

4.A【解析】本題考查三角函數的應用∴、勾=股2,定理.由題意得??=則??+??由=勾6股2定理得(

??11

sin?=??=??,??=sin?.

故選A.

121

2222

??2=??+??=??+sin?=1+sin?,

5.A【解析】本題考查三角函數的實際應用.過點C作CF⊥AB于點F,由題意得CF=DB=b,∵tan∠ACF=AF,

∴AF=tan∠ACF×CF=btana,∴AB=AF+FB=AF+CD=a+btanα,故選A.

【解析】本題考查解直角三角形.如圖，過點C作CE⊥BD于點E.∵∠ABC=150°,∠BCD=105°,

6.800216(

1??800

2

2sin∠???

∴∠???=30°,∠???=180°?30°?105°=45°.∵??=??=800?,∴??==2=8002?.

7.16【解析】本題考查解直角三角形的實際應用.如圖，過點D作DH⊥AB于點H,易知四邊形BCDH為

矩形,則DH=BC,BH=CD=6m.由平行線的性質可知∠ADH=α=45°,∠ACB=β=58°.在Rt△ADH中,設AH=xm,則D

H=xm,所以BC=xm,AB=AH+BH=(x+6)m.在Rt△ABC中,tan∠ACB=tan58°=解得x≈10，則甲

???+6

???

建筑物的高度AB約為16m.=≈1.60,

8.10.4【解析】本題考查解直角三角形的實際應用.作AD⊥BC于點D,則∠ABC=30°,∠ACD=60°,∠BAC=30°.

設CD=a,在Rt△ACD中,AD=a,AC=BC=2a=12,

∵∴

【解析】本題考查解3直角三角形的應用∴?.設=上6升,?的?高=度6為3≈x米10，.38≈上1山0直.4.道的坡度為1：7，水平距

離為79x.1米0，2由勾股定理得解得(舍去)，∴每前進100米所上升的高度

?2+7?2=1002,??=102,?2=?102

為10米.

10.129cm

先在Rt△AOC中,求出AO的長,再在Rt△A'OD中,利用銳角三角函數即可求出A'D的長.

解：由題意可知，

在Rt△AOC中,AC=10cm,

∴AO=2AC=20cm∠.???=180°?150°=30°,

在Rt△A'OD中,A'O=AO=20cm,

'

∠???=180°?108°=72即°,頂部邊緣A'處離桌面的高度A'D的長約為19cm.

''

11∴.(?1)?1=55?9?米???(?2)7能2°,理≈由20略×0.95=19??,

(1)過點A作AD⊥CB,交CB的延長線于點D,根據題意可得∠CAB，∠BAD的度數，再由平行線的性質及等

腰三角形的判定可得AB，BD的長，進而得CD的長，結合銳角三角函數的定義即可求出答案；(2)分別求出快艇

和救援船5分鐘內行駛的路程和以及實際行駛的路程和，進行比較即可得解.

解:(1)如圖,過點A作AD⊥CB,交CB的延長線于點D,則∠ADC=90°.

由題意得∠NAC=30°,∠NAB=60°.

∴∠CAB=30°,∠BAD=30°.

∵NA∥CB,

∴∠C=∠NAC=30°.

∴AB=BC=900.∴BD=450.

∴CD=900+450=1350.

∵在Rt△ACD中.

??

cos?=??,

??1350

3

cos?

∴??==2=9003≈1559.

答:湖岸A與碼頭C的距離約為1559米.

(2)在接到通知后，快艇能在5分鐘內將該游客送上救援船.理由如下：

快艇和救援船5分鐘一共可行駛的路程為

5×150+5×400=2750,

快艇和救援船實際行駛的路程和為

1559+900=2459.

∵2750>2459,

∴在接到通知后，快艇能在5分鐘內將該游客送上救援船.

12.(1)15m(2)能,理由略

(1)在Rt△ABD中，利用銳角三角函數即可求解；

(2)結合已知條件先求出AD的長，再利用勾股定理求出AB的長，比較大小即可作出判斷.

解:(1)在Rt△ABD中,∠ABD=53°,BD=9,

??99

°

答∴：??此=時c云os∠梯??A?B=的cos長53為≈150.m6=.15?.

(2)∵AE=19,BC=2,

∴AD=19-2=17.

在Rt△ABD中,BD=9,

2222

∴??=??+??=17+9=370?.

∴∵在該37消0<防2車0不,移動位置的前提下，云梯能夠伸到險情處.

13.(1)3.8米(2)∠ABO=66°,能

(1)根據α的取值范圍，確定AO取最大值時所對應α的值，在Rt△AOB中，由正弦的定義即可求解；(2)在Rt

△AOB中,由余弦的定義求出cos∠ABO,再結合已知條件求出∠ABO，即可判斷.

解：,當α=72°時,AO取最大值.

在Rt△1A5O3B°≤中?,≤72°,

??

∴AO=ABsin∠ABsOin∠???=??,

=4sin72°

=4×0.95

=3.8,

所以梯子頂端A與地面的距離的最大值3.8米.

(2)在Rt△AOB中.

??

cos∠ABO=1.64÷4=0.c4o1s,∠co?s?66?°≈=0.?4?1,

∴∠ABO=66°.

∴∵人53能°安≤全?使≤用72這°,架梯子.

設14A.D1=x，16根3據+三1角6函?數構造關于AD的方程，解方程進而求得AB.

解:解法一:在△ADC中,設AD=x.

∵AD⊥BD,∠ACD=45°,

∴CD=AD=x.

在△ADB中,AD⊥BD,∠ABD=30°,

∴AD=BDtan30°,

即

3

解之?，=得316+?.

?=83+8,

∴∴鋼??索=A2B??的=長1度6約3為+(16.

解法二:在△ADB中,設AB=1x6.3+16?.

∵AD⊥BD,∠ABD=30°,

°31?

∴??=??cos30=2?,??=2??=2.

3

在∴△??AD=C?中?,?AD?⊥?=BD2,∠?A?C1D6=.45°,

∴AD=CD,

即

?3

解之2，=得2??16.

∴鋼索AB?的=長16度3約+為1(6.

15.(1)106cm(2)能,理由略163+16?.

(1)作CP⊥AE于點P,BQ⊥CP于點Q,由CQ+PQ計算CP得到DE即可；(2)根據題意畫出圖形，根據圖形

運用勾股定理求解AD，從而即可判斷.

解:(1)過點C作CP⊥AE于點P,

過點B作BQ⊥CP于點Q,如圖1,

∵∠ABC=143°,∴∠CBQ=53°,

∴在Rt△BCQ中,

∵?C?D=∥?l,?∴?D??E?=5C3P°=≈C7Q0+×PQ0=.856=+5506=?1?0.6cm.

(2)當點B,C,D共線時,如圖2,

BD=60+70=130cm,AB=50cm,

在Rt△ABD中,

∴AD=120cm>11?0?c2m+.??2=??2,

∴手臂端點D能碰到點M.

壓軸預測

1.C【解析】本題考查銳角三角函數.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.又∠BAC=90°,∴∠B+∠BAD=

∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=∠CAD,故選C.