i重難題型?解題技巧攻略

J_______________________

專題01柯西不等式與權方和不等式

?>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01二維形式下的柯西不等式.................................................................1

題型02三維形式下的柯西不等式................................................................4

題型03權方和不等式..........................................................................10

0---------------題型探析?明規律-----------*>

題型01二維形式下的柯西不等式

【解題規律?提分快招】

1.二維形式的柯西不等式

（a2+ZJ2）（c2+d2）>（ac+bd）2（?,b,c,deR,當且僅當4d=時，等號成立.）

2.二維形式的柯西不等式的變式

（1）V?2+b~-^c~+d~>\ac+bd\（a,b,c,deR,當且僅當ad=Ac時，等號成立.）

（2）八2+/-A/C2+d2>+M（a,。,c,deR,當且僅當ad=Ac時,等號成立.）

（3）（?+/j）（c+fi?）>{4ac+4bd）2（a,b,c,d>Q,當且僅當ad=反時,等號成立.）

【典例訓練】

一、單選題

1.柯西不等式是數學家柯西（Cauchy）在研究數學分析中的“流數”問題時得到的一個重要不等式，而柯西不

等式的二維形式是同學們可以利用向量工具得到的:已知向量4=（4%）/=伍，％），由|叫眼忖得到

2

（中2+yty2）4（片+y；）（考+￡）,當且僅當占%=x2yr時取等號.現已知aNO,620,<7+3=5,則,2a+2+Jb+3

的最大值為（）

A.18B.9C.2/D.373

【答案】D

【分析】根據（中2+乂％）2V（才+>；）（年+貨）,令玉=0,乂=l,x2=5/0+1,y2=Jb+3代入公式,結合已知條件

〃20,bN0,a+6=5即可得至！］結果.

【詳解】因為（中2+y％產<（X+4）（￥+￡）,

令石=夜,乂=1,%2=Ja+L%=^/^^,又。20120,々+人=5,

所以(^/^7^+^/^)2=(點?A/^7T+LA/^『4(V2)2+l2?(a+l+6+3)=27,

當且僅當0.丹？=1.V^T即“=5,6=0時等號成立，

BPV2a+2+>/F+3<3V3,

故選:D.

2.若實數a,b,c,d滿足aZ?+A+cd+而=1,則/+2后+3c?+44?的最小值為()

A.1B.2C.3D.以上答案都不對

【答案】B

【分析】利用柯西不等式及均值不等式可求最小值.

【詳解】根據題意，有。匕+6c+c〃+da=ln(a+c)(6+d)=l,

而(片+3/)(1+j“a+op,當且僅從a=3c時等號成立.

同理(2〃+4屋)[g+；[2(6+if,當且僅當2b=4d式等號成立，

記題中代數式為M,于是M=(片+3°2)+(2b2+4d2)

(a+c)2(力+d。③4

111=—(a+c)2+—(0+d)222(a+c)(b+d)=2,

1H——I—43

324

-=3,

c

b

等號當—=2,=>a:8:c:d=3:2:l:l時取得,因此所求代數式的最小值為2.

d

a+c_4

b+d3'

故選：B.

3.(2024?浙江l模)若sinx+cosy+sin(x+y)=2,則sinx的最小值是()

A.0B.2->/3C.3-近D.1

【答案】C

【分析】先把已知整理成2-sinx=(sinx+l)cosy+cosxsiny的形式，再把等式的右邊利用柯西不等式進行

放縮，得到關于sinx的一元二次不等式進行求解.

【詳解】由已知sin%+cosy+sinxcosy+cosxsiny=2整理得

2—sin龍=(sinx+l)cosy+cosxsiny,

由柯西不等式得

(sinx+l)cosy+cos%sinyV^(1+sinx)2+cos2x?^/cos2j+sin2y-j2+2sinx,

當（sinx+1）siny=cosycosx時取等號，

所以（2-sinx）~<2+2sinx,即sin?x-6sinx+2W0,

解得B-bwsinxVl,所以sinx的最小值為3-77.

故選：C.

二、多選題

4.（2024高三上.新疆.期中）已知x>0,y>0,且不等式x（x+l）2+y（y+l）2_（〃/_2%）外之。恒成立，則

加的取值可能是（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】BCD

［分析】將不等式變為m2-2m<區上+8且，利用柯西不等式和基本不等式可求得包工+小土11的

y%y尤

最小值，進而構造不等式求得加的取值范圍，從而得到結果.

22X+y+11

【詳解】由》"+1）+>（>+1）2-6/-2加）孫NO得：m-2m<^^+^^^^+^￡,

孫孫yx

,?［+［旨］］（4『+（?）［4（x+i）+（y+i）T（當且僅當U=T，即時取等號），

——F（'-—2——―———―+4（x+y）+4=（x+y）+^—+42j―+4=8（當且

yxx+y尤+yx+y\x+y

僅當x=y=l時取等號），

即當x=y=l時，x（x+D+-（」+1）=8,

孫孫

-」min

.-.m2-2/n<8,解得：-2<m<4,二冽可能的取值為-2,2,4.

故選：BCD.

三、填空題

5.（23-24高三上?安徽?階段練習）為提高學生的數學核心素養和學習數學的興趣，學校在高一年級開設了

《數學探究與發現》選修課.在某次主題是“向量與不等式”的課上，學生甲運用平面向量的數量積知識證明

了著名的柯西不等式（二維）；當向量°=（4%）,6=?,上）時，有,引第耳，即

（了/+丫跖）*解+>：）（￥+￡），當且僅當%％=苫2%時等號成立；學生乙從這個結論出發.作一個代數變

換，得到了一個新不等式：（%無2-%力）&（尤;-陽（君-團，當且僅當不必=無2%時等號成立，并取名為“類

12

柯西不等式”.根據前面的結論可知：當xeR時,E的最小值是.

2/+1

【答案】-1

【分析】根據不等式(X；-％2乂后一回W(和-)2構造不等式左側

【詳解】由題意得工214

+12x?+12d+2

?[(241)-(2八2)]

<-；-1-V2X2+1--.2-V2X2+2=1,

l/Y+lV2X2+2)

故答案為：-1.

題型02三維形式下的柯西不等式

【解題規律?提分快招】

aa

柯西不等式的擴展:~(tzf+422+^3-----^n^^2+^3**-------)—(^1^1+(1^2^3^3----------n^n)"'~

且僅當《：A=?：4=…=勺：6”時，等號成立.

注：有條件要用；沒有條件，創造條件也要用.比如，對/+/+。2,并不是不等式的形狀，但變成

|*(12+12+12)*(?2+/+°2)就可以用柯西不等式了.

【典例訓練】

一、填空題

1.(2024高三下?浙江?階段練習)若2x+3y+z=7,則尤?+;/+z?的最小值為.

、7

【答案】I

222222

【分析】利用柯西不等式(x+/+z).(2+3+l)>(2x+3y+z)可直接求得結果.

【詳解】由柯西不等式得：(f+y2+z2).(22+32+F)N(2x+3y+z)2,

即14(d+y2+z2)249,.-.%2+/+22>^(當且僅當5=g=z時取等號)，

7

.?”2+/+22的最小值為(.

7

故答案為：

2.2024高三下?浙江?階段練習)Ei^nx2+y2+z2=1,a+3b+yf6c=16>則(x-a)?+(y-6)2+(z-c)2的最

小值為.

【答案】9

【分析】根據柯西不等式求解最小值即可.

【詳解】,：a+3b+s/6c=16<』+3。+(府yjc^+^+c2=4^a2+b2+c2

>---------abc..

工｛a2+b?+c?24,當且僅當不二§=卡時等號成立，即。=l,b=3,c=痛,

?(%—a)+(，—6)+(z—c)=1—+cz)+a2+/72+

>1-2dx2+y2+z「Ja2+〃+。，+?2+Z?2+c2=1-l^a1-^b1+C1+O2+b2+C2

=Na2+b2+c2-^>9,當且僅當@=2=￡時等號成立，可取x=1,y=g,z="

故答案為：9

3.(24-25高三上?陜西西安?階段練習)存在正數%丁衣,使得不等式五+后+癥2機斤齊！成立，則機

的最大值是.

【答案】3

【分析】運用柯西不等式計算即可.

【詳解】解:由柯西不等式可知(1+3+5)(x+y+z)N(?+A+屈TnG+后+庇<3

6+y+z

由加工---J—能成立=m<3^>rnmax=3.

y+z

故答案為：3.

4.已知4+62+63=0,且"=同=同=1，實數x,y,z滿足x+y+z=l,且0WxV；VyWl,則kq+yq+263]

的最小值是.

【答案】；/0.25

【分析】在平面直角坐標系中，令e；=(l,0),由此求出62與e；的坐標，再用x,y表示出|xex+ye2+z^31,

然后借助柯西不等式求解作答.

【詳解】在平面直角坐標系中，令G=(1,0),設4=(cos，,sin，)，貝!1%=(-1一cos。,一sin，),

匕F=2+2cos6=l,解得cos6=-；,貝!Jsin<9=土;，依題意，不妨令4=（-2,也），6=（一1

22222

2

而z=l-x_y,貝［］啊+ye?+ze3=gx_g,#x+百y，WI+ye2+ze31=

（U）2+（爭+島-爭咱（-揚2+32吟一））2+（爭+底一爭］

［（-73）（|-x~^>+x+\l3y--y-）］2=《（36了-退￥=^-（3y-l）2,

3XBn73

當且僅當5"2_2%2，即2無+y=l時取“="，W0<x<-<y<l,則Gy-lfN：,當且僅當

F=324

y=；時取

因此，.+運+2近］(3—久3當且僅當2尤+y=l且V，即尤】且W時取f

所以當X1，y［，z=］時，《+運+z可取得最小值;.

故答案為：；

【點睛】思路點睛：已知幾個向量的模，探求向量問題，可以在平面直角坐標系中，借助向量的坐標表示,

利用代數方法解決.

二、解答題

22

5.(24-25高三上?遼寧?階段練習)我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：Va/eR,a+b>2ab,

當且僅當。=6時，等號成立.我們從不等式片+匕222融出發，可以得到一個非常優美的不等式——柯西不

等式，柯西不等式的一般形式為：V%,生，也，?也wR，且她女工。，(。；+靖++?

(k+孑++%2(她+他+-+。也了，當且僅當：=?==?時，等號成立.

4%b"

⑴若x+2y+2z=3\/3,求x?+9+z?的最小值；

(2)求\［x+J3x-32+J17—x的最大值；

(3)若。>3,b>3,不等式"+尸_3a2_3b22"7(°-3)(6-3)恒成立，求機的取值范圍.

【答案】⑴3

(2)9

(3)m<24

【分析】(1)構造應用柯西不等式計算即可；

(2)構造應用柯西不等式計算即可；

(3)先化簡得出上+￡2根，再構造應用柯西不等式結合基本不等式計算(工+二］

24即可求

-3a-3(b-3”3兀

解；

【詳解】⑴因為柯西不等式可得(尤2+y2+z2)y+22+22”(x+2y+2z)2,

又因為x+2y+2z=3g,

所以(無2+y2+z2N+22+22"(3^『，即得x2+y2+z2N3.

當且僅當》=偵一=z=亞取最小值3；

33

(2)因為柯西不等式可得［x+3x-32+4(17-尤)］12+12+Q^.(&+j3x-32+,

又因為1+3%-32+4(17-％)=36,

所以3612+12+W>(4x+A/3X-32+V17-x)2,

即得(石+6-32+V17-x)2<81,化簡得?+j3x-32+J17-、<9，

當且僅當尤=16取最大值9；

(3)因為d+63一3"一3〃N%(a-3)(6-3),

Mh2

所以〃2(〃—3)+b2(b—3)>m(a—3)(Z?—3),所以----1--------Nm，

b—3a-3

所以加4

’2

因為柯西不等式可得A+(。-3+〃-3)>(Q+0y,

3-3

又因為Q>3,b>3,所以a+Z?>6,令/=〃+—6,

4Z2b2〉(a+J0+6)2Z+y+12>2^Xy

所以?+12=24,

〃+Z7—6

，212A

即得上+I=24,當且僅當a=6=6取最小值24；

3-3”3兀

所以m的取值范圍是〃?V24.

【點睛】關鍵點點睛：化簡構造柯西不等式結合基本不等式是解題的關鍵點.

6.(23-24高三下?黑龍江佳木斯?期中)在VABC中，/A,ZB,NC對應的邊分別為a,b,

2sinAsin8sinC=退(sin2B+sin2C-sin2A).

⑴求A；

⑵若〃為BC邊中點，BC=6,求AM的最大值；

(3)奧古斯丁?路易斯?柯西(AugustinLouisCauchy,1789年-1857年)，.法國著名數學家，柯西在數學領域有

非常高的造詣，很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式.其中柯西不等

式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應用.現在，在(1)的條件下，若。=2,P是VABC內一點，

+

過P作AB,BC,AC垂線，垂足分別為E,R借助于三維分式型柯西不等式：%,%，y3eR,

2

x；上君上后>(玉+9+%),當且僅當%,丁x丁?;X時.等號成立.求八A記B+黃4\BC\+A"C的最小直

--------1----------1--------w-------------------------------

M%%%+%+%

【答案】(嗚

【分析】(1)先用正弦定理角化邊，然后結合余弦定理可以解出A.

(2)利用余弦定理及基本不等式求出6cW3,再由AM=g(4B+AC),將兩邊平方，根據數量積的運算律

求出,加|的最大值；

(3)將T構造出符合三維分式型柯西不等式左邊的形式，然后用三維分式型柯西不等式結合余弦定理可解.

【詳解】(1)因為2sinAsin5sinC=6卜inZb+sii?。—sii?A),

由正弦定理得2AsinA=6伊+/_叫，

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,

所以2/7csinA=x2bccosA,即sinA=若cosA,

若cosA=0,等式不成立，貝(1cosAwO,可得tanA=百，

因為4?0,兀)，所以A=(.

(2)

由余弦定理々2=>2+02—2)ccosA,即3=/?2+(?2—be,所以〃2+。2=3+bc22Z?c,當且僅當b=c時取等號,

所以歷W3,當且僅當人=o=6時取等號，

因為M為2C邊中點，所以=+

所以AM。=；(AB+AC)2=l(AB2+2AB-AC+AC2)=1(c2+Z?c+Z?2)

iQ

=-(3+2Z?c)<^

所以當且僅當》=c=有時取等號,

3

所以AM的最大值為另.

AB4\BC\ACc4abc24a2b2

PD\PE\PF\PD\\PE\\PF\C\PD\a\PE\b\PF\'

又SpAgP°|，SfBC=5°|PE|,SPAC=—b\PF\,SPAB+SPBC+SPAC=SABC,

所以c\PD\+a\PE\+b\PF\=2S

c24x22b2(Z?+c+4)22(Z?+c+4)2

由三維分式型柯西不等式有T=c\PD\+a\PE\+b\PF\>

ABC

121

當且僅當網=網=西即附=2閡=2附時等號成立.

由余弦定理a2=b2+c2-2Z?ccosA得4=b2+c2—be9

a；“"」即(b+cf-4皿［T>2("C+4)12鳳+c+盯

所以(Z?+c)—4=3bc即bc=-------------，貝！］，NT=--~?

373bc(Z?+c)-4

2后_2A/3

令r=b+c+4,則_”41_4_y_8+J

t2t

b(b+c『_4V(b+c^

因為3-I2J,解得2<b+cV4,當且僅當6=c時等號成立.

b+c>a=2

所以6vY8.貝!

8t6

令股爭”=12口」［J,則y=12)-耳二在;d上遞減,

t-t3)3卜313tL8

當Lg即6=c=2時，y有最大值工此時T有最小值也1.

t8163

題型03權方和不等式

【解題規律?提分快招】

權方和不等式：右。/羽y>0,則土+匕2((+為一,當且僅當4=2時，等號成立.

xyx+yxy

證明1：?.?a.b,x,y>0

加、十/b1（。+加2

要證一+———-

xyx+y

只需證

%+y

BPiffxya2+y2a2+x2b2+xyb2>xya2+2xyab+xyb1

故只要證y2a2+x2b2>2xyab

(ya-xb)2>0

當且僅當y〃-xZ?=0時，等號成立

即《+忙2(/+加二當且僅當?=2時，等號成立.

xyx+yxy

證明2:對柯西不等式變形，易得(4+Q)(x+y)N(a+6)2在"x,y>0時，就有了里+工2絲土生當

xyxyx+y

3=2時，等號成立.

1y

22

隹上1ab。2(Q+8+C)2〃bc,生口卡一

推廣1:—+—+—>---------=，當一=一=一時D，等號成乂.

xyz%+y+zxyz

推廣:2：若q〉0也〉0,則生+生+…+%之(.+02+…+%)-，當。=把時，等號成立.

Ab2bn…+…+〃

則…+4嚴

推廣3：若a>0,Z?>0,m>0,當a-叫時，等號

tzb：b：b：-版+瓦+…+盯i

成立.

【典例訓練】

一、填空題

18

1.已知正實數1、>且滿足％+y=i,求T+T的最小值_______.

%y

【答案】27

【分析】設》=腐0,j=sin*2?,名，由權方和不等式計算可得.

【詳解】設戶渥C，y=sin2?,?efo,^L

18I323(1+2)3

由權方和不等式，可知;7+茅=/,/+/,~」V=27,

%yIcosa\(sina\(cosa+sina\

121?

當且僅當即1=，時取等號，

cos2asin2a

18

所以w+的最小值為27.

%y

故答案為：27

2.(2024高三?全國?專題練習)/(%)=—^~~-+-一~~7的最小值為____.

2smx+35cosx+6

…d.817

【答案】4

r,、585242

【分析】〃少云E+37T5(2-3)+2(5儂。+6)，進而利用權方和不等式可求最小直

58

【詳解】/(%)=---?~2------1-------9------

2sinx+35cosx+6

〉

52?42(5+4)2_8]

5^2sin2x+3)2(5cos2x+6^10(^sin2x+cos2x)+2737

542

當且僅當5(2sin2x+3)=2(5cos2x+6)，即五1=±十，cosx=±§時取等號，

所以/(x)=：.?A的最小值為胃.

2sinx+35cosx+637

故答案為：

3.(2024?河南信陽?模擬預測)已知正數。涉滿足。+。=盧1+”]則，+人的最小值為_______.

2a+l2b+l

【答案】V2

11

【分析】根據分離常量法可得〃+“1+2+2,結合權方和不等式計算可得(。十人1)(。+"1)之1,即

Cl\U-1-1I

2〃+126+1

2

(a+b)>29即可求解.

【詳解】。>0力>0,

〃11

,a+\1rb+11—7(2+1)H—?—?(2Z?+1)4—7

+Z7=------+------=/-----------工+/----------二

2a+12b+12a+12b+11+備+備

、2

所以221

a+b—1—212之'.......-=

2a+l26+12a+1+2b+1a+b+\

當且僅當=_X即〃=6時等號成立，

2a+12b+1

所以（。+匕一1）（。+6+1）之1,得（a+b>之2,

所以a+b之逝或。+匕4-0（舍去），

即a+人的最小值為行.

故答案為：血

o-----------題型通關?沖高考-----------*>

一、單選題

1.實數尤、y滿足3Y+4y2=i2,則z=2x+6y的最小值是（）

A.-5B.-6C.3D.4

【答案】A

【分析】由3/+4/=12得;+]=1,運用柯西不等式有!+[116+9）平x+島『，進而得解.

【詳解】解：實數x、y滿足3f+4y2=12,

-5<2%+45,

當且僅當3氐=8y時取等號，

z=2x+百y的最小值是一5.

故選：A.

【點睛】考查柯西不等式的應用，基礎題.

2.若實數無+2y+3z=l,貝U+J+z?的最小值為（）

A.14B.—C.29D.—

1429

【答案】B

【分析】直接利用柯西不等式得到答案.

【詳解】根據柯西不等式：(r+y2+z2Xl+4+9)N2+2y+3z=l,BPx2+/+z2>^,

當且僅當X=?1J1=p3Z堵時等號成立.

故選：B.

【點睛】本題考查了柯西不等式，意在考查學生對于柯西不等式的應用能力.

3.已知x>0,>eR,且x?+沖-x+5y=30,則-2-x+,3O-3y的最大值為()

A.&B.76C.2#D.3母

【答案】C

【分析】依題意得》+'=6,則萬+炳二石=萬^+若?屈二，進而由柯西不等式可得最大值.

【詳解】由X。+沖一無+5y=30可得X2-了-30+沖+5y=0,即(x+5)(x+y—6)=0.

由x>0-pf知x+y=6,以J2-x+J30-3y=A/2—x+Jl2+3x=J2-x+>/3,j4+x.

由x>0,2-xNO可得0<x?2,

由柯西不等式得

(72^1+6-A/4+^)2<f+(右)[.+(74+^)2]=24,

所以^/n+石.aTIv2"，當牛E=立三即時，取等號.

A/312

所以VT三+,30-3y的最大值為2?.

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：在得出萬工+病百+6?6行之后，關鍵在于根據題目特點應用柯

西不等式求最大值.

二、多選題

4.設非負實數x,y,Z滿足,+￡|+(y+l)2+[z+[]=，，則x+y+z的()

A.最小值為叵二1B.最小值為巫二1

22

C.最大值為；3D.最大值為楙7

【答案】AC

【詳解】利用柯西不等式可取最值.

【分析】由柯西不等式可知：

[++(y+l)2+^z+|jx3>(x+y+z+3)2,

93

故x+y+z+345即％+y+zW],

當且僅當(x,y,z)=1,g,o]時，x+y+z取至u最大值g.

x+y+z的最小值為叵過，證明如下.

2

13

根據題意，/+,2+z?+%+2y+3z=—,

4

于是：《(犬+>+2)2+30+>+2),解得x+y+z2卮7，

42

于是當(尤,％z)=(0,0，總匚]時，x+y+z取得最小值叵二！.

I2)2

故選：AC

5.(24-25高三上?新疆期中)已知尤>0,y>0,且不等式x(x+l『+>(>+1)2-(毋一2加)孫20恒成立，則

機的取值可能是()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】BCD

2

【分析】將不等式變為m-2m<(itlL+(z±lL,利用柯西不等式和基本不等式可求得口±D_+(z±D_的

y尤yx

最小值，進而構造不等式求得加的取值范圍，從而得到結果.

++

【詳解】由x(x+l)2+y(y+l)2-(〃，一2加)孫20得：-2m<=+(Z±1L,

xyxyyx

(4y+(6)22[(x+i)+(y+i)]2(當且僅當*1=嚀，即％=y時取等號)，

...—|-(，-—2■~~~—~~~—(中)+工+422「+。).工+4=8(當且

yxx+yx+yx+y\%+>

僅當x=y=l時取等號)，

即當x=y=l時，無(x+1)+可」+1)=8,

xyxy

-」min

:.nv-2m<%,解得：一2?%《4,，”2可能的取值為-2,2,4.

故選：BCD.

三、填空題

18

6.已知正實數X、y且滿足％+y=l,求二+~7的最小值_________.

%y

【答案】27

【分析】設"胸口，J=sin2?,ae，，3，由權方和不等式計算可得.

【詳解】設彳=8$22，y=sin2a,

18I323(1+2)3-

由權方和不等式，可知；7+個=/,<+/,、2一廠T-」V=27，

Xy(cosa\(sina\(coscr+sina\

當且僅當一19-，即尤=：1，y=J2時取等號，

cosasina33

18

所以下+r的最小值為27.

xy

故答案為：27

7.(2024高三?全國?專題練習)已知x+2y+3z+4〃+5V=30,求Y+2/+3z?+4/+5聲的最小值為

【答案】60

【分析】應用權方和不等式即可求解.

22

22222J（2丁）2（3z）2（4^）（5v）

x+2y+3z+4u+5v=一+-~~—+-——+-——+-——

?17345

［詳解】2

（x+2y+3z+4M+5u）302

>------------------------------=-----=60

1+2+3+4+515

當且僅當％=>=2=〃="時取等號

故答案為：60

8.(2024高三?全國?專題練習)已知a,b,c,為正實數，且滿足a+⑨+9c=4,則一1-+」一+一一的最小

a+1b+1c+1

值為.

【答案】2

【分析】直接根據權和不等式即可得結果.

【詳解】由權方和不等式，可知

111149(1+2+3)236°

a+1b+1c+1a+14Z?+49c+9(a+l)+(4+4Z?)+(9c+9)18

當且僅當a=2,6=；,c=0時等號成立,

所以白+￡+a的最小值為2.

故答案為：2.

9.(23-24高三下.全國?強基計劃)已知f+V+z?<1,貝UY+2y—2z+3的取值范圍是.

【答案］［3-2也3+20］

【分析】先根據柯西不等式可得即可得Y+2y-2z+323-2金，根據不等式性質結合兩點間

距離公式可得x2+2y-2z+3<4-(/+z2-2y+2z)<3+272,即可得結果.

【詳解】因為［y+(句4(1+心+(1)2卜2卜2+9+2安2,

貝!Iy-z2-近，且八0,可得Y+2y_2z+3N0+2卜0)+3=3-2億

當且僅當無=0,y=一顯,z=正時，等號成立；

22

又因為f+V+z?W1,則無Zvi-yZ-zz,

可得x2+2y-2z+344-(y2+z2—2y+2z).

.1.y2+z2—2j+2z=1)"+(z+l)2—2,

設點和標準單位圓面內點P(y,z),則(y_i)2+(z+l)2_2=|PA『_2,

又因為盧心(儂-1)2=3-20,nT#(y-l)2+(z+l)2-2>l-2A/2,

貝I］尤2+2y-2z+344-(9+z?-2y+2z)43+20,

當且僅當尤=0,y=變,z=-正時，等號成立；

22

綜上所述：所求的取值范圍是［3-2應,3+20］.

故答案為：［3-272,3+272］.

四、解答題

10.(23-24高三下?山東?期中)在VABC中，ZA,ZB,NC對應的邊分別為a,b,c,6sinA+atanAcos3=2asinC.

⑴求A；

(2)奧古斯丁?路易斯?柯西，法國著名數學家.柯西在數學領域有非常高的造詣.很多數學的定理和公式都以他

的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關問題中有著廣泛的應

用.

①用向量證明二維柯西不等式：(無氏+乂％)2<解+弁)(考+￡)；

②已知三維分式型柯西不等式：+K+當且僅當五=三=區時等號成

M%%M+%+%%%