專題03基本不等式（期末壓軸專項訓練20題）

一、單選題

1.若尤>。，y>0,且x+2y=孫，貝！Jx+2y的最小值為（）.

A.4B.4+2旨C.9D.8

【答案】D

【知識點】基本不等式"1"的妙用求最值

[2]2Y4V

【分析】由題意可得一+—=1,可得x+2y=S+2y)(—+—)=4+—+由基本不等式可得.

yxy%y%

【詳解】vx>0,y>0且％+2)=孫，

>龍

=4+三+曳"+2上四=

yx仆丫犬

當且僅當上="即無=4且y=2時取等號，

yx

故選：D

2.設max{a,6}表示。與6的最大值，若x,，都是正數，z=max卜+%—+,則z的最小值為（）

A.2夜B.3C.8D.9

【答案】B

【知識點】利用不等式求值或取值范圍、基本不等式“1"的妙用求最值

【分析】根據給定條件，利用不等式的性質，結合基本不等式的"1"的妙用求出最小值.

【詳解】由z=max{x+y2+3},^z>x+y,z>-+~,

xyxy

^>z2>（x+y）（-+-）=5+-+—>5+2=9,當且僅當上="，即y=2x=2時取等號，

xyxyxy

所以z的最小值為3.

故選：B

21

3.已知〃>0,b>0,直線（々一1）%+'一1=。和1+2勿+1=。垂直，貝!）一+7的最小值為（）

ab

A.16B.8C.4D.2

【答案】B

【知識點】基本不等式求和的最小值、已知直線垂直求參數

【分析】由題意利用兩直線垂直的性質，求得再利用基本不等式，求得±2+；1的最小值.

ab

【詳解】Z;>0,直線4：（。一1）%+>一1=0,4：%+2"+1=0,且

/.(?—1)x1+1x2Z?=0,HP(2+2b=1.

?,1212〃+4。a+2b_4ba__l4ba..止口e止g口4一

貝！|一+—=------+------=2+—+-+2>4+2--------=4+4=8o,當且僅當〃=2n57=彳時，等號成立，

ababab\ab2

故士2+；1的最小值為8,

ab

故選:B.

4.已知%>1,y〉3,(%—l)(y—3)=1,則1+y的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】根據基本不等式即可求解.

【詳解】因為X>1,y>3,所以X-1>0廣一3>0,所以

x+y=(%-l)+(y-3)+422^(j;-l)(y-3)+4=2+4=6,

當且僅當％-l=y-3=1,即％=2,y=4時，取等號，所以x+y的最小值為6,

故選：C

41

5.已知工>0,y〉0,且％+y=5,若一-+—恒成立，則實數機的取值范圍是()

x+ly+2

(21(1-

A.-8,匚B.-°o,-

I5」I16」

C.D.(—8,4］

【答案】B

【知識點】基本不等式的恒成立問題、基本不等式“1〃的妙用求最值

411

【分析】由已知條件得出(x+l)+(y+2)=8,將代數式”+1與］(x+l)+(y+2)］相乘，展開后利

用基本不等式求出一：+—^的最小值，根據題意可得出關于加的不等式，解之即可.

x+1y+2

【詳解】因為尤>0,J>0,且x+y=5,貝%+l+y+2=8,

所以》+1+尹2一81+1+,+2][(尤+1)z71F4（y+2）X+1~

+（y+2）=—5+-^~~L+------

v'」81x+1y+2

81yx+1y+2J8

4(y+2)_x+1

x+1y+2

13?41Q

當且僅當〈(尤+i)+(y+2)=8時，即當無=y-［時，所以「的最小值為，

33x+1y+28

x>0,y>0

41QI

因為一;+—機+1恒成立，所以2根+1W，，解得加工

x+1y+2816

所以實數機的取值范圍是J%上.

I16」

故選：B.

6.已知正數羽丁滿足尤+,=1,則工+2y的最小值是（）

yx

A.2+20B.6C.40D.3+20

【答案】D

【知識點】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】利用"1"的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.

【詳解】由x+1=l可得孫=、一1,13x>0,y>0,則y>l,

y

1

XH--

于是'+2y=--+2y=l+—+2y=l+—1―+2y=3+^—+2（y-l）,

xxxyy-1y-1

因一I+ZCV-DNZJLNU-DMZ后,當且僅當一二=2（y-l）時等號成立，

y-1\y-ly-1

5i

即y=l+半，x=3-l時，—+2y的最小值為3+20.

2x

故選：D.

7.已知d+y2=*2,2（孫#0）,貝I]1-16/-9y2的最大值為（）

A.-48B.-49C.-42D.-35

【答案】A

【知識點】基本不等式求和的最小值

【分析】由題意知4+2=1,然后根據基本不等式即可求解.

%y

【詳解】因為必+y』2y23/0）,所以十++=1,

所以16/+9產=[1+；+6/+9y2）=25+7+>25+2=49,

當且僅當歲=警，即》2=；,丁=:時，等號成立，

xy43

所以1-16/—9產的最大值為I_49=T8.

故選：A.

8.已知〃>0,b>0,且a+b=l,則+]j的最小值為（）

25

B.5D.

4

【答案】D

【知識點】基本不等式求積的最大值、對勾函數求最值

【分析】首先利用條件變形為"+二-2,再利用基本不等式求"的取值范圍，再構造函數，利用函數

ab

的單調性，即可求解.

…(1Y,0,ba1,a2+b21

【詳解】ci-\—bH—|=abH-----1-----1-----=abH---------------1------,

\ajyb)abababab

(a+b\-lab12

=ab+--------------------1=ab-\----2，

ababab

因為a>0,6>0,且〃+>=l,所以］審］=；,

(112

設=,g⑺=/+：-2,

函數g⑺在區間I。,：單調遞減，所以函數g⑺的最小值為

故選：D

二、多選題

9.早在公元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項、幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲

學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，后人在此基礎上推導出一個基本不等式鏈，即已知正

實數有衛〈疝〈也〈歸運，當且僅當。=匕時等號成立.已知。>0,6>0,且

a+b2V2

a+b+猴=\,請利用上述不等關系，判斷下列說法正確的是()

A.式±￡的最小值為2B.而的最大值為，

ab9

119

C.—+丁的最大值為6D.的最小值為彳

ab3

【答案】ABD

【知識點】條件等式求最值、基本不等式“1〃的妙用求最值

【分析】根據題意利用基本不等式以及乘“1〃法逐項分析判斷即可.

【詳解】因為。〉0,。〉。，S.a+b+4ab=1,

對于選項A：因為Y+/zZ",可得土^22,

ab

當且僅當。=6=g時，等號成立，

所以Ui的最小值為2,故A正確；

ab

對于選項B：因為a+b=l-疝22痣，可得病vg,BRab<^

當且僅當。=6=g時，等號成立，

所以仍的最大值為:，故B正確；

對于選項C因為焉=［?+"炳=2+*+J+和2+2唇+2^^=6,

當且僅當。=。=；時，等號成立，

所以上+?的最小值為6,故C錯誤；

ab

對于選項D：金=l—（a+b）M卡,可得a+b>g,

當且僅當。=6=g時，等號成立，

2

所以的最小值為故D正確；

故選：ABD.

10.已知a>0,b>0,則下列說法正確的是（）

A.若。+》=1,則logza+logz'M-Z

B.若<7+6=1,則，?+揚<1

C.若”-6=1,則2。-）>1

D.若=貝（］02+人2>1

【答案】ACD

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、基本不等式求和的最小值

【分析】由基本不等式判斷AB選項，由不等式的基本性質判斷CD選項.

【詳解】10g2a+log26=log?"nlog?］；］=-2當且僅當a+b=g時取等號，A選項正確;

+A/FW12（a+b）=當且僅當a=b=］時取等號,B選項錯誤；

ab+}6+1b<1

-：a-b=l,:.a=b+i,2-^=2■：b>0,：.2°=2>2?2>b^T>

2<*=*>1,C選項正確；

22

?/b>0,a-b=l'.a=\+b>\9/.a+b>lfD選項正確.

故選：ACD.

11.已知6為正實數，且ab+2a+b=16,則（）

A.2a+b的最小值為8B,—1+上的最小值為立

。+1b+22

C.仍的最大值為20D.6+4的最小值為逑二L

9-a10

【答案】AD

【知識點】基本不等式求和的最小值

1Q1Q

【分析】選項A,對條件進行變形得力從而得至[Ua+bnZS+D+T-4,再利用基本不等

a+1Q+1

式，即可求解；

選項B,根據條件，直接利用基本不等式，即可求解；

選項C,根據條件，利用基本不等式得到162ab+2屈，解不等式，即可求解；

18118(9-。)(2+11

選項D,利用6=—-2,得到6=焉一-(+,再利用基本不等式，即可求解.

a+\9-a10(<7+1)10(9-a)10

【詳解】對于選項A,由16=a6+2a+6,得6=里幺=2--2,

a+1Q+1

1Q1Q/1O

所以2a+b=2a+-------2=2（〃+1）+---------4>2j2（a+l）----------4=8,

。+1。+1\。+1

當且僅當2(4+1)=告，即。=2,6=4時取等號，所以選項A正確,

對于選項B,因為3"=⑹所以占+占入后二臼赤

當且僅當a+l=b+2時取等號，此時一匚+J二取得最小值正，所以選項B錯誤，

。+1b+23

對于選項C,因為16="+2"+62"+2缶^,

當且僅當2a=6,即。=21=4時取等號，

又金>0,解不等式得0〈，萬42應，即0<必48,得到必的最大值為8,所以選項C錯誤,

1Q1181c/181Ya+19-a｝。

對于選項由選項知人三^-2'所以"二=------+---------2=------+-------------+--------2

D,A<2+19—4（4+19—1010J

_18(9-fl)[q+11>2HF1_6A/2-1

-10(0+1)+io(9-a)-io_\ido~io~10*

當且僅當一?=『即m時取等號,

：：'1"0(91-62)17

此時取得最小值逑匚，所以選項D正確，

9-a10

故選：AD.

三、填空題

12.設且2a+6+2"=l,貝！Ja+6的最小值為.

【答案】1/0.5

【知識點】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值

【分析】根據已知條件得出（2。+1）修+1）=2,再應用基本不等式求出最小值即可.

【詳解】因為2a+6+2仍=1,所以（2。+1）e+1）=2,

13341

因為4,620,所以a+b=_（2a+l）+（b+l）-->2-（2a+l）（b+l）一一=2一一=-,

22V2222

當且僅當：（2a+l）=b+l,即a=；,6=0時取等號，所以a+b的最小值為

故答案為：P

13.已知正實數。,方滿足2a+3b=2,則"的最大值為

-a*12*4+2b+4-------------

【答案】』

【知識點】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值

ab_1

【分析】將2a+3b=2代入可得-/+2b+4-%+9+14,再由基本不等式求解即可.

ba

【詳解】解：因為2a+3b=2,

ab_ab_ab_I

所以-a2+2,b+4--/+b（2十+3b）+（2a+36）2-3a2+12&2+14aZ?-3a112b?1.又a>0,6>。,

ba

所以—23a12b-

----------------二12

baba9

49

當且僅當a=7，，=亍時,等號成立,

ab的最大值為

則3.

-a2+2/7+4

故答案為：—

26

y1

14.已知％>0,y>0,且x+y=3,則一;+一的最小值為.

x+1y

【答案】（

4

【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值

14

【分析】根據分母特點，將x+y=3化為（x+l）+y=4,將］化為甚.然后用基本不等式即可.

【詳解】由于無+>=3,因此（x+l）+y=4,

則上+L上+±=L+（x+i）t2=上+日+42口.5+L9,

x+1yx+14yx+14yx+14y4yx+14y44

45

當且僅當y==；時取等號.

故答案為：I

15.已知直線2mx+wy-4=0(m>0,??>0)過函數y=log”(x—1)+2(a>0,且awl)的定點7,貝！I

-+-的最小值為.

mn

【答案】5+2屈

【知識點】對數型函數圖象過定點問題、基本不等式“1"的妙用求最值

【分析】先根據對數型函數的特點求得定點T坐標，代入直線方程得2加+〃=2,運用常值代換法即可求

得結論.

【詳解】令尤―1=1時,可得x=2,y=log“l+2=2,

可知函數V=log“(尤-1)+2(a>0,且aw1)的圖象恒過定點7(2,2),

因為定點7(2,2)在直線2m+“-4=0上，

可得2機+〃=2,且加

則2+9」化+9(2加+”)=5+烏+%25+2、乒7=5+2#,

mn2\mn)mnVmn

當且僅當——--,即〃=痛加=6-2幾時，等號成立，

mn

所以工的最小值為5+2?.

mn

故答案為：5+276.

四、解答題

16.已知某公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產一千件需另投入2.7萬元，設該公司年

1,

(10.8——x2)x,(0<x<10)

內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，銷售收入為我(x)萬元，且尺(元)=

…1000,

108--------,(x>10)

3x

(注：年利潤=年銷售收入一年總成本)

⑴寫出年利潤W(萬元)關于年產量X(千件)的函數解析式;

(2)求公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大時的年產量.

r3

8.lx--------10,0<x<10

30

【答案】⑴W=，

98—1222一2.7x,尤>10

3x

(2)9千件

【知識點】求分段函數解析式或求函數的值、利潤最大問題、基本不等式求和的最小值

【分析】(1)分段利用"年利潤=年銷售收入一年總成本”可得所求函數的解析式.

(2)分段求函數的最大值，進行比較可得結論.

【詳解】(1)當0<xV10時,W=R(x)—(10+2.7x)=10.8尤一^--10-2.7^=8.1%----10；

當x>10時，W=R(x)-(10+2.7x)=108-史里-10-2.7尤=98-3L2.7X.

3%3%

Y3

8.lx--------10,0<x<10

綜上：卬=30

八。1000-s

98-----------2.7x,x>10

3x

（2）當0<龍（10時，W（x）=8.1x-土-10,W7x）=8.1-—.

由W'（x）>0=>0<x<9；由W（尤）<0=>9<xV10.

所以W（x）在（0,9）上單調遞增，在（9,10]上單調遞減，

93

^T^W（x）<W（9）=8.1x9---10=38.6.

當x>10時，W（x）=98-史巴-2.7尤.

3x

因為幽+2.7%>2l^-x2.7x=60,當且僅當—=2.7x即x=變時取"

3尤Y3尤3x9

此時W（x）<98—60=38.

因為38<38.6.

所以當年產量為9千件時，年利潤最大.

Q

17.已知函數/（X）是定義在R上的偶函數，當尤N0時，f（x）=a-y-yx,且f（-1）=]

（1）求a的值，并求出，（x）的解析式；

（2）若肛（尤）-9'-9-工-1440在無e（0,+oo）上恒成立，求2的取值范圍.

竿—3rV>0

【答案】⑴“=1,/（X）=尸一，

（2）（-<?,8]

【知識點】由奇偶性求函數解析式、指數函數最值與不等式的綜合問題、基本不等式求和的最小值、函

數不等式恒成立問題

【分析】（1）利用偶函數性質以及函數值可得a=l,再由偶函數定義可得其解析式；

（2）將不等式恒成立轉化為求幾W3,-3—+至鼻恒成立問題，由基本不等式計算可得2的取值范圍.

3—3

1Q

【詳解】（1）因為/（尤）是偶函數，所以=/⑴=3.-1=:,

解得a=l,

當x<0時，可得-x>0,所以/00=/（-勸=3-，-3-1）=3-，一3）

3'-3-',尤20,

所以函數f（x）的解析式為/（%）=

3^-3x,x<0.

（2）由（1）知，當尤>0時，fM=y-yx>o,

因為2/(x)-9,-9T-14W0在Xe(0,+8)上恒成立,

2

所以—+9-'+14_3TI+1616

-------=3X-3-X+—

XX

33一3T3*-3一，3-3^

又因為…+遇…-力二=8,

當且僅當3工-3T=-^―時，即龍=log3（75+2）時等號成立,

3—3

所以XW8,即彳的取值范圍是（-8,8].

18.師大附中考入北大的學生李聰畢業后幫助某地打造“生態果園特色基地”，他決定為該地改良某種珍

稀水果樹，增加產量，提高收入，調研過程中發現：此珍稀水果樹的單株產量W（單位：千克）與投入

34

3x92+—,0<x<2,

a

的成本30x（單位：元）滿足如下關系：W（x）=<s，已知這種水果的市場售價為10元/

32x_,「

-------FX,2<xW5.

、X+1

千克，且供不應求.水果樹單株獲得的利潤為/（x）（單位：元）.

⑴求的函數關系式;

（2）當投入成本為多少時，該水果樹單株獲得的利潤最大?最大利潤是多少?

340

30X2-30X+——,0<x<2

3

【答案】（l）〃x）=

320x2。,口

---------20x,2<x<5

、x+1

⑵當投入成本為90元時，該水果樹單株獲得的利潤最大，最大利潤是180元

【知識點】求分段函數解析式或求函數的值、分段函數模型的應用、基本（均值）不等式的應用、分段

函數的值域或最值

【分析】（1）由題意可知：/（^）=10W（x）-30x,結合題意代入運算即可;

（2）分0VxV2和2<xW5,結合二次函數和基本不等式求最大值.

340

3QX2-30X+—,0<x<2

3

【詳解】（1）由題意可知：/（x）=10W（x）-30x=<

320%”個,匚

---------20x,2<x<5

、x+1

340

30X2-30X+——,0<x<2

3

（2）由（1）可知：（（））=，

320%”c.

---------20x,2<x<5

、x+1

若0Vx<2,則〃力=30》2-30工+券，可知其圖象開口向上，對稱軸為x

此時“X）的最大值為"2）=節

若2<x?5,則〃尤）=苦-20x=340-20(x+l)+g<340-20x2.'(x+l)-^|j=180,

當且僅當=即＞3時，等號成立，

此時“X)的最大值為/(3)=180；

又因為180＞苔＞可知〃x)的最大值為/(3)=180,

所以當投入成本為90元時，該水果樹單株獲得的利潤最大，最大利潤是180元.

19.已知均不等于1的正數內滿足1°8/=1°8/=108加+〃)4=肛。＞°且力1,6＞0且6/1,且a+6H2.

(1)若加=2,求x+y的最小值；

(2)當相＞0時，求》的最大值；

⑶若人1+［4的最小值為9持，求加的值.

ab16

【答案】⑴8

(2)16

⑶2

3

【知識點】對數的運算性質的應用、基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式

"1"的妙用求最值

【分析】(1)當機=2時，x=4,y=〃,(a+6)2=16,然后利用基本不等式可求出的最小值；

111±

(2)由已知得"二元團涉二丁“為色+與二小,結合基本不等式可求出秤的最大值；