第21講函數的單調性、極值與最值

【人教A版2019】

1.函數單調性和導數的關系

（1）函數的單調性與導函數/（x）的正負之間的關系

①單調遞增：在某個區間（。力）上，如果了（無）＞0,那么函數y=/（尤）在區間@6）上單調遞增；

②單調遞減：在某個區間3,6）上，如果了（無）＜0,那么函數y=/（x）在區間色力）上單調遞減.

③如果在某個區間（a,b）內恒有/（尤）=0,那么函數y寸x）在這個區間上是一個常數函數.

（2）函數值變化快慢與導數的關系

一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么在這個范圍內函數值變化得快，這時，

函數的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較小，那么在這個范

圍內函數值變化得慢，函數的圖象就“平緩”一些.

常見的對應情況如下表所示.

y

L

圖象Zk

J1J0XJ

5-5X

11

/(X)變化/?>0/W>o人無)<0/(x)<0

規律且越來越大且越來越小且越來越小且越來越大

函數值變函數值增加函數值增加函數值減小函數值減小

化規律得越來越快得越來越慢得越來越快得越來越慢

2.確定函數單調區間的步驟；

(1)確定函數兀r)的定義域；

⑵求子(無)；

(3)解不等式/(無)>0,解集在定義域內的部分為單調遞增區間；

(4)解不等式/(尤)<0,解集在定義域內的部分為單調遞減區間.

3.含參函數的單調性的求解策略：

(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)若導函數為二次函數式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數的正負及兩根的大小；若不能因

式分解，則需討論判別式△的正負，二次項系數的正負，兩根的大小及根是否在定義域內.

?題型歸納

【題型1利用導數判斷單調性、求單調區間】

【例1.1](23-24高二下.江蘇南通?階段練習)函數y=胃的單調增區間為()

A.(-oo,1)B.(0,1)C.(l,e)D.(l,+oo)

【解題思路】求出導數，利用導數大于。可得答案.

【解答過程】函數丫=學的定義域為(0,+8),

,,

r(lnx+l)x-(lnx+l)xl-(lnx+l)-Inx

y=---------------------------=~,

由y'>0得In%<0,解得0<%V1,

所以曠=今生的單調增區間為(0,1).

故選：B.

【例1.2](24-25高二上?全國?課后作業)已知函數/'(x)=In(cosx)+gsin2x—x,則()

A./(x)在區間(0,內單調遞增

B.”久)在區間(0,小內單調遞減

C./⑺在區間(0,力內單調遞增，在區間(討)內單調遞減

D.f(久)在區間(0,內單調遞減，在區間(%小內單調遞增

【解題思路】求廣0),通過在區間(0,3內/'(%)的符號判斷函數的單調性即可.

【解答過程】由題意cos%>0,frM=———+cos2x—1

cosx

=-(tan%+1)+哈曜=-(tan%+1)+上呼=…(產廠

coszx+smzxl+tanzxtanzx+l

當久E(。4)時，tan%>0,則/'(%)<0,

所以/(%)在區間(04)上單調遞減.

故選:B.

【變式1.1](24-25高二上?全國?課后作業)已知函數/(%)=21n%+/—a%.

(1)當a=l時，求/(%)的單調區間；

(2)若對任意0<%i<%2，都有""2)-八%。>1,求a的取值范圍.

【解題思路】(1)求導，根據導數符號判斷f(x)的單調區間；

(2)構建g(x)=/(%)—乃分析可知在(0,+8)單調遞增，求導整理可得a+1W2x+|,利用基本不等式

運算求解.

【解答過程】(1)當@=1時，/(%)=21nx+x2—x,

可知f(X)的定義域為(0,+8),且尸(￡)-1+2%-1=三W>0,

所以/(X)的單調增區間為(0,+oo),無單調減區間.

(2)因為牝>%1>0,嶼2>1,

X2~X1

則/(%2)—/(Xi)>X2-%i，即/(%i)-%i<f(X2)-如

設函數g(%)=/(%)—x=2\nx+%2—(a+l)x,x>0,可知g(%)在(0,+8)單調遞增.

且g'(x)=|+2x-a-l=

則g'(x)>0在(0,+8)恒成立.BP2%2-(a+1)%+2>0,可得a+1<2%+1,

又因為2%+匕2回-=4,當且僅當x=1時等號成立，

X\X

可得a+lM4,即aW3.

所以a的取值范圍是(-8,3].

【變式1.2](2024?湖北黃岡?一模)已知函數/(%)=2all1%+-x2—(a+3)x,(a6R)

4

(1)若曲線y=f(x)在點(l,f(D)處的切線方程為f(久)=-x+b,求。和6的值；

(2)討論/(久)的單調性.

【解題思路】(1)先對函數求導，結合導數的幾何意義與斜率關系即可求解；

(2)結合導數與單調性關系對a的范圍進行分類討論即可求解.

【解答過程】(1)/(x)=2alnx+-xz—(a+3)x,則/''(x)=四+三%—a—3.

4x2

曲線y=f(x)在點(l,f(1))處的切線方程為f(%)=-x+b,

則尸(1)=a_|=-1,解得a=5

由/(I)=—a--——1+b,解得b=—；,

44

(2)/(x)=2alnx+-x2—(a+3)x,函數定義域為(0,+8),

4

貝『(X)=^+|x-a-3(3x-2a)(%-2)

2x

令尸(%)=0,解得X=2或X=y,

若aW0,則當工€(0,2)時，尸(x)<0,f(x)單調遞減，當％e(2,+8)時，f'(x)>0,f(x)單調遞增，

若0<a<3,則當久e管,2)時，尸(%)<0,/(%)單調遞減，當xe(。號)和x￡(2,+8)時，/㈤>0,/(%)

單調遞增，

若a=3,則f'(%)20在(0,+8)上恒成立，f(x)單調遞增，

若a>3,貝|J當xe9號)時，尸(X)<0,/(久)單調遞減，當Xe(0,2)和%￡管,+8)時，尸(X)>o,f(x)單

調遞增，

綜上所述，當aWO時，f(x)的單調遞增區間為(2,+8),單調遞減區間為(0,2),

當0<a<3時，f(x)的單調遞增區間為(0,舒和(2,+8),單調遞減區間為管,2),

當a=3時，f(%)的單調遞增區間為(0,+8),無單調遞減區間，

當a>3時，f(久)的單調遞增區間為(0,2)和管,+8),單調遞減區間為(2號).

【題型2由函數的單調性求參數】

【例2.1](24-25高三上?重慶沙坪壩?開學考試)已知函數/(久)=21nx-|ax2-2久在xe4)上存在單調

遞增區間，則實數。的取值范圍為()

A.B.(-co,-1]

C.(-OO,4)D.(-00,4]

【解題思路】將問題轉化為導函數在區間(J,4)上大于零有解，分離參數結合二次函數的性質計算范圍即可.

【解答過程】由題意知f'(x)=|-ax-2,問題等價于尸(x)>0在區間4)上有解，

即三一？=20一三丫一三>a有解，而無6仁,4)臺工60,2),

x2x\x2/2\2/x\4/

由二次函數的性質知2(：——：€[—],4),即a<4.

故選：C.

【例2.21(24-25高三上?廣東清遠?階段練習)設函數〃久)=ax+*在區間(2,3)上單調遞減，則正數a的取

值范圍為()

A.(0,|]B.(0,|]C.(2,3)D.[2,3]

【解題思路】利用導數求出函數的單調區間，結合題意即可求.

【解答過程】由/(%)=ax+上得尸0)=a—2=讓J=M+1)(尸),

axax￡axza*

因為％>0,a>0,所以a%>0,ax+1>0,

由尸(%)>0解得%>

由廣(%)<。解得0VXV

所以f(x)在(o,3上單調遞減，在G，+8)上單調遞增，

因為函數/(x)=a*+2在區間(2,3)上單調遞減，

故3<解得0<aW

a3

故選：A.

【變式2.1](24-25高三上?廣東深圳?階段練習)已知函數為f⑺=[，在R上單

(e十十jfxnJ.

調遞增，則。的取值范圍是()

A.[—3,-1]B.(—oo,-3]

C.[-3,+oo)D.[―1,+8)

【解題思路】利用/。)=/+。％+1在(-8,-1)上單調遞增，結合導數求出a的范圍，再利用分段函數是

增函數求出范圍即可.

【解答過程】依題意，函數f(x)=/+收+1在(-8,-1)上單調遞增，

則f'(久)=3x2+a>0對x<-1恒成立，

即VxW—1,a>-3x2,而函數y=—3/在(—8,—1]上單調遞增，—3/^—3,則a2—3,

顯然函數/(x)=ex+1+ln(x+2)在[-1,+8)上遞增，

又函數/'(X)在R上遞增，則—aWl,解得a2-1,因此a2—l,

所以實數a的取值范圍是[-1,+oo).

故選：D.

【變式2.2](2024.云南大理.模擬預測)若函數/(X)=a/+cosx-1在(0,+8)為增函數，則實數a的取值

范圍為()

A.[|,+°°)B.6,+8)C.[1,+co)D.(1,+8)

【解題思路】尸⑺>。對xG(0,+8)恒成立,其中((0)=0,令gO)=/⑺，則“(0)>0,從而得到a>

驗證后得到答案.

【解答過程】/'(x)=2ax—sinx,由題意/'(x)>0對％G(0,+8)恒成立，

其中/1'(())=0,令g(x)=

則需g'(0)>0,其中g'(x)=2a-cosx,故2a-120=>a2(,

當a21時，g'(x)=2a—cosx21-cos*20,故/'(x)在(0,+8)上遞增，

.?./(%)>尸(0)=。成立.

當a<之時，取xe(0(),易知g’(久)=2a—cos%在(0()上單調遞增，

若a<0,則g'Q)=2a—cosx<0,所以((%)在(0()上遞減，

故尸(工)<((0)=0,與題意不符，舍去；

若0<a<決寸，"(0)=2a—1<0,g'(^=2a>0,所以存在e(0,媒，使得“(久。)=。,

當第E(O,%o)時，grM=2a-cosx<0,所以/'(%)在(0,%。)上遞減，

故尸(%)〈((0)=0,與題意不符,舍去；

綜上得a>

故選：A.

【題型3函數單調性的應用】

【例3.1］(24-25高三上?廣東清遠?階段練習)已知a=2eT,b=臀,c=黑，則()

Igelg8

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

【解題思路】根據題意，化簡得到a=詈,b=詈，構造函數f(x)=^.x>e,利用導數求得f(%)在［e,+8)

上單調遞減，得到a>6,再由log86-：=喑字>0,得到a<c,即可求解.

4121n2

【解答過程】由指數塞與對數的運算法則，可得a=2=?^,b=^=ln2=^=型，

eeIge24

構造函數/(x)=￥，x2e,則/''(x)=三^<0在［e,+8)上恒成立，

所以/(%)=等在［e,+8)上單調遞減，所以?>爭故甲>等，即

又由c=J^=log86,而log86一?ln6_3_41n6-91n2ln6Jn29

Igo431n24-121n2121n2

其中64=1296且29=512,所以】og86—：=嚕警>0，BPlog86>

因為日+2=小>1,所以2V日，所以aVc,所以c>a>b.

4e8e4

故選：c.

【例3.2](2024?海南海口?模擬預測)已知定義在[-3,3]上的函數/(久)=e*—e--2x+1,若f(機?)+

f(jn-2)<2,則m的取值范圍是()

A.[-2,1]B.[-1,2]

C.[-1,V3|D.[-1,1]

【解題思路】根據g(x)=/(x)-1的奇偶性以及單調性，即可將問題轉化為或小2)<貝2-m),即可求解.

【解答過程】記g(x)=ex-e~x-2x,xG[-3,3],貝!Jg(-x)=e~x-ex+2x=-g(x),

故g(x)為[-3,3]的奇函數，

又“(x)—ex+e~x—2>2Vexe-x-2=0,

因此g(x)為[-3,3]上的單調遞增函數，

因為/'(%)=9(x)+1，

由f(巾2)+f(jn-2)<2可得。(巾2)+g(jn-2)+2<2,進而。(小?)<。(2-m),

故一3<m2<2-m<3,解得—1<m<1,

故選：D.

【變式3.1](24-25高三上?貴州貴陽?階段練習)已知定義在R上的函數f(x)J(久-1)關于直線x=1對稱,

當久6(0,+8)時，尸(X)>0,設a=/《/51n2),6=/(ln3),c=/(—則a,6,c的大小關系為()

A.c<a<bB.b<a<c

C.a>b>cD.a<b<c

【解題思路】由f(x-l)的對稱性確定f(x)是偶函數，再結合函數單調性即可比較大小.

【解答過程】因為/(X-1)關于直線X=1對稱，則/(%)是偶函數，

當x6(0,+8)時，尸(%)>0,所以函數/■(%)在(0,+8)上單調遞增.

因為ln3>Ine=1,卜寸=(<L

再比較gln2和ln3的大小，構造函數g(x)=等，

則9口)=詈，令9'0)=鬻>。，得0<x<e,此時g(x)=等單調遞增，

所以g⑵=^>5(V3)=曙，也即幅n2>ln3>Ine=1,

結合函數f(x)在(0,+8)上單調遞增及偶函數可知a>b>c.

故選：C.

【變式3.2](24-25高三上?安徽合肥?階段練習)定義在R上的奇函數/(x),且對任意實數x都有/(-久)-

/(|+%)=0,”2024)=￡若/(久)+/(-?)>0,則不等式/O+1)的解集是()

A.(3,+oo)B.(—8,3)C.(1,+8)D.(—8,1)

【解題思路】由/⑺是奇函數，可得/(%)是偶函數,得到f(%)+/'(%)>0,令g(x)=e"(%),得到g'(x)>0,

得出g(x)在R上單調遞增，再由fl)—/停+x)=0,求得f(x)的周期為3的周期函數，根據“2024)=%

得到g(2)=e,把不等式轉化為g(x+l)>g(2),結合函數的單調性，即可求解.

【解答過程】因為f(x)是奇函數，可得尸(x)是偶函數，

又因為f(x)+/(一外>0,所以f(x)+尸0)>0,

令g(x)=eXf(x),可得g<x)=|/(x)+r(x)]e*>0,所以g(x)在R上單調遞增,

因為/■(—%)-/(|+%)=。且/(x)是奇函數，

可得/'(I+X)=/(-x)=-/(X),則f(x+3)=/[(|+X)+1]=-/(|+x)=/(%)>

所以f(x)的周期為3的周期函數，

因為/'(2024)=/(674x3+2)=/(2)=所以g(2)=e2x|=e,

則不等式/(久+1)>卷，即為eX+i/(x+1)>e,即g(x+l)>g(2),

又因為g(x)在R上單調遞增，所以x+l>2,解得x>l,

所以不等式+1)>2的解集為(1,+8).

故選：C.

模塊二一函數的極值與最值。|

?知識梳理

1.函數的極值

極值的相關概念

⑴極小值點與極小值：

如圖，函數y=/(x)在點x=a處的函數值人①比它在點后。附近其他點的函數值都小，/((i)=0,而且在點

x=a附近的左側了(無)<0,右側/(x)>0,貝I把點。叫做函數y=/(x)的極小值點，魚/)叫做函數y=/(x)的極小值.

(2)極大值點與極大值：

如圖，函數y=/(x)在點x=6處的函數值式力比它在點x=b附近其他點的函數值都大，/(6)=0,而且在點

附近的左側了。)>0,右側了(無)<0,則把點方叫做函數y/x)的極大值點，八3叫做函數y=/(x)的極大值.

(3)極小值點、極大值點統稱為極值點，極小值和極大值統稱為極值.

(1)一般地，如果在區間團,句上函數y寸尤)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值,

并且函數的最值必在極值點或區間端點處取得.當的圖象連續不斷且在團,切上單調時，其最大值和最小值

分別在兩個端點處取得.

(2)函數的極值與最值的區別

①極值是對某一點附近(即局部)而言的，最值是對函數的整個定義區間而言的.

②在函數的定義區間內，極大(小)值可能有多個(或者沒有)，但最大(小)值最多有一個.

③函數八x)的極值點不能是區間的端點，而最值點可以是區間的端點.

3.利用導數求函數最值的解題策略：

(1)利用導數求函數次x)在團團上的最值的一般步驟：

①求函數在(a,b)內的極值；

②求函數在區間端點處的函數值八。)，16)；

③將函數兀0的各極值與大a),共6)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

(2)求函數在無窮區間(或開區間)上的最值的一般步驟：

求函數在無窮區間(或開區間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和

極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值.

?題型歸納

【題型4利用導數求函數的極值】

【例4.1](24-25高二上?全國?課后作業)函數，(久)=e'cosx(―g<久<；),貝!J()

A./(%)的極小值點為:B./(久)的極大值點為0

C./(X)的極小值點為0D./(久)的極大值點為：

【解題思路】首先利用導數求出函數的單調區間，再結合極值的概念即可得答案.

【解答過程】/'(%)=(cos%—sinx)ex=V2cos(%+；)e%,

令廣0)=0,則久=?

4

當Xe(一兄)時,f'M>o,"x)單調遞增；

當xe&f時，/(x)<o,y(x)單調遞減，

所以;是/(久)的極大值點，無極小值點.

故選：D.

【例4.2](23-24高二下.貴州銅仁.階段練習)已知函數/(%)=aln%+/—3%+1在％=1處取得極值，則

/(%)的極大值為()

11

A.In24—B.—In2—C.-1D.1

44

【解題思路】先求出。的值，再由導數求出單調性求解.

【解答過程】由題意知，/''(>)=W+2x-3,所以尸(l)=a+2-3=0,解得a=l,

所以尸(x)=；+2%-3=2x~^%+1(x>0),令尸(%)=0,解得x=[或％=1,

由(0)>0得，0<x<g,或x>l,

由尸(%)<0得，|<x<1,

所以八%)在(0彳)上單調遞增，在上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

又雇)=嗚+(丁-3X：+1=-ln2-：,

所以fO)的極大值為—ln2—

4

故選：B.

【變式4.1](24-25高三上?江蘇淮安?開學考試)已知函數/(久)=[爐—等/+2a久.

⑴若a=1，求函數/(久)的極值；

⑵討論函數f(x)的單調性.

【解題思路】(1)對f(x)求導，分析單調性，再根據極值定義即可求解；

(2)f'(x)=(x—a)(x—2),對a分a=2,a>2和a<2討論單調性即可.

【解答過程】(1)/(%)=|%3-|%2+2x,/,(x)-(X-l)(x-2).

所以或x>2時，/(x)>0,l<x<2時，/(x)<0,

則f(x)在(1,2)上遞減，在(-8,1),(2,+8)遞增，

所以"%)的極小值為f(2)=極大值為f(l)=f.

36

(2)((%)=(%—a)(x—2),

當a=2時,//(%)>0,所以f(%)在(-8,+8)上遞增,

當a>2時，x<2或久>a時，/'(%)>0；2<x<a時，/'(工)<0,

所以/(%)在(一8,2),(a,+8)上遞增,在(2,a)上遞減，

當aV2時，％Va或%>2時，((%)>0；aV%V2時，((%)V0,

所以/(%)在(-8,a),(2,+8)上遞增；在(a,2)上遞減.

【變式4.2](24-25高三上?山東聊城?階段練習)已知函數f(%)=e2%—(2a+3)e%+3a%.

(1)當a=3時，求曲線y=/(%)在(0/(0))處的切線方程；

(2)求函數y=/(%)的極大值.

【解題思路】(1)求出函數的導函數，根據導數的幾何意義得到切線的斜率，再由斜截式得到切線方程；

(2)求出函數的定義域與導函數，分aWO、0<a<|,a=|、a>|四種情況討論，分別求出函數的單調

區間，即可求出函數的極大值.

【解答過程】(1)當a=3時/(久)=e?%—9e%+9%,則/(0)=—8,f\x)=2e2x—9ex+9,

所以尸(0)=2,

所以曲線y=/(%)在(0,/(0))處的切線方程為y=2%-8.

(2)函數/*(%)=e2x—(2a+3)ex+3a%的定義域為R,且/'(%)=2e2x—(2a+3)2+3a=(2ex—3)(ex—

a),

當a<0時e*—a>0恒成立，所以當u<ln|時/(%)<0,當%>ln|時廣(%)>0,

所以/(%)在(-8/n|)上單調遞減，在(ln|,+8)上單調遞增，

則/(%)在％=ln|處取得極小值，不存在極大值；

當0<a<|時，令尸(%)=0,解得％=Ina或％=ln|,

所以當％<Ina或%>ln|時廣(%)>0,當Ina<x<In|時尸(%)<0,

所以/(%)在(一8/na),(in|,+8)上單調遞增,在(ina,In|)上單調遞減，

則f(%)在％=Ina處取得極大值，在％=In|處取得極小值，

所以/(%)的極大值為/(Ina)=-a2-3a+3alna；

當a=|時尸(久)=(2ex—3)(e*—0>0恒成立，所以/(%)在R上單調遞增，

則/(久)不存在極大值；

當a>|時，令尸(%)=0,解得％=Ina或％=ln|,

所以當％<ln|或％>Ina時廣(%)>0,當ln|<x<Ina時尸(%)<0,

所以/(%)在(一81口|),(Ina,+8)上單調遞增，在(ln|』na)上單調遞減，

則/(%)在％=In|處取得極大值，在久=Ina處取得極小值，

所以/(%)的極大值為/(in|)=-；一3Q+3aln|；

綜上所述，當a<0或a=制/(%)不存在極大值；

當0<a<|時/(%)的極大值為—小—3a+3alna；

當a>決寸f(%)的極大值為一g-3a+3aln|.

【題型5根據極值(點)求參數】

【例5.1]⑵-24高三上?廣東潮州?期末)若函數/(%)=卜2一Q%+In%在(0,2)上有極值，則實數Q的取值

范圍是()

A.[2,|]B.(2,|]C.[2,+8)D.(2,+8)

【解題思路】由題意可得尸(K)=%-a+：在(0,2)上有零點，即@=%+：在(0,2)上有實數根，利用基本不等

式求出g(%)=1W(0,2)的最小值，可得a22,再驗證a=2是否滿足即可.

【解答過程】/(%)=1%2一a%+In%的定義域為{%|冗>0},/'(%)=%-a+p

要函數/(%)=-ax+In%在(0,2)上有極值，

則:(%)=%-a+：在(0,2)上有零點，即a=%+：在(0,2)上有實數根.

令g(x)=x+1,x6(0,2),

則g(%)=%+：22Jx,：=2,當且僅當久=1時等號成立，

所以a>2.

當a=2時，/(%)=%-a+：=%+：-2N0,函數/(%)單調遞增，

則函數/(%)=|%2-ax+Inx在(0,2)上沒有極值，

故a>2.

故選:D.

【例5.2］(23-24高三上?山東青島.階段練習)已知函數/(%)=［短—哈在其定義域(0,+8)內既有極大值

也有極小值，則實數a的取值范圍是()

A.(0,1)U(l,ei)B.(0,1)C.+8)D.(1,藍)

【解題思路】將問題轉化為方程/-產=0在(0,+8)有兩個不相等實根，即Ina=等有兩個不同的交點，

令9?=等，利用數形結合法求解.

【解答過程］解：/(%)=i%3-高，貝葉'0)=/_a"

要使函數/㈤=泮-高在其定義域(0,+8)內既有極大值也有極小值，

只需方程/一a*=0在(0,+8)有兩個不相等實根.

即lna=—C令g(x)=等，則“(%)=過瀉.

當久G(0,e),g'(X)>0,

當久C(e,+8),gf(x)<0,

g(%)在(0,e)遞增,在(e,+8)遞減，當%>e,g(x)>0,

g(e)=j>

其圖象如下:

故選：D.

【變式5.1](24-25高三上?甘肅蘭州?階段練習)已知函數/(久)=e，—ax—a.

(1)當a=0時，求曲線過原點的切線方程；

⑵若/(?有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

【解題思路】(1)把a=0代入，設出切點坐標，求出函數/(%)的導數，利用導數的幾何意義求出切線方程,

再根據切線過的點求得答案.

(2)求導，按aS0和a>0分類討論，并求出極小值，再建立不等式求解即得.

【解答過程】(1)當a=0時，/(x)=ex,求導得尸(x)=e，設切點坐標為(t,/),則尸(t)=e*,

于是得切線方程為y—et=et(%—t),而切線過原點，貝=et(0-t),解得t=1,

所以所求切線方程為y-e=e(x-1),即丫=ex.

(2)函數/'(x)的定義域為R,且尸(X)=e*-a,

當aW0時，/。)>0恒成立，即函數/(%)在R上單調遞增，無極值，不合題意；

當a>0時，由/''(X)<0,解得x<Ina；由/'(x)>0,解得久>Ina,

函數/'(x)在(-8,Ina)上單調遞減，在(Ina,+8)上單調遞增，

當x-Ina時，取得極小值/(Ina)-a—alna—a——a\na,

依題意，-alna<0,則Ina>0,解得a>1,

所以。的取值范圍為a>L

【變式5.2](24-25高三上?湖南長沙?階段練習)已知函數/(X)=a*logaX(a>0,且aKl).

(1)當a=e時,證明：f(x)為增函數；

(2)若/Q)存在兩個極值點的，x2.

Ci)求a的取值范圍；

(ii)設/(%)的極大值為M,求M的取值范圍.

【解題思路】(1)利用導數證得/(%)為增函數.

(2)(i)先換元設。=才?工0),然后利用多次求導的方法，對t進行分類討論，根據極值點個數來求得a的

取值范圍.

(ii)根據(i),通過換元以及構造函數，結合導數來求得M的取值范圍.

【解答過程】(1)依題意f(%)=e%lnx,尸(%)=e%(in%+：),

設p(%)=Inx+I，則p，(%)=§-專=

當0<%<l時，p(%)單調遞減，當久>1時，p(%)單調遞增，

故p(%)>p(l)=1>0,即/(%)>0,/(%)單調遞增.

(2)(i)設a=6￡;(100),則f(%)=垃1口汽，

則/(%)=etxlnx+*=:(%ln%+

設g(%)=x\nx,則g'(%)=1+Inx,即g(%)在(0,》上單減，在g,+8)上單增，

當tv0時，令g(x)=.,由g(l)=0,且g(x)在(1,+8)上單調遞增，

故9(%)=-十僅有一個零點%0，不符合題意；

當1>0時，g(X)c

①當tWe時，則一(<一%此時9(%)之一：，>0,/(%)單調遞增，不符合題意；

②當t>e時，則一，〈一，<0,此時g(%)=-，存在兩個零點%1<汽2，

z

當久E(0,%i)時g(%)>f(x)>0；當％E(%L%2)時，g(%)v—5/'(%)<0;

當久e(%2,+8)時，g(%)>-p尸(N)>0,/(')存在兩個極值點，符合題意.

綜上可知，ae(ee,+oo).

(ii)由(i)可知M=/(%i),且%iE(0,，，滿足=

i__

tX12lnx

故M=f(%1)=-e\nx1=-x1(lnx1)ei,

設丁=-In%1G(l,+8),則M=-er-rr2=-e21nr-r+r,

設h(r)=21nr-r+1,則〃(r)=|-1-±=-M!<0,

故h(r)單調遞減,且八(1)=0,則/i(r)€(-8,0),

即M=-e21nr-r+lG(-1,0).

【題型6利用導數求函數的最值】

【例6.1](24-25高二上?全國?課后作業)函數/(久)=9—21nx+2x的最小值為()

A.0B.1C.2-21n2D.e+2

【解題思路】利用導數判斷出函數的單調性即可得解.

【解答過程】“X)的定義域為(0,+8),尸(無)=號爪—：+2=(XT)；；+2X),

所以當％6(0,1)時，f'(x)<0,f(x)單調遞減;

當xe(l,+8)時，/(x)>o,f(x)單調遞增，

所以“X)的最小值為八1)=e+2.

故選：D.

【例6.2](23-24高二下嚀夏吳忠?期中)函數人%)=/+。/+3%,已知/(x)在x=—3時取得極值，則

x6[-4,一1]上的最大值為()

A.-9B.1C.9D.4

【解題思路】利用r(-3)=0,求得a,代入利用導數求得函數的單調性，結合函數的單調性，即可求解函

數的最值.

【解答過程】因為函數/O)=婷+ax2+3x,

所以/(%)=3x2+2ax+3,

因為/(%)在％=-3時取得極值，

所以((-3)=3x(-3)2+2a(-3)+3=0,解得a=5,

所以/(%)=%3+5x2+3x,x6[-4,-1],

/'(%)=3x2+10%+3=(3%+1)(%+3),

令尸(%)=0,則(3x+l)(x+3)=0,解得x=-3或x=(舍)，

當一4<x<-3時，f'(%)>0,

當一3<x<-1時，f，(x)<0,

所以f(x)在[-4,-3)上單調遞增，在[-3,-1]上單調遞減，

所以當x=—3時取得最大值為/(—3)=(—3>+5x(—3>+3x(-3)=9.

故選：C.

【變式6.1](24-25高三上?廣東揭陽?階段練習)已知函數/(X)=:尤3-4比+Q

(1)求函數人久)在點(3,/(3))處的切線方程；

⑵求函數/(久)在[0,3]上的最大值與最小值.

【解題思路】(1)根據導數的幾何意義求解即可；

(2)先利用導數分析函數f(x)的單調性，進而求解即可.

【解答過程】(1)由/'(x)=]爐一4x+4,得/''(X)=-4,

所以尸(3)=5,又*3)=1,

所以函數/G)在(3,f(3))處的切線方程為：y-l=5(x—3),即5x—y—14=0.

(2)由/(%)=——4,令/''(X)=產一4>0,解得“<—2或久>2,

令尸(x)=%2-4<0,解得一2<x<2,

所以/(x)在(0,2)上單調遞減，在(2,3)上單調遞增，

所以當久=2時，f(x)最小，且最小值為〃2)=-$

因為"0)=4,/(3)=1,故最大值為f(0)=4.

【變式6.2](24-25高三上?廣西貴港?開學考試)已知函數/(久)=e2x—(a+6)x+2,且曲線y=/(x)在點

(0,/(0))處的切線斜率為2-2a.

⑴比較a和b的大小；

(2)討論/(久)的單調性；

(3)若f(x)有最小值，且最小值為g(a),求g(a)的最大值.

【解題思路】(1)根據導數意義列方程即可求解；

(2)求導，分aW0和a>0討論導數符號即可得解；

(3)利用(2)中結論表示出最小值，然后利用導數求最值即可.

【解答過程】(1)/'(%)=2e2*-(a+b),由題知/'(0)=2-(a+b)=2-2a,

整理得a=b.

(2)由(1)知，/z(x)=2e2x—2a,

當aWO時，/。)>0恒成立，此時f(x)在R上單調遞增；

當a>0時，令=2e2x-2a=0,解得x=|lna,

當x<[lna時，/''(%)<0,當久>(lna時，f'[x)>0,

所以/'(X)在(-8,[lna)上單調遞減，在(?na,+8)上單調遞增.

綜上，當aWO時，f(x)在R上單調遞增；

當a>0時，在(-8，lna)上單調遞減，在(^山。,+8)上單調遞增.

(3)由(2)知，當aWO時，f(x)無最小值，

當a>0時，/(X)在x=(lna處取得最小值，所以g(a)=elna—alna+2—a—alna+2,

記g(x)=x—x\nx+2,x>0,則g'(x)=—Inx,

當0<x<1時，g'(x)>0,當x>1時，g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)單調遞減，

所以當x=1時，g(x)取得最大值g(l)=1—0+2=3,

即g(a)的最大值為3.

【題型7已知函數最值求參數】

【例7.1](24-25高三上?湖南?開學考試)已知函數/(x)=3/-21nx+(a-l)x+3在區間(1,2)上有最小

值，則實數a的取值范圍是()

49

A.u>—3B.-----Va<-10

3

49

C.-----Va<-3D.-10Va<-3

3

【解題思路】求出函數/(X)的導數尸(X),再求出廣在區間(1,2)上有變號零點且在零點兩側的函數值左負

右正的a值范圍.

2

【解答過程】函數/'(x)=3x-21nx+(a-l)x+3,求導得/''(x)=6x-|+a-l=+(?i)”2,

由/(%)=3x2-21nx+(a-l)x+3在區間(1,2)上有最小值,

得/'(久)在區間(1,2)上有變號零點且在零點兩側的函數值左負右正，

令九(x)=6/+9-l)x-2,九(0)=-2<0,則h(x)在區間(1,2)上有變號零點且在零點兩側的函數值左負

右正，

'A=(a-l)2+4x6x2>0

因止匕/i(l)=6+a—1—2<0,解得一10Va<-3,

鳳2)=6x4+2(a-l)-2>0

所以實數。的取值范圍是一10<a<-3.

故選：D.

【例7.2](23-24高二下?河北唐山?期末)已知函數f(x)=之/一4刀+4在[0,a]上的最大值為4,則實數“

的取值范圍為()

A.(0,1]B.(0,V3]C.(0,2]D.(0,2V3]

【解題思路】先求導可得/''(x)=X2-4,可求得/(x)=|x3-4x+4的極值點，同時確認f(x)=|%3-4%+

4在各個區間的單調性，即可求得.

【解答過程】由題意知尸0)=/—4,令尸(x)=0,得久=—2或x=2,

在(-8,-2)和(2,+8)上尸(%)>0,所以/(乃在(一8,-2)和(2,+8)單調遞增，

在(—2,2)上/(%)<0,所以/(%)在(一2,2)單調遞減，

令/(x)=4求得x=-2V3,x=0或x=2A/3,

又因f(x)=：尢3-4%+4在[0,團上的最大值為4,故舍棄x=—2遮，

又/(X)在[0,2)上單調遞減，所以在[0,2)上篇axCO=/(0)=4,

/(%)在(2,+8)單調遞增,所以當x>2遙時，/(X)>4,

所以。的取值范圍為(0,28],

故選：D.

【變式7.1](24-25高二上?全國?課后作業)已知函數/(x)=e1x+ax,g(x)=Inx+2.

(1)當a=e時，證明：f(x)>0；

(2)若函數/(久)和。(久)有相同的最小值，求a.

【解題思路】(1)利用導數工具研究函數八%)的單調性，進而得函數f(x)min=/(—1)=0即可得證；

(2)利用導數分別求出函數/(%)和g(x)的單調性，進而得f0)min和9(X)min，令/'(%)min=9(X)min得1na-

宗=0,構造函數/i(a)=Ina-妥,a>0,再利用導數求出/i(a)在區間(0,+8)上是單調遞增的且%(1)=0

即可得解.

【解答過程】(1)當a=e時，f'(x)=-e~x+e,

令尸(x)<0,得x<—1,令/(x)>0,得x>—1,

所以/(X)在區間(—8,—1)內單調遞減，在區間(—1,+8)內單調遞增，

所以『0)有最小值f(-l)=e-e=0,所以當a=e時，/(%)>0.

(2)由題r(x)=-e-x+a,xeR,因為y=為減函數，所以/''(x)為增函數，

當a40時,廠(%)<0,f(%)單調遞減，故/'(")無最小值,不符合；

當a>0時，令/''(X)=0得x=—Ina,

所以當%6(-8,—Ina)時,/1'(%)<0"(x)單調遞減;

當％E(—Ina,+8)時，>OJO)單調遞增,

故f(%)min=/(—lna)=a—alna.

又g'(%)=x-x2=~x^~(%>。)，令g'(%)=。得％=a,

所以當%e(0,a)時，g'(x)<0,g(%)單調遞減,

當%e(a,+8)時,“(%)>0,g(%)單調遞增,

故g(%)min=g(a)=Ina+1，

因為/(%)和9(%)有相同的最小值，所以/(-Ina)=g(a),即a-alna=Ina+1,

整理得Ina---=0,設函數/i(a)=Ina---,a>0,

1(a+l)-(a-l)12+1

則本⑷=>0,

a(a+1)2a(a+1)2a(fa+l)2

所以h(a)在區間(0,+8)內單調遞增，又h(l)=0,

所以a=1是函數h(a)的唯一零點，即為方程Ina—竄=。的唯一實根a=1,

綜上所述，a=1.

【變式7.2](24-25高三上?海南?開學考試)設函數f(x)=Inx-ax(aeR).

⑴討論函數f(x)的單調性；

(2)當函數/(久)有最大值，且最大值小于a-2時，求a的取值范圍.

【解題思路】(1)求定義域，求導，對參數進行分類討論即可；

(2)由(1)知a的初步范圍，求得最大值，利用導數解不等式即可.

【解答過程】(1)由/'(￡)=Inx-ax,知尸(x)=：-a,定義域為(0,+8),

當aWO時，f'(x)>0恒成立，所以/(x)在(0,+8)上單調遞增；

當a>0時，令尸(x)>0,則0<x在(0,，)上單調遞增;

令尸0)<0,則x>Xx)在G，+8)上單調遞減；

綜上所述，當aWO時，f(x)在(0,+8)上單調遞增；

當a>0時，/(X)在(0,￡)上單調遞增，在6,+8)上單調遞減.

(2)由(1)知，若f(x)有最大值，則a>0,且/(x)max=/(￡)=Tna-1,

因為f(x)的最大值小于a-2,

所以一Ina—1Va—2')即a+Ina-1>0,

設g(a)=a+Ina-1,問題轉化為解不等式g(a)>0,

因為g'(a)=1+1>0恒成立，所以g(a)在(0,+8)上單調遞增,

又g(l)=0,所以g(a)>0=g(l),所以a>l,

故a的取值范圍為(1,+8).

〉課后提隔(19題)

一、單選題

1.(24-25高二上?全國?課后作業)函數f(x)=lnx+子的單調增區間為()

A.(0,1)B.(0,e)C.(l,+oo)D.(e,