重難點01規律探索問題

（4種類型16種題型+專項訓練）

1）周期規律

1.（2023?山東?中考真題）已知一*列均不為1的數-'一…，滿足如下關系:。2=］一Q1,。3=：1+°—C2l,2

。4=若最，…，％1+1=三與若的=2,則@2023的值是（）

11

A.--B.-C.-3D.2

23

【答案】A

【分析】根據題意可把的=2代入求解=-3,則可得=-%=%=2......；由此可得規律求解.

【詳解】解：Z1=2,

1+21-3]1--11+—

??。2=口=-3o,a于a=^j=-,恁=口=2,

31+34

23

由此可得規律為按2、-3、一（:四個數字一循環,

???2023+4=505…3,

.__1

,，，a2023=a3="

故選A.

【點睛】本題主要考查數字規律，解題的關鍵是得到數字的一般規律.

2.(2023?四川內江?中考真題)對于正數x,規定/(%)=￡，例如：/(2)=g1=j/G)=M=|，/(3)=

Xi1Z+1J\A/—+13

2

第/嗚=算，計算：/島)+「(京)+啕+…+窿)+啕+"1)+f(2)+/(3)+…+

3

7(99)+/(100)+/(101)=()

A.199B.200C.201D.202

【答案】C

【分析】通過計算/(1)=1,/(2)+/(|)=2/(3)+花)=2,…可以推出/島)+/(擊)+/?⑥+…+

/?+，?+〃1)+,⑵+”3)+.??+f(99)+f(100)+/(101)結果.

【詳解】解：看=1,

2x|

44=1,/2)+嗚=2,

/(2)=?TI=R

1

1+

2

1

2x

2x3331

/⑶=壬=/=R(3)+/

1+

/(100)=^^=—,/(—)=,/(100)+/(—)=2,

101100

1+1001011001+擊

f島)+f島)+/得)+…+fG)+f(|)+fW+/⑵+"3)+-+“99)+f(100)+f(101)

=2x100+1

=201

故選：c.

【點睛】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則，找到數字變化規律是解本題的關鍵.

3.（2022?內蒙古?中考真題）觀察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,...

根據其中的規律可得7。+7】+???+72。22的結果的個位數字是（）

A.0B.1C.7D.8

【答案】C

【分析】觀察等式,發現尾數分別為：1,7,9,3,1,7,9,3…每4個數一組進行循環，所以2023+4=505...3,

進而可得7。+7】+…+72。22的結果的個位數字.

【詳解】解：觀察下列等式：

7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

發現尾數分別為：

1,7,9,3,1,7,

所以和的個位數字依次以1,8,7,0循環出現，

（2022+1）+4=505……3,

每4個數一組進行循環，

所以2023+4=505……3,

而1+7+9+3=20,

505x20+1+7+9=10117,

所以7°+7】+.??+72。22的結果的個位數字是7.

故選：C.

【點睛】本題考查了尾數特征、有理數的乘方，解題的關鍵是根據題意尋找規律.

2）等式規律

4.（2021?浙江嘉興?中考真題）觀察下列等式：1=/—3=22-12,5=32-22,…按此規律，則第

n個等式為如—1=.

【答案】n2-（n-l）2.

【分析】第一個底數是從1開始連續的自然數的平方，減去從0開始連續的自然數的平方，與從1開始連

續的奇數相同，由此規律得出答案即可.

【詳解】解：：1=12一。2,

3=22一野,

5=32—22,

.,.第ri個等式為：2n—1=層一(n—1)2

故答案是：n2-(n-l)2.

【點睛】本題考查了數字的變化類，通過觀察，分析、歸納并發現其中的規律，并應用發現的規律解決問

題的關鍵.

5.(2024.寧夏.中考真題)觀察下列等式：

第1個：1x2—2=22x0

第2個：4x3-3=32xl

第3個：9x4—4=42x2

第4個：16x5-5=5?x3

按照以上規律，第九個等式為.

【答案】n2(n+1)—(n+1)=(n+l)2(n-1)

【分析】本題主要考查了數字類的規律探索，觀察可知，序號的平方乘以序號加1減去序號加1的結果等

于序號加1的平方乘以序號減1,據此可得答案.

【詳解】解：觀察算式可知，序號的平方乘以序號加1減去序號加1的結果等于序號加1的平方乘以序號

減1,

所以第n個等式為:n2(n+1)-(n+1)=(n+l)2(n-1),

故答案為：n2(n+1)—(n+1)=(n+l)2(n—1).

6.(2021?湖南懷化?中考真題)觀察等式：2+22=23—2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-

101102

2,……，已知按一定規律排列的一組數：21°°,2,2,……,2】99,若21。。=M，用含7n的代數式表

示這組數的和是.

【答案】m2-m

【分析】根據規律將210°,2101,2102,……,2】99用含力的代數式表示，再計算2。+2】+…+299的和，即

可計算21°°+2101+2101+…+2】99的和.

【詳解】由題意規律可得：2+22+23+…+299=2ioo_2.

V2100=m

；?2+22+23+…+299+2=2ioo=m=2om,

V2+22+22+■■?+2"+2100=2101—2,

2101=2+224-234--F2"+2100+2=m+m=2m=21m.

2102=2+22+23+?-?+2"+2100+2101+2=m+m+2m=4m=22m.

2103=2+22+23H------F2"+2100+2101+2102+2=m+m+2m+4m=8m=23m.

A2199=2"m.

故2ioo_|_2101+2101+—F2199=2°m+21m+—F2997n.

令2。+21+22+…+2"=S①

21+22+23+-+2100=2s②

②-①，得21°°-1=S

.?.2100+2101+2101+…+2199=2Om+2i?n+—F2"m=(2100—l)m=m2-m

故答案為：m2-m.

【點睛】本題考查規律問題，用含有字母的式子表示數、靈活計算數列的和是解題的關鍵.

3）新定義類規律

7.（2023?四川成都?中考真題）定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數加，九的平方差，且n>1,

則稱這個正整數為“智慧優數”.例如，16=52-32,16就是一個智慧優數，可以利用爪2一"=（m+①（小一

用進行研究.若將智慧優數從小到大排列，則第3個智慧優數是.；第23個智慧優數是

【答案】1557

【分析】根據新定義，列舉出前幾個智慧優數，找到規律，進而即可求解.

【詳解】解：依題意，當爪=3,n=l,則第1個一個智慧優數為32-了=8

當m=4,n=2,則第2個智慧優數為42-22=14

當?n=4,n=1,則第3個智慧優數為42-12=15,

當m=5,九=3,則第4個智慧優數為52-32=16,

當"I=6,n=4,則第5個智慧優數為62-42=20

當m=5,n=2,則第6個智慧優數為52-22=21

當m=5,九=1,則第7個智慧優數為52-野=24

7n=6時有4個智慧優數，同理TH=7時有5個，TH=8時有6個,

列表如下,

123456789

1

2

38

41512

5242116

635322720

74845403324

8636055483928

980777265564532

109996918475645136

111201171121059685725740

觀察表格可知當m=12時，n=10時，智慧數為44,

m=13,n=11時，智慧數為48,

m=14,n=12時，智慧數為52,

m=15,n=13時，智慧數為56,

第1至第10個智慧優數分別為：8,12,15,16,20,21,24,27,28,32,

第H至第20個智慧優數分別為：33,35,36,39,40,44,45,48,51,52,

第21個智慧優數55,第22個智慧優數為56,第23個智慧優數為57

故答案為：15,57.

【點睛】本題考查了新定義，平方差公式的應用，找到規律是解題的關鍵.

8.（2024?山東濟南?模擬預測）若把第力個位置上的數記為打，則稱無1，%2,右，…，為有限個有序放置的

數為一個數列4定義數列力的“伴生數列"B是：力,力，乃，…，%，其中％是這個數列中第九個位置上的

數，幾=1,2,…，k且%=[°'并規定久0=/1，+1=.如果數列4只有四個數，且Y1，

11,（久n-1豐xn+l）

%2,久3,%4依次為3,1,2,1,則其“伴生數列"B是()

A.0,1,0,1.B.1,0,1,0.C.1,0,0,1.D.0,1,1,0.

【答案】A

【分析】本題主要考查了新定義題型，數字的變化規律，根據“伴生數列''的定義取幾=4,依次求出X。，亞，.??，

x5-再求出對應的用即可，解題的關鍵在于理解新定義的概念.

【詳解】解：由題意得：Xo=X4=1,X5=%!=3,

.%Q=%2=1'

-,-71=0,

'."x1=3,x3=2,

“2=1>

"."%2-1,X4=1,

??=0,

?Xg=2,Xg-%-￡-3,

?.丫4=1，

伴生數列，，B是0,1,0,1,

故選：A.

9.(2024?河北保定?一模)觀察下列式子,定義一種新運算:5#3=2x5-3；3#(-1)=2x3+1；—4#(—3)=

2X(-4)+3.

⑴這種新運算是：x#y=(用含x,y的代數式表示)；

⑵若zn#(-3)>3#m,求m的最小整數值；

(3)若a,人均為整數，試判斷(a#b-b#a)#3a是否能被3整除，并說明理由.

【答案】(l)2x—y

(2)2

(3)能，理由見解析

【分析】本題考查了新定義下的實數運算、解一元一次不等式，找到定義中數的關系式，代入得到一元一

次不等式求解是解題的關鍵.判斷能不能被3整除，把式子化簡成幾個整數因式乘積的形式，里面有是3

的倍數的數，即可證明能被3整除.

(1)根據定義新運算的形式代入即可；

(2)根據定義新運算的形式，代入即可列式出關于m的一元一次不等式，解不等式可得答案；

(3)根據定義新運算的形式，列出式子化簡后，即可判斷.

【詳解】(1)解：根據題意，得久#y=2%—y,

故答案為：2%-y；

(2)解：根據題意，得2m—(-3)>2X3—

解得TH>1,

工最小整數加為2；

(3)解：(a#b—b#a)#3a

=[2a—b—(2b—a)]#3a

=(3a-3b)#3a

=2(3a—3b)—3a

=6a—6b—3a

=3a—6b

=3("2b),

:a,。為整數，

???3(a—2b)能被3整除，

(a#b-b#a)#3。能被3整除.

4)計數類規律

10.(2020?四川?中考真題)將正偶數按照如下規律進行分組排列，依次為(2),(4,6),(8,10,12),(14,

16,18,20)我們稱“4”是第2組第1個數字，“16”是第4組第2個數字,若2020是第m組第〃個數字,

貝!]m+n=.

【答案】65

【分析】根據題目中數字的特點，可知每組的個數依次增大，每組中的數字都是連續的偶數，然后即可求

出2020是多少組第多少個數，從而可以得到相、〃的值，然后即可得到根+〃的值.

【詳解】解：：將正偶數按照如下規律進行分組排列，依次為(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,

20)

.?.第機組有m個連續的偶數，

,--2020=2x1010,

.*.2020是第1010個偶數,

1+2+3+...+44=M*44+D=990,1+2+3+...+45=1035,

22J"**。

.*.2020是第45組第1010-990=20個數，

.*.m=45,〃=20,

m+H=65.

故答案為：65.

【點睛】本題考查探索規律，認真觀察所給數據總結出規律是解題的關鍵.

11.（2023.湖北隨州.中考真題）某天老師給同學們出了一道趣味數學題：

設有編號為1-100的100盞燈，分別對應著編號為1-100的100個開關，燈分為“亮”和“不亮”兩種狀態，每

按一次開關改變一次相對應編號的燈的狀態，所有燈的初始狀態為"不亮現有100個人，第I個人把所有

編號是1的整數倍的開關按一次，第2個人把所有編號是2的整數倍的開關按一次，第3個人把所有編號

是3的整數倍的開關按一次,第100個人把所有編號是100的整數倍的開關按一次.問最終狀態為“亮”

的燈共有多少盞？

幾位同學對該問題展開了討論：

甲：應分析每個開關被按的次數找出規律：

乙：1號開關只被第1個人按了1次，2號開關被第1個人和第2個人共按了2次，3號開關被第1個人和

第3個人共按了2次，……

丙：只有按了奇數次的開關所對應的燈最終是“亮”的狀態.

根據以上同學的思維過程，可以得出最終狀態為“亮”的燈共有________盞.

【答案】10

【分析】

燈的初始狀態為“不亮”，按奇數次，則狀態為“亮”，按偶數次，則狀態為“不亮”，確定1-100中，各個數因

數的個數，完全平方數的因數為奇數個，從而求解.

【詳解】所有燈的初始狀態為“不亮”，按奇數次，則狀態為“亮”，按偶數次，則狀態為“不亮”；

因數的個數為奇數的自然數只有完全平方數，1-100中，完全平方數為1,4,9,16,25,36,49,64,81,

100；有10個數，故有10盞燈被按奇數次，為“亮”的狀態；

故答案為：10.

【點睛】本題考查因數分解，完全平方數，理解因數的意義，完全平方數的概念是解題的關鍵.

A題型02數陣與數表規律

1）三角陣

12.（2023?黑龍江大慶?中考真題）1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖

所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角”.

1（a+b）i=a+b

1121]（a+by=a2+2ab+b2

1331（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

146413+6）4=。4+4。3計6。2〃+4?+〃

觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規律，（a+6）7展開的多項式中各項系數之和為—.

【答案】128

【分析】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結果.

【詳解】根據題意得：（a+6）5展開后系數為：1,5,10,10,5,1,

系數和：1+5+10+10+5+1=32=25,

（a+b）6展開后系數為：1,6,15,20,15,6,1,

系數和：1+6+15+20+15+6+1=64=26,

（a+b）7展開后系數為：1,7,21,35,35,21,7,1,

系數和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27,

故答案為：128.

【點睛】此題考查了多項式的乘法運算，以及規律型：數字的變化類，解題的關鍵是弄清系數中的規律.

13.（2023?四川?中考真題）在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》（1261年）一書中，用如圖的三

角形解釋二項和的乘方規律，因此我們稱這個三角形為“楊輝三角”，根據規律第八行從左到右第三個數

為

第

行

一

第

行

二

第

行

三

第

行

四

第

行

五

第

行

六

【答案】21

【分析】根據前六行的規律寫出第7,8行的規律進而即可求解.

【詳解】解：根據規律可得第七行的規律為L6,15,20,15,6,1

第八行的規律為1,7,21,35,35,21,7,1

根據規律第八行從左到右第三個數為21,

故答案為：21.

【點睛】本題考查了數字類規律，找到規律是解題的關鍵.

14.(2025?山東臨沂?一模)南宋數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了(a+匕嚴(〃為非負整數)

展開式的項數及各項系數的有關規律如下，后人也將下表稱為“楊輝三角

(a+b)0=1

(a+bp=a+b

(a+6)2=a2+2ab+b2

(a+人尸=a3+3a2b+3ab2+抗

(a+b)4=a4+4a3b+602b2+4ab3+b4

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2/73+5ab4+b5

1

11

121

1331

14641

15101051

則(a+b)2024展開式中所有項的系數和是.(結果用指數幕表示)

【答案】22024

【分析】本題考查了“楊輝三角”展開式中所有項的系數和的求法，通過觀察展開式中所有項的系數和，得到

規律是解題的關鍵.根據“楊輝三角”展開式中所有項的系數和規律確定出(a+與”(〃為非負整數)展開式

的項系數和為23求出系數之和即可.

【詳解】解：當幾=0時，展開式中所有項的系數和為1=2。，

當n=1時，展開式中所有項的系數和為1+1=2=2］，

當幾=2時，展開式中所有項的系數和為1+2+1=4=22,

當n=3時，展開式中所有項的系數和為1+3+3+1=8=23

由此可知(a+b)n展開式的各項系數之和為2%

則(a+6＞。?，展開式中所有項的系數和是22。24,

故答案為：22024.

15.(2022?重慶巴南?模擬預測)“楊輝三角”給出了(a+b)n展開式的系數規律(其中”為正整數，展開式的

項按a的次數降幕排列),它的構造規則是:兩腰上都是數字1,而其余的數則是等于它肩上的兩個數之和.例

如：(a+bp=a2+2ab+爐展開式的項的系數1,2,1與“楊輝三角”第三排對應：(a+b)3=a3+3a2b+

3ab2+所展開式的項的系數1,3,3,1.與“楊輝三角”第四排對應；依此類推……判斷下列說法正確的是

()

1

11(。+少

\Z

121(a+b)2

1

iv￥Y\z

14641,■g+6)'

①“楊輝三角”第六排數字依次是：1,5,10,10,5,1；

②當a=2,b=-1時，代數式+3a2b+3ab2+/的值為—1；

③(a+b)2022展開式中所有系數之和為22022；

④當代數式a4-8a3+24a2-32a+16的值為1時，a=1或3.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】運用楊輝三角形的排列規律，及展開式的系數規律采用賦值法逐一驗證即可求解.

【詳解】如圖，依次規律可得“楊輝三角”第六排數字依次是：1,5,10,10,5,1,故說法①正確;

當。=2,匕=-1時，a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b')3=(2-l)3=1,故②說法錯誤；

令a=l,b=L則(a+b)2°22=(1+1)2022=22022,故說法③正確；

當代數式a”-8a3+24a2-32a+16的值為1時，

即a4-8a3+24a2-32a+16=1,

a4+4x(—2)1a3+6x(—2)2a2+4x(—2)3a+(—2)4=(a—2)4=1,

(a—2)2=1或(a—2)2=—1(不合題意，舍去),

a—2=+1,

解得a=3或1,

故說法④正確，

1

11.................(a+?

.................(a+b)2

.................(a+b)3

(a+b>

................(a+b)5

綜上可得，說法正確的有①③④，

故選：C

【點睛】本題考查了楊輝三角的規律與展開式的系數規律，正確把握其中的關系以及合理使用賦值法是解

題的關鍵.

16.(2023?河南平頂山?二模)閱讀材料：北師大版七年級下冊教材24頁為大家介紹了楊輝三角.

楊輝三角如果將(a+b)n(ri為非負整數)的展開式的每一項按字母a的次數由大到小排列，就可以得到下面

的等式：

(a+b)o=l,它只有一項，系數為1；

(a+b)1=a+b,它有兩項，系數分別為1,1；

(a+fa)2=a2+2ab+b2,它有三項，系數分別為1,2,1；

(a+fo)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四項，系數分別為1,3,3,1；

將上述每個式子的各項系數排成該表.

觀察該表，可以發現每一行的首末都是1,并且下一行的數比上一行多1個，中間各數都

寫在上一行兩數的中間，且等于它們的和.按照這個規律可以將這個表繼續往下寫.

該表在我國宋朝數學家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，而他是摘錄自北宋時期數學家賈憲

著的《開方作法本源》中的“開方作法本源圖”，因而人們把這個表叫做楊輝三角或賈憲三角，在歐洲這個表

叫做帕斯卡三角形.帕斯卡(B.Pascal,1623——1662)是1654年發現這一規律的，比楊輝要遲393年，

比賈憲遲600年.

(1)應用規律：

①直接寫出(a+b)4的展開式，(a+6)4=；

②(a+b)6的展開式中共有項，所有項的系數和為—；

(2)代數推理：

已知“2為整數，求證：(HI+3尸一(7H-3產能被18整除.

【答案】⑴①a，++6a2b2++6,；②7,64

(2)見解析

【分析】本題考查了數字規律，多項式乘法，因式分解的應用，找出本題的數字規律是正確解題的關鍵.

(1)直接利用已知式子中系數變化規律進而得出答案；

(2)直接利用已知式子中系數變化規律進而得出答案.

【詳解】(1)解：根據規律得：

①(a+b)4=a4+4a3。+6a2b2+4ab3+fa4；

②丫(a+b)6—a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+iSa2b4+6ab5+b6,

(a+b)6的展開式中共有7項，所有項的系數和為1+6+15+20+15+6+1=64；

故答案為：a4+4。3匕+6a2b2+4。廬+匕4,7,64；

(2)證明：:(a+b)3=+3帥2+廬，

(m+3)3-(m-3)3

=(m3+9m2+27m+27)—(m3—9m2+27m—27)

=m3+9m2+27m+27—m3+9m2-27m+27

=18m2+54

=18(m2+3),

(rn+3>—(m-3產能被18整除.

2)螺旋陣

17.(2023?山東聊城?中考真題)如圖，圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣.從3開始，把位

于同一列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；(31,37)…如果

單把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發現其中的規律.請寫出第〃個數

對：_____

???37

212019181736

227651635

238141534

249231433

251011121332

262728293031

【答案】(兀2+n+1,"+2幾+2)

【分析】根據題意單另把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，可發現第n個數對的第一

個數為：n(n+l)+l,第九個數對的第二個位：(踐+1)2+1,即可求解.

【詳解】解：每個數對的第一個數分別為3,7,13,21,31,...

即：1x2+1,2x3+1,3x4+1,4x5+1,5x6+1,…

則第n個數對的第一個數為：n(n+l)+l=n2+n+l,

每個數對的第二個數分別為5,10,17,26,37,...

即：22+1；32+1；42+1；52+1；62+1...,

則第n個數對的第二個位：(?1+1尸+1="+2n+2,

第九個數對為：(層+7+1,足+2幾+2),

故答案為：(/+幾+l,/+2n+2).

【點睛】此題考查數字的變化規律，找出數字之間的排列規律，利用拐彎出數字的差的規律解決問題.

18.(2024?山東泰安?二模)如圖，圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣.從3開始，把位于同一

列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對：(3,5),(7,10),(13,17),(21,26),(31,37),如果單

把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發現其中的規律、請寫出第50個數對：.

???二37八

212。191817A36

22(7—6—訃1635

238141534

249v231433

25v1011121332

262728293031

v—>

【答案】(2551,2602)

【分析】此題考查數字的變化規律，根據題意單另把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研

究，可發現第幾個數對的第一個數為：n(n+l)+l,第九個數對的第二個位：(九+1)2+1,當九=50時代

入即可求解，找出數字之間的排列規律，利用拐彎出數字的差的規律解題的關鍵.

【詳解】解：每個數對的第一個數分別為3,7,13,21,31,...

即：1x2+1,2x3+1,3x4+1,4x5+1,5x6+1,…

則第n個數對的第一個數為：n(n+l)+l=n2+n+l,

每個數對的第二個數分別為5,10,17,26,37,...

即：22+1；32+1；42+1；52+1；62+1...,

則第n個數對的第二個數為：(幾+1尸+1=/+2n+2,

第n個數對為：(,+?1+1,/+2n+2),

當n=50時，即第50個數對為(2551,2602),

故答案為：(2551,2602).

3)乘方陣

19.(2023?湖北恩施?中考真題)觀察下列兩行數，探究第②行數與第①行數的關系：

-2,4,—8,16,—32,64,...①

0,7,-4,21,-26,71,...②

根據你的發現，完成填空：第①行數的第10個數為;取每行數的第2023個數，則這兩個數的和

為.

【答案】1024一22。24+2024

【分析】通過觀察第一行數的規律為(-2尸，第二行數的規律為(-2尸+n+l,代入數據即可.

【詳解】第一行數的規律為(一2嚴，.?.第①行數的第10個數為(—2)1。=1024；

第二行數的規律為(―2嚴+n+l,

，第①行數的第2023個數為(-2)2023,第②行數的第2023個數為(-2)2。23+2024,

一22024+2024,

故答案為：1024；-22024+2024.

【點睛】本題主要考查數字的變化，找其中的規律，是今年考試中常見的題型.

20.(2020.青海?中考真題)觀察下列各式的規律：①1x3-22=3-4=-1；②2x4-32=8-9=-1；

③3x5-42=15-16=-1.請按以上規律寫出第4個算式.用含有字母的式子表示第n個算式

為.

【答案】4x6—52=24—25=—1nx(n+2)-(n+I)2=-1

【分析】(D按照前三個算式的規律書寫即可；

(2)觀察發現，算式序號與比序號大2的數的積減去比序號大1的數的平方，等于-1,根據此規律寫出即

可；

【詳解】(1)1x3—22=3—4=-1,

②2x4-32=8—9=-1,

③3x5-42=15-16=-1,

④4X6-52=24—25=-1；

故答案為4X6-52=24-25=-1.

(2)第n個式子為：nx(n+2)—(n+I)2=-1.

故答案為nx(n+2)-(n+l)2=-1.

【點睛】本題主要考查了規律性數字變化類知識點，準確分析是做題的關鍵.

21.(2023?云南昆明?一模)觀察下列按一定規律排列的單項式：支,一3%2,5產產7久4,9%5,一11雞...,按這個

規律，第15個單項式是()

A.15x15B.-15x15C.29x15D.-29x15

【答案】C

【分析】本題考查數字的變化規律，通過所給的單項式，探索出系數與次數的關系是解題的關鍵.

由所給的單項式可得第w個單項式為(—1嚴+1(2"-l)xn,當n=15時即可求解.

【詳解】解：X,—3x2,5x3,—7x4,9x5,—llx6,

???第〃個單項式為(-1嚴+1(2兀-l)xn,

.?.第15個單項式為：29x15,

故選：c.

4）幻方表

22.（2022.湖北武漢.中考真題）幻方是古老的數學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九

宮格.將9個數填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和相等，例如

(1)(2)

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【分析】根據題意設出相應未知數，然后列出等式化簡求值即可.

【詳解】解：設如圖表所示:

根據題意可得：x+6+20=22+z+y,

整理得：x-y=-4+z,

x+22+〃=20+z+〃，20+y4-m=x4-z+m,

整理得：x=-2+zfy=2z-22,

/.x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z,

解得：z=12,

**.x+y

=3z-24

=12

故選：D.

【點睛】題目主要考查方程的應用及有理數加法的應用，理解題意，列出相應方程等式然后化簡求值是解

題關鍵.

23.（2021?陜西?中考真題）幻方，最早源于我國，古人稱之為縱橫圖.如圖所示的幻方中，各行、各列及

各條對角線上的三個數字之和均相等，則圖中a的值為.

-1-61

0a-4

-52-3

【答案】-2

【分析】先通過計算第一行數字之和得到各行、各列及各條對角線上的三個數字之和，再利用第二列三個

數之和得到。的值.

【詳解】解：由表第一行可知，各行、各列及各條對角線上的三個數字之和均為-1-6+1=-6,

—6+a+2=-6,

a=—2,

故答案為：-2.

【點睛】本題考查了數字之間的關系，解決本題的關鍵是讀懂題意，正確提取表中數據，找到它們之間的

關系等，該題對學生的觀察分析能力有一定的要求，同時也考查了學生對有理數的和差計算的基本功.

24.（2024.四川德陽.二模）幻方是一種中國傳統游戲，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方一九宮格.將

9個數填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及兩條對角線上的3個數之和相等，表1是一個已完成的幻

方.表2是一個未完成的幻方，其中力-B的值為.

表1

276

951

438

表2

%+5

□n□□

【答案】-6

【分析】本題考查了三元一次方程組的應用以及數學常識，列出關于x,A,B（y可以消掉）的三元一次方

程組，并解出可用含x的代數式表示出4B的值是解題的關鍵.

設左下角的空格中的數字為，根據每一行、每一列以及兩條對角線上的3個數之和相等，可列出關于x,A,

B（y可以消掉）的三元一次方程組，解出可用含x的代數式表示出4B的值，再將其代入4-8中，即可求

出結論.

【詳解】設左下角的空格中的數字為y,

rx—7—2+y=-4+A+y

根據題意得:tx-7+x+5-4=-2+i4+B

解得:(A=x—5

=%+1

A一B=x-5一（%+1）=—6.

故答案為：-6.

25.（2023?福建?一模）關于幻方的起源，中國有“河圖”和“洛書”之說，相傳在遠古時期，伏曦氏取得天下,

把國家治理得井井有條，感動了上天，于是黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一張圖，作為禮物獻給他，這

就是“河圖”，也是最早的幻方.如圖，有一個類似于幻方的“幻圓”，現有—6、—4、—2、0、3、5、7、9分

別放入圖中的圓圈中，使得內圓和外圓以及同一行和同一列的四個數字和相等，則x-2y=

【答案】-12

【分析】設大圈上的空白圓內的數字為z,根據題意，列出等式，求出無，y的值，進行求出x-2y的值即可.

【詳解】解：設大圓上的空白圓內的數字為Z,

貝U：由題意，得：-4+5+7+z=z+0+y+5,—4+5+7+z=—4+%+9+7,

???y=3,z=%+4

???共有一6、一4、-2、0、3、5、7、9個數字，還剩下一6,-2兩個數字的位置沒有確定，

???％+z=—6—2=—8

即：％+x+4=-8,

???x=—6,

x—2y=-6—2X3=-12

故答案為：-12

【點睛】本題考查一元一次方程的應用，代數式求值.根據題意，正確的列出方程，是解題的關鍵.

5）月歷表

26.（2024?河北邢臺?模擬預測）如圖所示的是2024年2月份的月歷，其中“U型”、“十字型”兩個陰影圖形分

別覆蓋其中五個數字（“U型”、“十字型”兩個陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右移動），設“U型”覆蓋

的五個數字之和為S1，“十字型”覆蓋的五個數字之和為S2.若S1+$2=176,則S2-S1的最大值為（）

A.39B.44C.65D.71

【答案】B

【分析】本題考查了數字類規律探索，整式的加減的應用，設“U型”中間數為x,“十字型”中間數為y,貝心尤-

14+5y=176,求出x+y=38,表示出S2-=5（y—x）+14,由圖形可得：y的最大值為22,此時x=

38—y=16,代入計算即可得出答案.

【詳解】解：設“U型”中間數為》,“十字型”中間數為y,

由題意得：S1=x+x—1+x—8+x+l+x—6=5%—14,52=y+y—l+y+l+y—7+y+7=5y,

'：S1+S2=176,

.".5x-14+5y=176,

.,.x+y=38,

S2—S]=5y-(5x-14)—5(y—x)+14,

由圖形可得：y的最大值為22,此時x=38-y=38-22=16,

：.S2-Si=5(y-x)+14=5x(22-16)+14=44,

$2-Si的最大值為44,

故選：B.

27.(2022?河北保定.一模)圖①、圖②是某月的月歷

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

圖①圖②

(1)圖①中帶陰影的方框中的9個數之和與方框正中心的數有什么關系？請說明理由.

(2)如果將帶陰影的方框移至圖②的位置，(1)中的關系還成立嗎？若成立，說明理由.

(3)甲同學說，所求的9個數之和可以是90,乙同學說，所求的9個數之和也可以是290,甲、乙的說法對

嗎？若對，求出方格中最中間的一個數，若不對，說明理由.

【答案】(1)九倍關系，理由見解析

(2)成立，理由見解析

(3)甲對，中間數為10,乙不對，理由見解析

【分析】(1)直接進行實數運算，算出陰影中9個數的和在與方框中心的數比較，即可得解；

(2)方法同(1)；

(3)根據(1)和(2)中的結果可知，9個數字之和需要是9的倍數才能滿足要求，即用此方法去驗證即

可得解

【詳解】(1)九倍關系，

理由：

3+4+5+10+11+12+17+18+19=99,

99+11=9,

即：九倍關系;

(2)成立,

理由如下：

V8+9+10+15+16+17+22+23+24=144,

1444-16=9,

...九倍關系成立；

(3)甲說法正確，

理由如下：

.".904-9=10,

.??甲正確，

二中間數為10；

乙說法錯誤，

理由：

2

：290+9=32-,

9

；.290不是9的整數倍，

乙說法錯誤.

【點睛】本題主要考查了尋找實數之間的規律的知識，通過對陰影部分的觀察并進行實數運算最后總結規

律是解答本題的基礎.

28.(2022?陜西寶雞?模擬預測)根據2021年11月份的月歷表，思考并回答如下問題

一二三四五六日

1234567

萬圣節廿八廿九三十寒衣節初二立冬

891011121314

記者節初五初六初七初八初九初十

15161718192021

十一十二學生日十四下元節十六十七

22232425262728

小雪十九二十感恩節廿二廿三廿四

293012345

廿五廿六廿七廿八廿九憲法日初二

(1)2022年1月1日是星期幾；

(2)5月1日是星期六，在2021年的月歷中，1日恰好也是星期六的月份有哪個；

(3)有一種計算機病毒叫做黑色星期五，當計算機的日期是13日又是星期五時，這種病毒就發作.已知2021

年8月13日是黑色星期五，請找出來接下來的三個“黑色星期五”.

【答案】(1)星期六；

(2)5月；

(3)2022年5月13日是黑色星期五，2023年1月13日是黑色星期五，2023年10月13日是黑色星期五.

【分析】考查了應用類問題，本題關鍵是讀懂題目的意思，根據題目給出的條件求解.

(1)先求出2021年11月1日到2022年1月1日經過的天數，再用這些天數除以7,求出有幾周還余幾天,

再根據余數判斷即可；

(2)依次推導出在2021年的月歷中，1日是星期幾，再判斷即可；

(3)找到2021年8月13日后面日期是13日又是星期五的三個“黑色星期五”的天數求解即可.

【詳解】(1)30+31+1=62(天),

???62+7=8(星期)…6(天)，

2022年1月1日是星期六；

(2)根據(1)的算理或日歷表可知：

2021年1月1日是星期五，

2021年2月1日是星期一，

2021年3月1日是星期一，

2021年4月1日是星期四，

2021年5月1日是星期六，

2021年6月1日是星期二，

2021年7月1日是星期四，

2021年8月1日是星期日，

2021年9月1日是星期三，

2021年10月1日是星期五，

2021年11月1日是星期一，

2021年12月1日是星期三

在2021年的月歷中，1日恰好也是星期六的月份只有5月，

(3)根據(1)的算理或日歷表可知：

2022年5月13日是黑色星期五，2023年1月13日是黑色星期五，2023年10月13日是黑色星期五.

A題型03圖形規律

1)等差

29.(2024.重慶?中考真題)用菱形按如圖所示的規律拼圖案，其中第①個圖案中有2個菱形，第②個圖案

中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖案中有11個菱形，…，按此規律，則第⑧個圖案中,

【答案】C

【分析】本題考查了圖形類的規律探索，解題的關鍵是找出規律.利用規律求解.通過觀察圖形找到相應

的規律，進行求解即可.

【詳解】解：第①個圖案中有1+3X(1-1)+1=2個菱形,

第②個圖案中有1+3x(2-1)+1=5個菱形，

第③個圖案中有1+3X(3-