解直角三角形與幾何綜合

典例精析

【典例1］如圖，在RtAAEB中，^AEB=90°,點C在線段BE的延長線上，過點C作CDII4B,連接4D,

再過點A作4F1CD于點F；

(1)如圖1,連接EF,若NB4E=30。，ND=45。，DF=6,AE=4,求線段EF的長;

(2)如圖2,在線段CE上取一點H,連接2”、DH,當4H平分乙ABH=ND4H時，求證：DH=HC+

2HE.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接ED,若4E=12,BE=4,當(ED+DF)取得最小值時，請直接寫出

線段47的長.

【思路點撥】

(1)過點E作EM1AF于M,利用勾股定理可得EM=VAE2-AM2=2b，EF=VfM2+MF2=277;

(2)連接AC,過4作4W1HD^-W,則有=/.AWD=90°,可證RtAAHE=RtA4HW(HL),則HE=

HW,然后可得4、H、C、。四點共圓，則可證AaEC三△a〃D(AAS),進而問題可求證；

(3)在線段EB上截取EG=EH,延長2F交8C的延長線于M,連接4G,AC,DM,可證得△AEG三△4EH(SAS),

AAGC三△AHD(SAS),設NB4E=a,則tana=利用解直角三角形可得EM=36,再由勾股定理可得4M=

y/AE2+EM2=12V10,作點E關于。M的對稱點E',連接EE',DE',EE'交。M于P,則DE=DE',由于ED+

DF=DE'+DF>EF,故當且僅當E'、D、F三點共線時，ED+。尸=EF為最小值，過點E'作E'N_LBC于

N,過點。作DK_LCM于K,應用解直角三角形即可求得答案.

【解題過程】

(1)解：過點E作EM14F于M,如圖1,

D

圖1

則24ME=乙EMF=90°,

vAFVCD,CD||AB,

???乙BAF=Z.AFD=90°,

???ABAE=30°,

???/,EAM=60°,

???乙AEM=30°,

??,AE—4,

：.AM=-AE=2,

2

在RtAAEM中，EM=yjAE2-AM2=V42-22=2次,

^RtAADF中，ND=45。，DF=6,

AF=DF=6,

MF=AF-AM=6-2=4,

在中，

EF=VFM2+MF2=J(2曲)2+42=2夕，

???線段EF的長為2e；

(2)證明：連接AC,過4作2勿1”。于W,如圖2,

???Z-AEB=90°,

???乙AEH=90°,

???4”平分48”0,AE1AW1HDf

??.AE=AW,

在Rt△AHE和Rt△AHW中，

(AH=AH

VAE=AW'

???Rt△AHE=RtAAHW(HL),

??.HE=HW,

???CD||AB,

???乙ABH+4BCD=180°,

???乙ABH=^DAH,

??.Z,DAH+乙BCD=180°,

???與4BCD在DH異側，

???/、H、C、。四點共圓，

??.AACH=^ADWf

乙

???AE=AWfAEC=/LAWD=90°,

/.△AEC=AT4W(AAS),

EC=WD,

DH=HW+WD=HE+EC=HE+HEHC,

即。"=HC+2HE；

(3)解：如圖3,在線段EB上截取EG=EH,延長AF交BC的延長線于M,連接AG,AC,DM,

貝l」CG=HC+2HE,

由(2)得DH=HC+2HE,

??.CG=DH,

在△AEG和△ZE”中，

'EG=EH

/-AEG=AAEH=90°，

AE=AE

.*.△AEG三△AEH(SAS),

AG=AH,Z.AGC=Z.AHE,

???AH平分NBH。，

??.AAHE=乙AHD,

??.AAGC=乙4”D,

??.△AGC三△A”O(SAS),

AC=AD,

???AF1CD,

??.DF=CF,

??.DM=CM,

設z_R4E=a,則tana=^|=^=|,

???/-BAE+Z-MAE=Z-AME+乙MAE=90°,

???Z-AME=Z-BAE=a,

AE1

**?—=tanM=—,

EM3

EM=3AE=3x12=36,

AM=-JAE2+EM2=V122+362=12V10,

如圖4,作點E關于DM的對稱點？，連接EE，，DE',EO交OM于P,

貝l]DE=DE',

ED+DF=DE'+DF>E'F,當且僅當E'、D、F三點共線時，ED+DF=EF為最小值,

過點E'作E'N_LBC于N,過點。作。K_LCM于K,

則乙4MD=ME'E=乙CE'N=乙CDK=^AME=a,

設CF=DF=x,則FM=—=3x,

CM=VCF2+FM2=Q+(3%)2=^/iQx,

一

sin^DCK=—=FM即竺3x

CDCM'2x一V10x，

n”3V10

L/i\—A.j

5

CKCF_X

cos乙DCK=—=即竺

CDCM'2xV10xf

**?C2K=—VlOx,

5

MK=CM-CK=VlOx--x=—

55

3V10

+QDK-X3

tan2a=—=-T==-=

MK4國4

~5~X

PE」c3

：?—=tan2a=一,

PM4

設PE=3y,貝1|PM=4y,

???PE2+PM2=EM2,

；?(3y)2+(4y)2=362,

y=y（負值舍去），

：.PCEL=3cx—36=—108,PM=4.x—36=—144

5555

?'”'=2PE號

108

???si.nc2a=-EN；=—PE即墨七

EE'EM

5

???EN=—648

25

：，MN=EM-EN=36-64-8=—252

2525

??田'=彘=吾=等

4

8641288

CN=E'N-tana=X-=

25325

288?252__108

??.CM=CN+MN=1

2525一5

1083V1054VlU

???FM=CM-coscz=X-------=出"CF=-FM=

51025325

?A?.LAF=AnA,M-FM=1m2\V10-1-6-2V-10=—138—V10,

2525

在RtZkAD尸中，AD=V4F2+DF2=J（嘿碼2+（嚶與2=1?咨,

???^DAH=乙ABH=￡.MAE,

???"AH-乙MAH=乙MAE-乙MAH,

即4DZF=^LHAE,

cosZ-DAF=cos乙HAE,

138V10

...竺=變即^^=三，

ADAH.鬧AH

5

12V6W

學霸必刷

1.(2023?遼寧?中考真題)△ABC是等邊三角形，點E是射線BC上的一點(不與點B,C重合)，連接AE,

在4E的左側作等邊三角形ZED,將線段EC繞點E逆時針旋轉120。，得到線段EF,連接BF.交DE于點M.

圖2備用圖

(1)如圖1,當點E為BC中點時，請直接寫出線段。M與EM的數量關系；

(2)如圖2.當點E在線段BC的延長線上時，請判斷(1)中的結論是否成立？若成立，請寫出證明過程;

若不成立，請說明理由；

(3)當BC=6,CE=2時，請直接寫出4M的長.

2.(22?23下?安徽?專題練習)在AABC中，乙4cB=90。，—=m,D是邊BC上一點，將△ABD沿4D折疊

得至以AED,連接BE.

E

圖2

(1)特例發現：如圖1,當m=l,2E落在直線4C上時.

①求證：ADAC=乙EBC；

②填空：等勺值為

CE

(2)類比探究：如圖2,當血中1,2E與邊BC相交時，在4。上取一點G,使乙4CG=NBCE,CG交4E于點

H.探究為的值(用含小的式子表示)，并寫出探究過程;

CE

(3)拓展運用：在(2)的條件下，當爪=白，。是BC的中點時，若EB?EH=6,求CG的長.

3.（2223?濮陽?一模）數學活動課上，老師組織數學小組的同學們以“正方形折疊”為主題開展數學活動.

【動手實踐】

（1）如圖（1），已知正方形紙片4BCD,數學小組將正方形紙片沿過點N的直線折疊，使點8落在正方形

48CD的內部，點2的對應點為點折痕為4E,再將紙片沿過點/的直線折疊使4D與4M重合，折痕為4F,

易知點AM、尸共線，則4及1尸=_。，EF、BE、DF三條線段的關系為「

【拓展應用】

（2）解決下面問題：

①如圖（2）作FN_L4E于點N,交AM于點尸，求證：XANP三4FNE；

②如圖（3）,數學小組在圖（1）的基礎上進行如下操作：將正方形紙片沿EF繼續折疊，點C的對應點為

點、N,他們發現，當點E的位置不同時，點N的位置也不同，若點N恰好落在AAEF邊上，AB=3,請直

接寫出此時BE的長度.

4.(22?23下?泉州?模擬預測)已知：如圖1,在矩形4BCD中，AB=4,AD=6,點P是4D的中點，點F是

上的動點，連接FP并延長交CD的延長線于點M,過點P作PEJ.FM,交直線BC于點E,連接EF.

(1)求tanNPEF的值；

(2)如圖2,連接EM,點Q是EM的中點.

①當N4FP=時，求PQ的長；

②點尸從A點運動到B點的過程中，求點Q經過的路徑長.

5.(2023?江蘇鎮江?中考真題)【發現】如圖1,有一張三角形紙片ABC,小宏做如下操作:

(1)取AB,4c的中點。，E,在邊BC上作MN=DE；

(2)連接EM,分別過點。，N作DG1EM,NH1EM,垂足為G,H；

(3)將四邊形BDGM剪下，繞點。旋轉180。至四邊形4DPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點E旋轉180。

至四邊形4EST的位置；

(4)延長PQ,ST交于點尸.

小宏發現并證明了以下幾個結論是正確的：

①點。，A,T在一條直線上；

②四邊形FPGS是矩形；

③AFQT三4HMN；

④四邊形尸「65與44BC的面積相等.

【任務1】請你對結論①進行證明.

【任務2］如圖2,在四邊形ABC。中，4。IIBC,尸,Q分別是48,CD的中點，連接PQ.求證：PQ=|(X￡)+BC).

【任務3］如圖3,有一張四邊形紙ABC。，ADWBC,AD=2,BC=8,CD=9,sinADCB=￡小麗分別

取48,CD的中點尸，。，在邊BC上作MN=PQ,連接MQ,她仿照小宏的操作，將四邊形4BCD分割、拼成

了矩形.若她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長.

6.（2324九年級上?江蘇無錫?階段練習）【基本圖形】（1）如圖1,在矩形4BCD中，CE1BD于點”，

交4。于點E.求證：^-=~

BDBC

【類比探究】（2）如圖2,在四邊形48CD中，乙4=乙8=90。,4。=4,BC=9,CD=7.E是邊4B上的

一動點，過點C作CG1ED,交ED的延長線于點G,交4。的延長線于點尸.試探究品是否為定值?若是，請

DE

求出黑的值；若不是，請說明理由；

DE

【拓展延伸】（3）如圖3,在RtAABD中，/.BAD=90°,將△ABD沿BD翻折得至CBD,點E,F分別在邊

AB,AD±.,連接CF,DE.若乙4ED="FC,且生=三，則處的值為（直接寫出結果）.

DE5AB------

圖1圖2圖3

7.(21-22九年級下?遼寧盤錦?期中)如圖，在矩形4BCD中，AB=3,BC=5,BE平分乙4BC交4D于點E.連

接CE,點尸是BE上一動點，過點尸作FG||CE交BC于點G.將△BFG繞點3旋轉得到△BFG,

(1)如圖1,連接CG',EF',求證：KBEF'-ABCG'；

(2)當點G'恰好落在直線4E上時，若BF=3,求EG'的值;

(3)如圖3,連接GG',當GG，與BE交于點尸時，猜想FG與FG，的數量關系，并證明.

8.(2卜22下?滄州?二模)如圖1,在一平面內，線段48=20,M,N是線段4B上兩點，且4M=BN=2,

點C從點”開始向終點N運動,分別以AC,BC為邊在線段4B同側作等邊AACD和等邊ABCE,設AC=x.

圖1圖2

圖3圖4

(1)直接寫出CD和BE位置關系:

(2)如圖2,連接4E,BD,求證：AE=BD；

(3)如圖3,點G,點H分別是CD,8E的中點,

①求當x為何值時，線段GH取得最小值？最小值是多少？

②當線段GH取得最小值此時，求AACE的面積;

(4)如圖4,設DE的中點為P,則點P移動路徑的長為

9.(23-24九年級上?吉林長春?階段練習)如圖①，在O4BCD中，乙4=60。，AB=4,4D=6,點E在邊

BC上，且BE=2,動點P從點E出發，沿折線EB-BA-AD以每秒2個單位長度的速度運動.作NPEQ=60°,

EQ交邊4D或邊OC于點Q,連接PQ.當點Q與點C重合時，點P停止運動.設點P的運動時間為t秒.(t>0)

(1)當點P和點B重合時，線段PQ的長為；

(2)當點Q和點。重合時，求tan/PQE.

(3)如圖②，當點Q在邊DC上運動時，證明：PD=CQ.

(4)作點E關于直線PQ的對稱點F,連接PF、QF,當四邊形EPFQ和68CD重疊部分圖形為軸對稱四邊形

時，直接寫出t的值.

10.（2卜22?武漢?模擬預測）問題背景：如圖（1）,在四邊形ABCD中，P是BC上一點，乙4BC=乙BCD=Z.APD,

求證：4ABPFPCD；

嘗試運用：如圖（2）,D,E,F三點分別在等邊AABC邊BC,4B,4c上，AABC=乙EDF,BD=CD.已知BC=4,

設EF=%,△DEF的面積為y,求y關于x的函數關系式（不求自變量工的取值范圍）；

拓展創新：如圖（3）,D是等邊AABC邊BC上一點,連接2D,E是4。上一點，CD=2BD,^BEC=120°,

請用一個等式直接寫出BE與CE的數量關系.

BD

11.(22-23?信陽?三模)綜合與實踐

【問題情境】

在△ABC中，AB=AC,NB4C=a，點。為BC邊上一動點(不與B,C重合)，連接4D,以AD為始邊順時

針作N4DE=S(a+S=180°),DF平分N4DE.

【初步探究】

(1)如圖1,DE與AC的延長線交于點E,若a=60。，0=120。，CD=2BD,則胃的值為,

CF

NCDF與NE的數量關系是.

【類比探究】

(2)如圖2,DE與4C的延長線交于點E,若a=0=90。，CD=2BD,求出差的值及NCDF與NE的數量關

CF

系.

【拓展應用】

(3)如圖3,DE與AC交于點E,a=0=90。，zCXD=15°,AB=6近,將△尸繞點在平面內自由旋轉,

當B,A,尸三點共線時，直接寫出黃的值.

12.(2324九年級上?遼寧沈陽?階段練習)在平面直角坐標系中，已知點4(0,6),點2在線段4。上，且

AB=2BO,若點尸在x軸的正半軸上，連接BP,過點P作PQ1PB.

(1)如圖1,點￡是射線PQ上一點，過點E作ECLx軸，垂足為點C.

①點B的坐標.

②求證：4BOP?4PCE；

(2)在(1)的條件下，如圖2,若點。坐標為(8,0).過點/作軸，且和CE的延長線交于點D.若

點C關于直線PQ的對稱點C'正好落在線段4。上.連接PC,則點尸的坐標.

(3)如圖3,若4BP。=6。。,點E在直線PQ上，軸，垂足為點C.若以點E,P,C為頂點的三角

形和ABPE相似，請直接寫出點E的坐標

13.(2324?全國?專題練習)(1)如圖①，在矩形4BCD的4B邊上取一點￡,將AADE沿DE翻折，使點/

落在8C上4處，若AB=6,BC=10,求生的值；

EB

(2)如圖②，在矩形48CD的8C邊上取一點區將四邊形ABED沿DE翻折，使點8落在。C的延長線上夕處,

若BC?CE=24,AB=6,求BE的值；

(3)如圖③，在△ABC中，ABAC=45°,ADLBC,垂足為點D,AD=10,AE=6,過點￡作EFl2。交

AC于點R連接DF,且滿足ADFE=2AEMC,直接寫出BD+的值.

14.(2023?湖北襄陽?模擬預測)幾何綜合：

已知：點。是ABAC邊BC上一動點，作△DAEsABAC,點M、點N分另ij是邊4B、AC的中點，連接MD、NE；

設有=k(常數k>0).

若k=1.如圖①，當ZB4C==60。時,

①求證：三△瓦4N；

②推斷：當MD_LBC時，篝

(2)類比探究:

若k#l.如圖②，當MD1BC時，試寫出線段。B2、EH、ON?與常數k之間一個相等關系，并證明;

(3)拓展應用:

若k#1.如圖③，設乙B4C=乙04￡=90。，MD1BC,當NE=4,08=2時，求常數k的值和線段ZM的

4

長度.

15.(2021下?武漢?期中)如圖1,已知正方形4BCD的頂點4、B分別在y軸和x軸上，邊CD交x軸的正半

軸于點E,邊BC交y軸的負半軸于點F.

圖1圖2

(1)若點4(0,4),8(—2,0),則點。的坐標為.

(2)若點E、F分別為邊C。、的中點，連接4E、DF交于點P.連CP,若PF=6,PE=2,求BC的長.

(3)如圖2.M為邊上一點.將AABM沿射線BC方向平移至ADCG,以AM為斜邊作等腰直角△2NM,

直角頂點N恰好落在BO上，T為DG中點，連NT,若CG=2,ND=&BM,求NT的長.

16.(2223上?濟南?期末)(1)【問題發現】如圖1所示，AABC和AADE均為正三角形，B、D、E三點

共線.猜想線段BD、CE之間的數量關系為；乙BEC=°；

(2)【類比探究】

如圖2所示，AABC和△ADE均為等腰直角三角形，ZXCS=^AED=90°,AC=BC,AE=DE,B、D、E三

點共線，線段8E、4C交于點F.止匕時，線段BD、CE之間的數量關系是什么？請寫出證明過程并求出NBEC的

度數；

(3)【拓展延伸】

如圖3所示，在AZBC中，/.BAC=90°,ZB=30°,BC=8,DE為△ABC的中位線，將△?!￡)￡■繞點4順時

針方向旋轉，當DE所在直線經過點B時，請直接寫出CE的長.

A

BC

圖3

17.(2324上?成都?階段練習)【問題發現】

(1)如圖1,將正方形4BCD和正方形4EFG按如圖所示的位置擺放，連接BE和DG,延長DG交BE的延長線

于點〃，求BE與DG的數量關系和位置關系.

【類比探究】

(2)若將“正方形4BCD和正方形4EFG改成”矩形48C。和矩形4EFG,且矩形-矩形&EFG,AE=

3.AG=4,如圖2,點、E、D、G三點共線，點G在線段DE上時，若2。=工再，求BE的長.

圖2

【拓展延伸】

(3)若將“正方形ZBCO和正方形AEFG改成"菱形ABCD和菱形AEFG,且菱形?菱形AEFG,如圖

3.AD=5,AC=6.2G平分ND4c.點尸在射線4G上，在射線4F上截取4Q,使得4Q=|aP,連接PQ,

QC,當tan"QC=1時，直接寫出4P的長.

18.(2223九年級下?遼寧葫蘆島?階段練習)如圖，A/IBC為等邊三角形，點。是邊BC上一點，點E是射線

(1)若BD=CD.

①如圖1,當點E在邊4B上時，請直接寫出線段DE與。F的數量關系：；

②當點E,點F落在如圖2所示位置時，①中的結論是否仍然成立？請結合圖2說明理由;

(2)如圖3,BD—CD,當4￡=工43時，直接寫出絲的值.

22CF

19.（22-23下?保定?一模）如圖1,四邊形4BCD為邊長為8的正方形，RQGEF中，NGEF=90。且EF=4舊.如

圖1所示放置，點E與4重合，F在4B邊上，4G=60。將AGEF沿邊4。方向平移，平移距離為x個單位長度

后，繞點E逆時針旋轉，旋轉過程中點F始終在四邊形4BCD內部（含點F落在正方形4BCD邊上）.點K為GF

圖4

(1)當x=0時，△GEF旋轉.度時，點G到BC的距離最小，最小值為

（2）如圖2,當8-475<%<8時，AGEF經過旋轉后，點F落在CD邊上，請求出此時點G到8C邊的距離

（用含x的代數式表示）.

（3）如圖3,當x=4時，AGEF經過旋轉后，使點F落在CD邊上，求平移和旋轉過程中邊EF掃過的面積,

并直接寫出此過程中d的取值范圍.

（4）如圖4,保持圖1中RtAGEF的形狀不變，改變它的大小，使EF=6,并將其沿4B邊翻折后向下平移,

使點尸與點B重合，若將AGEF在正方形內部繞點E逆時針方向旋轉（頂點G可以落在正方形2BCD的邊上），

請直接寫出的d的最大值.

20.(2324上?九龍坡?階段練習)在等邊△4BC中，點。在AC上，點E在BC上，連接BD、AE相交于點尸.

(1)如圖1,AB=4,AE1BC,過點C作CN||4B交BD的延長線于點N.若CN=CE,求ABDC的面積；

(2)如圖2,AC=CE,點G在BE上，連接FG,點"在FG上，連接HE,乙FEH=LBFG=2乙ABD,點、M

是4E延長線上一點，連接GM,若4M=60。，猜想線段GH、HE、EM之間的數量關系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,點E是8c的中點，且四邊形4ECP是矩形，點M是線段4E上一個動點，將線段8M繞點2順

時針方向旋轉60。得線段BN,當BN+EN的值最小時，連接PN,點K是PN上一個動點，連接4K,將△2PK

沿4K翻折得△4QK,當QKLPK時，連接PQ,求瞿的值.

解直角三角形與幾何綜合

典例精析

【典例1］如圖，在RtAAEB中，^AEB=90°,點C在線段BE的延長線上，過點C作CDII4B,連接4D,

再過點A作4F1CD于點F；

(1)如圖1,連接EF,若NBAE=30。，ZD=45°,DF=6,AE=4,求線段EF的長；

(2)如圖2,在線段CE上取一點〃，連接4"、DH,當AH平分N8HD,AABH=NiMH時，求證：DH=HC+

2HE.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接ED,若4E=12,BE=4,當(ED+DF)取得最小值時，請直接寫出

線段的長.

【思路點撥】

(1)過點E作EM12F于M,利用勾股定理可得EM=VAE2-AM2=2^3,EF=VfM2+MF2=2近；

(2)連接AC,過4作AW1HD^-W,則有=/.AWD=90°,可證RtAAHE=RtAAH加(HL),則HE=

HW,然后可得4、H、C、。四點共圓，則可證AaEC三△2〃D(AAS),進而問題可求證；

(3)在線段EB上截取EG=EH,延長4F交8C的延長線于M,連接4G,AC,DM,可證得△AEG三△AEH(SAS),

AAGC三△AHD(SAS),設NB4E=a,則tana=利用解直角三角形可得EM=36,再由勾股定理可得4M=

ylAE2+EM2=12V10,作點E關于。M的對稱點E',連接EE',DE',EE'交。M于P,則DE=DE',由于ED+

DF=DE'+DF>EF,故當且僅當E'、D、F三點共線時，ED+DF=EF為最小值，過點E'作E'N_LBC于

N,過點。作。K_LCM于K,應用解直角三角形即可求得答案.

【解題過程】

(1)解：過點E作EM，4尸于M,如圖1,

D

圖1

則24ME=乙EMF=90°,

vAFVCD,CD||AB,

???乙BAF=Z.AFD=90°,

???ABAE=30°,

???/,EAM=60°,

???乙AEM=30°,

??,AE—4,

：.AM=-AE=2,

2

在RtAAEM中，EM=yjAE2-AM2=V42-22=2次,

^RtAADF中，ND=45。，DF=6,

AF=DF=6,

MF=AF-AM=6-2=4,

在中，

EF=VFM2+MF2=J(2曲)2+42=2夕，

???線段EF的長為2e；

(2)證明：連接AC,過4作2勿1”。于W,如圖2,

???Z-AEB=90°,

???乙AEH=90°,

???4”平分48”0,AE1AW1HDf

??.AE=AW,

在Rt△AHE和Rt△AHW中，

(AH=AH

VAE=AW'

???Rt△AHE=RtAAHW(HL),

??.HE=HW,

???CD||AB,

???乙ABH+4BCD=180°,

???乙ABH=^DAH,

??.Z,DAH+乙BCD=180°,

???與4BCD在DH異側，

???/、H、C、。四點共圓，

??.AACH=^ADWf

乙

???AE=AWfAEC=/LAWD=90°,

/.△AEC=AT4W(AAS),

EC=WD,

DH=HW+WD=HE+EC=HE+HEHC,

即。"=HC+2HE；

(3)解：如圖3,在線段EB上截取EG=EH,延長AF交BC的延長線于M,連接AG,AC,DM,

貝l」CG=HC+2HE,

由(2)得DH=HC+2HE,

??.CG=DH,

在△AEG和△ZE”中，

'EG=EH

/-AEG=AAEH=90°，

AE=AE

.*.△AEG三△AEH(SAS),

AG=AH,Z.AGC=Z.AHE,

???AH平分NBH。，

??.AAHE=乙AHD,

??.AAGC=乙4”D,

??.△AGC三△A”O(SAS),

AC=AD,

???AF1CD,

??.DF=CF,

??.DM=CM,

設z_R4E=a,則tana=^|=^=|,

???/-BAE+Z-MAE=Z-AME+乙MAE=90°,

???Z-AME=Z-BAE=a,

AE1

**?—=tanM=—,

EM3

EM=3AE=3x12=36,

AM=-JAE2+EM2=V122+362=12V10,

如圖4,作點E關于DM的對稱點？，連接EE，，DE',EO交OM于P,

貝l]DE=DE',

ED+DF=DE'+DF>E'F,當且僅當E'、D、F三點共線時，ED+DF=EF為最小值,

過點E'作E'N_LBC于N,過點。作。K_LCM于K,

則乙4MD=ME'E=乙CE'N=乙CDK=^AME=a,

設CF=DF=x,則FM=—=3x,

CM=VCF2+FM2=Q+(3%)2=^/iQx,

一

sin^DCK=—=FM即竺3x

CDCM'2x一V10x，

n”3V10

L/i\—A.j

5

CKCF_X

cos乙DCK=—=即竺

CDCM'2xV10xf

**?C2K=—VlOx,

5

MK=CM-CK=VlOx--x=—

55

3V10

+QDK-X3

tan2a=—=-T==-=

MK4國4

~5~X

PE」c3

：?—=tan2a=一,

PM4

設PE=3y,貝1|PM=4y,

???PE2+PM2=EM2,

；?(3y)2+(4y)2=362,

y=y（負值舍去），

：.PCEL=3cx—36=—108,PM=4.x—36=—144

5555

?'”'=2PE號

108

???si.nc2a=-EN；=—PE即墨七

EE'EM

5

???EN=—648

25

：，MN=EM-EN=36-64-8=—252

2525

??田'=彘=吾=等

4

8641288

CN=E'N-tana=X-=

25325

288?252__108

??.CM=CN+MN=1

2525一5

1083V1054VlU

???FM=CM-coscz=X-------=出"CF=-FM=

51025325

?A?.LAF=AnA,M-FM=1m2\V10-1-6-2V-10=—138—V10,

2525

在RtZkAD尸中，AD=V4F2+DF2=J（嘿碼2+（嚶與2=1?咨,

???^DAH=乙ABH=￡.MAE,

???"AH-乙MAH=乙MAE-乙MAH,

即4DZF=^LHAE,

cosZ-DAF=cos乙HAE,

138V10

...竺=變即^^=三，

ADAH.鬧AH

5

12V6W

學霸必刷

1.(2023?遼寧?中考真題)△ABC是等邊三角形，點E是射線BC上的一點(不與點B,C重合)，連接AE,

在4E的左側作等邊三角形ZED,將線段EC繞點E逆時針旋轉120。，得到線段EF,連接BF.交DE于點M.

圖2備用圖

(1)如圖1,當點E為BC中點時，請直接寫出線段。M與EM的數量關系；

(2)如圖2.當點E在線段BC的延長線上時，請判斷(1)中的結論是否成立？若成立，請寫出證明過程;

若不成立，請說明理由；

(3)當BC=6,CE=2時，請直接寫出4M的長.

【思路點撥】

(1)可證得4比4。=NB4E=30。，進一步利用等腰三角形的三線合一得出結果；

(2)連接B。、DF,可證明ABADSACAE,從而UBD=Z.ACE=120°,BD=CE,進而得出4DBE=60°,

從而得出乙OBE+乙BEF=60。+120。=180。，從而BO||EF,結合BO=EF得出四邊形BDFE是平行四邊

形，從而得出。M=EM；

(3)分為兩種情形:當點E在BC的延長線上時，作4G1BC于G,可得出CG=3,AG=3百，從而EG=CG+

CE=3+2=5,進而得出4E=2V13,進一步得出結果；當點E在上時，作4G1BC于G,可得出EG=1,

AE=2V7,進一步得出結果.

【解題過程】

(1)解:ABC是等邊三角形，點E是BC的中點，

■.ABAC=60°,4BAE=-乙BAC,

2

^BAE=30°,

???△ZDE是等邊三角形，

：.Z.DAE=60°,AD=AE,

.ZBAD=乙DAE-乙BAE=60°-30°=30°,

?'-Z-DAE=Z-BAE,

??.DM=EM；

(2)解：如圖Z,DM=EM仍然成立，理由如下:連接B。、OF,

：.2LABC=A.BAC=Z-DAE=LACB=60°,AB=AC,AD=AE,

??Z.BAC-Z..DAC=乙DAE—Z-DAC,

.ZBAD=Z-CAE,

.*.△BAD=△CAE(SAS),

：.Z.ABD=Z.ACE=180°-Z.ACB=120°,BD=CE,

"DBE=乙ABD-^ABC=120°-60°=60°,

:/DBE+乙BEF=60°+120°=180°,

；.BD||EF,

-：CE=EF,

：.BD=EF,

???四邊形BDFE是平行四邊形,

■■.DM=EM；

(3)解：如圖2,當點E在BC的延長線上時，作AG_LBC于G,

A

：.CG=AC-cos60°=-AC=3,AG=AC-sin60°=—AC=373,

22

??.EG=CG+CE=3+2=5,

：.AE=>JAC2+EC2=J（3圾2+52=2g.

由（2）知:DM=EM,

.,-AM1DE,

：.Z.AME=90°,

?-Z-AED=60°,

：.AM=AE-sin60°=2^13Xy=V39>

如圖3,當點E在BC上時，作4GJ.BC于G,

■■.EG=CG—CE=3—2=1,

：.AE=y/AG2+EG2=（3V3）2+l2=2V7

■■.AM=2。x曰=V21,

綜上所述：4M=聞或VIT.

2.(22-23下?安徽?專題練習)在AABC中，乙4cB=90。，—=m,D是邊BC上一點，將△4BD沿AD折疊

BC

得到△4ED,連接

C

圖2

(1)特例發現：如圖1,當?n=l,4E落在直線AC上時.

①求證：4DAC=乙EBC；

②填空：?的值為______________;

CE

(2)類比探究：如圖2,當rnAl,4E與邊8c相交時，在4。上取一點G,使乙4CG=NBCE,CG交4E于點

H.探究裝的值(用含小的式子表示)，并寫出探究過程；

CE

(3)拓展運用：在⑵的條件下，當爪=/，。是8c的中點時，若EB-EH=6,求CG的長.

【思路點撥】

(1)①由折疊知，Z.AFB=90°=^ACB,再由等角的余角相等，即可得出結論；

②由①知，乙DAC=LEBC,再判斷出4C=BC,進而用ASA判斷出，&ACDm2BCE,即可得出結論；

(2)同(1)①的方法，即可得出結論；

(3)先判斷出DF是ABCE的中位線，得出。尸||CE,進而得出NBEC=Z.BFD=90°,zXGC=^ECG,Z.GAH=

NC瓦4,再判斷出4G=CE,設CG=x,則=BE=lx,得出4G=CE進而用AAS判斷出△4GH三

LECH,得出GH=1x,再用勾股定理求出AH=|x,即可得出結論.

【解題過程】

(1)如圖1,延長4。交8E于F,

???乙DAC+乙ADC=乙BDF+乙EBC=90°,

???Z-ADC=乙BDF,

Z.DAC=Z-EBC；

②由①知，/.DAC=乙EBC,

???m=1,

???AC—BC,

???Z-ACD=乙BCE,

.*.△ACD三△BCE(ASA),

.?.CD=CE,

故答案為1.

(2)如圖2,延長4)交BE于尸,

B

???Z-ACG=Z.BCE,

ACGBCE,

一CG=—AC=m；

CEBC

（3）由折疊知，AAFB=90°,BF=FE,

???點。是BC的中點,

BD=CD,

DF是ABCE的中位線,

DF||CE,

:.乙BEC=ABFD=90°,乙AGC=LECG,AGAH=^CEA,

由（2）知，AXCGBCE,

ACACr—

AAGC=乙BEC=90°,—=—=2m=V2,

CD-BC

2

S=tan""DC_1

AC.回

設CG=x,則4G=V2x,BE=lx,

AG=CE,

.-.AAGH三AECH（AAS）,

???AH=EH,GH=CH,

1

在RtAAGH中，根據勾股定理得，AH=yjAG2+GH2=|x,

EB-EH=6,

C3,

???2x'-x=6,

2

x=/或％=—V2（舍）,

即CG=V2.

3.（2223?濮陽?一模）數學活動課上，老師組織數學小組的同學們以“正方形折疊”為主題開展數學活動.

圖⑴圖（2）圖⑴

【動手實踐】

（1）如圖（1）,已知正方形紙片4BCD,數學小組將正方形紙片沿過點/的直線折疊，使點8落在正方形

4BCD的內部，點B的對應點為點折痕為4E,再將紙片沿過點/的直線折疊使4D與2M重合，折痕為4F,

易知點￡、M、尸共線，則NEAF=°,EF、BE、DF三條線段的關系為；

【拓展應用】

（2）解決下面問題：

①如圖（2）作FN_L4E于點N,交AM于點P,求證：AANP三AFNE；

②如圖（3）,數學小組在圖（1）的基礎上進行如下操作：將正方形紙片沿EF繼續折疊，點C的對應點為

點N,他們發現，當點E的位置不同時，點N的位置也不同，若點N恰好落在A4EF邊上，AB=3,請直

接寫出此時8E的長度.

【思路點撥】

（1）根據折疊的性質可得NE4M=Z.EAB,/.FAM=/.FAD,由此可得NE4F==45°.由NAME=

ZB=90°,^AMF=ND=90。可得E、M.尸三點共線.又由ME=BE,MF=DF可得EF=BE+DF.

（2）①由乙4NF=90。，2瓦4尸=45。可得乙4FN=45。，于是可得用V=FN,由“同角的余角相等''可得

/.EAM=乙NFE,最后根據角邊角即可證明A4VPmAFNE.

②分兩種情況：當點N落在AE上時，當點N落在AF上時，分別利用三角函數解直角三角形即可求得BE的

長.

【解題過程】

（1）???四邊形4BCD是正方形，

???Z-BAD=z_B=Z.D=90°,48=AD.

ABE沿4E折疊后得^AME,△4DF沿4F折疊后得4AMF,

??.△AME=△ABE,^AMF=△ADF,

???/.EAM=/-EAB,Z.FAM=￡.FAD,

i

??.AEAM+/-FAM=乙EAB+Z.FAB=-Z-BAD=45°,

2

^Z.EAF=45°.

???LAME=Z-B=90°,Z-AMF=zZ）=90°,

???/.AME+/.AMF=180°.

???￡*、M、F三點共線.

???ME=BE,MF=DF,

??.ME+MF=BE+DF,

???EF=BE+DF.

故答案為：45,EF=BE+DF.

(2)①???FN_L/E,

???乙ANF=乙FNE=90°.

???^EAF=45°,

???(AFN=4