第03講同底數幕的除法（6類熱點題型講練）

學習目標

i.經歷同底數幕的除法法則的探索過程，理解同底數幕的除法法則；

2.理解零次累和負整數指數哥的意義，并能進行負整數指數哥的運算;

3.會用同底數幕的除法法則進行計算.

思維導圖

同底數幕的除法

?I?

知識點01同底數幕的除法知識點02零指數幕知識點03負指數幕

知識清單

知識點01同底數募的除法

=］一"（其中山，〃都是正整數）.即同底數塞相除，底數不變，指數相減.

要點詮釋：（1）同底數幕是指底數相同的累，底數可以是任意的實數，也可以是單項式、多項式.

（2）逆用公式：即（m,"都是正整數）.

知識點02零指數累：a°=l（aWO）

知識點03負指數幕：ap=\"WO,p是正整數）

題型精講

題型01同底數募的除法

【例題】（2023上?八年級課時練習）計算:

⑴（-4“+（一仍）2+（一"）一；

⑵(〃/)4-m3；

【答案】⑴一九3

⑵疝

(3)-尤4

【分析】(1)把(-必)當作一個整體，根據同底數塞的除法法則計算，再利用積的乘方法則計算即可；

(2)先根據察的乘方法則計算，再根據同底數塞的除法法則計算；

(3)先根據同底數幕的乘法法則計算同時根據有理數乘方進行運算，再根據同底數塞的除法法則計算即可.

【詳解】(1)解：(一a/?)'十(—。6)2=(—。6丫=-//；

(2)(〃/)+〃廣=機8+機3=加；

(3)(-X2)-X6H-(-X)4=-Xs4-x4=-X4.

【點睛】本題考查整式的乘除混合運算，掌握相應的運算法則、掌握運算順序是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2023上?全國?八年級課堂例題)計算：

(1)-m9；

(2)(-a)64-(-a)3；

(3)62m+3<6ra.

【答案】⑴

⑵-/

(3)6m+3

【分析】(1)根據同底數幕的除法運算即可求解；

(2)根據同底數塞的除法運算即可求解；

(3)根據同底數幕的除法運算即可求解.

【詳解】(1)解：一M+m3=—"產3=.

(2)解：(―<2)6-5-(—<?)3=(—a)63=(—fl)3=—a3?

⑶解:62,"+3+6'"=62,B+3-m=6m+3.

【點睛】本題主要考查整式的乘除法的運算，掌握其運算法則是解題的關鍵.

2.(2023上?全國?八年級課堂例題)計算：

(l)a10-?o2

(2)?2-a5+/；

(3)(x2j)5+卜0)~；

(4)(p-4)4+(q-p)3.(p-q)2.

【答案】⑴/

(2)a2

(3)x6/

⑷-(p-4

【分析】(1)利用同底數暴的除法法則計算即可；

(2)利用同底數幕的乘法和除法法則計算即可；

(3)利用積的乘方和同底數幕的除法法則計算即可；

(4)先把4-0=-(0-0，底數作為一個整體，利用同底數累的乘法和除法計算即可；

l023l0M5

【詳解】(1)解：a^a^a=a-=a.

(2)解：a2-a5-j-a5=aJ^a5=a2.

(3)解：優?5=/y5+/y2=》6y3.

(4)解：(p-q￥Xq-p￥"-qY=-(p-q)4Xp-q)34p-q)。=-(p-q)3.

【點睛】本題考查了同底數塞的乘法，同底數幕的除法，積的乘方，熟練運用這些運算法則是解題的關鍵.

題型02同底數嘉除法的逆用

【例題】(2023上?八年級課時練習)已知x"=2,xb=6.

⑴求產”的值；

(2)求鏟修的值.

【答案】⑴:

(2)1

【分析】(1)逆運用同底數幕的除法的性質解答即可；

(2)逆運用幕的乘方與同底數幕的除法進行計算即可得解.

【詳解】(1)解：xa=29xb=69

:.xa-b=xa=2^6=--

3

(2)：x"=2,x"=6,

x2a-b=(x"A+/=2?+6=：.

【點睛】本題考查了同底數幕的除法，幕的乘方的性質，熟記性質并靈活運用是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2023下?安徽安慶,七年級校考期中)己知°，=3,ay=5,求：

(1)優一，的值；

（2）產y的值.

3

【答案】（I]

（2）1

【分析】（1）根據同底數幕除法的逆運算法則求解即可；

（2）根據同底數幕的除法的逆運算和塞的乘方的逆運算法則求解即可.

【詳解】（1）解：，=3,ay=5

3

/.ax-y=ax^ay=3^5=-；

5

（2）解：ax=3fciy=59

g

...a^-y=/、加=（/）2+/=324=w.

【點睛】本題主要考查了同底數塞的除法的逆運算，塞的乘方的逆運算，產"=十七優（awO,田、〃都是

整數），amn=（am）n（〃。0,凡兒都是整數），熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

2.（2023上?河南南陽?八年級統考期中）根據條件求值：

（1）已知〃m=3,優=4,求*f的值；

（2）已知9角一32〃=72,求幾的值.

【答案】⑴3

64

（2）1

【分析】（1）先根據塞的乘方計算法則求出〃"*=9,a3n=64,再由同底數塞除法的逆運算法則得到

a2m-3n=a2m^a3n,據此代值計算即可；

（2）先根據塞的乘方的逆運算法則將原式變形為9"包-9"=72,再根據同底數幕乘法的逆運算得到

9”x9-9"=72,由此推出9"=9，則〃=1.

【詳解】（1）解：回d"=3,a"=4,

m223

0（a）=3,（優丫=43,即/〃，=9,a"=64,

001n-=4+3"=9-64=—；

-a64

（2）解：09n+1-32n=72,

09"+1-（32）"=72,

回9'm_9"=72,

回9%9-9"=72，

09隈8=72,

團9"=9,

回〃=1.

【點睛】本題主要考查了同底數幕乘除法的逆運算，塞的乘方和塞的乘方的逆運算，熟知相關計算法則是

解題的關鍵.

題型03塞的混合運算

【例題】(2023?上海?七年級假期作業)計算：

⑴(-/)―(-J)；(2)(/行)?十。7.

【答案】⑴T

(2)爐

【分析】(1)先計算幕的乘方，再計算同底數塞的除法；

(2)先計算同底數幕的乘法、乘方，再計算同底數塞的乘法與除法.

【詳解】(1)解：(一/)44_“4丫=/+(_/)=_1；

(2)解：x(—g)2=)+〃7.=QIO-7+2=〃5.

【點睛】本題考查了同底數塞的乘法與除法，am-an=am+n,(屋')"="皿，d"+a"=d

(。中0,加，〃都是正整數)，注意負數的奇次幕還是負數.

【變式訓練】

1.(2023下?山東泰安?六年級校考階段練習)計算下列各題

(2)優.優+5"7是整數)

⑶的"+82"+4"("是整數)

【答案】⑴Q*1

10

(2)/7

(3)1

【分析】(1)根據同底數嘉的除法法則計算即可；

(2)根據同底數幕的乘法和除法法則計算即可；

(3)先化為同底數累，再根據同底數累的除法法則計算即可;

，0'c"c〃+5.八7—n+n+5-7__2n-2

\^)aci~d—a—Q?

(3)16?"+8筋+4"=28"+26"+2?"=28"-6"-2"=2°=1;

【點睛】本題主要考查了哥的混合運算及其逆運用，熟練掌握累的運算性質是解題的關鍵.

2.(2023下?全國?七年級假期作業)計算：

⑴％2?f_(_2/)2+5/+%5

⑵(〃-b)2-(b—ci)5-r-［-(。-6)3］；

(3)先化簡，再求值：［5°4./一(302+面)3卜(_2娟2,其中。=一5.

【答案】⑴2、

(2)(7)，

(3)-a2,-25.

【分析】(1)先算累的乘方，再算乘除，最后計算加減即可求解；

(2)把作為一個整體，從左往右計算，即可求解；

(3)先算括號內的，再計算除法，最后再代入求值，即可求解.

【詳解】(1)原式=犬一4./+5/=(1-4+5)^=2/；

(2)原式=-(a-b)~(a-b)5+［-(a-。力=(a—/?)4,

2

(3)原式=(5。6—9a'2+。6)十4。4=^46+4。4=_(7,

當a=-5時，原式=-25.

【點睛】本題主要考查了哥的混合運算，零指數幕，負整數指數累，熟練掌握累的運算法則，零指數累,

負整數指數基法則是解題的關鍵.

題型04零指數塞

【例題】計算：(2023-萬)°=

【答案】1

【詳解】解：(2023-%)°=1.

故答案為：1

【變式訓練】

1.計算:

【答案】1

【詳解】解：［一g］=1，

故答案為：1.

2.計算：(萬-3)°+佶］

【答案】；

【詳解】解:（%-3）0=1+

I+Ilri

題型05負整數指數募

【例題】計算：

(1)(-5)-2；(2)(-3)°；(3)10-5；(4)(-0.25『.

【詳解】(1)解：原式=』=］；

(一〉25

(2)解：原式=(-3)°=1；

(3)解：原式=10-5=000001；

(4)解：原式=(_；尸=(_4)3=-64.

【變式訓練】

1.計算：一12*義4+1-g)2+(萬一5)°.

【詳解】解：-12023X4+^-1^|+(^--5)°=-1X4+9+1=-4+9+l=6.

2.計算：(一2022)°-+(-1)2+10"<101()(,.

【詳解】(—2022)。一+(-1)2+10"<10100=1-3+1+IO。",。=-1+101=-1+^=-^.

題型06用科學計數法表示絕對值小于1的數

【例題】（2023上?遼寧鐵嶺?八年級統考期末）若一粒米的質量約是0.000012kg,將數據0.000012用科學記

數法表示為.

【答案】1.2X10-5

【分析】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為axl（T,其中1＜忖＜10,”為由原數左邊起

第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，與較大數

的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數累，指數”由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的

個數所決定.

【詳解】解：0.000012=1.2x10-5,

故答案為：1.2x10-5

【變式訓練】

1.（2023上?黑龍江佳木斯?八年級統考期末）納米是一種長度單位，1納米=10-9米，冠狀病毒的直徑約為

120納米，將120納米用科學記數法表示為米.

【答案】1.2x10-7

【分析】本題主要考查科學記數法的運用，負指數的運用，同底數幕的運算，科學記數法的表示為

axl0"（lWa<10,〃為整數），確定”的值的方法是：原數變為。時，小數點移動的位數與"的絕對值相同.當

小數點向右移動時，〃為負數；當小數點向左移動時，〃為正數；最后根據同底數幕的運算法則即可求解.

【詳解】解：120納米=120x10-9=1.2x102x10-9=1.2x10-7,

故答案為：1.2><10一7.

2.（2023上?江蘇南京?八年級南京大學附屬中學校考期末）我國已經成功研制出超導量子計算原型機"祖沖之

二號”.根據已公開的最優經典算法，在處理"量子隨機線路取樣”問題時，"祖沖之二號”用時大約為

0.00000023秒，將0.00000023用科學記數法表示應為.

【答案】2.3x10-7

【分析】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為axl（T",其中1<忖<10,〃為由原數左邊起

第一個不為零的數字前面0的個數所決定.

【詳解】解：0.00000023=2.3x10-7,

故答案為：2.3x10-7.

強化訓練

一、單選題

1.（2023上?河南濮陽?八年級校聯考期中）下列各式運算結果為/的是（）

A.x2.x4B.（x2）C.%12-%2D.三+三

【答案】A

【分析】直接根據同底數塞的乘除法，幕的乘方，合并同類項的運算法則計算各項，即可得到答案.

【詳解】解：A.尤2./=尤*=尤6,故選項符合題意；

B.（X2）4=X8,故選項不符合題意；

C.?2-x2=?2-2=x10,故選項不符合題意；

D.^+?=2?,故選項不符合題意.

故選：A.

2.（2023上?四川宜賓?八年級統考期中）下列計算正確的是（）

A.2a4+3a2=5a6B.a8-=-a2=a4C.2a5-a3=2a8D.（a%）=a6b

【答案】C

【分析】本題考查的是合并同類項，同底數幕的除法，乘法運算，積的乘方運算，根據各自的運算法則逐

一分析即可，熟記運算法則是解本題的關鍵.

【詳解】解：A、2a,與3a2不是同類項，不能合并，不符合題意；

B、a8^a2=a6,故本選項計算錯誤，不符合題意；

C2a5-a3=2as,計算正確，符合題意；

D,（a^=a6b2,故本選項計算錯誤，不符合題意；

故選：C.

3.（2023上?吉林松原?八年級校聯考期末）經測算，一粒芝麻的質量約為0.00000201kg,數據0.00000201用

科學記數法表示為（）

A.20.1x10-3B.2.01xlO-4

C.0.201xlO-5D.2.0卜10一6

【答案】D

【分析】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為axl（T,其中九為由原數左邊起第

一個不為零的數字前面的0的個數所決定.絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為

10-,與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數暴，指數〃由原數左邊起第一個不為零

的數字前面的0的個數所決定.

【詳解】解：0.00000201=2.01x10^.

故選：D.

4.（2023上?河南濮陽?八年級校聯考期中）若（x+2）°=l,則%的取值范圍是（）

A.x—2B.—2C.xw-2D.x=-2

【答案】C

【分析】本題考查零指數哥的意義，根據零指數暴的定義即可判斷.

【詳解】解：根據零指數幕的意義，

x+2*0,

故選：C.

5.（2023上?河南新鄉,八年級校考階段練習）下列四個算式：①（lx），+（-2x）3=_陰②

_/"-2；③片/土（/匕）-=°；④18a%*+（-3“26）~=2（7方.其中計算不正確的是（）

A.①②B.①③C.②④D.②③

【答案】B

【分析】本題考查幕的運算，涉及同底數幕的除法、積的乘方、塞的乘方等知識，是基礎考點，掌握相關

知識是解題關鍵.根據同底數暴的除法、積的乘方、塞的乘方法則逐個解題

【詳解】解：①（-2x）4+（一2力3=_2%,錯誤，

②（_/廣正確,

③。，盲+（/葉=°,錯誤,

④18a6/74-（-3a2/?）2=2a2b2,正確

故①③錯誤，

故選：B.

二、填空題

6.（2023上?吉林長春?八年級統考期末）計算：（一2/丫+加=.

【答案】-8m4

【分析】本題考查整式的運算中積的乘方及整式除法，解題的關鍵是掌握整式運算的相關法則.

先算積的乘方，再從左到右依次計算；

【詳解】解：^-2m2^-i-m2=-8m6-i-m2=-8m4,

故答案為：-8m4.

7.（2023上,吉林松原?八年級校聯考期末）計算：Qy+2024°=—.

【答案】5

【分析】本題考查了整數指數幕，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

先計算整數指數幕的運算，然后進行有理數的加法運算，由此得到答案.

【詳解】解：+2024°

=4+1

=5,

故答案為：5.

8.（2023上?重慶九龍坡,八年級重慶市育才中學校考階段練習）若3x-y=l,則代數式8,+2y+2的值為

【答案】1

【分析】本題主要考查累的乘方逆運算和同底數累除法逆運算，先將3x-y=l變形為1=0,再把

8；2》+2變形為232T,然后整體代入計算即可.

【詳解】解：El3x-y=l,

03%-y-l=O,

回8工+2》+2=23X4-2VH-2=23x-y~I=20=1,

故答案為：1.

9.（2023上,重慶渝中?八年級重慶巴蜀中學校考期中）華為此?招60搭載了最新一代處理器麒麟9100,這款

芯片采用了最先進的7nm制造工藝，已知7nm=0.000000007m,將0.000000007用科學記數法表示為:.

【答案】7x10-9

【分析】本題主要考查了科學記數法，科學記數法的表現形式為axio”的形式，其中1<|a|<10,〃為整

數，確定”的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，"的絕對值與小數點移動的位數相同，當

原數絕對值大于等于10時，w是正數，當原數絕對值小于1時"是負數；由此進行求解即可得到答案.

【詳解】解：0.000000007=7x10-3

故答案為：7x10-9.

10.（2023上?四川資陽?八年級四川省安岳中學校考期中）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、

29個、5個，先從甲袋中取出丁個球放入乙袋，再從乙袋中取出（2'+2，）個球放入丙袋，最后從丙袋中取

出2,個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數相同，則2r的值等于.

那強乙貨

【答案】2

【分析】本題主要考查了整式的加減計算，同底數累除法的逆運算，先分別表示出經過取走和取出后，甲、

乙、丙三個袋子中的球數分別為29-2工+2〉，29-2\5+2，，再由題意可得最后三個袋子中的球都是21

個，由此得至IJ29-2'=21,5+2*=21,即2>=8,2，=16,最后根據=2*+2,進行計算求解即可.

【詳解】解：經過取走和取出后，甲、乙、丙三個袋子中的球數分別為29-2*+2丫，29+2,-（2*+2y）=29-2>,

5+（2'+2>2〉=5+2，，

團一共有29+29+5=63個球，且最后三個袋子中的球的數量相同，

團最后三個袋子中的球都是21個，

029-2丫=21,5+2*=21,

02y=8,2工=16,

=2'+2>,=16+8=2,

故答案為：2.

三、解答題

11.(2023上?廣東江門?八年級江門市福泉奧林匹克學校校考期中)計算：a3+(-2a廳一("『".

【答案】5a8

【分析】本題主要考查了單項式乘以單項式，積的乘方，幕的乘方，同底數幕除法等計算，熟知相關計算

法則是解題的關鍵，注意同底數募乘除法指數是相加減，哥的乘方和積的乘方指數是相乘.

【詳解】解：原式=a3+4+1+〃+4a8-a12+a4

^as+as+4as-as

二5〃8.

12.(2023下?江蘇泰州?七年級統考期中)計算

⑴卜2|+(一1廣、(萬一2)。一圖；

⑵Q./一(—2/了+(3/J+/

【答案】⑴-6

⑵18a6

【分析】(1)先根據絕對值、有理數的乘方、零指數募、負整數指數嘉化簡，然后再計算即可；

(2)先算乘方，再算乘法和除法，最后合并同類項即可.

【詳解】(1)解：卜2|+(_1產2><(?2)°J口2

=2+lxl-9

=2+1—9

(2)解：a,02?—(―2〃2)+(3。4)

682

=Q6+8a+9a+a

6

=a+8/+9〃6

=18a6.

【點睛】本題主要考查了含乘方的有理數的四則混合運算、零次塞、負整數次塞、整式的四則混合運算等

知識點，靈活運用相關知識點是解答本題的關鍵.

13.(2023下?江蘇淮安?七年級統考期末)計算：

⑴出2-(萬-1)°+(-3)2

【答案】⑴12

(2)-m4

【分析】（1）根據負整指數幕，乘方以及零指數事求解即可;

（2）根據幕的乘方，同底數幕的乘法和除法求解即可.

出-(^-1)°+(-3)2=4-1+9=12；

【詳解】（1）解:

(2)解：m3-2m-2m2)+m5-i-m

=27?i4-4”+;n4

【點睛】此題考查了零指數幕，負整指數哥，號的乘方以及同底數基的乘除法，解題的關鍵是熟練掌握相

關運算法則.

14.（2023下?江蘇蘇州?七年級統考期末）計算：

-1

(l)|-3|-(2023-7r)°+1

(2)Y.尤4+(_/)3_(2/)2+尤2.

【答案】⑴4

(2)7

【分析】（1）根據絕對值的意義，零指數與負整數指數塞的意義進行即可;

（2）根據哥運算性質進行運算，最后合并同類項即可.

【詳解】（1）解：卜3|-（2023-萬）°+[￡|

=3-1+2

=4；

（2）解：x2-x4+（-x2）3-（2x4）2-i-x2

=X6-X6-4X6

=-4x6.

【點睛】本題考查了實數的運算，塞的混合運算.掌握累的相關運算性質是解題的關鍵.

15.（2023上?全國?八年級專題練習）已知曖,2,屋=3,求：

⑴求的值；

（2）求滔的值.

【答案】⑴6

【分析】本題主要考查同底數幕的乘法，同底數幕的除法，幕的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的

掌握.

(1)利用同底數幕的乘法的法則進行求解即可；

(2)利用同底數塞的除法的法則及幕的乘方的法則進行求解即可.

【詳解】(1)解：Blam=2,a"=3,

Sam+n=am-a"=2x3=6；

(2)130'"=2,a"=3,

/\24

0a2m-n^a2m^-a"=(am)+屋=2?+3=4+3=§.

16.(2023上?陜西延安?八年級校聯考階段練習)按要求解答下面各題.

⑴已知2x+4y+3=0,求9*x8