模型39波的疊加與干涉類綜合問題

模型概述

1.波的疊加

1）波的獨立傳播：兩列波在彼此相遇并穿過后，仍然保持各自的波長、頻率等運動特征不變，繼續沿

著原來的方向傳播，彼此之間互不影響。

2）波的疊加：幾列波相遇時，每列波能夠保持各自的狀態繼續傳播而不互相干擾，只是在重疊的區域

里，任一質點的總位移等于各列波分別引起的位移的矢量和

2.波的干涉

1）定義：頻率相同的兩列波疊加，某些區域的振動加強，某些區域的振動減弱，并且振動加強和振動

減弱的區域相互間隔的現象，叫波的干涉.

2）產生穩定干涉現象的條件P

①兩列波的頻率相同，相位差必須保持不變.

②產生穩定干涉圖樣的兩列波的振幅越接近，干涉圖樣越明顯。

3）干涉的普遍性：一切波在一定條件下都能夠發生干涉，干涉是波特有的現象。

4）干涉圖樣及其特點

①干涉圖樣

②特點

a）加強區始終加強，減弱區始終減弱（加強區與減弱區不隨時間變化）。

b）加強區和減弱區的位置固定不變，加強區與減弱區互相間隔。

③振動加強點和減弱點的理解

a）振動加強區域或振動減弱區域的空間位置是不變的，

b）加強點：振幅最大，為兩列波的振幅之和，即4=4+4

c）減弱點：振幅最小，為兩列波的振幅之差，即/=|/1一也|

d）每個質點都在各自的平衡位置附近做簡諧運動，質點的位移都隨時間變化，如加強點的位移

也可以為零，某時刻減弱點的位移也可以大于加強點的位移，若兩列波的振幅相等，則減弱點的合振幅為

零，并不振動。

e）兩列波在空間相遇發生干涉，兩列波的波峰相遇點為加強點，波峰和波谷的相遇點是減弱的

點，加強的點只是振幅大了，并非任一時刻的位移都大;減弱的點只是振幅小了，也并非任一時刻的位移都

最小.

5）波的干涉現象中加強點、減弱點的條件及判斷

①直觀判斷法：在某時刻波的干涉的波形圖上，波峰與波峰（或波谷與波谷）的交點，一定是加強點,

而波峰與波谷的交點一定是減弱點，各加強點或減弱點各自連接形成以兩波源為中心向外輻射的連線，形

成加強線和減弱線，兩種線互相間隔，加強點與減弱點之間各質點的振幅介于加強點與減弱點的振幅之間.

②圖像法：在某時刻波的干涉的波形圖上，波峰與波峰（或波谷與波谷）的交點，一定是加強點，而

波峰與波谷的交點一定是減弱點，各加強點或減弱點各自連接形成以兩波源為中心向外輻射的連線，形成

加強線和減弱線，兩種線互相間隔，加強點與減弱點之間各質點的振幅介于加強點與減弱點的振幅之間。

③公式法：波的干涉現象中，某質點的振動是加強還是減弱，取決于該點到兩相干波源的距離之

差Ar。

a）當兩相干波源振動步調一致時

若=（“=0,1,2,...）,則振動加強；

若=（2n+l）—（篦=0,1,2,...）,則振動減弱.

b）當兩相干波源振動步調相反時

若Ar=（2n+l）—（〃=0,1,2,...）,則振動加強；

若（〃=0,1,2,...）,則振動減弱.

典題攻破

1.波的疊加

【典型題1】（2024?浙江?模擬預測）如圖甲，兩列沿相反方向傳播的橫波，形狀相當于正弦曲線的一半，

上下對稱，其振幅均為/,傳播速度均為v。，=0時刻兩列波剛好相遇，一段時間后在仍間出現了兩列

波“消失”的現象，如圖乙所示，a、6間距為c為仍的中點。則（)

A.相遇過程中c點的位移始終為0

B./='時，。質點的速度最大

V

C./=且時，b質點的加速度向上且達到最大

V

D./=〃時，a、6間距為10/

v

【答案】A

【詳解】A.c點為振動減弱點，相遇過程中，c點的位移始終為0,故A正確；

B.根據同側法，f=0時刻，向右傳播的波單獨引起的振動方向向下，向左傳播的波單獨引起的振動方

向向下，且f=0時刻，a質點位于平衡位置，故此時a質點的速度最大，根據波形平移法可知，f='時,

V

a質點位于平衡位置，只有向左傳播的波在a質點處振動，a質點的速度不是最大，故B錯誤；

C.根據波形平移法可知，/=上時，b質點位于平衡位置，加速度為零，故C錯誤；

V

D.質點不會隨波遷移，故公區時，a、b間距為L,故D錯誤。

v

故選A。

2.波的干涉點個數問題

【典型題2】13.（2024?浙江金華?三模）（多選）如圖所示，在操場平面內建立平面直角坐標系，平面內有

一半徑為R=10m的圓形軌道，圓心在。處，A,8分別為圓上兩點?，F于/（-10m,0）、8（10m,0）兩點分

別安裝了兩個揚聲器。兩個揚聲器連續振動發出簡諧聲波，其振動圖像如下圖所示。已知聲波在空氣中

的傳播速率為v=340m/s,兩波頻率均為7=68Hz,振幅相等。甲同學從8點沿直線運動到N點（不含

4、2點），乙同學從2點沿圓軌道逆時針運動半周到/點（不含2點）。下列說法正確的是（）

A.甲同學有7次聽不到聲音

B.甲同學聽不到聲音的位置坐標可能為(-7.5m,0)

C.乙同學有7次聽不到聲音

D.乙同學聽不到聲音的位置坐標方程為J(10+[)2+y2++.1?=5〃(〃=0,±1,±2,±3)

【答案】ABC

V

【詳解】AB.根據題意，由公式可知，波長為2=7=5m

因為振源反相振動，故當陵時，是振動減弱點，聽不到聲音，由于學=4

則有(A+X)—(及一x)=“2(〃=0,±l,±2,±3)

即X=-^-(77=0,±1,±2,±3)

滿足上式時，聽不到聲音，當〃=0時x=0

當力=±1時x=±2.5m

當〃=12時％=±5m

當〃=±3時x=±7.5m

共7次聽不到聲音，故AB正確；

CD.根據題意，設聽不到聲音的位置坐標為(兀歹)，則有

yl(R+x)2+y2_yl(R_x)2+y2_n^(^n=0,±1,±2,±3???)

且/+y2=R2

整理可得，該同學聽不見聲音的點的位置坐標方程為

J(10+尤)+/_J(10_x/+y2=5〃(”=0,±1,±2,±3…)

且

2

%+/=100

2

聯立可得^(10+x)+y2-+r=5〃(〃=0,±1,±2,±3)

可知乙同學有7次聽不到聲音，故C正確，D錯誤。

故選ABC=

3.波的干涉綜合問題

【典型題3】(2024?陜西安康?模擬預測)(多選)自古就享有人間天堂美譽之稱的江南，河湖交錯，水網縱

橫，如詩如畫。如圖1所示，兩個完全相同的水滴同時落在平靜水面上的/、3兩點，將水滴形成的漣

漪（水波）視為簡諧橫波且兩列波的波長相等，4、2兩點間的距離為2m,。點為/、3連線的中點，C

點在N3連線上且位于/點右側0.5m處。已知N點形成的波的傳播速度大小為0.5m/s,其在f=0時刻的

波動圖像如圖2所示。下列說法正確的是（）

A./點形成的波的周期為0.5s

B.。點為振動加強點，其位移不可能為0

C.兩列波的波峰能在C點相遇

D.在兩列波相遇的區域能形成穩定的干涉圖樣

E./、3點連線上（不含/、B點）共有13個振動加強點

【答案】ACD

【詳解】A.由題圖2知，人點形成的波的波長4=0.251!!,傳播的周期為7=4=（）$

V

故A正確；

BD.由于A、B點形成的波的振動情況完全相同，則兩波能形成穩定的干涉圖樣，A、B的中點O為振

動加強點，O點的位移可能為0,故D正確，B錯誤；

C.C點到B點與A點的波程差為Ax=1.5m-0.5m=1m=42

即C點是振動加強點，兩列波的波峰能在C點相遇，故C正確；

E.波長為4=vT=0.5x0.5m=0.25m

由于兩個波源相位相同，所以AB中點為振動加強點，中點向兩邊移動到兩波源距離差為波長整數倍為

振動加強點，則2cm=82

代入數據并由對稱性知，則A、B點連線上（不含A、B點）左右各7個振動加強點，加中間的共有15

個，故E錯誤。

故選ACD。

【典型題4】（2024?江西南昌?三模）如圖所示為水池某時刻的水波圖樣，Si、&為水池邊緣的兩個波源，將

水波視為簡諧橫波，實線為波峰，虛線為波谷，此時S/、5均處在波谷位置，可以通過調節波源S的振

動頻率，使兩波源的振動完全相同，在水面上形成穩定干涉圖樣，已知波源&振動形成的水波波長為20cm,

波速為40cm/s,兩列波的振幅均為5cm,兩列波的傳播速度大小相同，Si、S?兩點之間的距離為100cm,

S1、8、P三點在同一水平面上，且剛好構成一個直角三角形，ZS1S2P=53°,sin53°=0.8,。為兩波源連

線的中點，則下列判斷正確的是（）

A.將波源$的振動頻率調高后形成穩定干涉圖樣

B.形成穩定干涉后，S/、S2連線上共有8個振動加強點

C.形成穩定干涉后，P點處質點振動的振幅為5cm

D.Q點從平衡位置振動1.25s后通過的路程為1m

【答案】A

【詳解】A.由圖可知，波源S1形成的波長大，則頻率小，要形成穩定干涉圖樣，則頻率要與S2相同,

所以要將振動頻率調高，故A正確；

B.振動加強點到兩波源的距離差為波長的整數倍，則有

X）+x2=100cm

-x21=20/jcm(n=0,1,2........)

可知分別距離SI為10cm、20cm、30cm、40cm、50cm、60cm、70cm、80cm、90cm,共有9個振動加

強點，故B錯誤；

C.P點距離兩波源的距離差為X=5區sin530-SRcos53。=20cm=2

所以P點是振動加強點，振幅為10cm,故C錯誤；

D.由于兩列波傳播速度相同，且Q到兩波源距離相等，則兩列波同時傳播到Q,但由于兩列波波長不

同，頻率不同，不能形成穩定干涉，Q點從平衡位置振動1.25s后通過的路程不等于1m,故D錯誤。

故選Ao

針對訓練

1.（2025?安徽蚌埠?一模）干涉型消聲器是一種高效、低耗的噪聲控制設備，通過聲波干涉原理可實現噪聲

的消除，它的結構如圖所示。波長為X的聲波沿水平管道自左向右傳播，在聲波到達。處時，分成兩束

相干波，它們分別通過八和4的路程，在6處相遇。設路程差加=4-/，要達到消弱噪聲的目的，4?應

為（）

A.半波長的奇數倍B.半波長的偶數倍

C.波長的奇數倍D.波長的偶數倍

【答案】A

【詳解】根據干涉特點知，兩相干波源的距離差為波長的整數倍時，此點為振動增強點，而消除噪聲不

能加強；距離差為半波長的奇數倍時，此點為振動減弱點，達到消弱噪聲的目的。

故選Ao

2.（2024?河南?二模）如圖為一“環腔式”降噪器的原理圖，可以對高速氣流產生的噪聲進行降噪。波長

為力的聲波沿水平管道自左側入口進入后分成上、下兩部分，分別通過通道①、②繼續向前傳播，在右

側匯聚后噪聲減弱，其中通道①的長度為102,下列說法正確的是（）

A.該降噪器是利用波的衍射原理設計的

B.通道②的長度可能為8.52

C.通道②的長度可能為84

D.該降噪器對所有頻率的聲波均能起到降噪作用

【答案】B

【詳解】A.該降噪器是利用聲波干涉原理設計，A錯誤；

BCD.根據波的疊加原理可知，該降噪器對于路程差為N-S2|=（2〃+l）（（n=0,1,2,3...）

聲波降噪效果良好，對不符合上述條件的聲波降噪作用較差，甚至不能起到降噪作用，故而并非對所有

波長或頻率的聲波均有效，CD錯誤，B正確。

故選Bo

3.（2024?黑龍江大慶?模擬預測）消除噪聲污染是當前環境保護的重要課題，。內燃機、通風機等在排放各

種高速氣流的過程中都會發出噪聲，如圖所示的消聲器可以用來削弱高速氣流產生的噪聲。假設頻率為

了,傳播速度為V的聲波沿水平管道自左向右傳播，抵達/點時，分成上下兩束波沿著虛線a路徑和6路

徑傳播，最終在B點相遇時可削弱噪音，下列說法正確的是（）

A.該消聲器降噪是利用了波的衍射原理

V

B.當兩條路徑的長度差為7的奇數倍時，消音效果最好

V

C.當兩條路徑的長度差為力的奇數倍時，消音效果最好

D.這兩束波的頻率相同，沿a、6路徑的速率大小匕＞匕，從/點分開后最終同時到達3點

【答案】C

【詳解】A.該消聲器工作原理是利用波的干涉原理，故A錯誤；

BC.當聲波A處分成的上下兩束聲波傳到B處需滿足波程差是半波長的奇數倍時振動減弱，消音效果

V1

最好，其中方

故B錯誤，C正確；

D.這兩束波的頻率相同，介質相同，故沿a、b路徑的傳播速率大小相同，從A點分開后不會同時到達

B點，故D錯誤。

故選C。

4.（2024?廣西桂林?模擬預測）同一均勻介質中坐標分別為（-5m,0）和（7m,0）的兩個振源M、N,從"0時

刻開始振動，產生的機械波相向傳播，t=ls時的波形如圖所示。下列說法正確的是（）

A.兩列波在該介質中的頻率為2HzB.兩列波在該介質中的波速為lm/s

C.X=-2cm處的質點是振動加強點D.x=5cm處的質點是振動加強點

【答案】D

【詳解】A.由圖可知，兩列波的周期心=。=2s,根據/=：

可知兩列波的頻率為〃=Zv=0.5Hz

故A錯誤；

B.由圖可知丸M=羽=4m兩列波在介質中的傳播速度大小為v=^=2m/s

故B錯誤；

,,,，3

CD.兩波源M、N起振方向相同，x=-2cm處的質點洞足Ax=6cm=

2

是振動減弱點，x=5cm處的質點滿足Ax=8cm=22

是振動加強點。故C錯誤；D正確。

故選D。

5.（2024?河南安陽?三模）如圖所示，水面上相距為。的/、8兩點有兩個頻率相同且同時向相同方向起振

的波源，兩波源發出的波在水面發生干涉。觀察發現C點與。點是兩個相鄰的振動加強點，已知DC垂

直于A8,ZDAB=60°,ZCAB=30°,則該波的波長為（）

【答案】C

【詳解】由幾何關系可知BD=N，/。=旭，叵

33

則D點與AB的光程差為AD-BD=(2-5a=(〃—1)4

則C點與AB的光程差為AC-BC=—a=nX

3

可得力=V3—2^（7

故選Co

6.（2024?云南?模擬預測）兩列簡諧橫波在同一介質中相向傳播，％=0時刻的波形如圖所示，兩波源的平衡

位置分別位于M、N兩點處，O點為M、N連線的中點，兩波源的振動方向平行。已知M、N兩點的間

距d=16m,振動頻率均為/=2.5Hz,又處波源的振幅4=10cm,N處波源的振幅4=5cm。f=1.2s時

刻。處的質點開始振動。下列說法正確的是()

V

B.從f=0到/=2.2s,O處質點運動的路程為0.5m

C.從t=2.0s到f=2.2s,。處質點的動能先增大后減小

D.經過足夠長的時間，“N間(不包括M、N兩點)振幅為15cm的點共有14個

【答案】B

【詳解】A.兩列簡諧橫波在同一介質中傳播，波速相等，由于兩列簡諧橫波振動頻率相等，則兩列波

的波長相等，故22=2由

又v=〃

聯立解得4=2m,v=5m/s

故A錯誤；

B.兩列簡諧橫波的周期為7=；=^S=0.4S

兩波源振動步調相反，O點為M、N連線的中點，可知O處質點為振動減弱點，，=1.2s時刻O處的質

點開始振動，從，=1.2s到，=2.2s,O處質點振動了1s,即MT,故從￡=0到，=2.2S,O處質點運動的路

2

程為s=：x4(4-4)=10x(10-5)cm=50cm=0.5m

故B正確；

C.，=1.2s時刻O處的質點開始振動，從E=1.2s至lj，=2s,O處質點振動了0.8s,即2T,可知"2s時

刻O處的質點位于平衡位置，從，=2s至l」％=2.2s,O處質點振動了0.2s,即《丁，可知"2s時刻O處的

質點位于平衡位置，故從=2.0s到％=2.2s,O處質點的動能先減小后增大，故C錯誤；

D.振幅為15cm的點為振動加強點，設振動加強點與M點的距離為％,兩波源振動步調相反，則

卜一(16一刈=(〃+g)4(n=0,1,2,3…)

解得x=0.5m、1.5m、2.5m、3.5m、4.5m、5.5m、6.5m、7.5m、8.5m、9.5m、10.5m、11.5m、12.5m、13.5m、14.5m、15.5m

故經過足夠長的時間，MN間（不包括M、N兩點）振幅為15cm的點共有16個，故D錯誤。

故選B。

7.（2023?湖北武漢?模擬預測）（多選）如圖所示，水平面內兩個沿豎直方向振動的相干波源S、亂發出的

簡諧橫波在同一均勻介質中相遇，波長均為5cm,波源￡的振幅為2cm,S?的振幅為4cm。圖中實線表

示某時刻波峰，虛線表示該時刻波谷，心c、e三點均位于S、亂連線的中垂線上，其中e點是0、c連

線的中點，6、d./三點為所在兩個圓弧的交點。下列說法中正確的有（）

A.圖示時刻於兩點連線上的任意一點（不含心c）均向上振動

B.b點的振幅為2cm

C.圖中6、小/三點位于同一條雙曲線上

D.圖中e點的振幅為0,但是它是振動加強點

【答案】BC

【詳解】A.由圖可知，。點是波谷與波谷相遇的點，c點是波峰與波峰相遇的點，e是雙連線的中點，

而該相干波源波長相同，能夠形成穩定的干涉圖樣，因此e點在平衡位置，而直連線上的點始終處于振

動加強的狀態，當兩列波發生干涉，該處的點（不含。、c）圖示時刻都是向著水平面下方運動的，故A

錯誤；

B.由圖可知，b點是波源E的波峰與波源$2波谷相遇的點，設波源E的振幅為4波源$2的振幅為4,

則b點的振幅為/=4-4=4cm-2cm=2cm

故B正確；

C.由圖可知仄"、/三點到兩個波源的距離之差均為半波長，根據幾何知識可得，滿足該條件的曲線為

雙曲線，故C正確；

D.雖然圖示時刻e點既不是波峰與波峰相遇處，也不是波谷與波谷相遇處，圖示時刻其位移為0。但e點

的振動加強，振幅為6cm,故D錯誤。

故選BC-

8.（2024?陜西?模擬預測）（多選）如圖，Si、S2是振幅均為1cm的兩個水波波源，某時刻它們形成的波峰

和波谷分別由實線和虛線表示。則（）

A.兩列波的波長不同，但頻率相等

B.兩列波不會發生穩定的干涉

C./處質點振動始終減弱，B、C處質點振動始終加強

D.此時/、B、C處各質點的位移是：XA=Ocm,XB=-2cm,&=2cm

E./、B、C處各質點不會隨著水波振動而飄向遠處

【答案】BDE

【詳解】A.由圖可知S1波長較短，而兩列水波傳播速度相同，由丫=狀可知S1頻率較大，故A錯誤;

B.兩列波頻率不同不能發生穩定的干涉，故B正確；

CD.根據波的疊加原理，在圖示時刻XA=0CHI,XB=-2cm,xc=2cm,但是兩列波頻率不同，無法形成

穩定的干涉圖樣，故C錯誤、D正確；

E.波傳播的是振動形式，各質點不隨波遷移，故E正確。

故選BDE=

9.（2025?廣西河池?一模）（多選）在一均勻介質中，波源坐標分別為S（-01cm,0）和7（0.6cm,0）的兩列簡諧

橫波分別沿x軸正方向和負方向傳播。兩波源在"0時刻同時開始振動，f=0.1s時的波形圖如圖所示。

此時位于x=0.1cm和x=0.4cm處的兩個質點都恰好開始振動，則（）

B.f=0.2s時，x=0.2cm處的質點向下振動

C.，=0.2s時，x=0.2cm處的質點的位移大小為0.4cm

D.兩列波均傳播到x=0.25cm處時，該質點振動始終減弱

【答案】AD

【詳解】A.由圖像可知，兩列波的波長均為0.4cm,周期均為T=2xO.ls=O.2s

故波速v=—=^-cm/s=0.02m/s

T0.2

故A正確；

BC.t=0.2s時，T波源的振動形式剛傳播到0.2cm處，且速度向上為最大。S波源的波使0.2cm處的質

點運動到波谷位置，且速度為0。根據波的疊加原理知，t=0.2s時，0.2cm處的質點向上振動，位移大小

為0.2cm,故BC錯誤;

D.兩波源在0.25cm處的波程差為零，且相位相差兀，所以該質點振動始終減弱，故D正確。

故選AD。

10.（2024?四川內江?三模）（多選）如圖，波源與在繩的左端發出周期為刀、振幅為4的半個波形0,同

時，波源S?在繩的右端發出周期為乃、振幅為4的半個波形b,已知若尸為兩波源連線的中點,

則下列判斷正確的是（）

A.6波先到達尸點

B.兩波源的起振方向相同

C.0波的波峰到達S2時，6波的波峰尚未到達H

D.兩列波相遇時，繩上位移可達4+4的點只有一個，此點在尸點的左側

E.兩列波在P點疊加時，尸點的位移最大值小于4+4

【答案】BDE

【詳解】A.因兩列波波速相等，故兩列波能同時到達P點，故A錯誤；

B.由同側法可知，波源的起振方向都向上，故B正確；

C.根據心＜（,a的波峰到達S2時，b的波峰已經在E左側，故C錯誤；

D.兩列波相遇時，兩列波峰同時到達P點的左側，疊加后位移達到最大值，所以兩列波相遇時，繩上

位移可達4+4的點只有一個，而且此點在p點的左側，故D正確；

E.由于a的波長大于b的波長，兩列波在P點疊加時兩列波的波峰不可能同時到達P點，所以P點的

位移最大值小于4+4,故E正確。

故選BDE。

11.（2024?河北邢臺?二模）（多選）在實驗室里某研究小組將兩個振幅相同、頻率均為10Hz的相干波源以、

$2置于矩形/BCD的C、D點上、。為N3邊中點，如圖所示。48距離為40cm,/C距離為30cm,兩

波源開始振動一段時間后，/