特殊四邊形和圓的相關證明和計算100題

2025中考數學專項復習含答案

特殊舊邊形及圖的相關證明與計第

目錄

題型一矩形的性質與判定................................................................2

題型二菱形的性質與判定................................................................6

題型三正方形的性質與判定..............................................................10

題型四垂徑定理........................................................................18

題型五圓周角定理......................................................................22

題型六點、直線、圓的位置關系..........................................................28

題型七正多邊形和圓....................................................................37

題型八弧長和扇形面積..................................................................41

題型一矩形的性質與判定

1.（2024?河北?模擬預測）在△ABC中，NABC=90。，。是AC的中點，求證：BO=~AC.

證明：如圖，延長80至點。，使OD=BO,連接AD,CD.

：.AC=BD=2OB,

:.BO=^AC.

下面是“……”部分被打亂順序的證明過程:①.?.四邊形ABCD是平行四邊形;②?.?乙4BC=90。；③：

OA=OC,OB=OD；④：.四邊形ABC?是矩形，則正確的順序是（）.

A.③①②④B.③②①④C.②③①④D.②①③④

2.（2024?湖北?模擬預測）如圖，在四邊形ABC?中，BC=5,NACB+乙4DB=90。,連接48,CD,若AB

=AD,/\ABC的面積為3,則CD的長為.

3.（2024?西藏?中考真題）在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”的

探究作業.如圖，次仁在人處測得山頂。的仰角為30。；格桑在B處測得山頂。的仰角為45。.已知兩人

所處位置的水平距離MN=210米，A處距地面的垂直高度AM=30米，口處距地面的垂直高度BN=

20米，點F,N在同一條直線上,求小山CF的高度.（結果保留根號）

_____________眇

4.（2024?山東?模擬預測）如圖，在口ABCD中，4B=2,BC=5,延長。。至點E,使CE=。。,連接AE,

交于點斤，連接ZAFC=2ZD.

（1）求證：四邊形是矩形;

⑵求口ABCD的面積.

5.（2024?河北?模擬預測）如圖1,在電△4BC中，乙4cB=90。，47=6,BC=8,延長C4至點。，使40

=8,連接BD,以AD為直徑的。。繞點/順時針旋轉.

圖3

⑴如圖2,旋轉。時，。。與AC第一次相切.

（2）在⑴的條件下,判斷。O與BD的位置關系并加以證明.

（3）如圖3,若。。與相切于點M,與CA相交于點N,設陰影部分的面積為S,求S的值.

6.（2024.安徽.模擬預測）某超市自動扶梯路線如圖所示，一樓扶梯CD段坡角為20。，中轉平臺。E〃口C,

二樓扶梯AE段坡角為30。，已知CD=15m,LE=6m,AE=12m,求水平距離BC的長.（結果精確到

0.1m,參考數據：sin20*0.34,cos20*=0.94,tail20,；：036,73=：1.73）

7.（2024.安徽.三模）如圖，4ABC中，AB=30,以AB為直徑的OO經過點C,交△4BC的角平分線AD

于點。，。后是。。的切線，交AC延長線于點E.

（1）求證：BC//DE；

（2）延長AB交ED的延長線于點尸，tan"=,，求CE的長.

8.（2024?全國?二模）高樓AB和斜坡CD的縱截面如圖所示，斜坡CD的底部點。與高樓的水平距離

CB為30米，斜坡CD的坡度（坡比）i12.4，坡頂。到8C的垂直距離Z?=10米，在點。處測得高樓

樓頂點人的仰角為50°,求樓的高度（結果精確到0.1米）.（參考數據：sin508^0,766,

cos5『=0.643,tan5THi192）

___________F

9.（2024?山西?模擬預測）圖1是某路口臨時設置的一個太陽能移動交通信號燈，圖2是信號燈的幾何圖形,

信號燈由太陽能板、支架、指示燈、燈桿、底座構成，該信號燈是軸對稱圖形.燈桿4。高15m,太陽能板

MM=W=102cm,且。，后是靠近N,Q的三等分點，支架從D=HE=80cm.經過調研發現，當太陽能

板MN與支架AD所成的ZA4D2=104°,且支架AD與燈桿AC所成的乙以。=135°時，太陽能板接收的

光能最充足，信號燈的續航時間最長，求此時點M到底座上底面的距離.（結果精確到1cm）

（參考數據:331?0.52,co?31*0.86,tan31*s0.（50,72si414）

圖1圖2

10.（2024?江西?模擬預測）如圖1是某小區門口的門禁自動識別系統，主要由可旋轉高清攝像機和其下方固

定的顯示屏構成.圖2是其結構示意圖，攝像機長AB=20an，點。為攝像機旋轉軸心，。為的中

點，顯示屏的上沿CD與4B平行，CD=15cm,力3與CD連接，桿OE_L48,OE=10cm,CE=2ED，點

C到地面的距離為60cm.若AB與水平地面所成的角的度數為35°.

3

D

地面

圖I

（1）求顯示屏所在部分的寬度CM；

（2）求鏡頭人到地面的距離.

（參考數據：sin35°x0.574,cos35°*0.819,tan350=0.700，結果保留一位小數）

口__________

題型二

IL(2024.遼寧?模擬預測)如圖，已知-八。8,以點。為圓心，適當長為半徑畫弧，弧與角的兩邊分別交于點

C,D.再分別以點為圓心，大于/CD的長為半徑畫弧,兩弧在_HOB內交于點p,連接OP,過點

P分別作PE//OA,交OB于點、E,PF//OB,交OA于點、F.若40B=60°,OP=6cm,則四邊形

A.12V3cm;B.sV3an;c.6"an：D.4/an：

12.(2024?上海?模擬預測)如圖1兩張等寬的矩形紙片，矩形紙片班不動，將矩形紙片ABCD按如圖2

方式纏繞:先將點B與點E重合,再依次沿FG、H對折，點A、。所在的相鄰兩邊不重疊、無空隙，最后

AD邊剛好經過點G.

圖1圖2

若即=5,則G。長為

13.(2024.浙江.模擬預測)【綜合探究】如圖所示，四邊形ABCD為菱形，A8=6cm,ZDAB=60。，點p從點A

向點。運動，速度為1cm/s,運動時間為，秒(0V<6).過點p作月。的垂線交直線乂B于點為

建'的外接圓，交菱形對角線力。于點G,連接PG.BG.

(1)求證:PG=AP.

(2)當，為何值時，BG與。。相切？

(3)當t為何值時，ACBG為等腰三角形？

___________F

14.（2024?云南?模擬預測）如圖，在電^ACD中，44CD=90。,R是邊月。上的一點，連接,E是外

一點且滿足：月，絲.劉，力。平分J&IE,連接EE交4D于點。.

（1）求證：四邊形月BDE是菱形;

OC.

⑵連接OC,若04=2而，。8.，求CD的長.

15.（2024.黑龍江.模擬預測）如圖,在平面直角坐標系中，矩形的邊OC與X軸重合，。力與『軸重合,

BC?2,D是。。上一點，且8,。。的長是一元二次方程r-51+4=0的兩個根（OD>DC\

⑴求線段0°，℃，血的長；

（2）在射線月8上有一動點p（不與點4B重合），點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線

月B方向勻速運動，到終點R停止，設運動的時間為，秒，過點P作郎.,即交射線4D于點E,

PF月。交射線于點尸，求四邊形。曲歹的面積s與時間，的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，在點F運動的過程中，平面內是否存在點。，使以4DHQ為頂點的四邊形是菱

形？若存在，請直接寫出點。的坐標;若不存在,請說明理由.

16.（2024.廣東廣州.三模）如圖，&須。中，力Q9，頤-3.0）,48繞點8順時針旋轉與BC重合，點C在①軸

.）n

上,連接力。，若反比例函數,.三與直線力。僅有一個公共點E.

⑴求直線力。和反比例函數1=三的解析式；

⑵已知A47。與一4BC關于直線乂。對稱.

①尺規作圖:作二月C。；（保留作圖痕跡，不寫作法.）

②若月。與反比例函數交于點F,連接"，求ARCD的面積.

17.（2024.河南關B州.三模）如圖，平行四邊形H5CD中，ZXDB-90°,點M為的中點，連接DM.

⑴過點B作成DM,交CD于點、N（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

⑵求證：四邊形DMBN為菱形;

（3）若平行四邊形月BCD的周長為18,50=3，求四邊形的面積.

18.（2024?吉林長春?模擬預測）在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線J-/+枚（》是常數）經過

°）,點A在拋物線上，橫坐標為加，點8的坐標為（％…L4）,過點B作BD垂直該拋物線的對稱軸于

點D

（1）求該拋物線對應的函數表達式及對稱軸；

（2）當點A落在直線BD上時，求點B的坐標；

（3）連結BA并延長交拋物線對稱軸于點C,作點/關于拋物線對稱軸對稱點4,連結4D、CA'和DA'.

A'D

①求正的值；

5

②當A在對稱軸左側時，若四邊形C4DT的周長與一加。周長之比為彳，直接寫出所有滿足條件的加

的值.

19.（2024.云南昆明.模擬預測）如圖，在矩形月反少中（月8>8。），對角線幺U8。相交于點O,延長5C到

點瓦使得CE-，連接DE,點斤是DE的中點，連接CF.

⑴求證：四邊形DOCF是菱形；

（2）若矩形月BCD的周長為20,月。=S，求四邊形。OCb的面積.

20.（2024?吉林長春?一模）如圖，矩形AEBO的對角線交于點斤，延長AO到點。，使。。=。4,延

長BO到點。，使OD=OB,連接AD.DC、BC.

⑴求證：四邊形4BCD是菱形.

（2）若OE=20,」BCD-60°,則菱形乂5CD的面積為

題型三正方形的性質與判定

21.（2024.四川成都.模擬預測）如圖，在RIAABC中，乂。=BC-2?,ZACB=90。，。是的中點，以點0

為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰好在全上（點E,尸不與點C重合），半徑DE,。尸分別與

AC,相交于點G,H,則陰影部分的面積為.

22.（2024.陜西西安.一模）如圖，在矩形48。。中，43=4，BC=S，點E是邊CD的中點，點F是邊BC上的

一個動點，UkE與△氏；￡關于即對稱，連接4G.當點G恰好落在矩形物D的對稱軸上時，CF

的長為

23.(2024?貴州?模擬預測)綜合與探究：在四邊形48CD中，p為對角線BD上的動點，點E,歹分別在A。,

(1)【動手操作】

如圖①，若四邊形月5CD為正方形，P為對角線47,8。的交點，*，歹分別為的中點時，連接

PE，PF，根據題意在圖①中畫出PE,P尸，則ZEPF為度；

(2)【問題探究】

如圖②，四邊形力BCD為菱形,4。。?120°,P為對角線的交點，且一用*=60?，探究線段DE,

DF之間的數量關系,并說明理由；

(3)【問題解決】

如圖③，在⑵的條件下，若點P在對角線上，菱形的邊長為8,切?7,,求/)￡的長.

24.（2024?廣東?模擬預測）如圖，在等腰直角一月BC中，AB=AC,/a4c=90°，點E為月。的中點，

EF=EC,將線段EF繞點E順時針旋轉90°,連接FG、FC；點。為BC中點，連接GQ,直線GD與直線

C尸交于點N.

⑴如圖1,若4r4?30?，DC?而，求”的長；

⑵連接BG并延長至點V,使SG?A/G,連接卯.

①如圖2,若求證--虧3；

4FG

②如圖3,當點G、尸、8共線時，N5Cff=90。，連接Cff，請直接寫出面的值.

___________F

25.(2024?廣東?模擬預測)如圖，在等腰直角一月BC中，月8=幺。，/坳。=90°,點E為幺C的中點，

EF=EC,將線段E尸繞點E順時針旋轉90?，連接所、FC；點。為BC中點，連接GD,直線GD與直

線“交于點

⑴如圖1,若/也1?3(F,DC?而，求CF1的長；

(2)連接BG并延長至點M,使BG?MG,連接5/.

_如

①如圖2,若求證：公=虧，”；

_4FG

②如圖3,當點G、尸、a共線時，4BCH=90。，連接5，8=產。，請直接寫出兩的值.

26.（2024?吉林?模擬預測）如圖，在RtLABC中，乙4。8=90。，乂。=3,50=4,動點。從點4出發，以每秒1

個單位長度的速度向終點口運動，將線段X?繞點尸順時針旋轉90°得到線段也，連接力。，以4R4。

為鄰邊作nAPDQ.設。月尸。。與一月BC重疊部分圖形的面積為S,點P的運動時間為t秒#>°）.

⑴直接寫出D。的長（用含t的代數式表示）；

⑵當點。落在_力50的邊上時，求t的值；

⑶當。月與一45。重疊部分圖形為四邊形時，求S與力之間的函數關系式，并寫出土的取值范圍.

___________F

27.(2024?廣東?模擬預測)綜合運用

如圖1,在平面直角坐標系中，點A為(0.4),點B為例，°),連接4B.

提出問題：

(1)如圖2,以月R為邊在月B右側構成正方形nBCD,且正方形的邊與J軸相交于點后，用含力的

代數式表示此時點E的坐標；

問題探究：

(2)如圖3,以nB為對角線構成正方形且正方形4CSQ的邊與J軸相交于點E,當時，求

線段段:方的值；

問題深化：

(3)若以48為邊在AB右側構成正方形ABCD,過點。作DFlx軸于點尸，連接，令^CDF的面積

為S，求S關于”的函數關系式.

圖1圖2圖3

28.（2024?湖南長沙?中考真題）對于凸四邊形，根據它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內切圓（四

條邊都與同一個圓相切），

可分為四種類型，我們不妨約定：

既無外接圓，又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；

只有外接圓，而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；

只有內接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形；

既有外接圓，又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.

請你根據該約定,解答下列問題：

（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“V”,錯誤的打“X”，

①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；（）

②內角不等于90°的菱形一定是“內切型單圓”四邊形；（）

③若''完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，外接圓半徑為R,內切圓半徑為r,則有

R=/.（）

（2）如圖1,已知四邊形HBCD內接于。。，四條邊長滿足：+

①該四邊形/BCD是“"四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；

②若4BAD的平分線4E交。。于點E,NBCD的平分線CF交。。于點尸，連接酊.求證：即是。。

的直徑.

（3）已知四邊形月BCD是“完美型雙圓”四邊形，它的內切圓O。與48,BC,CD,力。分別相切于點E,

F,G,H.

①如圖2.連接歐?，FH交于點p.求證：EGLFH.

②如圖3,連接OB.OC,若。4?：!，08=6,。。=3,求內切圓。。的半徑「及。0的長.

__________W

29.（2024?吉林?中考真題）圖①、圖②均是4x4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點.點4B,C,

均在格點上.圖①中已畫出四邊形圖②中已畫出以為半徑的。。，只用無刻度的

直尺，在給定的網格中按要求畫圖.

⑴在圖①中，面出四邊形幺灰7）的一條對稱軸.

（2）在圖②中，畫出經過點E的。。的切線.

30.（2024?貴州?中考真題）綜合與探究:如圖，乙1OB=90°,點P在乙4OB的平分線上，以1于點4

（1）【操作判斷】

如圖①，過點？作81。8于點C,根據題意在圖①中畫出汽:圖中一APC的度數為度；

（2）【問題探究】

如圖②，點河在線段火。上，連接小，過點尸作小J.PM交射線于點N,求證：OM+ON-：!P4；

（3）【拓展延伸】

點M在射線月。上，連接4九過點P作肘_L血交射線OB于點、N,射線A”與射線R?相交于點尸,

OP

若ON=3OM,求彳的值.

?.里也,桑徑定理

31.（2024?陜西西安?模擬預測）唐代李皋發明了“槳輪船”，他設計的槳輪船在船的舷側或尾部裝有帶有槳葉

的槳輪，通過人力踩動槳輪軸來推動船體前進.這種船的槳輪下半部浸入水中上半部露出水面，因其推

進方式類似車輪，故又被稱為“槳輪船”或“輪船”.如圖，該槳輪船的輪子的橫截面為。。，輪子被水面

截得線段A8長為12m，輪子的吃水深度CD長為2m，則該槳輪船輪子半徑為（）

A.8mB.6mC.10mD.12m

32.（2024?吉林長春?一模）如圖，簡車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全

書》中描繪了簡車的工作原理，簡車盛水桶的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方,

且圓的半徑以長為6米，NQ45-42。.則簡車盛水桶到達的最高點。到水面乂B的距離是（）

A.6sin4TB.6+6sin4TC.6+6cos42°D.6+6tan42,

33.（2024?湖北?一模）一次綜合實踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺,測量一次性紙杯杯口的直徑.小

明同學所在的學習小組設計了如下方法:如圖,將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相

交于A、B、。四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為7cm,AB-3cm,CD-6cm.請你根據上述

數據計算紙杯的直徑是（）

D.10.2cm

34.（2024?江蘇南京?一模）圓在中式建筑中有著廣泛的應用.如圖，某園林中圓弧形門洞的頂端到地面的高1

度為23m,地面入口的寬度為1m，門枕的高度為03m，則該圓弧所在圓的半徑為m.

_________畝

35.（2024?浙江杭州?模擬預測）江南水鄉杭州有很多小河和石拱橋，石拱橋是中國傳統橋梁四大基本形式之

一，它的主橋拱是圓弧形.如圖，已知曲院風荷的一座石拱橋的跨度6米，拱高CD=有米,那么橋

拱所在圓的半徑。力=米，弧的長度為米.

D~7^8

6

36.（2024?山東濟南?模擬預測）《九章算術》中有這樣一道題:“今有圓材埋于壁中，不知大小.以鋸鋸之，深

一寸，鋸道長一尺.問徑幾何?”其大意為:今有一圓柱形木材埋在墻壁中，不知其大小.設其橫截面為

。。，用鋸子去鋸這個木材,鋸口深為1寸,鋸道長CD為1尺.由此可得這塊圓柱形木材橫截面的

直徑是尺.（注：1尺=10寸）

37.（2024?云南昆明?一模）往一個圓柱形管道內注入一些水以后，發現其橫截面如圖所示，若水面寬A8為

24an，水的最大深度CD為8cm，求圓柱形管道橫截面的直徑.

C

38.(2024?廣東廣州?模擬預測)定義:三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段,且這兩條線段的乘積等于這

個點到這邊所對頂點連線段的平方，則稱這個點為這個三角形該邊的“好點”.如圖1,在一月BC中，點

。是BC邊上的一點，連接功，若8,則稱點。是一月質？中邊的“好點”.

⑴如圖1,在_?中，BC=4,若點。是邊BC的“好點”，且%)=1，則線段切的長是；

⑵如圖2,0。是一月BC的外接圓，點E在邊上，連接CE并延長，交。。于點。，連接。后、2D、

4),若點E是一8co中邊CD的“好點”，。后〃初，求證爐+E。2；

(3)在(2)的條件下，點P是。。上一點,連接。尸交4。于點Q,連接。尸、。。，若。3=6,一朝為等

腰直角三角形，。。1。尸，求月。的長.

眇

39.（2024?陜西西安?模擬預測）【問題提出】

如圖1,在中，4。=絲,式'=4,作①）//5,垂足為月，且也）?48,連接8,求一88的面積.

【問題解決】

某市著力打造宜居宜業現代化生態城市，為了呈現出園在城中秀，湖在園中美的迷人畫卷，如圖2所示,

現在一處空地上規劃一個五邊形湖景公園ABCDE.按設計要求,要在五邊形湖景公園ABCDE內挖個四

邊形人工湖即GH，使點尸，G分別在邊CD即上，且&=*=網=100屈1,加6=90°,

N盟7G?60?.已知五邊形陽皿中，4=NB=NC=90°,BC=60（hn,DC=500m.為滿足人工湖的造

景需要，想讓人工湖面積盡可能大.請問，是否存在符合設計要求的畫積最大的四邊形人工湖即'GH?

若存在，求四邊形即G目面積的最大值;若不存在，請說明理由（結果保留根號）.

圖1圖2

40.(2024.遼寧.一模)如圖，乂B是。。的直徑，CD是的弦，481CD,垂足是點過點。作直線分別

與AB,nD的延長線交于點E,尸，且ZECD=2Z.BAD.

(1)求證：C尸是。。的切線.

(2)如果46=10,CD?6

①求月后的長.

②求一曲的面積.

題型五

41.(2024.安徽合肥.一模)如圖，乂B為0。的直徑，弦CD1>15,垂足為點以連接。C,若。。的半徑為4,

zL4BD=30°,^ijCD-()

B

A.V3+4B.2>/3+2C.4史D.4"

42.（2024?湖南?模擬預測）如圖，乂M是半圓。的直徑,6,點4靠近點M）是半圓O的三等分點，點B

是弧AN上一動點，乂Cl48交BM于點。，當點B從人運動至點N時，點。運動的路徑長是.

43.（2024?甘肅?模擬預測）鴛鴦玉是指產于甘肅武山縣鴛鴦鎮一帶的超基性巖石,又名蛇紋石玉，因其結構

細密,質地細膩堅韌，抗壓、抗折、抗風化性好，可琢性強，光澤晶瑩，而成為玉雕工藝品、高檔農具的配套

鑲嵌和高級飾面之理想材料.如圖，是一個半徑為3cm的半圓形的鴛鴦玉石是半圓O的直徑，C,

。是弧上兩點，乙1DC=13O°.張師傅在這塊玉石上切割了一塊扇形玉石（陰影部分）做吊墜，則這塊扇

形玉石的面積是.

44.（2024.江蘇南京.二模）如圖，幺B、CD是。。的兩條弦，力。與80相交于點E,48?CD.

⑴求證:乂0=肛

（2）連接BC，作直線瓦），求證：EO.

45.（2024.湖南.模擬預測）綜合與實踐

“樂思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論:對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組繼續

利用上述結論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段/C同側有兩點連接4DM5BUCD,如果NB=/D,那么0,0四點在同一

個圓上.

探究展不：

如圖2,作經過點A,C,。的O，在劣弧力。上取一點E（不與A,。重合），連接月E,CE，則

乙耽+/。-180。（依據1）

；NB=ZD，

Z2JC+ZB-180*.

.??點A,B,c,E四點在同一個圓上.（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

.?.點在點所確定的,。上.（依據2）

.?.點A,B,C,D四點在同一個圓上.

反思歸納：

（1）上述探究過程中的“依據1”“依據2”分別是指什么？

依據1：.

依據2：.

如圖3,在四邊形ABCD中，Nl=Z2.Z3=45。，則N4的度數為.

（2）拓展探究：

⑶如圖4,已知一月BC是等腰三角形，［8=幺。，點。在BC上（不與BC的中點重合），連接⑷）.作點

。關于4D的對稱點E,連接踮并延長交加）的延長線于點尸，連接力￡DE.求證：4,。，B,E四點共

圓.

46.（2024.貴州.模擬預測）如圖，0。是_45。的外接圓，乂B是。。的直徑，切線CD交乂B的延長線于點

。，施1CD,垂足為點瓦延長即交。。于點尸，連接

屏

⑴若/CKB=20°,則NCB4=度；

⑵求證：FC平分ZBF。；

RR4

（3）若。。的半徑為4，■，求taM的值.

47.（2024?陜西?模擬預測）如圖，一的內接于。。，。是0。的直徑的延長線上一點，

ZPCff-一以。，過圓心。作BC的平行線交DC的延長線于點E.

⑴求證：CD是。。的切線；

⑵若AB~CE~4，求CD的長.

48.(2024.西藏?中考真題)如圖，是。。的直徑，C,。是。。上兩點，連接力。，BC,。。平分4CD,

CE工DB,交D8延長線于點E.

C

(1)求證：Cff是。。的切線；

_3

sinD?一

⑵若。。的半徑為5,5，求應)的長.

49.(2024?廣東?模擬預測)如圖，乂B是O。的直徑，點C是半圓的中點，點。是O。上一點，連接CD交

于E,點斤是延長線上一點，且呼=D尸.

(1)求證：*'是。。的切線；

(2)連接BCBD,愈，若3°=，，。月?3,求0。的半徑.

50.(2024?吉林長春?模擬預測)【教材呈現】如圖是華師版九年級上冊數學教材第103頁的部分內容.

通過該問題的證明，得出了直角三角形的一條性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

請根據教材內容.結合圖①，寫出完整的證明過程.

(1)如圖②，已知4B是半圓。的直徑.點。在半圓上，點。為RtA4BD的直角頂點，若CD平分

N4c5,則乙.

(2)如圖③,在RtZUBC中，2C?90°,4。-4,?3,點。為邊CB上的定點，點p為射線加上的動

點，連結CP.當線段BP的長度最短時，若。2,則點。到射線功的距離為

題型六點、直線、圄的位置關系

51.（2024?浙江?模擬預測）如圖，X,匕2是某社區的三棟樓，打-401】】，W=30血，月-5011].若在XZ中

點河處建一個5G網絡基站，該基站的覆蓋半徑為26m,則這三棟樓中在該基站覆蓋范圍內的是

（）

52.（2024.湖北.模擬預測）一月BC的三邊,從「，氏的長度分別是3,4,5,以頂點A為圓心，2.4為半徑

作圓，則該圓與直線比的位置關系是（）

A.相交B.相離C.相切D.以上都不是

53.（2024?上海?模擬預測）如圖，在梯形人反'D中，AD//BC,^8-9^,CD-\6,BC-22）+6,如果以CD

為直徑的圓與梯形4BCD各邊共有3個公共點（。，。兩點除外），那么人。長的取值范圍是（）

A.5<AD<i6B.5<>1D<8C.5<AD<iD.Q<AD<5

54.（2024?河南?模擬預測）如圖，。。是㈤J的外接圓，點M是&HIJ的內心，若?7?！?則乙M的度數

55.（2024.河北.模擬預測）如圖，一月50內接于。OH。為。。的直徑，點。，后分別為。。上的動點（不與點

4點B,點。重合），且方=無，b為DE的中點，連接8.若月8=6金。=8,對于結論/,II,下列判斷

正確的是（）

結論人連接BD,CD,CE,EB必得到等腰梯形；

結論II：連接力尸/尸的最大值為8.

A.1,11都對B.1,11都不對c./對n不對D./不對II對

56.（2024?上海沖考真題）在_女中，4。?3,?7?4,"?5”1^^在一月及？內，分別以4B、P為圓心

畫，圓A半徑為1，圓B半徑為2,圓P半徑為3,圓A與圓F內切，圓P與圓E的關系是（）

A.內含B.相交C.外切D.相離

57.（2024.湖北.模擬預測）如圖，四邊形是矩形，后為AB上一點，尸為CD上一點.AB-3，且

AB_BE

反7=而=，過點。作DG1,垂足為G,連接的，則BG的最小值為.

AD

BC

昌

58.（2024?山東?模擬預測）如圖，在直線r一了,上取一點力，使0月?1.過點其作48L',交宓軸于點

,也.

瓦；在直線=丁'上找一點4,使48=04，過點兒作4月1/,交力軸于點耳；在直線,：

73

'~~上找一點A,使4B……以此類推.若心耳?］的內切圓圓心為0,二&8：的內切圓圓

心為q,_4OS,的內切圓圓心為Q……以此類推，二4OE的內切圓圓心「的坐標為

59.（2024.北京.模擬預測）平面中有四個點43,。,。［3交8于點〃使得41/*可?也*。”.三角形

乂5c的外接圓為。0.表示ZD。。和-24。的關系

60.（2024?上海?模擬預測）若相交兩圓的半徑分別為4和5,公共弦長為6,兩圓圓心距長為.

61.（2024.天津.三模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點4b。均為格點，以A為圓心，幺。

長為半徑的圓交乂B于點E.

（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出一個點P（點P,C在人B的兩側），使其滿足

PA=BA,PE=BC.并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）.

62.（2024?上海?三模）在△ABC中，5C-6,$…-1S，正方形DEFG的邊FG在BC上，頂點。，E分別在

AB,AC±..

⑴如圖1,過點A作乂H1BC于點H,交〃于點K,求:正方形DEFG的邊長；

(2)如圖］，在BE上取點M,作MM1E0于點N,〃DE交48于點。，7，BC于點p,求證：四邊

形MNP0是正方形；

tan』EBF~

(3)如圖3,在BE上取點R,使成-尸E,連接及？，即，若4試判斷點R與以GP為直徑的

圓的位置關系并說明理由

63.(2024.北京.模擬預測)A和B為圓。上兩定點，。為圓。上不與43重合的動點._月50的垂心為

H,M點為BC中點，連期交OK于。.連MCH.

⑴直接寫出月H與。M的位置關系；

(2)探究AD和DM的數量關系，并證明；

(3)直接寫出點。和點H在運動過程中所經過距離的比；

【思考題】以一48c為例證明:三角形的內心、外心、重心共線.

64.(2024?四川成都?模擬預測)如圖，在中，BCJ■期，點/在BE上，以幺B為直徑的。。交。。的延

長線于點G,過點E作即，CG于點F,ZFEB=ZECG.

(1)求證：Cff是。。的切線；

BC_4

(2)若麗=4,求tan/BC。的值.

65.(2024.上海.模擬預測)已知一4BC的內心為。VI.

(1)如果二月50的外心也為O,求證:一月BC為等邊三角形,并尺規作線段4。；

ABAC

⑵延長40交邊BC于E,求證：或=~CE.

66.（2024.上海.模擬預測）如圖，是圓O直徑，弦CE上AB,垂足為。，圓O周長為4萬，乂。?2舊

（1）AE，求，，的內切圓的面積;

⑵BC,?！?求證：

67.（2024.湖南.模擬預測）如圖，幺B為9的直徑，C為。上一點，連接C5,過C作。）_LX5于點。，過

C作NDCE，使NDCE=2NBCD,其中CS交48的延長線于點E.

（1）求證:。%是G；。的切線.

⑵如圖2,點F是。上一點，且滿足4c￡=?乙15C,連接行并延長交E。的延長線于點G.

①試探究線段”與CD之間滿足的數量關系；

②若CD-4,回讓"。*=：,求線段4r的長.

68.（2024.貴州.模擬預測）如圖，四邊形月BCD內接于。。，43=月。，ZABD=2CBE,BE交。。于點F,

三點共線.

（1）圖中與月。相等的是；

⑵求證：私〃4）；

cos￡*--

⑶若40=6,3，求（7E的長.

69.（2024.湖北.模擬預測）如圖，點A，8，。，。都在。。上,4。。?120°，3是弧乂。的中點.

⑴求證：四邊形乂BC。是菱形；

⑵若CD=4"D=5,求00的半徑.

70.（2024?安徽?模擬預測）如圖1,在平面直角坐標系中，二次函數『=\：+公+，的圖象交匯軸于4（-1°）②

兩點，月3=4，。為拋物線頂點.

（1）求b,C的值；

（2）點p為直線AC下方拋物線上一點，過點F作出11軸，垂足為點。，交4C于點M，是否存在

QM=3PM?若存在，求出此時p點坐標;若不存在,請說明理由；

CN+-AN

（3）如圖2,以B為圓心，2為半徑作圓，N為圓B上任一點，求2的最小值.

題型七正多邊形和Bl

71.（2024?山西?模擬預測）《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法

來近似估算圓的面積，指出“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失

矣”.這部著作的作者是（）

A.祖沖之B.劉徽C.趙爽D.張衡

72.（2024.河北.模擬預測）如圖，正六邊形4BCD即和正六邊形GHUKL均以點O為中心，連接

AG,BH,CI,EJ,EK,以（A,G,H三點共線），若二〃=3,則正六邊形人優少射的邊長為

（）

C.曬D.19

73.（2024.內蒙古.中考真題）如圖，正四邊形月BCD和正五邊形。甌汨內接于。。，4。和肝相交于點

則乙防的度數為（）

B.27,C.28,D.30-

74.（2024.浙江.一模）如圖，正方形的邊長為2，以八〃邊上的動點。為圓心，08為半徑作圓，將

-月。。沿翻折至若。。過—'3一邊上的中點，則0。的半徑為

75.（2024?湖南?模擬預測）如圖,有一個亭子地基是半徑為8米的正六邊形,則地基的面積為平方米.

76.（2024?廣東?模擬預測）《墨子?天志》記載:“輪匠執其規、矩，以度天下之方圓.”知圓度方，感悟數學之美.

如圖，以正方形月BCD的對角線交點為位似中心，作它的位似圖形,若四邊形乂'8'。'。'的外接圓

半徑為4,48:月3=2:1,則正方形月BCD的周長為.

77.（2024.廣東.模擬預測）如圖，已知正六邊形4BCD*的邊長為2,分別以頂點為圓心，正六邊形邊

長為半徑畫班.0b，兩弧的交點為O,則圖中陰影部分的面積為.

78.（2024?河北?模擬預測）某廠家要設計一個裝彩鉛的紙盒，已知每支筆形狀、大小相同，底面均為正六邊

形，六邊形的邊長為1cm,目前廠家提供了圓形和等邊三角形兩種作為底面的設計方案,我們以6支彩鉛

為例，可以設計如圖收納方案一和收納方案二，你認為底面積更小的是方案，兩種方案底面積差

為（結果保留根號）

79.（2024?山西?中考真題）閱讀與思考

____________回

下面是博學小組研究性學習報告的部分內容,請認真閱讀，并完成相應任務.

關于"等邊半正多邊形”的研究報告

博學小組

研究對象:等邊半正多邊形

研究思路:類比三角形、四邊形，按"概念-性質-判定”的路徑，由一般到特殊進行研究.

研究方法:觀察（測量、實驗）-猜想-推理證明

研究內容：

【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數為偶數），若其各邊都相等,且相間的角相等、相鄰的角不相等,我

們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形.如圖1,我們學習過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊

形，類似地,還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…

【特例研究】根據等邊半正多邊形的定義,對等邊半正六邊形研究如下：

概念理解：如圖2,如果六邊形乂BCD呼'是等邊半正六邊形，那么月B=BC=CD=DE=M=班，

N4=NC=NE,,且〃.ZB.

性質探索:根據定義,探索等邊半正六邊形的性質,得到如下結論：

內角:等邊半正六邊形相鄰兩個內角的和為

對角線：

任務：

⑴直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內容:.

（2）如圖3,六邊形4BCD即是等邊半正六邊形.連接對角線月D,猜想上剛。與AFAD的數量關系，并

說明理由；

（3）如圖4,已知△40E是正三角形，。。是它的外接圓.請在圖4中作一個等邊半正六邊形乂麻

（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡,不寫作法）.

80.(2024.上海.三模)新定義1：多邊形頂點之間最長距離與