2024-2025學(xué)年貴州省黔南州九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題2分，共24分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（2分）祥蛇納福，瑞氣盈堂．愿君新歲似靈蛇，身姿矯健躍高峰．祝福所有九年級(jí)學(xué)子6月勇奪桂冠．現(xiàn)將祥蛇納福圖繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的圖形是（）A． B． C． D．2．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的一個(gè)根是（）A．x＝2 B．x=12 C．x＝4 3．（2分）下列成語(yǔ)反映的事件中，發(fā)生的可能性最大的是（）A．守株待兔 B．大海撈針 C．返老還童 D．旭日東升4．（2分）如圖，在⊙O中，∠D＝35°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．110° B．140° C．145° D．155°5．（2分）若點(diǎn)A（﹣2，y1），B（0，y2）都在拋物線y＝2x2﹣3上，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．不能確定6．（2分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心，4為半徑作圓，下列說(shuō)法中，正確的是（）A．點(diǎn)B在圓內(nèi) B．點(diǎn)C在圓上 C．點(diǎn)D在圓外 D．點(diǎn)D在圓內(nèi)7．（2分）拋物線y＝x2﹣5x+2與x軸的交點(diǎn)情況為（）A．沒(méi)有交點(diǎn) B．只有一個(gè)交點(diǎn) C．有兩個(gè)交點(diǎn) D．不能判斷8．（2分）若x1，x2是方程x2+x﹣6＝0的兩個(gè)根，則x1x2﹣（x1+x2）的值為（）A．6 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣69．（2分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx與直線y＝ax+b的大致圖象可能是（）A． B． C． D．10．（2分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB平分弦CD，交CD于點(diǎn)E，若∠ACD＝30°，BC＝2，則CD的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．211．（2分）用一金屬圓柱體材料切削加工成橫截面是正六邊形的螺帽，其形狀和尺寸如圖所示，則該金屬圓柱體材料的底面直徑長(zhǎng)至少是（）A．2cm B．23cm C．433cm 12．（2分）在修建貴南高鐵某路段時(shí)，需對(duì)鐵路旁邊某一斜坡進(jìn)行加固，現(xiàn)用混凝土噴射機(jī)將混合料噴射到坡面，如圖是噴射機(jī)工作時(shí)的截面圖，以噴出口為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，若混合料的噴出路線可以用二次函數(shù)y=?18x2+2x刻畫(huà)，斜坡可以用一次函數(shù)y＝xA．6 B．62 C．8 二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．14．（3分）一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和n個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸到白球的概率是25，則n的值為15．（3分）國(guó)產(chǎn)某品牌無(wú)人機(jī)憑借它在AI和精準(zhǔn)飛控方面的強(qiáng)大技術(shù)優(yōu)勢(shì)，使其在銷量上獨(dú)占鰲頭．該品牌無(wú)人機(jī)在某次的方陣表演中，如圖，無(wú)人機(jī)原來(lái)排成3行4列，后又增加了30架，使得方陣增加的行、列數(shù)相同，則增加了多少行？設(shè)方陣增加的行數(shù)為x行，根據(jù)題意可列方程為．16．（3分）如圖，P為矩形ABCD外一點(diǎn)，∠APB＝90°，AB＝2，BC＝3，則PD的最大值為．三、解答題（本大題共9小題，共64分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（6分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（x﹣3）2＝9；（2）x2﹣x﹣2＝0．18．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，﹣3），B（3，﹣1），C（2，0）．（1）畫(huà)出△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A1B1C1；（2）求（1）中點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑AA1的長(zhǎng)（結(jié)果保留19．（5分）已知拋物線y＝ax2﹣2x+3（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）．（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是．20．（8分）某校理科社團(tuán)決定采用抽卡片的方式對(duì)招募來(lái)的學(xué)生進(jìn)行分組，制作了除圖片內(nèi)容不同外，其他完全相同的四張卡片：A．積土成山B．蠟炬成灰C．物腐蟲(chóng)生D．木已成舟．每個(gè)同學(xué)從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到表示化學(xué)變化的卡片，就加入化學(xué)魔法社；抽到表示物理變化的卡片，就加入物理小天團(tuán)．（物理變化和化學(xué)變化的區(qū)別在于是否有新物質(zhì)生成）（1）從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到B卡片的概率是．（2）有同學(xué)說(shuō)抽到每種卡片的可能性不一樣，于是老師組織同學(xué)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)．以抽到B卡片為例，數(shù)據(jù)記錄如下：試驗(yàn)次數(shù)n10030050010002000抽到B卡片次數(shù)m3070126251500抽到B卡片頻率m0.3000.2330.2520.2510.250根據(jù)以上數(shù)據(jù)，抽到B卡片的頻率越來(lái)越穩(wěn)定于（精確到0.01），所以該同學(xué)的說(shuō)法（用“正確”或“錯(cuò)誤”填空）；（3）小娜隨機(jī)抽取一張卡片記錄后，放回并混在一起，再由小菲隨機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求她們恰好在同一個(gè)社團(tuán)的概率．21．（5分）閱讀下列材料：為解方程x4﹣x2﹣6＝0，可將方程變形為（x2）2﹣x2﹣6＝0，然后設(shè)x2＝y(tǒng)，則（x2）2＝y(tǒng)2，原方程化為y2﹣y﹣6＝0①，解①得y1＝﹣2，y2＝3．當(dāng)y1＝﹣2時(shí)，x2＝﹣2無(wú)意義，舍去；當(dāng)y2＝3時(shí)，x2＝3，解得x=±3，∴原方程的解為x上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題．利用以上學(xué)習(xí)到的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0．22．（9分）某種商品的銷售單價(jià)y1（元/件）與銷售月份x（月）之間的關(guān)系如圖1所示（圖象呈線段）；每件的成本y2（元/件）與銷售月份x（月）之間的關(guān)系如圖2所示（圖象呈拋物線），且8月份該商品的成本達(dá)到最低．（1）求5月至7月該商品銷售單價(jià)的月平均降價(jià)率．（2）求該商品銷售單價(jià)y1關(guān)于銷售月份x的函數(shù)解析式．（3）在5月至8月中，哪個(gè)月銷售這種商品，每件獲得的利潤(rùn)最大？（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣成本）23．（8分）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了圓的切線判定定理后，討論了過(guò)圓外一點(diǎn)P，用尺規(guī)作⊙O的切線PA和PB的方法：①連接PO1，分別以點(diǎn)P和點(diǎn)O1，為圓心，大于12PO1的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于②作直線MN交線段PO1于點(diǎn)O2；③以點(diǎn)O2為圓心，PO2的長(zhǎng)為半徑作圓⊙O2，與⊙O1相交于A，B兩點(diǎn)；④連接PA，PB．PA和PB即是所求的切線．（1）根據(jù)上述作法，求證：PA，PB是⊙O1的切線；（2）若PA＝8，AO1＝4，求AB的長(zhǎng)．24．（8分）排水渠的橫截面常常被設(shè)計(jì)成拋物線形狀，其中蘊(yùn)含的原理很多．從結(jié)構(gòu)力學(xué)角度看，拋物線形狀能夠使排水渠更好地承受來(lái)自土壤和水的壓力．從水力學(xué)角度講，拋物線形狀有利于水流的快速通過(guò)．如圖，某一排水渠的橫截面呈拋物線形，水面寬度AB＝4m，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是y=1（1）求此時(shí)水面的最大高度．（2）若水面上升0.5m，則水面寬度將增加多少米？25．（9分）如圖1所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．連接BD，CE．（1）當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，求證：BD＝CE．（2）當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到C，D，E三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖3．①BD和CE還相等嗎？BDCE（用“＝”或“≠”填空）．②若∠BAC＝120°，猜想DA，DB，DC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

2024-2025學(xué)年貴州省黔南州九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號(hào)1234567891011答案BADCAACCDBC題號(hào)12答案A一、選擇題（本大題共12小題，每小題2分，共24分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（2分）祥蛇納福，瑞氣盈堂．愿君新歲似靈蛇，身姿矯健躍高峰．祝福所有九年級(jí)學(xué)子6月勇奪桂冠．現(xiàn)將祥蛇納福圖繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的圖形是（）A． B． C． D．【解答】解：現(xiàn)將祥蛇納福圖繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的圖形是選項(xiàng)B．故選：B．2．（2分）一元二次方程x2﹣4＝0的一個(gè)根是（）A．x＝2 B．x=12 C．x＝4 【解答】解：x2﹣4＝0，x2＝4，則x＝±2，所以x1＝2，x2＝﹣2，顯然只有A選項(xiàng)符合題意．故選：A．3．（2分）下列成語(yǔ)反映的事件中，發(fā)生的可能性最大的是（）A．守株待兔 B．大海撈針 C．返老還童 D．旭日東升【解答】解：下列成語(yǔ)反映的事件中，發(fā)生的可能性最大的是：旭日東升，故選：D．4．（2分）如圖，在⊙O中，∠D＝35°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．110° B．140° C．145° D．155°【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠D＝35°，∴35°+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝145°．故選：C．5．（2分）若點(diǎn)A（﹣2，y1），B（0，y2）都在拋物線y＝2x2﹣3上，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．不能確定【解答】解：把A（﹣2，y1），B（0，y2）分別代入y＝2x2﹣3得y1＝2×（﹣2）2﹣3＝5，y1＝2×02﹣3＝﹣3，所以y1＞y2．故選：A．6．（2分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心，4為半徑作圓，下列說(shuō)法中，正確的是（）A．點(diǎn)B在圓內(nèi) B．點(diǎn)C在圓上 C．點(diǎn)D在圓外 D．點(diǎn)D在圓內(nèi)【解答】解：因?yàn)锳B＝3，r＝4，3＜4，所以點(diǎn)B在圓內(nèi)；因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，AB＝3，BC＝4，所以AC=AB2所以點(diǎn)C在圓外；因?yàn)锳D＝4，r＝4，4＝4，所以點(diǎn)D在圓上．故選：A．7．（2分）拋物線y＝x2﹣5x+2與x軸的交點(diǎn)情況為（）A．沒(méi)有交點(diǎn) B．只有一個(gè)交點(diǎn) C．有兩個(gè)交點(diǎn) D．不能判斷【解答】解：由題意，∵拋物線為y＝x2﹣5x+2，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2＝25﹣8＝17＞0．∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．故選：C．8．（2分）若x1，x2是方程x2+x﹣6＝0的兩個(gè)根，則x1x2﹣（x1+x2）的值為（）A．6 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣6．∴x1x2﹣（x1+x2）＝﹣6﹣（﹣1）＝﹣5．故選：C．9．（2分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx與直線y＝ax+b的大致圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：在A中，由一次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，由二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；在B中，由一次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＞0，由二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；在C中，由一次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，由二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；在D中，由一次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，由二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；故選：D．10．（2分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB平分弦CD，交CD于點(diǎn)E，若∠ACD＝30°，BC＝2，則CD的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．2【解答】解：如圖，連接OC．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB平分弦CD，∴AB⊥CD，∴∠BEC＝90°，∵∠ACD+∠BCE＝∠ABC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠ABC＝30°，∴CE＝BC?sin∠ABC＝2×1∴CD＝2CE＝2．故選：B．11．（2分）用一金屬圓柱體材料切削加工成橫截面是正六邊形的螺帽，其形狀和尺寸如圖所示，則該金屬圓柱體材料的底面直徑長(zhǎng)至少是（）A．2cm B．23cm C．433cm 【解答】解：如圖，設(shè)點(diǎn)O為正六邊形的中心，過(guò)點(diǎn)O作OC垂直于正六邊形的AB邊，C為垂足，連接OA．因此可知OC＝1cm，∠AOC=1∴OA=OCcos∠AOC=該金屬圓柱體材料的底面直徑長(zhǎng)至少是2OA=433故選：C．12．（2分）在修建貴南高鐵某路段時(shí)，需對(duì)鐵路旁邊某一斜坡進(jìn)行加固，現(xiàn)用混凝土噴射機(jī)將混合料噴射到坡面，如圖是噴射機(jī)工作時(shí)的截面圖，以噴出口為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，若混合料的噴出路線可以用二次函數(shù)y=?18x2+2x刻畫(huà)，斜坡可以用一次函數(shù)y＝xA．6 B．62 C．8 【解答】解：由題意，聯(lián)立方程組y=?1∴x=12y=6或x=?4∴M的坐標(biāo)為（12，6）．∴點(diǎn)M到噴出口所在水平面的垂直距離是6．故選：A．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，3）．【解答】解：點(diǎn)P（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．14．（3分）一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和n個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸到白球的概率是25，則n的值為2【解答】解：根據(jù)題意得nn+3解得n＝2，經(jīng)檢驗(yàn)：n＝2是分式方程的解．故答案為：2．15．（3分）國(guó)產(chǎn)某品牌無(wú)人機(jī)憑借它在AI和精準(zhǔn)飛控方面的強(qiáng)大技術(shù)優(yōu)勢(shì)，使其在銷量上獨(dú)占鰲頭．該品牌無(wú)人機(jī)在某次的方陣表演中，如圖，無(wú)人機(jī)原來(lái)排成3行4列，后又增加了30架，使得方陣增加的行、列數(shù)相同，則增加了多少行？設(shè)方陣增加的行數(shù)為x行，根據(jù)題意可列方程為（3+x）（4+x）＝3×4+30．【解答】解：設(shè)方陣增加的行數(shù)為x行，則新方陣增加了x列，由題意得：（3+x）（4+x）＝3×4+30．故答案為：（3+x）（4+x）＝3×4+30．16．（3分）如圖，P為矩形ABCD外一點(diǎn)，∠APB＝90°，AB＝2，BC＝3，則PD的最大值為10+1【解答】解：如圖，以AB為直徑作⊙O，連接OD在矩形ABCD外部交⊙O于點(diǎn)P，則此時(shí)PD有最大值，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∴OP＝AO＝1，∠BAD＝90°，∴OD=A∴PD＝OD+OP=10即PD的最大值為10+故選：10+三、解答題（本大題共9小題，共64分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（6分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（x﹣3）2＝9；（2）x2﹣x﹣2＝0．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝9，則x﹣3＝±3，所以x1＝0，x2＝6．（2）x2﹣x﹣2＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，則x=1±所以x1＝2，x2＝﹣1．18．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，﹣3），B（3，﹣1），C（2，0）．（1）畫(huà)出△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A1B1C1；（2）求（1）中點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑AA1的長(zhǎng)（結(jié)果保留【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）由勾股定理得，OA=1∴點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑AA1的長(zhǎng)為19．（5分）已知拋物線y＝ax2﹣2x+3（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）．（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是2≤y≤11．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），∴a×22﹣2×2+3＝3，解得a＝1．∴這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x+3；（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y有最小值，最小值為2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝42﹣2×4+3＝11，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍為2≤y≤11．故答案為：2≤y≤11．20．（8分）某校理科社團(tuán)決定采用抽卡片的方式對(duì)招募來(lái)的學(xué)生進(jìn)行分組，制作了除圖片內(nèi)容不同外，其他完全相同的四張卡片：A．積土成山B．蠟炬成灰C．物腐蟲(chóng)生D．木已成舟．每個(gè)同學(xué)從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到表示化學(xué)變化的卡片，就加入化學(xué)魔法社；抽到表示物理變化的卡片，就加入物理小天團(tuán)．（物理變化和化學(xué)變化的區(qū)別在于是否有新物質(zhì)生成）（1）從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到B卡片的概率是14（2）有同學(xué)說(shuō)抽到每種卡片的可能性不一樣，于是老師組織同學(xué)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)．以抽到B卡片為例，數(shù)據(jù)記錄如下：試驗(yàn)次數(shù)n10030050010002000抽到B卡片次數(shù)m3070126251500抽到B卡片頻率m0.3000.2330.2520.2510.250根據(jù)以上數(shù)據(jù)，抽到B卡片的頻率越來(lái)越穩(wěn)定于0.25（精確到0.01），所以該同學(xué)的說(shuō)法錯(cuò)誤（用“正確”或“錯(cuò)誤”填空）；（3）小娜隨機(jī)抽取一張卡片記錄后，放回并混在一起，再由小菲隨機(jī)抽取一張，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求她們恰好在同一個(gè)社團(tuán)的概率．【解答】解：（1）從四張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到B卡片的概率是14故答案為：14（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，抽到B卡片的頻率越來(lái)越穩(wěn)定于0.25，所以該同學(xué)的說(shuō)法錯(cuò)誤；故答案為：0.25，錯(cuò)誤；（3）列表如下小菲小娜ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）由表可以看出，共有16種等可能的結(jié)果，其中小娜和小菲恰好在同一個(gè)社團(tuán)的結(jié)果有8種，∴P（恰好在同一社團(tuán)）=821．（5分）閱讀下列材料：為解方程x4﹣x2﹣6＝0，可將方程變形為（x2）2﹣x2﹣6＝0，然后設(shè)x2＝y(tǒng)，則（x2）2＝y(tǒng)2，原方程化為y2﹣y﹣6＝0①，解①得y1＝﹣2，y2＝3．當(dāng)y1＝﹣2時(shí)，x2＝﹣2無(wú)意義，舍去；當(dāng)y2＝3時(shí)，x2＝3，解得x=±3，∴原方程的解為x上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題．利用以上學(xué)習(xí)到的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0．【解答】解：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0，（x2﹣2x）2﹣5（x2﹣2x）+6＝0，設(shè)y＝x2﹣2x，則（x2﹣2x）2＝y(tǒng)2，原方程化為y2﹣5y+6＝0，解得y1＝2，y2＝3．當(dāng)y1＝2時(shí)，x2﹣2x＝2，解得x=1±3當(dāng)y2＝3時(shí)，x2﹣2x＝3，解得x＝3，﹣1．原方程的解為x122．（9分）某種商品的銷售單價(jià)y1（元/件）與銷售月份x（月）之間的關(guān)系如圖1所示（圖象呈線段）；每件的成本y2（元/件）與銷售月份x（月）之間的關(guān)系如圖2所示（圖象呈拋物線），且8月份該商品的成本達(dá)到最低．（1）求5月至7月該商品銷售單價(jià)的月平均降價(jià)率．（2）求該商品銷售單價(jià)y1關(guān)于銷售月份x的函數(shù)解析式．（3）在5月至8月中，哪個(gè)月銷售這種商品，每件獲得的利潤(rùn)最大？（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣成本）【解答】解：（1）設(shè)5月至7月該商品銷售單價(jià)的月平均降價(jià)率為x，根據(jù)題意得：50（1﹣x）2＝32，解得x1＝0.2，x2＝1.8（不符合題意，舍去），答：5月至7月該商品銷售單價(jià)的月平均降價(jià)率為20%；（2）設(shè)y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為y1＝kx+b，把點(diǎn)（5，50）與點(diǎn)（7，32）代入y1＝kx+b中得：5k+b=507k+b=32解得：k=?9b=95∴y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y1＝﹣9x+95；（3）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（8，21），∴設(shè)y2關(guān)于x的函數(shù)解析式為y2把點(diǎn)（5，30）代入y2a（5﹣8）2+21＝30，解得：a＝1，∴y2設(shè)銷售這種商品每件獲得的利潤(rùn)是w元．則w=y∵a＝﹣1，b＝7，∴?b∴該拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸直線是x=7∴在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小．∵x＝5，6，7，8，∴當(dāng)x＝5時(shí)，w取最大值，∴5月銷售這種商品，每件獲得的利潤(rùn)最大．23．（8分）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了圓的切線判定定理后，討論了過(guò)圓外一點(diǎn)P，用尺規(guī)作⊙O的切線PA和PB的方法：①連接PO1，分別以點(diǎn)P和點(diǎn)O1，為圓心，大于12PO1的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于②作直線MN交線段PO1于點(diǎn)O2；③以點(diǎn)O2為圓心，PO2的長(zhǎng)為半徑作圓⊙O2，與⊙O1相交于A，B兩點(diǎn)；④連接PA，PB．PA和PB即是所求的切線．（1）根據(jù)上述作法，求證：PA，PB是⊙O1的切線；（2）若PA＝8，AO1＝4，求AB的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵PO1是⊙O2的直徑，∴∠PAO1＝90°，即PA⊥O1A，∵O1A是⊙O1的半徑，∴PA是⊙O1的切線，同理可得PB是⊙O1的切線；（2）解：由（1）知∠PAO1＝90°，∴PO∵PA，PB是⊙O1的兩條切線