2025人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊

5.4數(shù)列的應(yīng)用

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一等差數(shù)列的實際應(yīng)用

1.小明在超市購買了一個卷筒紙,量得該卷筒紙的內(nèi)圓直徑為4cm,外圓直徑為12cm-

共卷了60層.若把各層都視為同心圓，取兀=3.14,則這個卷筒紙的長度（精確到個位）約為

（）

A.17mB.16mC.15mD.14m

2.（多選題）（2024湖南衡陽第二中學(xué)期末）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下

問題:“今有大夫、不更、簪袤、上造、公士,凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾

何?”已知問題中五個爵位是由高到低排列的，古代數(shù)學(xué)中“以爵次分之”一般表示等差分配.

若上造得三分鹿之二，即上造分得|頭鹿，則下列說法正確的有（）

A.大夫分得二鹿

B.不更分得一鹿加三分鹿之一

C.不更、上造分得的鹿之和是簪裹的兩倍

D.不更、上造分得的鹿之和與大夫、公士分得的鹿之和相等

3.某大樓共有12層，有11人在第一層上了電梯，他們分別要去第2至12層，每層1人，因特

殊原因，電梯只能停在某一層，其余10人都要步行到所要去的樓層，假設(shè)初始的“不滿意度”

為0,每位乘客每向下步行1層的“不滿意度”增量為1,每向上步行1層的“不滿意度”增量

為2,要使得10人的“不滿意度”之和最小，電梯應(yīng)該停在第幾層（）

A.7B.8C.9D.10

題組二等比數(shù)列的實際應(yīng)用

4.（2024山東荷澤一中月考）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式貸款購買了一臺

價值a元的家電,在購買1個月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次,

一年內(nèi)還清全部貸款（2022年12月1日最后一次還款），月利率為r.按復(fù)利計算，則小李每

個月應(yīng)還（)

*1112

Aarfl+r）一口ar(l+r)-

A?聲即兀產(chǎn)一1兀

元元

1111

5.（多選題）（2023遼寧朝陽建平實驗中學(xué)期中）某牧場2022年年初牛的存欄數(shù)為500,預(yù)計

以后每年存欄數(shù)的增長率為20%,且在每年年底賣出60頭牛.設(shè)牧場從2022年起每年年初

的計劃存欄數(shù)依次為ci,C2,C3,…,cn,…，其中n￡N+,則下列結(jié)論正確的是（附:1.25幺488

3,1.2682.9860,1.27~3.5832,1.210~6.1917）（）

A.C2=540

B.Cn+l=l.2Cn-60

C.按照計劃2028年年初存欄數(shù)首次突破1000

D.C1+C2+C3+...+cio~8192

6.（2023山東威海期末）若某政府增加環(huán)境治理費用a億元,每個受惠的居民會將50%的額

外收入用于國內(nèi)消費，經(jīng)過10輪影響之后，最后的國內(nèi)消費總額為400億元，則a=

（最初政府支出也算是國內(nèi)消費，結(jié)果精確到1）.

7.（2023北京交通大學(xué)附屬中學(xué)期中）如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角

三角形的兩腰上再連接兩個正方形……如此下去將得到一個樹形圖形，稱為“勾股樹”.若

某“勾股樹”含有1023個正方形，且其中最大的正方形的邊長為日，則其中最小的正方形的

邊長為.

8.（2023福建福州第一中學(xué)期末）某林場去年年底木材蓄積量為100萬立方米，若樹木以每

年20%的增長率生長，計劃從今年起,每年年底砍伐x萬立方米樹木，記an（單位:萬立方米）

為第n年年底的木材蓄積量.

⑴求ai,a2及數(shù)列｛a“的遞推公式；

⑵為了實現(xiàn)經(jīng)過10年木材蓄積量翻兩番（原來的4倍）的目標(biāo)，則x的最大值是多少?（精確

至U0.1）

參考數(shù)據(jù):1.2%5.16,1.21先6.19.

題組三數(shù)列的綜合應(yīng)用

9.(2024山東泰安新泰第一中學(xué)月考)某城鎮(zhèn)為改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境,2016年投入資金120萬

元，以后每年投入資金比上一年增加10萬元，從2020年開始每年投入資金比上一年增加

10%,到2025年該城鎮(zhèn)生態(tài)環(huán)境建設(shè)的投資總額大約為(參考數(shù)

i?:l.l6-1.77,l.l7-1.95)()

A.1600萬元B.1660萬元

C.1700萬元D.l8n萬元

10.兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘

上畫點或用小石子來表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進(jìn)行分類.如圖，實心點個

數(shù)為1,5,12,22,…，被稱為五邊形數(shù),其中第1個五邊形數(shù)記作ai=l,第2個五邊形數(shù)記作

a2=5,第3個五邊形數(shù)記作a3=12,第4個五邊形數(shù)記作a4=22,……，第n個五邊形數(shù)記作an.

已知an-an-i=3n-2(n>2),則前n個五邊形數(shù)中，實心點的總數(shù)為.1參考公

式十+22+32+…+/=帥+1)3+1)

6

.O白色"

151222

11.某村投資64萬元新建一處農(nóng)業(yè)生態(tài)園.建成投入運營后，第一年需支出各項費用n萬元,

以后每年支出費用相對前一年增加2萬元.從第一年起，每年收入都為36萬元.設(shè)f(n)(單位:

萬元)是前n年的純利潤總和(f(n)=前n年的總收入-前n年的總支出費用-投資額).

⑴求f(n)的表達(dá)式，計算前多少年的純利潤總和最大，并求出最大值；

⑵計算前多少年的年平均純利潤最大，并求出最大值.

能力提升練

題組一等差數(shù)列的應(yīng)用

1.(2024北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)期中)《九章算術(shù)》之后,人們進(jìn)一步地用等差數(shù)列求

和公式來解決更多的問題，如《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為利用等差數(shù)列求和公式解決

織布問題.若有一女善織布，從第2天起每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺布，一

個月（按30天計）共織420尺布，則第2天織布的尺數(shù)為（）

A.—B.—C.-D.-

292953

2.按照圖1~圖3的規(guī)律，第10個圖中圓點的個數(shù)為（）

圖1圖2圖3

A.40B.36C.44D.52

3.朱世杰是歷史上有名的數(shù)學(xué)家，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)一五間”有如下問

題:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人,次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支

米三升，共支米四百三石九斗二升，問筑堤幾日？”其大意為:官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑

堤壩，第一天派出64人，從第二天開始,每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每

天發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40392升,問修筑堤壩多少天?在這個問題中，堤壩修筑了

天，第8天應(yīng)發(fā)大米升.

題組二等比數(shù)列的應(yīng)用

4.（2024吉林長春東北師范大學(xué)附屬中學(xué)期中）在一個有窮數(shù)列每相鄰兩項之間添加一項,

使其等于兩相鄰項的和，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“H擴展”.已知數(shù)列1,2,第一

次“H擴展”后得到1,3,2,第二次“H擴展”后得到1,4,3,5,2,那么第十次“H擴展”后得到的數(shù)

列的項數(shù)為（）

A.1023B.1025C.513D.511

5.（2024四川成都樹德中學(xué)月考）有一個國王獎勵國際象棋發(fā)明者的故事，故事里象棋發(fā)明

者要求這樣的獎勵:在棋盤上的64個方格中，第1個方格放1粒小麥，第2個方格放2粒小

麥,……，第k個方格放2皿粒小麥，結(jié)果國王拿出全國的小麥也不夠.假設(shè)能有這么多的小

麥，則這個故事繼續(xù)如下,將這些小麥用1,2,3,…編號，并按照一定規(guī)律逐個抽取幸運小麥,

設(shè)第n次隨機抽取的幸運小麥的編號為an,若ai=7,接下來按照規(guī)律:an+i=a>2an（n?N*）逐

個抽取幸運小麥，則共能抽取的幸運小麥的粒數(shù)為（）

A.4B.5C.15D.63

6.（多選題）（2023廣東深圳技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué)月考）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)Ro是指在沒

有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下,一個感染者平均傳染的人數(shù).初始感染者

傳染Ro個人為第一輪傳染，第一輪被傳染的Ro個人每人再傳染Ro個人為第二輪傳染,……

假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)Ro=4,平均感染周期為7天,初始感染者為1人，則（參考數(shù)

據(jù):log43001~5.8)()

A.第三輪被傳染的人數(shù)為16

B.前三輪被傳染的人數(shù)累計為80

C.每一輪被傳染的人數(shù)組成一個等比數(shù)列

D.被傳染人數(shù)累計達(dá)到1000大約需要35天

題組三數(shù)列的綜合應(yīng)用

7.（多選題）某集團公司有一下屬企業(yè)A從事一種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).A企業(yè)第一年年初有

資金2000萬元,將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了40%,預(yù)計以后每年資金增長率與

第一年的相同.集團公司要求A企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金t萬元（t<800）,并將

剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底A企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元，則

（）

A.a2=2800-t

7

B.an+i=-an-t

C.an+i>an

D.當(dāng)t=400時,a3>3800

8.（2022浙江麗水期末）已知某地2020年共發(fā)放汽車牌照12萬張,其中燃油型汽車牌照10

萬張，電動型汽車牌照2萬張.為響應(yīng)國家號召，實現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”，從2021年起,每年發(fā)放的電

動型汽車牌照按前一年的50%增長，燃油型汽車牌照比前一年減少0.5萬張，同時規(guī)定，若

某年發(fā)放的汽車牌照超過15萬張，以后每年發(fā)放的電動型汽車牌照的數(shù)量維持在這一年

的水平不變.那么從2021年至2030年這十年將累計發(fā)放汽車牌照萬張.

9.（2023北京東直門中學(xué)期中）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的

某條對稱軸把紙對折.現(xiàn)有一張半徑為R的圓形紙，對折1次可以得到兩個規(guī)格相同的圖形,

將其中之一進(jìn)行第2次對折后，就會得到三個圖形，其中有兩個規(guī)格相同，取規(guī)格相同的兩

個之一進(jìn)行第3次對折后，就會得到四個圖形，其中依然有兩個規(guī)格相同，以此類推,每次對

折后都會有兩個圖形規(guī)格相同.如果把第k次對折后得到的不同規(guī)格的圖形面積和用Sk

表示，且Si=咚，S2=哼-，則S4=________;若對折n次，則￡Sk=_________.

24fc=i

10.（2024遼寧省實驗中學(xué)月考）市民小張計劃貸款75萬元用于購買一套商品住房，銀行給

小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式:①等額本金，即在還款期內(nèi)把貸款數(shù)總額等分，每月償還同等數(shù)

額的本金和剩余貸款在該月所產(chǎn)生的利息，因此，每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還

款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同;②等額本息，即銀行從每月月供款中，先收

剩余本金利息，后收本金，利息在月供款中的比例會隨剩余本金的減少而降低，本金在月供

款中的比例因增加而升高,但月供總額保持不變.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始

首次還款（如2021年7月8日貸款到賬，則2021年8月8日首次還款）.已知該筆貸款年限

為25年，月利率為0.4%.

⑴若小張采取等額本金的還款方式，已知第一個還款月應(yīng)還5500元,最后一個還款月應(yīng)還

2510元,試計算該筆貸款的總利息；

⑵若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定,每月還款額不得超過家庭平均月收入的一

半,已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張申請該筆貸款是否能夠獲批(不考慮其他

因素)；

⑶對比兩種還款方式，你會建議小張選擇哪種還款方式?并說明你的理由.

參考數(shù)據(jù)：1.0043叫331.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.C

信息提取①各層同心圓的直徑(單位:cm)構(gòu)成等差數(shù)列，記為｛dn｝,且di=4,d60=12;②各層

紙的長度(單位:cm)兀5,而2,...*60也構(gòu)成等差數(shù)列e求卷筒紙的長度(單位:皿)即求等差

數(shù)歹U｛兀dn｝的前60項和.

解析由題意可知，各層同心圓的直徑(單位:cm)構(gòu)成等差數(shù)列，記為｛dn｝,其中di=4,d60=12,

則這個卷筒紙的長度為7idi+7id2+7rd3+...+7rd6o=7r(di+d2+d3+...+d6o)="*；-。)xgg—

《4+12)*

2

60=480x3.14=1507.2cm-15(m).

2.BCD由題意得大夫、不更、簪裹、上造、公士五人分得鹿的數(shù)量構(gòu)成遞減的等差數(shù)

列，設(shè)為｛an｝淇前n項和為Sn,公差為d,

?+10d=5,

由題意得S5=5,a4==所以]?,2

解得(1*所以an=|—|(n—1)=—|n+2,

(d=一小

所以大夫、不更、簪裹、上造、公士各分得鹿|頭3頭,1頭,|頭,|頭，所以A錯誤,B正確；

不更、上造分得的鹿之和為g+：=2(頭)，所以C正確；

不更、上造分得的鹿之和為2頭,大夫、公士分得的鹿之和為|+|=2(頭)，所以D正確.故

選BCD.

3.C設(shè)電梯所停的樓層是n(2<n<12,n￡N*)/不滿意度”之和為S,則

S=1+2+...+(n-2)+2x[1+2+...+(12-n)]=+2x(12-w^(13-n)=|(n2-yn)+157=

弘九號)2-手+157,其圖象開口向上，對稱軸為直線n§,

Z\6/246

又?.?nCN'.S在n=9時取最小值.故選C.

4.A設(shè)小李每個月應(yīng)還x元，按復(fù)利計算，則有x[l+(l+r)+(l+r)2+...+(l+r)10]=a(l+r)11,

即當(dāng)井翼x=a(l+r)”,解得*=察喘，故選A.

1—(1+r)(l+r)11-1

5.ABD由題意得ci=500,Cn+i=1.2cn-60,故B正確；

C2=L2CI-60=L2X500-60=540,故A正確；

設(shè)Cn+l-X=L2(Cn-X),則Cn+l=L2Cn-0.2x,則0.2x=60,解得x=300,；.Cn+i-300=1.2(Cn-300),即數(shù)歹U

｛Cn-3OO｝是首項為C1-3OO=2OO,公比為1.2的等比數(shù)列，

Cn-300=200x1.2e,則cn=300+200x1.2宜，

4Cn=300+200xl.2nl>l000,則1.2nl>3.5,

V1.26~2.9860,1.27~3.5832,

n-l>7,<*.n>8,

故按照計劃2029年年初存欄數(shù)首次突破1000,故C錯誤；

-1_1n10

C1+C2+C3+...+cio=3OOxlO+2OOxi^-=3000+1OOOx(1.2lo-l)-3000

+1000x(6.1917-1)-8192,故D正確.故選ABD.

6.答案200

解析依題意可知,a+ax50%+ax(50%)2+...+ax(50%)i°=妙噌/

1—50%

=400,解得a-200.

7.答案或

解析由題意可知，由下至上,各層正方形的邊長構(gòu)成以手為首項年為公比的等比數(shù)列，由

下至上，第n(n?N+)層正方形的個數(shù)構(gòu)成以1為首項,2為公比的等比數(shù)歹U.現(xiàn)已知共有1

023個正方形，則有1+2+...+

ix(i-2")

2n.i==1023,.?.n=10,??.最小的正方形的邊長為噂X俘f9

1—22\2/32

8.解析(l)ai=100(l+20%)-x=120-x,a2=ai(l+20%)-x=1.2(120-x)-x=144-2.2x,

an+i=an(l+20%)-x=1.2an-x,n￡N+.

(2)由⑴知,an+i=l.2an-x,則an+i-5x=1.2(an-5x),

若x=20,則ai-5x=0,所以數(shù)列｛a「5x｝是常數(shù)列，所以an-5x=0,即an=100.

若xW20,則ai-5xM,所以數(shù)列｛a「5x｝是以ai-5x=120-6x為首項,1.2為公比的等比數(shù)列，

所以an-5x=(120-6x)xl.2n-i,即an=(120-6x)xL2n/+5x,當(dāng)x=20時,上式也成立,

因此an=(120-6x)xl.2n"+5x,neN+.

令aio>4OO,M(120-6x)x1.29+5x>400,

口口12Ox1.2^-400120x5.16—400o心曰1./七日c/

即xW6一x1.29-5-6x5….16-5u-8.4,故x的最大值是8.4.

9.D設(shè)2016年到2025年每年投入資金(單位:萬元)分別為ai,a2,a3,a4,bi,b2,...,b6.

易知ai,a2,a3,a4為等差數(shù)列，且ai=120,公差d=10,其和為4x120+^x10

=540.

易知bi?,…,b6為等比數(shù)列，且bi=(120+3xl0)xl.l=165,公比q=l.l,

其和為165X0TI6)=1650x(1.650x(1.77-1)-1271.

1—1.1

所以540+1271=1811.故選D.

10.答案片趣

解析由題意得an=an-an-i+an-i-an-2+...+a2-ai+ai=3n-2+3n-5+...+4+l="0；"0——:故

前n個五邊形數(shù)中，實心點的總數(shù)為%2為2+…+112A也檢=三一帥+D3+1)一迎上2=

22x2264

n(n+l)(2n+l)-n(n+l)_n2(n+l)

4—2

n.解析(1)由題意，每年的支出費用(單位:萬元)構(gòu)成首項為n,公差為2的等差數(shù)列，

故前n年的總支出費用為Un+誓x2=(n2+10n)萬元，

f(n)=36n-(n2+10n)-64=-n2+26n-64=-(n-13)2+105,nGN+.

??.當(dāng)n=13時,f(n)取得最大值105,

即前13年的純利潤總和最大，且最大值為105萬元.

⑵由(1)知，前n年的年平均純利潤為等=弋上空=[_[+?)+26]萬元，

-Zn+->2”=16,當(dāng)且僅當(dāng)n="，即n=8時等號成立,...嗎-16+26

n7nnn

=10,

即前8年的年平均純利潤最大，且最大值為10萬元.

能力提升練

1.A由題意知每天織布的尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d,則420=30x5+罟d,解得

d嘿...第2天織布的尺數(shù)為5+d=^.

2.A由題中圖1~圖3可判斷，從第二個圖開始,每個圖中圓點的個數(shù)比上一個圖多4,即每

個圖中的圓點數(shù)成等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項為4,公差為4,所以第10個圖中圓點的個數(shù)

為4+9x4=40.

3.答案16;2124

解析由題意知，每天派遣的人數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記為｛an｝,其中ai=64,公差d=7,其前n項和

為Sn,則Sn=64n+普2令Sn=l864,解得n=16（負(fù)值舍去）.

又S=64X8+—X7=708,

82

所以第8天應(yīng)發(fā)大米708x3=2124（升）.

4.B設(shè)第n次“H擴展”后得到的數(shù)列的項數(shù)為an,

則第（n+1）次“H擴展”后得到的數(shù)列的項數(shù)為an+i=2an-l,

??a.n+i-l=2（an-l）,

XVai-l=3-l=2,

...｛an-1｝是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列，

nn

.,.an-l=2,/.an=2+l,

.,,aio=2lo+l=l025.

5.B由an+i=a^+2anan+i+l=a^+2an+l=（an+l）2,

兩邊取對數(shù)得log2（an+l+1）=21og2（an+1）,

設(shè)Cn=log2（an+1）,則Cn+1=2Cn,故｛Cn｝是公比為2的等比數(shù)列.

又Cl=log2（7+1）=3,所以Cn=3-2n",即log2（an+l）=3?2n”,所以an+l=23,2";所以an=23'2"^-l.

由放小麥的規(guī)則可得小麥的總粒數(shù)為1+2+...+263=）。=2641所以23-2nLlW264-l,即

1—2

33七64,得nW5.故選B

6.CD設(shè)第n輪被傳染的人數(shù)為an,易知數(shù)列｛a“是首項為4,公比為4的等比數(shù)歹U,則

an=4-4"i=4n,所以a3=43=64,故A錯誤,C正確.

設(shè)前n輪被傳染的人數(shù)為Sn,則Sn=l+與等=因為s=|x44-J=85,故B錯誤.

1—433333

n+1

令Sn>l000,得［dn+i-Nl000,得4>3001,即n>log43001-1^4.8,An=5.

所以被傳染人數(shù)累計達(dá)到1000大約需要5X7=35（天），故D正確.故選CD.

7.BC第一年年底剩余資金ai=2000x（l+40%）-t=（2800-t）萬元，

第二年年底剩余資金a2=aix（l+40%）-t=|al-t=（3920-蔡t）萬元，

第三年年底剩余資金a3=a2x（l+40%）-t=|a2-t=（5488-罷）萬元,……，

所以第（n+1）年年底剩余資金an+i=anX（l+40%）-t=On-t）萬元故A錯誤,B正確.

因為an=^an—1—t=：6"九-2寸卜

=G)an—2—*t

◎'一++/(丁+—(瞑

=(曠(2800-t)-i^-J

二(曠(28。。」理，；T-l

=(r(2*)+當(dāng)

72

所以an+i-an=-an—t—an=-an-t

小r。80°‘)+小

=1(曠GBOO-?),

因為t<800,所以2800-y>0,

所以an+l-an>0,即an+l>an,故C正確.

當(dāng)t=400時,a3=5488-嚓=5488-109^40°^3744<3800,故D錯誤.故選BC.

8.答案134

解析以2021年為第1年，設(shè)第n年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)為an,發(fā)放的電動型汽車牌

照數(shù)為bn,發(fā)放的汽車牌照數(shù)為Cn,則｛an｝成等差數(shù)列,Cn=an+bn,ai=9.5,an=10-0.511,

所以｛an｝的前10項和為9.5X10+等x(-0.5)=72.5.

bi=2xl.5=3,b2=3xl.5=4.5,b3=