第頁，共頁第15頁，共15頁云南省昆明市官渡區2024-2025學年高一上學期期末學業水平考試數學試題卷（全卷四個大題，共19個小題，共4頁；考試用時120分鐘，滿分150分）注意事項：1.本卷為試題卷．考生必須在答題卡上解題作答．答案應書寫在答題卡的相應位置上，在試題卷，草稿紙上作答無效．2.考試結束后，請將試題卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合,即可根據交集的定義域求解.【詳解】由，故，故選：C2.已知命題，則p的否定為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可求解.【詳解】命題，其否定為.故選：B3.已知函數，則的值為（）A.1 B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】由分段函數解析式代入計算可得結果.【詳解】易知，所以.故選：A4.如圖所示，角的終邊與單位圓在第一象限交于點，且點的橫坐標為，射線OP繞點逆時針旋轉后與單位圓交于點，角的終邊在射線OQ上，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數定義及誘導公式即可求得結果.【詳解】由三角函數定義可知，又為第一象限角，所以；又，所以.故選：C5.已知冪函數的圖象過點，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先確定冪函數解析式，再利用函數單調性解不等式.【詳解】因為冪函數過點，所以，則,所以=在0,+∞上是增函數,所以不等式等價于，求解可得.故選：D.6.求值：（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結合正切定義，兩角差的正弦公式，輔助角公式，二倍角公式，誘導公式，直接化簡求解即可.【詳解】.故選：B7.古希臘科學家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎，當天平平衡時，由杠桿原理可推出：左臂長與左盤物品質量的乘積等于右臂長與右盤物品質量的乘積.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，其中左臂長和右臂長之比為，一位顧客到店里購買10克黃金，售貨員先將5克砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5克砝碼放在天平右盤中，然后取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將兩次稱得的黃金交給顧客，則顧客購得的黃金質量（）A大于10克 B.小于10克C.等于10克 D.當時，大于10克；當時，小于10克【答案】A【解析】【分析】設天平左臂長為，右臂長為（不妨設），先稱得的黃金的實際質量為，后稱得的黃金的實際質量為.根據天平平衡，列出等式，可得表達式，利用作差法比較與10的大小，即可得答案.【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設天平左臂長為，右臂長為，所以，所以，先稱得的黃金的實際質量為，后稱得的黃金的實際質量為.由杠桿的平衡原理：，．解得，，則.下面比較與10的大小：因為，因為，所以，即，所以這樣可知稱出的黃金質量大于.故選：A.8.已知函數，則下列結論中正確的有（）A.的最小正周期為 B.的值域為C.點是圖象的一個對稱中心 D.不等式的解集為【答案】D【解析】【分析】把函數用分段函數表示，再作出的圖象，觀察圖象即可判斷選項A，B，C，解不等式即可判斷選項D而作答.【詳解】，作出的圖象，如圖，觀察圖象，

對于A，

的最小正周期為，故A錯誤；對于B，的值域為，B錯誤；對于C，的圖象沒有對稱中心，C錯誤；對于D，不等式，即時，得，解得，所以的解集為，故D正確.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（）A. B.的解集為C.的解集為 D.【答案】BC【解析】【分析】因為不等式的解集為或，結合不等式解集和韋達定理，可得和，然后逐個選項代換判斷即可.【詳解】因為不等式的解集為或，所以，，可得，則，即，得，，又化為，可得，解得，又，故A錯，B正確，C正確，D錯誤.故選：BC10.下列結論正確的有（）A. B.C. D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據對數的運算法則及換底公式一一計算可得.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因為，所以，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，，則，，故D正確.故選：ACD.11.已知定義在上的函數滿足，且，則（）A.的圖象關于直線對稱 B.為奇函數C.的最小正周期為4 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用得到函數的圖象關于對稱，可判斷A；利用的圖象關于1,0對稱，可得為奇函數，可判斷B；由和兩者結合即可得到，可判斷C；令，可得可判斷D.【詳解】對于A，由可知，函數的圖象關于對稱，故A正確；對于B，由可知，函數的圖象關于1,0對稱，則向左平移一個單位可得，所以函數的圖象關于對稱，所以為奇函數，故B正確；對于C，由可得：，由可得：，所以，所以，函數的周期是2，故C錯誤；對于D，函數的圖象關于1,0對稱，所以f1=0再令，可得，故D正確.故選：ABD.第II卷非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數，且的圖象恒過定點______.【答案】【解析】【分析】根據對數函數的性質求定點.【詳解】令，則恒成立，故函數，且的圖象恒過定點.故答案為：13.已知，且，則______.【答案】【解析】分析】根據平方關系求出，再利用誘導公式求解.【詳解】根據題意，，則，又，所以.故答案為：14.定義運算：，若，將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的函數為偶函數，則的最小值為______；若在區間內恰好有4個零點，則的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】【分析】依題意得，根據三角函數的平移變換結合奇函數的性質可得，即可求出的最小值；將問題化為在上恰好有4個解，結合正弦函數性質有即可得結果.【詳解】依題意得，圖像向左平移個單位得為偶函數，所以，所以，因為，所以當時，的最小值為.在區間內恰好有4個零點，即在區間內恰好有4個解，所以在區間內恰好有4個解，因為，即，所以，解得：.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）若，求；（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式，根據集合的基本運算可得結果.（2）根據條件可得?，利用集合的基本關系列不等式組可得結果.【小問1詳解】由題意得，，∵，∴，∴.【小問2詳解】∵是的充分不必要條件，∴?，∴（等號不同時成立），解得，∴的取值范圍為.16.普洱茶種植歷史可追溯到1700多年前，其外形勻整、挺秀，湯色碧綠，香氣濃烈等優異品質聞名遐邇，深受廣大消費者青睞.實踐表明，該茶用的水泡制，等到茶水溫度降至時，有最佳飲用口感.研究發現：茶水溫度隨放置時間（分鐘）的函數關系式為.由測試可知，經過1分鐘后茶水的溫度為.（1）求常數的值；（2）在室溫下，剛泡的該茶大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？（參考數據：）【答案】（1）（2）7.5分鐘【解析】【分析】（1）代入即可求解，（2）根據指對互化即可求解.【小問1詳解】將代入函數，得解得，所以常數【小問2詳解】由（1）知，根據題意可知：，所以，化簡得：，將指數式化為對數式，將題目中的參考數據代入上述對數式，化簡得，所以，在室溫下，剛泡的該茶大約需要放置7.5分鐘才能達到最佳飲用口感.17.函數的部分圖象如圖所示.（1）求函數的解析式及單調遞增區間；（2）求函數在上的值域.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據三角函數的圖象，依次求得的值，從而求得的解析式，利用整體代入法來求得單調遞增區間.（2）根據三角函數值域的求法來求得正確答案.【小問1詳解】由圖可得，，，，，由于，所以，則，而，所以，所以函數解析式為令，所以.綜上函數解析式為，單調增區間.【小問2詳解】因為，所以.當時有最大值為，，所以時有最小值為，所以函數在上的值域為.18.已知定義域為的函數是奇函數.（1）求實數的值并判斷的單調性（無需證明）；（2）解關于的不等式；（3）當時，恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1），單調遞增（2）（3）【解析】【分析】（1）根據奇函數性質以及指數函數單調性即可判斷得出結論；（2）利用指數函數單調性解不等式即可得出結果；（3）分離參數利用基本不等式計算得出最小值，即可求實數的取值范圍.【小問1詳解】因為函數的定義域為，且為奇函數，所以，解得．此時，經檢驗滿足題意；易知，由指數函數單調性可判斷得在上單調遞增.【小問2詳解】因為是奇函數，所以，所以，又因為在上單調遞增，所以，即，解得.所以不等式的解集【小問3詳解】由題設在上恒成立，因為當時，，所以，即在上恒成立，令，設，當且僅當時，等號成立；即，所以實數的取值范圍是.19.如圖所示，角終邊與單位圓交于點，過作軸的垂線，交軸于，過作軸的垂線交射線OP于.（1）由正弦函數、正切函數定義可知，的值分別等于線段MP，AQ的長.（i）求的值；（ii）判斷的大小關系；（2）設點的橫坐標為，點的縱坐標為，求的最大值.【答案】（1）（i），；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）直接利用三角形面積公式和扇形面