2024-2025學年高中數(shù)學第1章三角函數(shù)1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（教師用書）教學實錄新人教A版必修4課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學內(nèi)容教材：新人教A版必修4

章節(jié)：第1章三角函數(shù)

內(nèi)容：1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六種基本三角函數(shù)的定義、性質(zhì)和相互關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值。二、核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng)。通過本節(jié)課的學習，使學生能夠理解三角函數(shù)的基本關(guān)系，發(fā)展學生的邏輯推理能力，提高學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，同時增強學生的數(shù)學抽象和直觀想象能力。三、學情分析本節(jié)課面向的是高中一年級的學生，他們已經(jīng)具備了初等數(shù)學的基礎(chǔ)，對于函數(shù)的概念和圖像有一定的了解。在知識層面，學生能夠熟練運用一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本函數(shù)的性質(zhì)和圖像。然而，對于三角函數(shù)這一新概念，學生可能存在以下特點：

1.學生對三角函數(shù)的概念理解較為模糊，缺乏直觀的感受。部分學生可能對正弦、余弦等三角函數(shù)圖像的特征和變化規(guī)律認識不足，難以建立良好的數(shù)學模型。

2.在能力層面，學生具備一定的數(shù)學運算和推理能力，但面對復雜的問題時，可能存在邏輯混亂、推理過程不清晰的問題。

3.素質(zhì)方面，學生在課堂上的參與度較高，但部分學生可能存在依賴性強、自主學習能力不足的情況。此外，學生的團隊合作能力、創(chuàng)新思維等方面還有待提高。

4.行為習慣方面，學生在課堂學習中普遍能遵守紀律，但個別學生可能存在注意力不集中、隨意發(fā)問等問題，這對課程學習產(chǎn)生了一定的影響。

針對以上學情，本節(jié)課的教學設(shè)計將注重以下幾點：

1.結(jié)合學生實際，通過直觀的圖形和實例，幫助學生理解三角函數(shù)的基本關(guān)系。

2.通過小組合作、探究式學習等教學方法，培養(yǎng)學生的自主學習能力和團隊合作精神。

3.引導學生運用數(shù)學知識解決實際問題，提高學生的邏輯推理能力和創(chuàng)新思維。

4.加強課堂紀律管理，關(guān)注學生的學習狀態(tài)，確保教學活動的順利進行。四、教學方法與手段教學方法：

1.講授法：結(jié)合PPT演示，系統(tǒng)講解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，確保學生掌握基本概念和性質(zhì)。

2.討論法：組織學生分組討論特殊角的三角函數(shù)值，通過交流促進理解和記憶。

3.實驗法：引導學生利用幾何畫板等軟件，動手操作，探究三角函數(shù)圖像的變化規(guī)律。

教學手段：

1.多媒體輔助教學：利用PPT展示三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，提高教學的直觀性和趣味性。

2.互動式教學軟件：借助教學軟件進行互動練習，及時反饋學生的學習情況，增強學習效果。

3.實物教具：準備三角板等教具，幫助學生直觀感受三角函數(shù)的變化。五、教學過程一、導入新課

（教師）同學們，我們已經(jīng)學習了三角函數(shù)的基本概念，了解了正弦、余弦、正切等基本函數(shù)。今天，我們將繼續(xù)深入探討同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，這是理解三角函數(shù)性質(zhì)和運用的重要基礎(chǔ)。請大家準備好，我們一起來揭開這個數(shù)學世界的神秘面紗。

（學生）好的，老師。

二、新課講解

1.同角三角函數(shù)的定義

（教師）首先，我們來明確一下同角三角函數(shù)的定義。假設(shè)有一個直角三角形，其中角A是直角，角B和角C分別是銳角。如果我們在角B和角C的位置各取一個單位圓，那么在角B和角C的位置的切線與單位圓相交的點，分別對應了正弦和余弦函數(shù)的值。接下來，我將通過PPT展示，讓大家更直觀地看到這一過程。

（學生）老師，我們能不能先討論一下，為什么我們要研究同角三角函數(shù)的關(guān)系呢？

（教師）這是一個很好的問題。同角三角函數(shù)的關(guān)系可以幫助我們更好地理解三角函數(shù)的性質(zhì)，解決實際問題。接下來，我會逐步講解。

2.同角三角函數(shù)的性質(zhì)

（教師）現(xiàn)在，我們知道了同角三角函數(shù)的定義，接下來，我們來探討它們的性質(zhì)。首先，正弦和余弦函數(shù)的值在0到π/2之間是遞增的，在π/2到π之間是遞減的。正切函數(shù)在0到π/2之間是遞增的，在π/2到π之間是遞減的。這些性質(zhì)對于我們理解和運用三角函數(shù)非常重要。

（學生）老師，這些性質(zhì)怎么證明呢？

（教師）這是一個很好的問題。我們可以通過幾何證明來證明這些性質(zhì)。接下來，我會通過PPT展示證明過程。

3.同角三角函數(shù)的關(guān)系式

（教師）通過前面的學習，我們已經(jīng)知道了同角三角函數(shù)的性質(zhì)?，F(xiàn)在，我們來探討它們之間的關(guān)系式。例如，正弦和余弦之間的關(guān)系式是sin2θ+cos2θ=1。這些關(guān)系式可以幫助我們在實際問題中快速求解三角函數(shù)的值。

（學生）老師，這些關(guān)系式有什么實際應用嗎？

（教師）當然有。在工程、物理等領(lǐng)域，這些關(guān)系式可以幫助我們解決很多實際問題。接下來，我會通過幾個例子來展示這些關(guān)系式的應用。

三、課堂練習

1.單項選擇題

（教師）現(xiàn)在，我們來做一些單項選擇題，檢驗一下大家的學習效果。

（學生）好的，老師。

2.應用題

（教師）接下來，我們來解決一些應用題，這些題目將考察大家運用同角三角函數(shù)關(guān)系式解決實際問題的能力。

（學生）好的，老師。

四、課堂小結(jié)

（教師）同學們，今天我們學習了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。通過這節(jié)課的學習，我們掌握了同角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)和關(guān)系式。希望大家能夠熟練運用這些知識，解決實際問題。

（學生）謝謝老師，我們一定會努力學習的。

五、布置作業(yè)

（教師）今天的作業(yè)是：完成課本上的練習題，并嘗試自己解決一些實際問題。

（學生）好的，老師。

六、課堂反思

（教師）今天的課程，我通過講解、討論、練習等多種教學方法，幫助同學們理解了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。在今后的教學中，我將繼續(xù)關(guān)注學生的學習情況，及時調(diào)整教學策略，提高教學效果。

（學生）老師，您今天的課講得很好，我們學到了很多知識。

七、課后輔導

（教師）如果同學們在學習過程中遇到任何問題，可以隨時來找我。我會盡力幫助大家解決。

（學生）好的，老師，我們一定不會辜負您的期望。六、拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《三角函數(shù)在工程中的應用》：介紹三角函數(shù)在建筑、機械設(shè)計、航空航天等領(lǐng)域的應用實例，幫助學生理解三角函數(shù)的實用價值。

-《三角函數(shù)在物理中的角色》：探討三角函數(shù)在波動、振動、光學等物理現(xiàn)象中的應用，增強學生對三角函數(shù)在科學領(lǐng)域重要性的認識。

-《三角函數(shù)與計算機圖形學》：介紹三角函數(shù)在計算機圖形學中的運用，如三維建模、動畫制作等，激發(fā)學生對數(shù)學與科技結(jié)合的興趣。

2.鼓勵學生進行課后自主學習和探究：

-學生可以嘗試自己推導正弦、余弦、正切等三角函數(shù)的圖像變化規(guī)律，并分析其在不同象限內(nèi)的性質(zhì)。

-探究三角函數(shù)在解三角形問題中的應用，如求解三角形的邊長和角度。

-通過編程實踐，利用三角函數(shù)實現(xiàn)圖形的旋轉(zhuǎn)、縮放等變換，加深對三角函數(shù)幾何意義的理解。

-研究三角函數(shù)在解決實際問題中的應用，如城市規(guī)劃、建筑設(shè)計、天文觀測等，提高學生的實際問題解決能力。

-課外閱讀《數(shù)學之美》等科普書籍，了解數(shù)學在各個領(lǐng)域的廣泛應用，激發(fā)學生對數(shù)學的興趣和探索欲望。

3.拓展知識點：

-復合三角函數(shù)：學習正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的復合函數(shù)，如sin(2θ)、cos(3θ)等，掌握復合函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

-三角函數(shù)的反函數(shù)：研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的反函數(shù)，如arcsin(x)、arccos(x)等，了解反函數(shù)的定義和性質(zhì)。

-三角函數(shù)的級數(shù)展開：探討三角函數(shù)的級數(shù)展開，如正弦函數(shù)的泰勒級數(shù)展開，加深對三角函數(shù)連續(xù)性和可導性的理解。

-三角函數(shù)的積分：學習三角函數(shù)的積分公式，如sin(x)和cos(x)的積分，掌握積分運算的基本方法。

-三角函數(shù)在微積分中的應用：研究三角函數(shù)在微分和積分中的應用，如求解微分方程、計算定積分等。七、課堂1.課堂評價

課堂評價是教學過程中不可或缺的一環(huán)，它有助于教師了解學生的學習情況，及時調(diào)整教學策略，確保教學目標的實現(xiàn)。

（1）提問評價

提問是課堂評價的重要手段之一。在課堂上，我將通過提問的方式，檢驗學生對三角函數(shù)基本關(guān)系的理解和掌握程度。具體措施如下：

-設(shè)計不同難度的提問，包括基礎(chǔ)知識和應用題，以覆蓋不同層次的學生。

-鼓勵學生積極參與回答，培養(yǎng)他們的表達能力和自信心。

-對學生的回答進行及時點評，肯定正確答案，糾正錯誤，幫助學生鞏固知識點。

（2）觀察評價

觀察是課堂評價的另一種有效方式。通過觀察學生的課堂表現(xiàn)，我可以了解他們的學習態(tài)度、參與度和學習效果。

-觀察學生在課堂上的注意力集中程度，確保他們能夠?qū)Ｗ⒂诮虒W內(nèi)容。

-觀察學生的課堂互動情況，包括與同學和教師的交流，以及小組合作的效果。

-觀察學生在課堂練習中的表現(xiàn)，了解他們的解題思路和實際操作能力。

（3）測試評價

測試是課堂評價的重要手段，可以全面評估學生的學習成果。我將定期進行小測驗，以檢驗學生對三角函數(shù)基本關(guān)系的掌握情況。

-設(shè)計測試題，包括選擇題、填空題和解答題，以全面評估學生的知識水平。

-測試題難度適中，既考察基礎(chǔ)知識，也考察學生的應用能力。

-對測試結(jié)果進行分析，找出學生的薄弱環(huán)節(jié)，針對性地進行輔導。

2.作業(yè)評價

作業(yè)是課堂教學的延伸，也是課堂評價的重要補充。通過作業(yè)評價，我可以了解學生在課后對知識的鞏固情況。

（1）認真批改作業(yè)

對學生的作業(yè)進行認真批改，是作業(yè)評價的基礎(chǔ)。我將做到以下幾點：

-仔細審閱每一份作業(yè)，確保批改的準確性和公正性。

-對學生的作業(yè)進行詳細點評，指出優(yōu)點和不足，提出改進建議。

-對作業(yè)中的典型錯誤進行總結(jié)，并在課堂上進行講解，幫助學生避免類似錯誤。

（2）及時反饋學習效果

作業(yè)批改后，我將及時向?qū)W生反饋學習效果，鼓勵他們繼續(xù)努力。

-通過課堂講解、個別輔導等方式，幫助學生解決作業(yè)中的問題。

-鼓勵學生在課后主動請教，提高他們的自主學習能力。

-定期召開家長會，與家長溝通學生的學習情況，共同促進學生的成長。八、教學反思教學反思，對于我來說，是一種自我提升的過程。今天，我想就我們剛剛結(jié)束的三角函數(shù)這一章節(jié)的教學進行一些反思。

首先，我覺得在導入新課的時候，我可能做得還不夠好。雖然我盡量通過實例和問題來激發(fā)學生的興趣，但是感覺有些學生還是顯得比較被動。我想，或許我可以嘗試更多的互動環(huán)節(jié)，比如讓學生自己提出問題，或者通過小組討論的方式來引入新課，這樣可能更能調(diào)動他們的積極性。

接著，關(guān)于新課的講解，我發(fā)現(xiàn)自己在講解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時，可能過于依賴公式和定理的推導，而沒有足夠的時間去幫助學生理解這些關(guān)系的直觀意義。我覺得，在今后的教學中，我應該更多地結(jié)合圖形和實例，讓學生通過直觀的方式去感受和理解這些數(shù)學概念。

在課堂練習環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)一些學生在解決應用題時遇到了困難。這讓我意識到，我可能需要更多地關(guān)注學生對數(shù)學概念的理解深度，而不僅僅是公式和計算。我計劃在接下來的教學中，設(shè)計更多貼近實際生活的練習題，讓學生在實際問題中應用所學知識。

此外，我在課堂上對學生回答問題的反饋可能不夠及時。有時候，我會因為急于講解下一個知識點而忽略了學生的回答。今后，我會在學生回答問題時給予更多的關(guān)注和反饋，幫助他們更好地理解問題并找到解決問題的方法。

在作業(yè)評價方面，我發(fā)現(xiàn)自己在批改作業(yè)時，對于一些學生的錯誤理解沒有給予足夠的指導。這讓我意識到，作業(yè)不僅是檢驗學生學習成果的工具，也是我了解學生學習狀態(tài)的重要途徑。因此，我會在批改作業(yè)時更加細致，對于學生的錯誤給予具體的指導和糾正。

最后，我想說的是，教學是一個不斷學習和調(diào)整的過程。今天的教學讓我意識到，我需要在以下幾個方面進行改進：

-提高課堂互動性，讓學生更多地參與到課堂中來。

-加強對數(shù)學概念的理解和直觀教學，幫助學生建立良好的數(shù)學思維。

-及時給予學生反饋，幫助他們克服學習中的困難。

-不斷反思和調(diào)整教學方法，以適應不同學生的學習需求。板書設(shè)計①本文重點知識點：

-同角三角函數(shù)的定義

-正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六種基本三角函數(shù)

-三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性

-三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

②重點詞句：

-定義：在直角三角形中，一個銳角的正弦、余弦、正切等三角函數(shù)值。

-周期性：三角函數(shù)的周期性是它們的重要性質(zhì)之一，如正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期為2π。

-奇偶性：三角函數(shù)的奇偶性是指函數(shù)值在x軸對稱時是否相等，如正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)。

-單調(diào)性：三角函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)值隨自變量的增加或減少而增加或減少，如正切函數(shù)在(0,π/2)內(nèi)單調(diào)遞增。

③板書結(jié)構(gòu)：

①三角函數(shù)的定義

-直角三角形

-銳角

-正弦、余弦、正切等

②三角函數(shù)的性質(zhì)

-周