2025年中考數學一輪復習學案（全國版）

第二章方程與不等式

2.2分式方程

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1分式方程的解法☆☆數學中考中，有關分式方程的部分，每年考查1道題,

分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題的形

式考查。但三種形式只會出現一種。解答題基本以三

種形式考查：一是給出分式方程，讓學生解這個方程；

考點2分式方程的應用☆☆

二是列方程求解；三是結合不等式、函數知識綜合考

查。這類問題要注意解分式方程需要驗根，同時注意

得出結果和實際問題相符合。

☆☆代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。

夯實基礎

考點1.分式方程的解法

1.分式方程定義：分母里含有未知數的方程叫做分式方程．

分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知數；③是方程．

2．解分式方程的一般方法：

（1）解分式方程的基本思想：

把分式方程轉化為整式方程，解這個整式方程，然后驗根，從而確定分式方程的解．

（2）解分式方程的一般方法和步驟：

①去分母：方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程化為整式方程；

②解整式方程：去括號、移項、合并同類項等；

③檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方

程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．

3．分式方程的特殊解法——換元法：

換元法是中學數學中的一個重要的數學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般

的去分母不易解決時，可考慮用換元法．

4．增根：使分式方程的最簡公分母為0的根．

（1）產生增根的原因：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，將其轉化為整式方程后沒有此條件

限制了．

（2）分式方程的增根與無解的區別：分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方

程無解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母為0的根．

考點2.分式方程的應用

1.工程問題等量關系：工作量=工作時間×工作效率。靈活掌握它的兩個變式。

2.解決工程問題的基本思路

（1）題中有“單獨”字眼通常可知工作效率；

（2）通常間接設元，如××單獨完成需x（單位時間），則可表示出其工作效率；

（3）弄清基本的數量關系.如本題中的“合作的工效=甲乙兩隊工作效率的和”.

（4）解題方法：可概括為“321”，即3指該類問題中三量關系，如工程問題有工作效率，工作時間，

工作量；2指該類問題中的“兩個主人公”如甲隊和乙隊，或“甲單獨和兩隊合作”；1指該問題中

的一個等量關系.如工程問題中等量關系是：兩個主人公工作總量之和=全部工作總量.

（5）各部分工作量之和等于1，常從工作量和工作時間上考慮相等關系．

3.行程問題等量關系：路程=速度×時間.靈活掌握它的兩個變式。

4.解決問題注意事項：

（1）注意關鍵詞“提速”與“提速到”的區別；

（2）明確兩個“主人公”的行程問題中三個量用代數式表示出來；

（3）行程問題中的等量關系通常抓住“時間線”來建立方程.

5.利潤問題等量關系：批發成本=批發數量×批發價；批發數量=批發成本÷批發價；打折銷售價=

定價×折數；銷售利潤=銷售收入一批發成本；每本銷售利潤=定價一批發價；每本打折銷售利潤=打

折銷售價一批發價，利潤率=利潤÷進價。

6.數字問題：在數字問題中要掌握十進制數的表示法；

溶質

7.濃度問題的基本關系是：=濃度．

溶液

.

8.順水逆水問題：v順＝v靜＋v水流，v逆＝v靜－v水流

注意：列分式方程解應用題的一般步驟

(1)審清題意，并設未知數；

(2)找相等關系；

(3)列出方程；

(4)解這個分式方程；

(5)驗根（包括兩方面:是否是分式方程的根；是否符合題意）；

（6）寫答案.

【易錯點提示】

解分式方程過程中，易錯點主要體現在：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不

要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解

才是原方程的解．具體情況表現在一下幾點：

1.忘記驗根。

2.檢驗方法不正確。

3.忽視分子為零。

4.考慮問題不全面。

5.沒有真正理解分式方程有“增根”的含義。

6.去分母時漏乘不含分母的項。

7.解分式方程錯符號。

考點1.分式方程的解法

3x

【例題1】（2024福建省）解方程：1．

x2x2

【答案】x10．

【解析】本題考查解分式方程,掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可

解題．

3x

1，

x2x2

方程兩邊都乘x2x2，得3x2x2x2xx2．

去括號得：3x6x24x22x，

解得x10．

經檢驗，x10是原方程的根．

xx1

【對點變式練1】（2024哈爾濱一模）分式方程的解是（）

x3x1

A.x3B.x3C.x2D.x0

【答案】B

【解析】把分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方

程的解．

xx1

由得：

x3x1

xx1x1x3，

x2xx22x3，

x3，

經檢驗：x3是原分式方程的解，故選：B．

【點睛】考查解分式方程，利用了轉化的思想，解題的關鍵是解分式方程注意要檢驗，避免出現增根．

x3

【對點變式練2】（2024蘇州一模）方程的解是_______．

x12x2

3

【答案】

2

【解析】根據分式方程的解法步驟解出即可．

x3333

左右同乘2(x+1)得:2x=3解得x=．經檢驗x=是方程的跟．故答案為:．

x12x2222

【點睛】本題考查解分式方程,關鍵在于熟練掌握分式方程的解法步驟．

x4

【對點變式練3】（2024山東威海一模）解方程：1

x1x21

【答案】x=3．

【解析】觀察可得方程最簡公分母為(x2-1)，去分母，轉化為整式方程求解，結果要檢驗．

x4

1去分母得，x(x1)4x21解得，x=3，

x1x21

經檢驗，x=3是原方程的根，所以，原方程的根為：x=3．

【點睛】（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解；（2）解分

式方程一定注意要檢驗．

2x1x22x1

【對點變式練4】（2024上海一模）在分式方程5中，設y，可得到關于

x22x1x2

y的整式方程為（）

A.y25y50B.y25y50

C.y25y10D.y25y10

【答案】D

2x11

【解析】設y，則原方程可變形為y5，再化為整式方程即可得出答案.

x2y

2x11

設y，則原方程可變形為y5，

x2y

即y25y10；故選：D.

【點睛】本題考查了利用換元法解方程，正確變形是關鍵，注意最后要化為整式方程.

1m

【例題2】（2024黑龍江齊齊哈爾）如果關于x的分式方程0的解是負數，那么實數m的

xx1

取值范圍是（）

A.m1且m0B.m1C.m1D.m1且m1

【答案】A

【解析】本題考查了根據分式方程的解的情況求參數，解分式方程求出分式方程的解，再根據分式方

程的解是負數得到m10，并結合分式方程的解滿足最簡公分母不為0，求出m的取值范圍即可，

熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．

【詳解】方程兩邊同時乘以xx1得，x1mx0，

1

解得x，

m1

∵分式方程的解是負數，

∴m10，

∴m1，

又∵xx10，

∴x10，

1

∴1，

m1

∴m0，

∴m1且m0，故選：A．

m3

【對點變式練1】（2024湖北武漢一模）已知關于x的分式方程2的解為非負數，

x11x

則正整數m的所有個數

為（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】B

【解析】根據解分式方程，可得分式方程的解，根據分式方程的解為負數，可得不等式，解不等式，

即可解題．

5-m

去分母，得：m+2(x-1)=3，移項、合并，解得：x=，

2

5-m5-m

∵分式方程的解為非負數，∴≥0且≠1，解得：m≤5且m≠3，

22

∵m為正整數∴m=1，2，4，5，共4個，故選：B．

【點睛】本題考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合條件的不等式的解．

xmx1

【對點變式練2】（2024黑龍江龍東一模）關于x的方程1的解為非負數，則m的取

x22x

值范圍是____________．

【答案】m1且m3

【解析】解分式方程，可用m表示x，再根據題意得到關于m的一元一次不等式即可解答．

xmx1

解1，可得xm1，

x22x

xmx1

x的方程1的解為非負數，

x22x

m10，

解得m1，

x20，

m120，

即m3，

m的取值范圍是m1且m3．

【點睛】本題考查了根據分式方程的解的情況求值，注意分式方程無解的情況是解題的關鍵．

考點2.分式方程的應用

【例題3】（2024甘肅臨夏）端午節期間，某商家推出“優惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷

售．細心的小夏發現，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？

設每袋粽子的原價是x元，所得方程正確的是（）

240240240240

A.10B.10

xx2xx2

240240240240

C.10D.10

x2xx2x

【答案】C

【解析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的分式方程．根

據降價后用240元可以比降價前多購買10袋，可以列出相應的分式方程．

【詳解】由題意可得，

240240

10，故選：C．

x2x

【對點變式練1】（2024新疆一模）某鎮的“脆紅李”深受廣大市民的喜愛，也是饋贈親友的尚佳禮

品，首批“脆紅李”成熟后，當地某電商用12000元購進這種“脆紅李”進行銷售，面市后，線上訂

單猛增供不應求，該電商又用11000元購進第二批這種“脆紅李”，由于更多“脆紅李”成熟，單價

比第一批每件便宜了5元，但數量比第一批多購進了40件，求購進的第一批“脆紅李”的單價．設

購進的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，根據題意可列方程為（）

12000110001200011000

A.40B.40

xx5xx5

12000110001100012000

C.40D.40

x5xxx5

【答案】A

【解析】設購進的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，則購進第二批“脆紅李”的單價為x5元/

件，根據購進的第二批這種“脆紅李”比第一批多購進了40件，列出方程即可．

【詳解】解：設購進的第一批“脆紅李”的單價為x元/件，則購進第二批“脆紅李”的單價為x5

元/件，根據題意得：

1200011000

40，故A正確．故選：A．

xx5

【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，解題的關鍵是找出題目中的等量關系式．

【對點變式練2】（2024云南一模）某校組織學生去郭永懷紀念館進行研學活動．紀念館距學校72

千米，部分學生乘坐大型客車先行，出發12分鐘后，另一部分學生乘坐小型客車前往，結果同時到

達．已知小型客車的速度是大型客車速度的1.2倍，求大型客車的速度．

【答案】大型客車的速度為60km/h

【解析】設出慢車的速度，再利用慢車的速度表示出快車的速度，根據所用時間差為12分鐘列方程

解答.

【詳解】設慢車的速度為xkm/h，則快車的速度為1.2xkm/h，

根據題意得

727212

，

x1.2x60

解得：x60，

經檢驗，x60是原方程的根.

故大型客車的速度為60km/h.

【點睛】此題考查了分式方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題

的關鍵，此題的等量關系是快車與慢車所用時間差為12分鐘.

【對點變式練3】（2024山西一模）某公司不定期為員工購買某預制食品廠生產的雜醬面、牛肉面兩

種食品．

（1）該公司花費3000元一次性購買了雜醬面、牛肉面共170份，此時雜醬面、牛肉面的價格分別為

15元、20元，求購買兩種食品各多少份？

（2）由于公司員工人數和食品價格有所調整，現該公司分別花費1260元、1200元一次性購買雜醬

面、牛肉面兩種食品，已知購買雜醬面的份數比牛肉面的份數多50％，每份雜醬面比每份牛肉面的

價格少6元，求購買牛肉面多少份？

【答案】（1）購買雜醬面80份，購買牛肉面90份（2）購買牛肉面60份

【解析】【分析】（1）設購買雜醬面x份，則購買牛肉面170x份，由題意知，

15x20170x3000，解方程可得x的值，然后代入170x，計算求解，進而可得結果；

12601200

（2）設購買牛肉面a份，則購買雜醬面1.5a份，由題意知，6，計算求出滿足要求

1.5aa

的解即可．

【小問1詳解】

解：設購買雜醬面x份，則購買牛肉面170x份，

由題意知，15x20170x3000，

解得，x80，

∴170x90，

∴購買雜醬面80份，購買牛肉面90份；

【小問2詳解】

解：設購買牛肉面a份，則購買雜醬面1.5a份，

12601200

由題意知，6，

1.5aa

解得a60，

經檢驗，a60是分式方程的解，

∴購買牛肉面60份．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，分式方程的應用．解題的關鍵在于根據題意正確的列方程．

考點1.分式方程的解法

12

1.（2024四川瀘州）分式方程3的解是（）

x22x

75

A.xB.x=1C.xD.x3

33

【答案】D

【解析】本題考查解分式方程，根據解分式方程方法和步驟（去分母，去括號，移項，合并同類項，

系數化為1，檢驗）求解，即可解題．

12

【詳解】解：3，

x22x

12

3，

x2x2

13x22，

13x62，

3x9，

x3，

經檢驗x3是該方程的解，故選：D．

2m

2.（2024四川遂寧）分式方程1的解為正數，則m的取值范圍（）

x1x1

A.m3B.m3且m2

C.m3D.m3且m2

【答案】B

【解析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據分式方

程解的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關鍵．

方程兩邊同時乘以x1得，2x1m，

解得xm3，

2m

∵分式方程1的解為正數，

x1x1

∴m30，

∴m3，

又∵x1，

即m31，

∴m2，

∴m的取值范圍為m3且m2，故選：B．

xx1

3.（2024武漢市）分式方程的解是______．

x3x1

【答案】x3

【解析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題關鍵．首先等號兩邊

同時乘以x3x1完成去分母，再按照去括號，移項、合并同類項的步驟求解，檢驗即可獲得

答案．

xx1

【詳解】，

x3x1

等號兩邊同時乘以x3x1，得x1xx3x1，

去括號，得x2xx22x3，

移項、合并同類項，得x3，

經檢驗，x3是該分式方程的解，

所以，該分式方程的解為x3．

2

4.（2024湖南省）分式方程=1的解是_______．

x1

【答案】x=1

【解析】先給方程兩邊同乘最簡公分母x+1，把分式方程轉化為整式方程2=x+1，求解后并檢驗即可．

方程的兩邊同乘x+1，得2=x+1，

解得x=1．

檢驗：當x=1時，x+1=2≠0．

所以原方程的解為x=1．

【點睛】此題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟及方法是解題的關鍵．

13

5.（2024四川成都市）分式方程的解是____．

x2x

【答案】x=3

【解析】分式方程去分母轉化為整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，經檢驗x=3是

分式方程的解，即可得到分式方程的解．

3kx1

6.（2024四川達州）若關于x的方程1無解，則k的值為______．

x2x2

【答案】1或2

6

【解析】本題主要考查了分式方程無解問題，先解分式方程得到x，再根據分式方程無解得

k1

6

到k10或2，解關于k的方程即可得到答案．

k1

3kx1

1

x2x2

去分母得：3kx1x2，

6

解得：x，

k1

3kx1

∵關于x的方程1無解，

x2x2

6

∴當k10或2時，分式方程無解，

k1

解得：k1或k2（經檢驗是原方程的解），

3kx1

即k1或k2，1無解．

x2x2

4x1

x1

7.（2024重慶市A）若關于x的不等式組3至少有2個整數解，且關于y的分式方

2x1xa

a13

程2的解為非負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為______．

y11y

【答案】16

【解析】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組．先解不等式組，根據關于x的一元一

次不等式組至少有兩個整數解，確定a的取值范圍a8，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解

a2

得y，由分式方程的解為非負整數，確定a的取值范圍a2且a4，進而得到2a8且

2

a4，根據范圍確定出a的取值，相加即可得到答案．

4x1

x1①

【詳解】解：3，

2x1xa②

解①得：x4，

a2

解②得：x，

3

關于x的一元一次不等式組至少有兩個整數解，

a2

2，

3

解得a8，

a13a2

解方程2，得y，

y11y2

關于y的分式方程的解為非負整數，

a2a2

0且1，a2是偶數，

22

解得a2且a4，a是偶數，

2a8且a4，a是偶數，

則所有滿足條件的整數a的值之和是26816

2x1

3

8.（2024重慶市B）若關于x的一元一次不等式組3的解集為x4，且關于y的分

4x23xa

a8y

式方程1的解均為負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和是________．

y2y2

【答案】12

【解析】本題主要考查了根據分式方程解的情況求參數，根據不等式組的解集求參數，先解不等式組

a10

中的兩個不等式，再根據不等式組的解集求出a2；解分式方程得到y，再由關于y的分

2

a8y

式方程1的解均為負整數，推出a10且a6且a是偶數，則2a10且a6且

y2y2

a是偶數，據此確定符合題意的a的值，最后求和即可．

2x1

3①

【詳解】3

4x23xa②

解不等式①得：x4，

解不等式②得：xa2，

∵不等式組的解集為x4，

∴a24，

∴a2；

a8ya10

解分式方程1得y，

y2y22

a8y

∵關于y的分式方程1的解均為負整數，

y2y2

a10a10a10

∴0且是整數且y220，

222

∴a10且a6且a是偶數，

∴2a10且a6且a是偶數，

∴滿足題意的a的值可以為4或8，

∴所有滿足條件的整數a的值之和是4812．

13

9.（2024廣州）解方程：．

2x5x

【答案】x3

【解析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關鍵，注意檢驗．依次去分母、去括

號、移項、合并同類項求解，檢驗后即可得到答案．

13

，

2x5x

去分母得：x32x5，

去括號得：x6x15，

移項得：x6x15，

合并同類項得：5x15，

解得：x3，

經檢驗，x3是原方程的解，

該分式方程的解為x3．

2x

10.（2024陜西省）解方程：1．

x21x1

【答案】x3

【解析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對

方程的解進行檢驗即可．

2x

【詳解】解：1，

x21x1

去分母得：2xx1x21，

去括號得：2x2xx21，

移項，合并同類項得：x3，

檢驗：把x3代入x1x1得：313180，

∴x3是原方程的解．

考點2.分式方程的應用

1.（2024黑龍江綏化）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h，它以該航速沿江順流航行120km所

用時間，與以該航速沿江逆流航行80km所用時間相等，則江水的流速為（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

【答案】D

【解析】此題主要考查了分式方程的應用，利用順水速靜水速水速，逆水速靜水速-水速，設

未知數列出方程，解方程即可求出答案．

設江水的流速為xkm/h，根據題意可得：

12080

，

40x40x

解得：x8，

經檢驗：x8是原方程的根，

答：江水的流速為8km/h．故選：D．

2.（2024四川達州）甲乙兩人各自加工120個零件，甲由于個人原因沒有和乙同時進行，乙先加工

30分鐘后，甲開始加工．甲為了追趕上乙的進度，加工的速度是乙的1.2倍，最后兩人同時完成．求

乙每小時加工零件多少個？設乙每小時加工x個零件．可列方程為（）

120120120120

A.30B.30

1.2xxx1.2x

1201203012012030

C.D.

1.2xx60x1.2x60

【答案】D

【解析】本題主要考查了分式方程的實際應用，設乙每小時加工x個零件，則甲每小時加工1.2x個

零件，再根據時間工作總量工作效率結合甲的工作時間比乙的工作時間少30分鐘列出方程即可．

【詳解】設乙每小時加工x個零件，則甲每小時加工1.2x個零件，

12012030

由題意得，故選：D．

x1.2x60

3.（2024山東棗莊）為提高生產效率，某工廠將生產線進行升級改造，改造后比改造前每天多生

產100件，改造后生產600件的時間與改造前生產400件的時間相同，則改造后每天生產的產品件

數為（）

A.200B.300C.400D.500

【答案】B

【解析】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．

設改造后每天生產的產品件數為x，則改造前每天生產的產品件數為x100，根據“改造后生產

600件的時間與改造前生產400件的時間相同”列出分式方程，解方程即可．

【詳解】設改造后每天生產的產品件數為x，則改造前每天生產的產品件數為x100，

600400

根據題意，得：，

xx100

解得：x300，

經檢驗x300是分式方程的解，且符合題意，

答：改造后每天生產的產品件數300．故選：B．

4.（2024云南省）某旅行社組織游客從A地到B地的航天科技館參觀，已知A地到B地的路程為300

千米，乘坐C型車比乘坐D型車少用2小時，C型車的平均速度是D型車的平均速度的3倍，求D型

車的平均速度．

【答案】D型車的平均速度為100km/h

【解析】本題考查分式方程的應用，設D型車的平均速度為xkm/h，則C型車的平均速度是

3xkm/h，根據“乘坐C型車比乘坐D型車少用2小時，”建立方程求解，并檢驗，即可解題．

【詳解】設D型車的平均速度為xkm/h，則C型車的平均速度是3xkm/h，

300300

根據題意可得，2，

x3x

整理得，6x600，

解得x100，

經檢驗x100是該方程的解，

答：D型車的平均速度為100km/h．

5.（2024江蘇揚州）為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進A、B兩種機器，A型機器比B型

機器每天多處理40噸垃圾，A型機器處理500噸垃圾所用天數與B型機器處理300噸垃圾所用天數

相等．B型機器每天處理多少噸垃圾？

【答案】B型機器每天處理60噸垃圾

【解析】考查分式方程的應用，解題的關鍵是正確找出題中的等量關系，本題屬于基礎題型．設B型

機器每天處理x噸垃圾，則A型機器每天處理(x40)噸垃圾，根據題意列出方程即可求出答案．

【詳解】設B型機器每天處理x噸垃圾，則A型機器每天處理(x40)噸垃圾，

500300

根據題意，得，

x40x

解得x60．

經檢驗，x60是所列方程的解．

答：B型機器每天處理60噸垃圾．

6.（2024山東威海）某公司為節能環保，安裝了一批A型節能燈，一年用電16000千瓦·時．后購進

一批相同數量的B型節能燈，一年用電9600千瓦·時．一盞A型節能燈每年的用電量比一盞B型節能

燈每年用電量的2倍少32千瓦·時．求一盞A型節能燈每年的用電量．

【答案】160千瓦·時

【解析】本題考查分式方程的應用，根據題意列方程是關鍵，并注意檢驗．根據兩種節能燈數量相等

列式分式方程求解即可．

【詳解】設一盞B型節能燈每年的用電量為x千瓦·時，

則一盞A型節能燈每年的用電量為2x32千瓦·時

160009600

2x32x

整理得5x3(2x32)

解得x96

經檢驗：x96是原分式方程的解．

2x32160

答：一盞A型節能燈每年的用電量為160千瓦·時.

7.（2024內蒙古赤峰）一段高速公路需要修復，現有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每

天修復公路比甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單

獨修復90千米公路所需要的時間相等．

（1）求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別是多少千米；

（2）為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那

么15天的工期，兩隊最多能修復公路多少千米？

【答案】（1）甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米；

（2）15天的工期，兩隊最多能修復公路105千米．

【解析】【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用．

（1）設甲隊平均每天修復公路x千米，則乙隊平均每天修復公路x3千米，根據“甲隊單獨修復

60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的時間相等”列分式方程求解即可；

（2）設甲隊的工作時間為m天，則乙隊的工作時間為15m天，15天的工期，兩隊能修復公路w

千米，求得w關于m的一次函數，再利用“甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍”求得m的

范圍，利用一次函數的性質求解即可．

【小問1詳解】

解：設甲隊平均每天修復公路x千米，則乙隊平均每天修復公路x3千米，

6090

由題意得，

xx3

解得x6，

經檢驗，x6是原方程的解，且符合題意，

x39，

答：甲隊平均每天修復公路6千米，則乙隊平均每天修復公路9千米；

【小問2詳解】

解：設甲隊的工作時間為m天，則乙隊的工作時間為15m天，15天的工期，兩隊能修復公路w

千米，

由題意得w6m915m3m135，

m215m，

解得m10，

∵30，

∴w隨m的增加而減少，

∴當m10時，w有最大值，最大值為w310135105，

答：15天的工期，兩隊最多能修復公路105千米．

8.（2024廣西）綜合與實踐

在綜合與實踐課上，數學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節約用水策略．

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干．重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃

度達到洗衣目標．

假設第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%，每次擰干后校服上都殘留0.5kg水．

0.5d前

濃度關系式：d后．其中d前、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；w為單

0.5w

次漂洗所加清水量（單位：kg）

【洗衣目標】經過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動手操作】請按要求完成下列任務：

（1）如果只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要多少清水？

（2）如果把4kg清水均分，進行兩次漂洗，是否能達到洗衣目標？

（3）比較（1）和（2）的漂洗結果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法．

【答案】（1）只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要9.5kg清水．

（2）進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；

（3）兩次漂洗的方法值得推廣學習

【解析】

【分析】本題考查的是分式方程的實際應用，求解代數式的值，理解題意是關鍵；

0.5d前

（1）把d后0.01%，d前0.2%代入d后，再解方程即可；

0.5w

（2）分別計算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；

（3）根據（1）（2）的結果得出結論即可．

【小問1詳解】

0.5d前

解：把d后0.01%，d前0.2%代入d后

0.5w

0.50.2%

得0.01%，

0.5w

解得w9.5．經檢驗符合題意；

∴只經過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%，需要9.5kg清水．

【小問2詳解】

解：第一次漂洗：

0.5d前

把w2kg，d前0.2%代入d后，

0.5w

0.50.2%

∴d后0.04%，

0.52

第二次漂洗：

0.5d前

把w2kg，d前0.04%代入d后，

0.5w

0.50.04%

∴d后0.008%，

0.52

而0.008%0.01%，

∴進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；

【小問3詳解】

解：由（1）（2）的計算結果發現：經過兩次漂洗既能達到洗衣目標，還能大幅度節約用水，

∴從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學習．

考點1.分式方程的解法

1．把分式方程﹣＝1化為整式方程正確的是（）

A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1

C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2

【答案】D

【解答】方程變形得：+＝1，

去分母得：1+（1﹣x）＝x﹣2，故選：D．

32

2.方程的解是：x__________．

x2x1

【答案】1

【解析】首先方程兩邊乘以最簡公分母(x2)(x1)去分母，然后去括號，移項，合并同類項，把x

的系數化為1，最后一定要檢驗．

去分母得：3(x1)2(x2)，

去括號得：3x32x4，

移項得：3x2x43，

合并同類項得：x=1，

檢驗：把x=1代入最簡公分母中：x20,x10，

∴原分式方程的解為：x=1

【點睛】此題主要考查了分式方程的解法，做題過程中關鍵是不要忘記檢驗，很多同學忘記檢驗，導

致錯誤．

13

3.解方程：1．

x12x2

3

【答案】x

2

【解析】去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗即可得出答案．

13

原方程可化為1．

x12x1

方程兩邊同乘2x1，得22x13．

3

解得x．

2

3

檢驗：當x時，2x10．

2

3

∴原方程的解是x．

2

【點睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的方法是解題關鍵．

xx3

4.小丁和小迪分別解方程1過程如下：

x22x

小丁：小迪：

解：去分母，得x(x3)x2解：去分母，得x(x3)1

去括號，得xx3x2去括號得xx31

合并同類項，得3x2合并同類項得2x31

解得x5解得x2

∴原方程的解是x5經檢驗，x2是方程的增根，原方程無解

你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出

你的解答過程．

【答案】都錯誤，見解析

【解析】根據解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可．

小丁和小迪的解法都錯誤；

解：去分母，得x(x3)x2，

去括號，得2x3x2，

解得，x1，

經檢驗：x1是方程的解．

【點睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．

5．解分式方程：

小明同學是這樣解答的：

解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．

去括號，得：x+4＝3x﹣6．

移項，合并同類項，得：﹣2x＝﹣10．

兩邊同時除以﹣2，得：x＝5．

經檢驗，x＝5是原方程的解．

小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答過程．

【答案】見解答．

【解答】有錯誤．

去分母，得：x﹣4＝3（x﹣2），

去括號，得：x﹣4＝3x﹣6，

移項，合并同類項，得：﹣2x＝﹣2，

兩邊同時除以﹣2，得：x＝1．

經檢驗，x＝1是原方程的解．

6．觀察下列算式：

＝＝，＝＝，＝＝﹣，……

（1）由此可推斷：＝；

（2）請用含字母m（m為正整數）的等式表示（1）中的一般規律；

（3）仿照以上方法解方程：+＝．

【答案】見解析

【解析】（1）根據題意得：＝＝﹣；

（2）根據題意得：＝﹣；

（3）方程整理得：﹣+﹣＝，

即＝，

去分母得：x＝2x﹣4，

解得：x＝4，

經檢驗x＝4是分式方程的解．

故答案為：（1）﹣；（2）＝﹣

3xm3

7．若關于x的分式方程1有增根，則m______．

x2x2

【答案】3．

【解析】先把分式方程去分母轉化為整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到轉化以后

的整式方程中計算即可求出m的值．

去分母得：3xm3x2，整理得：2xm1，

3xm3

∵關于x的分式方程1有增根，即x20，∴x2，

x2x2

把x2代入到2xm1中得：22m1，解得：m3，故答案為：3．

【點睛】本題主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最簡公分母為零的未知數的值；解決此類

問題的步驟：①化分式方程為整式方程；②讓最簡公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式

方程中即可求得相關字母的值．

x3a

8．若關于x的分式方程=2a無解，則a的值為_____．

x33x

1

【答案】1或

2

【解析】直接解分式方程，再利用當1-2a=0時，當1-2a≠0時，分別得出答案．

1

去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，當1-2a=0時，方程無解，故a=；

2

3a

當1-2a≠0時，x==3時，分式方程無解，則a=1，

12a

x3a11

故關于x的分式方程=2a無解，則a的值為：1或．故答案為1或．

x33x22

點睛：此題主要考查了分式方程的解，正確分類討論是解題關鍵．

x3m

9.若關于x的方程2解為正數，則