專題01雙中點（線段）模型與雙角平分線（角）模型

線段與角度是初中幾何的入門知識，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問題出

發，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點（角平分線）來解決。但是，對于有公共部

分的線段雙中點模型和雙角平分線模型，可以寫出的線段（角度）和差種類較多，這就增加了思考的難度。

目錄導航

例題講模型'

.........................................................................................................................................................2

模型1.線段的雙中點模型...............................................................2

模型2.線段的多中點模型...............................................................7

模型3.雙角平分線模型與角n等分線模型................................................11

習題練模型一

1

=21........................................................................................20

例題講模型］

模型1.線段的雙中點模型

模型解讀

線段雙中點模型：兩線段在同一直線上且有一個共同的端點，求這兩條線段的中點距離的模型我們稱之為

線段的雙中點模型。

模型證明

條件：點M、N分別為線段AB、的中點，結論：MN=-AC.

2

證明：①當點5在線段AC上，如圖1,

4,11--------6

MBN

圖1

：/、N分別為AB、8c的中點，8河=工48（中點定義）；BN=-BC（中點定義）;

22

MN=BM+BN,MN=-AB+-BC=-（AB+BC}^-AC;

222、72

②當點B在線段AC的延長線上，如圖2,

A?1■1-R

CMN

圖2

VM,N分別為A3、BC的中點，，加（中點定義）；BN=-BC（中點定義）;

22

MN=BM-BN,：.MN^-AB--BC=-（AB-BC}=-AC;

222、72

③當點B在線段CA的延長線上

B??■C

MAN

圖3

VM.N分別為A3、BC的中點，.（中點定義）；BN=-BC（中點定義）;

22

模型運用

例1.（23-24七年級上.江蘇揚州?期末）如圖，點C在線段A3上，點M、N分別是AC、BC的中點.

AMCN~B

（1）若AB=18cm,AM=5cm,求CN的長；⑵若朧=6cm,求A3的長；

【答案】⑴C7V=4cm⑵AB=12cm

【分析】本題考查了兩點間的距離，關鍵是掌握線段中點的定義.

（1）因為點Af、N分別是AC、2c的中點，所以NC=^BC,已知A3=18cm,A"=5cm,

可得8C的長，NC=\BC,可得CN的長；（2）因為點M、N分別是AC、BC的中點，所以CM=《AC,

NC=—BC,已知例V=6cm,可得A5的長.

【詳解】（1）解：???點M、N分別是AC、3c的中點，.?.AM=；AC,NC=9C,

-：AM=5cm,/.AC=10cm,vAB=18cm,/.BC=8cm,/.CN=4cm；

11

（2）解：?.?點M、N分別是AC、3c的中點，.?.CM=AC,NC=-BC

:2?2f

???MN=CM+CN=6cm,/.AB=AC+BC=2（CM+C7V）=12cm.

例2.（23-24七年級上?江西贛州?期末）如圖，點C在線段AB上，點M,N分別是線段AC,的中點.

????[

AMCNB

（1）若AC=10cm,CB=6cm,求線段MN的長；（2）若AC+CB=acm,求線段MN的長度.

【答案】（l）8cm⑵￡cm

【分析】（1）根據線段中點的性質，可得MC、CN,再根據線段的和以及線段的差，可得答案；

（2）根據線段中點的性質，可得MC、CN,再根據線段的和以及線段的差，可得答案.

本題考查了線段的長度問題，掌握線段中點的性質是解題的關鍵.

【詳解】（1）.??點M,N分別是線段AC,3c的中點；.MC=《AC,CN=3BC

22

：AC=10cm,CB=6cm,：.MC=5cm,CN=3cm：.MN=MC+CN=5+3=8cm

（2）?.?點N分別是線段AC,3c的中點，MC=；AC,CN=；BC

*.*AC+CB=acm，MN-MC+CN——ACH—CB=—cm.

222

例3.（23-24七年級.山東淄博.期末）已知點C是線段AB的中點，點。是線段AC的三等分點.若線段

A5=12cm,則線段3。的長為（）

A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm

【答案】c

【分析】本題主要考查線段的和差，根據題意作圖，分情況討論，由線段之間的關系即可求解.

【詳解】如圖，：點c是線段的中點，.?.AC=BC=：A3=6cm,

2

??1?1

ADxD2CB

2

當4。=—AC=4cm時，CD=AC-AD=2cm：.BD=BC+CD=6+2=8cm；

3f

當AD=lAC=2cm時，CD=AC-AD=4cm,：.BD=BC+CD=6+4=10cm;故選C.

3

例4.（23-24七年級上.安徽黃山?期末）如圖，C,。是線段AB上兩點（點。在點C右側），E,F分別是線

段AO,2C的中點.下列結論：

@EF=-AB-②若鉆=3尸，則AC=BD；③AB-CD=2EF；@AC-BD=EC-DF.

2

iIIIIl

AECDFB

其中正確的結論是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【分析】本題主要考查了線段的和差運算，解題的關鍵是掌握中點的定義，根據圖形，分析線段之間的和

差關系.結合圖形，根據線段中點的定義與線段之間的和差關系逐一進行分析，即可進行解答.

【詳解】解：尸分別是線段AD，3C的中點.，；.=尸=18C,

22

EF=AB-AE-BF=AB-^（AD+BC）=AB-^（AB+CD）=^AB-^CD,故①不符合題意；

VAE=BF,：.^AD=^BC,即AD=3C,

/.AD-CD=BC-CD,：.AC=BD,故②符合題意；

EF=gAB—gcD,：.AB-CD=2EF,故③符合題意；

@VAC=AE+CE=-AD+CE,BD=BF+DF=-BC+DF,

22

：.AC-BD=^AD+CE^-^BC+DF^=^AD-BC）+（CE-DF）,

：.2（AC-BD）=（AD-BC）+2（CE-DF）,：.2（AC-BD）=（AC-BD）+2（CE-DF）

:.AC-BD=2（EC-DF）,故④不符合題意；故選：B.

例5.（23-24七年級上.貴州遵義?期末）已知線段AB=24,點C為線段的中點，點。為線段AC上的三

等分點，則線段3D的長的最大值為（）

A'----------------------'B

A.16B.18C.15D.20

【答案】D

【分析】本題考查線段和差.根據題意先求出AC=3C=12,再根據題干分情況討論點。所在位置，繼而

得到本題答案.

【詳解】解：：線段AB=24,點C為線段A3的中點，.?.AC=3C=12,

:點。為線段AC上的三等分點，，①當點。靠近點A時：AD=1AC=4,此時3D=24-4=20；

2

②當點D靠近點C時：AD=-AC=S,此時30=24-8=16；

V20>16,線段3。的長的最大值為：20,故選：D.

例6.（23-24七年級上?遼寧阜新?期末）點A、3在數軸上所表示的數如圖所示，尸是數軸上一點：

BOA

—?——?——?———?——?——?——?——?——>

-5-4-3-2-1012345

（1）將點B在數軸上向左移動2個單位長度，再向右移動7個單位長度，得到點P,求出A、P兩點間的距離

是多少個單位長度.

（2）若點B在數軸上移動了機個單位長度到點P,且A、P兩點間的距離是4,求機的值.

（3）若點M為"的中點，點N為PB的中點，點尸在運動過程中，線段的長度是否發生變化？若發生變

化，請你說明理由：若不變，請你畫出圖形，并求出線段的長度.

【答案】（1）A、尸兩點間的距離是1個單位長度

（2”"的值為2或10（3）線段的長度不發生變化，MN=3

【分析】本題考查了數軸上兩點之間的距離、與線段中點有關的計算、線段的和差，采用數形結合與分類

討論的思想是解此題的關鍵.

（1）根據數軸上的點向右移動用加法，向左移動用減法求出P點表示的數為，即可得解；

（2）分兩種情況：當P點在A點左邊時；當尸點在A點右邊時；分別求解即可得出答案；（3）分三種情況：

當尸在A、B之間時；當P在B的左側時；當尸在A的右側時；分別畫出圖形，計算即可得出答案.

【詳解】（1）解：由數軸可得：B點表示的數為-2,A點表示的數為4,

P點表示的數為一2-2+7=3,

?；4-3=1,...A、尸兩點間的距離是1個單位長度；

(2)解：：A、尸兩點間的距離是4,.?.當P點在A點左邊時，P點表示的數為4-4=0,

丁點B在數軸上移動了小個單位長度到點尸，2點表示的數為-2,..?此時m=0-(-2)=2；

當尸點在A點右邊時，尸點表示的數為4+4=8,

???點2在數軸上移動了m個單位長度到點P,3點表示的數為-2,

此時機=8-(-2)=10；綜上所述，加的值為2或10；

(3)解：線段肱V的長度不發生變化，MN=3,

由數軸可得：3點表示的數為-2,A點表示的數為4,??.45=4-(-2)=6,

:點M為AP的中點，點N為PB的中點，；.=PN=BN=；PB,

如圖，當尸在A、8之間時，此時肱V=PM+PN=；AP+；PB=：(AP+PB)=：AB=3；

BNPMA

??111A

圖1

如圖，當尸在B的左側時，止匕時MN=/W-PN=；A尸一：B尸=：(AP—BP)=gAB=3；

PNBMA

j??iIa

圖2

如圖，當P在A的右側時，此時削=附_尸知=；82_：24=3(5?_尸4)=348=3；

BNAMP

IIII]>

圖3

綜上所述，點P在運動過程中，線段MN的長度不會發生變化，MN=3.

模型2.線段的多中點模型

模型解讀

條件：如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MV=2a,第1次操作：分別取線段AM和AV的中點叫、

N「第2次操作:分別取線段AMX和AM的中點AG,N?；第3次操作：分別取線段AM2和AN2的中點71^，

代；…連續這樣操作〃次，結論：M,N,

IIlliIIII

AN3M3N2M2N\MINM

模型證明

證明：乂是蜀1和AN的中點，AN、=；AN,

：.MiNl=^AM-^AN=^MN=a,VM2,N2是AM1和4乂的中點，

AA/?=—AA/],AN、=—AN[,a*.=3AM1—AN、=—M=-a,

222222

M3,多是⑷1%和AN?的中點，：.AM3=^AM2,AN3=^AN2,

：.M3N3=^AM2-^AN2=^-M2N2=^a=(^-\-a,...發現規律：.〃，

模型運用

例1.（23-24七年級上?貴州六盤水?期末）如圖，數軸上的點。為原點，點A表示的數為-3,動點尸從點0

出發，按以下規律跳動：第1次從點。跳動到。4的中點A處，第2次從點A跳動到AA的中點&處，第3

次從點&跳動到4A的中點4處，…，第”次從點4T跳動到4TA的中點4處，按照這樣的規律繼續跳動

到點A"A，A，…，&B4處，那么點4024所表示的數為

3

【答案】-3+尹元

【分析】本題考查了線段中點的定義，兩點間的距離，探究圖形的規律，找到圖形變化中線段44"的變化規

律是解題的關鍵

根據題意，得第一次跳動到。4的中點A處，即在離A點的長度為:義3,第二次從A點跳動到&處，即在

離A點的長度為[gjx3,則跳動w次后，即跳到了離A點的長度為[g]x3,再根據線段的和差關系可得

線段。4的長度，最后確定點4期的表示的數即可.

【詳解】解：由題可知：04=3,此第一次跳動到0A的中點A處時，A4,=goA=；x3,

同理，第二次從A點跳動到七處，AA2=^xAAi=(^x3,

同理，第三次從4點跳動到A處，AA=gxA4=]￡|x3同理，跳動〃次后，A4“=]jx3,

故線段的長度為：O4=Q4-A4n=3-出x3=3-捺，當”=2024時，0^=3-^,

333

,點七)24在負半軸，；.點4024表示的數是_(3_02024)=—3+.2024，故答案為：-3+/元.

例2.(23-24七年級上.河南濮陽?期末)已知：如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段〃N=16,第一

次操作：分別取線段AM和4V的中點第二次操作：分別取線段4叫和AM的中點加2，N2.

第三次操作：分別取線段AM和的中點連續這樣操作次，則

2AN2M,4M4N4=.

IIIIIIIII

AN2M2N\M\NM

【答案】1

【分析】本題主要考查了兩點間的距離，熟練掌握兩點的距離計算的方法進行計算及根據題意找出問題的

規律進行求解是解決本題的關鍵.根據題意可得AM-4V=MN,根據線段的差可得

M2N2=^^MN,/3又=]￡[皿的長度表示，根據規律進行推理即可得出M,N“，即可得出答案.

【詳解】解：根據題意可得，?：MN=16,AM-M=MN=16,

???線段AM和AN的中點M，N、,：.M\N[=^_*=AM；AN=；MN,

1=1工田AaNTAM.,AN11(1V?r..,,

同理：MN=---------=—MN=—M#NA,..MNr=—MNr,....

2222[l12J33\)

依次類推，MN,：.M,N,=^X16=l,故答案為：4.

例3.(23-24七年級上.湖南張家界.期末)如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN=2,第一次操作:

分別取線段A"和AN的中點；第二次操作：分別取線段AM1和AM的中點AG，M；第三次操作：

分別取線段AM?和AM的中點M3,%；…連續這樣操作2024次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之

和M[N1+M?N2T-------1~^2024-^2024=.

|IIIIIII|

AN3M3N2M2N\M、NM

【答案】2-^y

【分析】本題考查了線段規律性問題，準確根據題意找出規律是解決本題的關鍵，比較有難度.根據線段

中點定義先求出的長度，再由的長度求出M2M的長度，從而找到”的規律，即可求出結果.

【詳解】解：N1是24M和⑷V的中點，AN、=；AN,

：.-^AN=^MN=1,VM2,必是AM】和AA\的中點，

Z.AM=-AM,AN=-AN,：.MN=-AM,--AN=-MN=-,

22X22122222t2li

M3,恤是，2和AN2的中點，：.AM3=^AM2fAN3=^AN29

：.M3N3=^AM2-^AN2=^M2N2=^=^^,...發現規律：,

.1（1丫°23

,,,必乂+”2生+-?+以024乂024=1+萬+-?+[]）

cI1門產

2(M]N[+MNHF^2024-^2024)=2+1+—+???+—

222⑶

門、2。23

92———

兩式相減，得M+M?N2T---------M2024N2024=2—[QJ=2-^2023故答案為:?2023?

例4.（23-24七年級上.廣東?期中）學習了線段的中點之后，小明利用數學軟件GeoGe"。做了"次取線段中

點實驗：如圖，設線段。凡=1,第1次，取。4的中點片；第2次，取14的中點鳥；第3次，取《鳥的中

點A，第4次，取呂巴的中點舄；…

?,?A阜,

OPlP3P5Po

（1）請完成下列表格數據.

次數線段。4的長

0勺=。6-耐=i-;

第1次

OP=OPPP=l-+^

第2次2l+]2

IOP=OP-PP=l-^^-^

第3次3223+

。月=0月+巴鳥=1-)+:一最+J

第4次

第5次?____②________

(2)小明對線段OR的表達式進行了如下化簡：

因為0巴=1一；+>9+?，所以2。4=211一：+(-*++

171

兩式相加，得30舄=2+^,所以O〃=w+不中.

，JJX，

請你參考小明的化簡方法，化簡。心的表達式.

⑶類比猜想：/片=，。匕=,隨著取中點次數W的不斷增大，。匕的長最終接近的值是

【答案】⑴①5等②*。兄-酬=T+導導U⑵。吟-七(3片,|+嘉,|

【分析】本題考查規律型：數字的變化類，找到規律并會表現出來是解題關鍵.

(1)根據表中的規律可求出乙乙，根據。心=。乙-乙月可得出答案；

(2)參照小明對線段。8的表達式的化簡可得。△的表達式；(3)根據類比猜想可得答案.

【詳解】⑴解：P4P5=^,OP5=OP4-P4P5=1-^+^--^-+^--^-；

故答案為:舄心弓，OP5=OP4-PtP5=1-1+±-1+!_1.

⑵因為2=1-宗〉**泉所以2利=213+1卜/一￡|=2-1+：-：+￡-3

191

兩式相加，得304=2-丞.所以保=^^；

，JJX，

⑶心￡《'”空+尋’隨著取中點次數”的不斷增大。匕的長最終接近的值是

12(-1)〃2

故答案為:F?3+3x2n，3

模型3.雙角平分線模型與角n等分線模型

模型解讀

雙角平分線模型：共頂點的三條射線組成的三個角中（兩角共一邊），已知任意兩個角的平分線，求角平分

線夾角。下面是最完整的角平分線模型結論的推導過程，推導過程是需要掌握的，也并不難推，同學們自

己嘗試著推導一遍，再去記結論，印象會更加深刻。

模型證明

圖1圖4

1）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）

條件：如圖1,已知：OD、OE分別平分乙4。8、ZBOC；結論：ZDOE=-ZAOCo

2

證明：?：OD、0E分另1j平分乙4。8、ZBOC,：.ZDOB=-ZAOB>ZBOE=-ZBOC>

22

?1111

??ZDOB+ZBOE=-ZAOB+-ZBOC=-ZAOC??ADOE=-AAOC-

2222

2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）

條件：如圖1,已知：OD、0E分另IJ平分NA03、ZBOC；結論：ZDOE=-ZAOCo

2

證明：,：OD、。七分另IJ平分NAOB、ZBOC,ZDOB=-ZAOB/BOE=L/BOC，

22

.1111

??NBOE-NDOB=—NBOC——ZAOB=-ZAOC>?,NDOE=—NAOC。

2222

3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）

條件：如圖3,已知NAO8+N2OC+NAOC=360。，。尸i平分/AOC、OP2平分/80C；

結論：=180。-；ZAOB。

證明：YOP平分/AOC、OP2平分/8℃，，N冊OC=；ZAOC，NgOC=：NBOC，

'：ZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,：.ZBOC+ZAOC=3600-ZAOB,

=N6OC-N5OC=；ZAOC+；NBOC=：(ZAOC+NBOC)=180。-：ZAOB。

4）角〃等分線模型

條件：如圖4,AAOB=a,OAi,。片分別是NAOM和NMQB的平分線，。&、。員分別是乙4,。加和/〃。用

的平分線，。4、。片分別是/4。加和/林明的平分線…，。4，。4分別是/41。M和/〃。紇7的平分

線；結論：404,=晟.

證明：QZAOB=a,。4、。片分別是—40M和NMO3的平分線，

.■.ZAOM=-ZAOM,ZBOM=-ZBOM,=-(ZAOM+ZBOM)=-ZAOB=-a,

i{2

?.?。&、O"分別是NAOM和NMO81的平分線，.-.ZA.OM=1Z^OM,ZB2OM=|ZB^OM,

:.SOB2=-(ZAlOM+ZB}OM)=-ZAlOBl=-x-ZAOB=胃，

???。4、0B3分另I］是ZA.OM和ZMOB2的平分線，.-.ZA.OM=^ZA2OM,NB30M=:NB20M,

ZA3OB3=-(ZA.OM+ZB2OM)=-A\OB2=-^-^08,=-x1x-ZAOB=,...,

ry

由此規律得：ZA,OB,,=—o

模型運用

例1.（2023?河南周口?校聯考一模）如圖，點。為直線A3上一點，0E平分/BOC,0。平分/AOC,若

ZBOE=28°,則ZAOD的度數為（）

A.58°B.60°C.62°D.70°

【答案】C

【分析】先根據OE平分/BOC,0D平分,AOC,求出ZEOD=90。，再根據NCOE=N3QE=28。，求出

ZE>OC=90°-28°=62°,即可得出答案.

【詳解】解：：點。為直線AB上一點，0E平分NBOC,。。平分/AOC,

Z.ZCOD=ZAOD=-ZAOC,ZCOE=ZBOE=-ZBOC,

22

,/ZEOD=ZCOD+ZCOE=^(ZAOC+ZBOC)=g*180。=90。，ZEOD=90°,

NBOE=28°,：.ZCOE=28°,，ZDOC=90°-28°=62°,

：.ZAOD=ZDOC=62°,故C正確.故選：C.

【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，解題的關鍵是理解角平分線的定義，求出N￡OD=90。.

例2.（2023春?遼寧遼陽?七年級統考期末）如圖，射線OC平分NAQB,射線0。平分/3OC,則下列等

式中成立的有（）

①NCOD=ZAOD-NBOC；②NCOD=ZAOD—NBOD；③2/COD=2ZAOD-ZAOB；④

NCOD=L/AOB.

【答案】B

【分析】利用角平分線的性質計算角之間的數量關系即可.

【詳解】解：OC平分ZAOB,OD平分ZBOC,：.NAOC=ZBOC,ZCOD=NBOD

VZCOD=ZAOD-ZAOC,ZAOC=ZBOCZCOD=ZAOD-ZBOC故①正確；

ZBOD豐ZBOC:./COD豐ZAOD-ZBOD故②錯誤；

ZAOD=ZAOC+ZCOD：.2ZAOD=2（ZAOC+ZCOD）=ZAOB+2ZCOD

2ZAOD-ZAOB=ZAOB+2ZCOD-ZAOB=2ZCOD2ZCOD=2ZAOD-ZAOB故③正確；

ZCOD=-NBOC,ZBOC=-ZAOBZCOD=-x-ZAOB=-ZAOB故④錯誤；故選B.

22224

【點睛】本題主要考查角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質以及熟練運用角的和差表示角的關系是

解決本題的關鍵.

例3.（2023春?黑龍江?七年級校考階段練習）如圖，射線OG是/AOC的角平分線，射線O"是2A03的

角半分線，射線ON是-3OC的角平分線，則下列結論成立的有（）個.

M

OC

?ZMON=Z.COG■,?ZMOG^^(AAOG-ABOG)；③NGON=J(/COG+40G)；④

AMON=1(ZAOC+NBOG)；

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】D

【分析】根據角平分線的定義以及角的和與差，計算即可求解.

【詳解】角阜：由題意得：4OG=NCOG='/AOC,?AOM?MOB-?AOB,ZBON=ZNOC=-ZCOB,

222

①ZMON=NMOB+NBON=1ZAOB+1ZBOC=1(NAOB+ZBOC)=；ZAOC=ZCOG,故①正確；

②ZMOG=ZAOG-ZAOM=ZAOG-Z.BOM=ZAOG-(ZBOG+AMOG)=ZAOG—ZBOG-ZMOG,

BPZMOG=1(ZAOG-ZBOG),故②正確；

③Z.GON=ZCOG-4cON=ZCOG-ZBON=ZCOG-{Z.GON-/BOG)=ZCOG-AGON+NBOG,

BPZMOG=1(ZAOG-ZBOG),故③正確；④由①得NMON=：ZAOCw；(NAOC+NBOG),故④錯誤;

綜上，①②③正確，共3個；故選：D.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，解題的關鍵是利用了角平分線的定義和圖中各角之間的和差關系.

例4.(2023?河南?七年級校聯考期末)如圖，ZAOB=a,OAl,。用分別是和/MO3的平分線，

。4、。3分別是ZAOM和NMO4的平分線，。&、。&分別是和NMO層的平分線，…，O\,OBn

【分析】由角平分線性質推理得幺。瓦=ga，最，N4。鳥=*，據此規律可解答.

【詳解】解：QZAOB=a,。4、。片分別是/AOM和NMQB的平分線,

Z^OM=-ZAOM,ZBOM--ZBOM,AA.OB,=-(ZAOM+ZBOM)=-ZAOB=-a,

t2

?,?<?A、OB2分別是/&OM和/MOB］的平分線，.-.Z^OM=~Z^OM,ZB2OM=g/BQM,

:./&OB2=^(ZAiOM+NBQM)=~ZAiOBl=-x-ZAOB==

?.?04、OB3分別是4420M和ZMOB2的平分線，,ZA.OM=^ZA2OM,NB30M=~NB20M,

.-.Z4OB3=-(Z40M+ZB2OM)=-ZAOBJ=-x-ZL4iOB1=-x-x-ZAOB=-a=-^-,...,

222222282、

由此規律得：NAOB.q.故答案為：會.

【點睛】本題考查角平分線的性質、圖形規律等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵.

例5.（2022秋?山西太原?七年級統考期末）圖，ZAOC=ZBOD=90°,08在NAOC的內部，OC在/B。。

的內部，。￡是/AOB的一條三等分線.請從A,8兩題中任選一題作答.

A.當/BOC=30。時，NEO。的度數為.

B.當NBOC=a。時，NE。。的度數為（用含a的代數式表示）.

【分析】4、根據角的和差得到/4。2=90。-30。=60。，根據0E是NAOB的一條三等分線，分類討論，當/

AOE=1ZAOB=2.0°,②當乙4。8=20。，根據角的和差即可得到結論；

B、根據角的和差得到乙4。8,根據OE是/A08的一條三等分線，分類討論，當NAOE=；NAOB,②當/

8。月=：/402,根據角的和差即可得至IJ結論.

【詳解】解：&、如圖，VZAOC=90°,ZBOC=30°,：,ZAOB=90°-30°=60°,

：OE是NAOB的一條三等分線，①當/AOE=；/AOB=20。，ZBOE=40°,

?.,ZBOD=90°,JZEOD=ZBOD+ZBOE=130°,

②當NBOE=gZAOB=20°,：.NZ)0￡=90°+20°=110°,

綜上所述，NE。。的度數為130。或110。，故答案為：130。或110。；

B、'：ZAOC=90°,ZBOC=a°,：.ZAOB=90°-a°,

iii2

VOE^ZAOB的一條三等分線，.??①當NAOE=§ZAOB=30°--a°f：.ZBOE=90°-a-(30--cc)°=60°--a°,

ZBOZ)=90°,JZEOD=ZBOD+ZBOE=150°--ct°,

3

②當ZAOB=30°--a°：.ZDOEr=90°+30°--a°=120°--a°,

33f33

2121

綜上所述，/￡。。的度數為150。-§。。或120。-]6(。，故答案為：150。-§a。或120。-§a。；

【點睛】本題考查了余角和補角的定義，角的倍分，熟練掌握余角和補角的性質是解題的關鍵.

例6.(2023秋?遼寧沈陽?七年級統考期末)如圖，點A,O,8在同一條直線上，OD,OE分別平分/4OC

和N3OC.(1)求NDOE的度數；(2)如果/COZ)=60。.①求—AOE的度數；②若NAOF=20。，直接寫出

/FOD的度數.

【答案】(1)90°；(2)0150°；②40。或80°.

【分析】(1)由角平分線定義可知4DOC=；NAOC,NCOE=gNBOC,再根據NDOE=NDOC+NCOE和

NAOC+/3OC=180。可得結果；(2)①利用角之間的和差關系求解即可；②分當O尸在。4上方時，當OF在

下方時，利用角之間的和差關系求解即可.

【詳解】(1)解：,/OD,OE分別平分NAOC和—3OC,ZDOC=-ZAOC,ZCOE=-ZBOC,

22

貝ZDOE=ZDOC+ZCOE=|ZAOC+1ZBOC=|(ZAOC+NBOC),

'：ZAOC+ZBOC=180°,：.NDOE=g(ZAOC+Z8OC)=9。。；

(2)①：ZCOD=60°,ZDOE=90°,；.ZCOE=ZDOE-ZCOD=30°,

由(1)可知，ZDOC=-ZAOC,則ZAOC=2ZDOC=120。，

2

???ZAOE=AAOC+ACOE=120°+30°=150°,

②由①可知，ZAOC=nO°,?：OD^ZAOC,ZAOD=-ZAOC=60°,

2

當O尸在。1上方時，ZFOD=ZAOD-ZAOF=60°-20°=40°；

當O尸在OA下方時，ZFOD=ZAOD+ZAOF=60°+20°=80°；綜上，/FOD為40。或80。.

【點睛】本題考查角平分線的定義，利用角的和差關系求解的度數，解決問題的關鍵在于結合圖形，找角

之間的和差關系.

例7.（2023秋?江蘇無錫?七年級校考期末）解答題：（1）如圖，若NAO8=120°,ZAOC=40°,OD、OE分

別平分/493、ZAOC,求NDOE的度數；

(2)若ZAOB,ZAOC是平面內兩個角,NAOB=m,ZAOC=n(n<m<1^,OD,OE分別平分NAOB、

ZAOC,求ZDOE的度數.（用含加、〃的代數式表示）

B

【答案】⑴40。⑵所以當射線OC在ZAOB的內部時，NDOE=；（加-〃）。；當射線OC在NAOB的外部時,

ZD0E=^(n+m)°

【分析】（1）根據角平分線定義求出48和/AOE度數，即可得出答案；（2）由于無法確定射線OC的位

置，所以需要分類討論：若射線OC在-AO3的內部時，根據角平分線定義得出ZA0D=gzA03,

ZAOE^-ZAOC,求出"OE=/AOD—NAOE；若射線OC在NAO3的外部時，根據角平分線定義得

2

出ZAOD=」/AO3,ZAOE=~ZAOC,求出"OE=NZXM+ZAOE,代入求出即可.

22

【詳解】（1）VZAOB=120°,0。平分/A03,/.ZAOD=ZBOD=|ZAOB=60°

：0E分別平分/AOC,ZAOC=40°.AZAOE=ZAOC=20

ADOE=ZAOD-ZAOE=60°-20°=40°.

(2)若射線OC在—493的內部，如圖2

圖2

VZAOB=m,ZAOC=n,OD、OE分別平分，AC?、ZAOC.

：.ZDOE=ZAOD-ZAOE=|ZAOB-1ZAOC=~(m-n)°：,NDOE=；(m-n)°.

所以當射線OC在—A03的內部時，NDOE=；(m-w)。.

若射線OC在—AO3外部時，如圖3

'：ZAOB=m,ZAOC=n,OD、OE分別平分/403、ZAOC.

：.ZDOE=ZAOD+ZAOE=1ZAOB+1ZAOC=1（H+/?/）°；.ZDOE=^n+m）°.

所以當射線OC在NAOB的外部時，ZDOE=~（n+m）°.

【點睛】本題考查的是角平分線的定義和角的有關計算，利用角平分線的定義求解角的度數是解題的關鍵.

例8.（2023春?山東濟南?七年級統考期末）解答下列問題

如圖1,射線OC在的內部，圖中共有3個角：ZAOB,NAOC和/BOC,若其中有一個角的度數

是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是ZAOB的“巧分線（1）一個角的平分線.這個角的“巧分線”,（填“是”

或“不是”）.（2）如圖2,若NMPN=60。,且射線P。是/MPN的“巧分線"，則N"PQ=（表示出所有

可能的結果探索新知）.（3）如圖3,若/MPN=c（,且射線PQ是—MPN的“巧分線”，則/凹尸。=（用

含a的代數式表示出所有可能的結果）.

112

【答案】（1）是（2）30。，20。或40。（3）,。或3a或

【分析】（1）根據“巧分線”定義，一個角的平分線將一個角均分成兩個等角，大角是這兩個角的兩倍即可解

答；⑵根據“巧分線”定義，分NMPN=2NMPQ\、NNPQ—NMPQ?、/MPQs=Z/NPQ三種情況求解

即可；（3）根據“巧分線”定義，分NMPN=2/MPQi、/NPQq/MPQ]、/MPQs=Z/NPQ三種情況求

解即可.

【詳解】（1）解：如圖1：：0C平分/AOB,，NAO3=2NAOC=24OC,

根據巧分線定義可得0C是這個角的“巧分線”.故答案為：是.

A

乙

0^=^------B

圖1

（2）解：如圖3：①當/MPN=2NMPQ|時，則/MPQ=；/AfPN=Jx60。=30。；

②當NNPQ〔二2NMPQ],貝（j/MPN=NA/PQ?+NNPQ?=3/MP&=60。，解得：ZMPQ2=20°；

3

③當/MPQ3=2/NPQ3,則NMPN=NMPQ3+NNP°3=/NMPQ3=60。，解得：ZMPQ3=40°.

綜上，NMPQ可以為30。,20。,40°.

11（y

（3）解：如圖3：①當ZMPN=2/MPQ1時，則NMPQ=5NMPN=/xa=3；