專題16全等三角形模型之婆羅摩笈多模型

婆羅摩笈多(Brahmagupta)是七世紀時的印度數學家，在世時間約是公元598年~660年。

他編著了《婆羅摩修正體系》《肯達克迪迦》。《婆羅摩修正體系》中有關數學的部分涉及到有關三角

形、四邊形、零、負數、一階和二階方程的研究，《肯達克迪迦》則是天文方面的著作，研究了關于

月食、日食、行星的合等問題。他提出的一些概念在世界數學史上也有很高的地位，比如負數。以

他命名的婆羅摩笈多定理又稱“布拉美古塔”定理。本專題我們講的就是由婆羅摩笈多定理演化而來的“婆羅

摩笈多”模型。

目錄導航

例題講模型

,2

模型1.“婆羅摩笈多”模型,2

習題練模型

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

例題講模型］

模型1.“婆羅摩笈多”模型

模型解讀

婆羅摩笈多定理：如果一個圓內接四邊形（即對角互補的四邊形）的對角線互相垂直且相交，那么從

交點向某一邊所引垂線的反向延長線必經過這條邊對邊的中點（反之亦能成立）。

模型特征：（1）aBCP和AA。尸是兩個等腰直角三角形，且直角頂點重合.

模型證明

模型1）知中點證垂直

條件：分別以三角形A8C的邊A3、AC為邊，向三角形外側外做正方形4BOE和正方形ACEG,N

為EG的中點，M、A、N三點共線。結論：AM1BC；BC=2AN；SXABC=SXAEG。

證明：（倍長中線法）延長AN到W,使NW=M4,連接EW。

在AWEN和AAGN中，NW^NA（已作），NWNE=NANG（對頂角），EN=GN（已知）

AWEN絲AAGN（SAS）,/.EW^GA,ZEWN=ZGAN。

'：ZEWN=ZGAN：.EW//GA,：./WEA+/EAG=180。（平行線同旁內角）。

VZGAC=90°,ZEAB=90°,AZEAG+ZCAB=180°,AZWEA=ZCABo

VEW=GA,又：GA=AC,EW=ACo

在AEWA和AACB中：EA=AB,ZWEA=ZCAB,EW^AC,：.AEWAAACB(SAS)O

：.WA^CB,ZEAW=ZABC,VAABCAEAW,：.S^EWA=S^ACB^

AWEN=AAGN,:?SAWEN=S&AGN，S^ACB-S^EWA-S/^AEN+S^EWN=S^AEN+S^AGN=SAAEG>>

*.?WN=AN,：.BC=2AN,'：ZWAB=ZEAB+ZEAWo

又：(三角形外角性質)，ZEAB+ZEAW=ZABM+ZAMBo

ZEAW=ZABC(ZABC即/ABM),：.ZEAB+ZABM=ZABM+ZAMBo

：.ZEAB=ZAMB,：.ZAMB=90°,即AM_LBC。

模型2)知垂直證中點

條件：分另IJ以AA8C的邊AB、AC為邊，向三角形外側外做正方形ABOE和正方形ACPG,AMLBCo

結論：N為EG的中點；BC=2AN；SAABC=SAAEGO

證明：(法1:平行線法)作EW〃AG,交AN的延長線于W,VEW//AG,：.ZWEA+ZEAG=ISQ°,

：/E4B和/GAC為正方形的角，所以兩個角均為90。，AZEAG+ZBAC=130°,

：.ZWEA=ZBAC,?；EW//AG,：.ZEWN=ZGAN,

"：ZGAN+ZMAC=9Q°,'：AM±BC,：.ZMAC+ZMCA=9O°,：.ZMCA=ZGAN,：.ZMCA=ZEWN,

在AABC和AEAW中，ZBCA=ZAWE,ZCAB=ZWEA,AB=EA,J.NABCAEAW(AAS),

：.AW=BC,：,WE=CA,'：CA=AG,：,WE=AG,VEW//AG,：.ZWEN=ZAGN,

在AWEN和AAGN中，ZWEN=ZAGN,WE=AG,ZENW=GNA,J.NWEN^：AAGN(ASA),

：.EN=GN,即N為EG的中點，WN^AN,：.BC^AW=2AN,

AABC=AEAW,S^EWA=SAACB，AWEN=AAGN,S^WEN=S\AGN>

?e?S^ACB=S/^EWA=S&AEN+S\EWN=S\AEN+S\AGN=SAAEG<>

(法2:三垂直模型法)作EXLAN,交AN的延長線于X,作GYLAN,將AN于九

AM1BC,：.ZABM+ZBAM=90°,"：ZEAB=90°,；.ZEAN+ZBAM=9Q°,：.ZABM=ZEAN

在RtAABM和Rt\EAX中，ABM=ZEAN,：.ZAEX=ZBAM；

Rt\ABMRtNEAX,ZBAM=ZAEX,AB=EA,ZABM=ZEAX；

：.RtNABM^Rt\EAX(ASA),：,AM=EX,同理可證：:.RtAAYGqRtACMA(ASA),GY=AM；

'：AM=EX,：.GY=EX,在&△￡沖和&AGIW中，ZENX=ZGNY,ZEXN=ZGYN,EX=GY；

：.RtNEXN/RtAGYN(AAS),：.EN=GN,即N為EG的中點；

'：RtNABM^RtNEAX,SAABM=SAEAX,BM=AX,'：RtAAYG^RtNCMA,：.SAAYG^SACMA,CM^AY；

'：RtNEXN/RtAGYN,：.SAEXN=SAGYN，XN=YN；

SAABC-SAABM+S^CMA-S&EAX+S\AYG—SAEAN+SAENX+SAANG-SAGNY=SAAEG;

：.BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2ANo

其實該模型也可以模仿模型1)中的倍長中線法，有興趣的同學們可以自己去嘗試以下哦！

模型運用

例1.（24-25九年級上?江蘇南通?階段練習）如圖，點A的坐標為（6,0）,點B為V軸的負半軸上的一個動點，

分別以OB,A5為直角邊在第三、第四象限作等腰RtAOB尸、等腰RtZkABE,連接斯交N軸于P點，當

點B在V軸上移動時，則總的長度為（）

A.1B.2C.3D.4

例2.（2024?重慶渝中?二模）如圖，以VABC的邊AC、BC為邊向外作正方形ACDE和正方形3CGP,連

接AG、相交于點。，連接C。、DG,取中點連接MC并延長交0G于點N.下列結論：①

AG=BD；②MNLDG；③C。平分NDCG；④SAABC=5ACDG；⑤ZAOC=45。.其中正確的結論有（填

寫編號）.

例3.（2024?山東泰安?中考真題）如圖1,在等腰Rt^MC中，ZABC=90°,AB=CB,點、D,E分別在A3,

CB上,DB=EB,連接AE,CD,取4E中點尸，連接

⑴求證：CD=2BF,CD,斯；（2）將,DBE繞點8順時針旋轉到圖2的位置.

①請直接寫出防與C。的位置關系:；②求證：CD=2BF.

圖1

例4.⑵-24八年級上?陜西西安?階段練習）（1）如圖l,MN±PQ于N,AABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

等腰直角AABC的頂點C、8分別在射線MN,射線NQ上滑動（頂點C、8與點N不重合）在滑動過程中，

點A到直線的距離A且CN（填“>”、“<”或

（2）如圖2,在（1）的條件下，等腰直角AECP中，NECF=90°,且AECF的頂點C、尸也分別在射線

NM、射線NP上滑動（頂點C、尸與點N不重合），連接AE交于點。，試探究A。與的數量關系，

并證明你的結論.

（3）如圖2,AB=4cm,EF=6cm,在AECB和AABC保持原來滑動狀態的過程中，””的面積是否有

例5.（2024?湖北?二模）【特例發現】如圖1,在AABC中，AGLBC于點G,以A為直角頂點，分別以A8,

AC為直角邊，向AABC外作等腰放AA8E和等腰放AACF,過點E、尸作射線GA的垂線，垂足分別為P、

Q.求證：EP=FQ.

【延伸拓展】如圖2,在“8C中，AGLBC于點G,以A為直角頂點，分別以AB,AC為直角邊，向“8C

外作Rt&ABE和Rt^ACF,射線GA交EF于點H.若AB=kAE,AC=kAF,請思考HE與HF之間的數量關系，

并直接寫出你的結論.

【深入探究】如圖3,在AABC中，G是BC邊上任意一點，以A為頂點，向AABC外作任意AABE和△ACT,

射線GA交跖于點^ZEAB=ZAGB,ZFAC=ZAGC,AB=kAE,AC=kAF,上一問的結論還成立嗎？

并證明你的結論.

【應用推廣】在上一間的條件下，設大小恒定的角//HJ分別與AAEF的兩邊AE、AF分別交于點M、N,

若AABC為腰長等于4的等腰三角形，其中/BAC=120。，且//HJ=/AGB=6=60。，k=2；

求證：當//用在旋轉過程中，4EMH、和△川陽均相似，并直接寫出線段MN的最小值(請在答題

卡的備用圖中補全作圖).

例6.(23-24九年級上?福建廈門?期中)定義:如圖13,在ABC中，把A3繞點A順時針旋轉a(0°<a<180°)

得到AB',把AC繞點A逆時針旋轉口得到AC',連接B'C'.當a+尸=180。時，我們稱△/EC是，ABC的

“旋補三角形"，AAB'C邊B'C'上的中線AD叫做-ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”.

⑴在圖1中，AAB'C'是,ABC的“旋補三角形”，AD是,ABC的“旋補中線”，若他C為等邊三角形，則AO

與BC的數量關系為：AD=BC.

(2)在圖2中，當一至。為任意三角形時，猜想AD與BC的數量關系，并給予證明.

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，?B90?,ZA=150°,BC=12,AB=2^3,AD=6.若四邊形內部恰好

存在一點P,使..E4B是△PDC的“旋補三角形”，請直接寫出△「及？的“旋補中線”長是.

習題練模型］

1.（23-24九年級上.浙江溫州?期中）婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數學家，他研究過對角線互相

垂直的圓內接四邊形，我們把這類四邊形稱為“婆氏四邊形如圖，在。中，四邊形ABCZ）是“婆氏四邊

FF

形”，對角線AC,3。相交于點E,過點E作即于點H,延長HE交A3于點E則二的值為（）

2.（23-24九年級下.江西南昌.期末）婆羅摩笈多是公元7世紀的古印度偉大數學家，曾研究對角線互相垂

直的圓內接四邊形，我們把這類四邊形稱為“婆羅摩笈多四邊形”.如圖，四邊形ABCD是：O的內接四邊形，

且是“婆羅摩笈多四邊形”、若4?2+BC2+CC>2+ZM2=8,貝U。的半徑為.

3.（23-24八年級?江蘇?假期作業）如圖，以“C的邊A3,AC為腰分別向外作等腰直角一ABE、ACD,

連接ED,BD,EC,過點A的直線/分別交線段DE,BC于點N,以下說法：①當AB=AC=BC時,

ZAED=30°；②EC=BD；③當直線時，點〃為線段。E的中點.正確的有（填序號）

4.(2024.湖北黃石.模擬預測)如圖，以AA8C的邊AC、8C為邊向外作正方形ACDE和正方形8CGF,連

接AG、8。相交于點。，連接C。、DG,取AB中點連接MC并延長交。G于點N.下列結論：①AG

=BD；?MN±DG；③C。平分NOCG；④SAABC=S<DG；⑤NAOC=45。.其中正確的結論有

(2)根據材料，應用婆羅摩笈多定理解決下面試題：

如圖，已知RtAiABC中，ABAC=90°,AB=AC=2,BC,AC分另lj交：。于點。，E,連接AD,BE交于

點尸.過點P作M2V〃BC,分別交OE,AB于點M,N.^AD±BE,求4V的長.

BD

6.（2024?湖北?一模）問題背景：數學興趣小組活動時，王老師提出了如下問題：如圖（1）,在VABC中,

AB=8,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法，作A8關于點。中心對稱的圖形，其中點A的對應

點是點請你幫助小明完成畫圖和后面的解答.

嘗試運用：如圖（2）,AD是VABC的中線,AB^AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF=90°,試判斷線段AO

與EF的關系，并加以證明.

AEAF,

遷移拓展：如圖（3）,AO是VABC的中線,---=k,ZBAE=ZCAF=90°,直接用含左的代數式寫

ABAC

出△AEF與一ACD之間的面積關系.

7.（2023福建?模擬預測）求證：對角線互相垂直圓內接四邊形，自對角線的交點向一邊作垂線，其延長線

必平分對邊.要求：（1）在給出的圓內接四邊形作出PELBC于點E,并延長EP與AD交于點F,不寫作

法，保留作圖痕跡（2）利用（1）中所作的圖形寫出已知、求證和證明過程.

8.(23-24九年級上?山西臨汾?期末)閱讀下列材料，完成相應的任務.

婆羅摩笈多CBrahmagupla^是古印度著名數學家、天文學家，他在三角形、四邊形、零和負數的算術運算

規則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻.他曾經提出了“婆

羅摩笈多定理”，該定理也稱為“布拉美古塔定理”，該定理的內容及部分證明過程如下：

布拉美古塔定理：已知：如圖1,四邊形ABCD內接于(0,對角線即，垂足為點/為AD的

中點，連結出并延長，交BC于點、E,則

證明：AF=FD,AC±BD,:.ZAMD=90°,：.AF=MF=FD,:.NFMD=ZADM(依據)，

ADAM+ZADM=9Q0,...

D

(1)上述證明過程中的依據是指.(2)請補全上述證明過程.

(3)請利用布拉美古塔定理完成如下問題：如圖2,三角形ABC內接于。，AC=3C=10,AB=12,點H是

弧的中點，AD1BC,請直接寫出線段CE的長度.

9.(23-24九年級上?山西長治?期末)閱讀與思考

閱讀下列材料，完成相應的任務.

婆羅摩笈多(Brahmagupta)是古印度著名的數學家、天文學家，他在三角形、四邊形、零和負數的算數運

算法則、二次方程等方面均有建樹，特別在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻，他曾提出了“婆

羅摩笈多定理”，該定理也稱為“布拉美古塔定理”，該定理的內容及部分證明過程如下.

婆羅摩笈多定理：如圖，已知四邊形A8CD內接于O,對角線AC,8。相交于點如果直

線垂足為E,并且交邊AD于點F,那么=

10.（2024?江西?模擬預測）婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數學家，他在三角形、四邊形、零和負

數的運算規則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內接四邊形，我們把對角線互

相垂直的圓內接四邊形稱為“婆氏四邊形

圖1圖2

（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形"，則四邊形ABCD是.（填序號）①矩形；②菱形;③正方形.（2）

如圖1,四邊形42C。為。的內接四邊形，連接AC,BD,OA,OB,OC,OD,已知N3OC+NAOD=180。.求

證：四邊形ABC。是“婆氏四邊形”.

（3）如圖2,在Rt_A8C中，/瓦LC=90。，以AB為弦的。交AC于點。，交BC于點、E,連接DE,AE,BD,

3

AB=3,sinC=1,若四邊形ABE。是“婆氏四邊形”，求。E的長.

11.（23-24九年級上.河南新鄉.期中）某學習小組在探究三角形相似時，發現了下面這種典型的基本圖形.

（1）如圖1,在A3C中，ZBAC=90°,—=k,直線/經過點A,8。，直線/,CE上直線/,垂足分別

AC

為。、E.求證：絲=4.

AE

（2）組員小劉想，如果三個角都不是直角，那么結論是否仍然成立呢？如圖2,將（1）中的條件做以下修

改：在中，—^k,D、A、E三點都在直線/上，并且有NBZM=NAEC=NBAC=a,其中a為任

AC

意銳角或鈍角.請問（1）中的結論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）數學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3,在aABC中，沿.ABC

ARAC1

的邊A8、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG,—=—=AH是8C邊上的高，延長交EG于點

AEAG2

I.①求證：/是EG的中點.②直接寫出線段BC與4/之間的數量關系：

12.（23-24八年級下?江蘇鎮江?期中）【方法回顧】如圖1,在VABC中，D,￡分別是邊45,AC的中點，小

明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長DE到點/，使￡F=DE,連

接CF,證明ADE%CFE,再證四邊形是平行四邊形即得證.

（1）上述證明過程中：

①證明ADE0CFE的依據是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

②證明四邊形。3cp是平行四邊形的依據是；

【類比遷移】(2)如圖2,AD是VA5c的中線，BE交AC于點E,交AD于點R且A￡=EF,求證：AC=BF.小

明發現可以類比材料中的思路進行證明.

證明：如圖2,延長AD至點G,使GD=FD,連接GC,…請根據小明的思路完成證明過程；

【理解運用】(3)如圖3,四邊形ABCD與四邊形CEFG均為正方形，連接DE、3G,點P是BG的中點，

連接CP.請判斷線段CP與OE的數量關系及位置關系，并說明理由：

(4)如圖4,四邊形3CED是一片草坪，7ABC、VADE是等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,/BAD

為銳角，已知CE=80m,△ABD的面積為1200m2.計劃修建一條經過點A的筆直小路AG,其中點G在CE

邊上，G4的延長線經過3。中點足若小路每米造價500元，則修建小路的總造價為元.

13.（2024?重慶?校考一模）我們定義：如圖1,在AABC中，把AB繞點A順時針旋轉a（0。<&<180。）得

到A8,把AC繞點A逆時針旋轉”得到AC,連接BC,當a+￡=180。時，我們稱AABC是AABC的“旋補

三角形"，AAB'C邊B'C'±的中線叫做AABC的“旋補中線”.

⑴［特例感知］在圖2,圖3中，△A8C是AA8C的“旋補三角形"，是AABC的“旋補中線”.

①如圖2,當AABC為等邊三角形，且2C=6時，則A。長為.

②如圖3,當NBAC=90。，且8c=7時，則長為.

（2）［猜想論證］在圖1中，當AABC為任意三角形時，猜想與2C的數量關系，并給予證明.（如果你沒有

找到證明思路，可以考慮延長或延長8A,…）

（3）［拓展應用］如圖4,在四邊形ABC。中，ZBCD=150°,AB=12,CD=6,以CD為邊在四邊形ABC。內

部作等邊△*￡>,連接”，BP.若ABW是NBC的“旋補三角形”，請直接寫出NBC的“旋補中線”長及四

邊形ABCZ）的邊AD長.

14.（2024?廣東?校考一模）情境觀察：將矩形ABC。紙片沿對角線AC剪開，得到AABC和△NOD,如圖1

所示.將△HCD的頂點⑷與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉，使點。、A（/）、2在同一條直線上，如

圖2所示.觀察圖2可知：與2c相等的線段是▲,/CAC'=4.

圖1圖2

問題探究：如圖3,“BC中，AG,8c于點G,以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向"8C外

作等腰放及48￡和等腰&AACT,過點E、尸作射線GA的垂線，垂足分別為P、。.試探究“與尸。之間

的數量關系，并證明你的結論.

拓展延伸：如圖4,AABC中,AGL8C于點G,分別以AB.AC為一邊向AA8C外作矩形ABME和矩形ACNF,

射線GA交所于點H.若AC=kAF,試探究HE與族之間的數量關系，并說明理由.

圖3圖4

15.(2024?黑龍江齊齊哈爾?二模)綜合與實踐：數學實踐課堂上，張老師從一道基礎題入手，通過不斷變

化題目，引導學生們發現解決此類問題的圖形中的基本圖形，進而通過構造基本圖形，解決問題.

(1)基礎題：如圖1,AB_LBD于點8,CD_L8￡＞于點。，P是3。上一點，APLPC.

(2)構造應用①如圖2,點￡是正方形ABCD邊BC上一點，ZA￡F=90°,AE=EF,AF與CO交于點G,連

接CF,請直接寫出？Gb

AD?

②如圖3,沿VABC的邊AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG,—=—=連接EGAH是BC邊

AEAG3

上的高，延長HA交EG于點K,求證：K是EG中點，并直接寫出BC與AK的數量關系：BC=_AK.

(3)綜合應用：如圖4,在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點￡是邊AD上的動點(點E不與點A、D重合),

連接CE,過點E作EFLCE,交AB于點、F,連接CF,過點8作BGLCF,垂足為G,點/是BC邊的

中點.請直接寫出當AG+GM值最小時。E的值為：

16.（24-25九年級上?廣東深圳?階段練習）綜合與實踐

【問題情境】我們定義：如圖（。），在VABC中，把A3繞點A順時針旋轉。（0°＜打＜180。）得到AB,把AC

繞點A逆時針旋轉夕得到AC',連接B'C'.當c+￡=180。時，我們稱是VABC的“旋補三角形”，

△ABC的邊B'C'上的中線AD叫做VABC的“旋補中線''，點A叫做“旋補中心”.

【特例感知】（1）在圖（b）和圖（c）中，△AB'C'是VABC的“旋補三角形"，AD是VABC的“旋補中線”.

①如圖（6）,當VABC為等邊三角形時，AD與BC的數量關系為AD=BC■,

②如圖（c）,當/BAC=90。，BC=16時，則長為.

【猜想論證】（2）如圖Q）,當VABC為任意三角形時，猜想AD與8c的數量關系，并給予證明.

【拓展應用】（3）如圖（d）,在四邊形ABCD中，ZC=90°,ZD=150°,BC=12,CD=26,AD=6.在

四邊形內部是否存在點P,使△PDC是的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求出的“旋補

中線”長；若不存在，說明理由.

BC

(b)

17.（2024?山西太原?三模）請閱讀下面的材料，并解答問題.

婆羅摩笈多（Brahmagupta）約公元598年生，約660年卒，在數學、天文學方面有所成就，他編著了《婆

羅摩修正體系》《肯達克迪迦》，婆羅摩笈多的一些數學成就在世界數學史上有較高的地位，其中有著名的

婆羅摩笈多定理.婆羅摩笈多定理：圓的內接四邊形ABC。的對角線AC與8。垂直相交于過點M的直

線與邊49、3c分別相交于點尸、E.則有下兩個結論：

DB

如果FEJ_3C,那么AF=FD；如果AF=XD,那么FE_L3C.

數學課上，趙老師帶領大家對該定理的第一條進行了探究.

證明：AC±BD,:.ZBMC=90°,BPZBME+ZEMC=90°,MELBC,:.ZMEC=90°,

在RtzXEMC中，ZEMC+ZBCM=90°,..ZBME=ZBCM.......

請解答以下問題：（1）請完成所給材料的證明過程；⑵請證明結論（2）；

（3）應用：如圖圓。中，半徑為4,A,B,C,。為圓上的點，ZAOB=ZCOD=90°,連接AC、BD交于點F,

過點尸作莊。于E,延長跖交于G,則G尸的長度為.

18.（23-24九年級下?重慶?階段練習）如圖1,等腰HAABC和等腰MADEF中，ZC=ZF=90,AC=BC=6,

DF=EF=8,點、C、B、E、下在一條直線上.當點8和點E重合時，等腰MADEF靜止不動，等腰用AABC

從B出發，沿線段ER方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，當C點與歹點重合時，停止運動.設運動

時間為x秒（無>0）.1）請填空：當x=6、12、14秒時，3。的長度分別為、、；

2）在等腰R/AABC的運動過程中，設等腰RfAABC和等腰及重疊部分的面積為S,請直接寫出S與x

的函數關系式和相應的自變量無的取值范圍；

3）如圖2,當C點與尸點重合時，將等腰RrAABC繞點C（尸）順時針轉a角（0<a<90）,連接AD、BE,

過點C作CGL3E于G,延長GC交AZ>于①求證：AH=DH；②若a=60,求CH的長度.

圖1

圖2

專題16全等三角形模型之婆羅摩笈多模型

婆羅摩笈多(Brahmagupta)是七世紀時的印度數學家，在世時間約是公元598年~660年。

他編著了《婆羅摩修正體系》《肯達克迪迦》。《婆羅摩修正體系》中有關數學的部分涉及到有關三角

形、四邊形、零、負數、一階和二階方程的研究，《肯達克迪迦》則是天文方面的著作，研究了關于

月食、日食、行星的合等問題。他提出的一些概念在世界數學史上也有很高的地位，比如負數。以

他命名的婆羅摩笈多定理又稱“布拉美古塔”定理。本專題我們講的就是由婆羅摩笈多定理演化而來的“婆羅

摩笈多”模型。

目錄導航

例題講模型

.......................................................................................................................................................20

模型1.“婆羅摩笈多”模型....................................................................20

習題練模型'

.........................................................................................................................................33

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

例題講模型I]

模型1.“婆羅摩笈多”模型

模型解讀

婆羅摩笈多定理：如果一個圓內接四邊形（即對角互補的四邊形）的對角線互相垂直且相交，那么從

交點向某一邊所引垂線的反向延長線必經過這條邊對邊的中點（反之亦能成立）。

模型特征：（1）aBCP和AA。尸是兩個等腰直角三角形，且直角頂點重合.

模型證明

模型1）知中點證垂直

條件：分別以三角形A8C的邊A3、AC為邊，向三角形外側外做正方形4BOE和正方形ACEG,N

為EG的中點，M、A、N三點共線。結論：AM±BC；BC=2AN；SXABC=SXAEG。

證明：（倍長中線法）延長AN到W,使NW=M4,連接EW。

在AWEN和AAGN中，NW=NA（已作），NWNE=/ANG（對頂角），EN=GN（已知）

：.NWEN^AAGN(SAS),：.EW^GA,NEWN=/GAN。

'：ZEWN=ZGAN：.EW//GA,NWEA+/EAG=180。(平行線同旁內角)。

VZGAC=90°,/EAB=90°,：.ZEAG+ZCAB=180°,：,ZWEA=ZCABo

VEW^GA,又：GA=AC,；.EW=AC。

在AEWA和AAC8中：EA=AB,ZWEA=ZCAB,EW=AC,：./^EWAAACB(SAS)o

：.WA=CB,ZEAW=ZABC,"：AABCNEAW,：.SAEWA=SAACBO

AWEN=AAGN,:?SAWEN=SXAGN，??S\ACB-S^EWA-S^AEN+S^EWN=S^AEN+S^AGN=SAAEGO

,?WN=AN,：.BC=2AN,ZWAB=ZEAB+ZEAWo

又ZWAB=ZABM+ZAMB(三角形外角性質)，/.ZEAB+ZEAW=ZABM+ZAMB.

'：ZEAW=ZABC(ZABC即NABM),；.ZEAB+ZABM=ZABM+ZAMBo

：.ZEAB=ZAMB,：,ZAMB=9Q°,BPAMLBC.

模型2)知垂直證中點

條件：分另1J以AA2C的邊A3、AC為邊，向三角形外側外做正方形A2DE和正方形AbG,AM±BC.

結論：N為EG的中點；BC=2AN；SAABC=SAAEGO

證明：(法1:平行線法)作EW〃AG,交AN的延長線于卬，,:EWIIAG,：.ZWEA+ZEAG=\SQ°,

：/EAB和/GAC為正方形的角，所以兩個角均為90。，ZEAG+ZBAC=180°,

ZWEA=ZBAC,?；EW//AG,：.ZEWN=ZGAN,

"：ZGAN+ZMAC=9Q°,'：AM±BC,：.ZMAC+ZMCA=90°,：.ZMCA=ZGAN,：.ZMCA=ZEWN,

在AABC和AEAW中，ZBCA=ZAWE,ZCAB=ZWEA,AB=EA,：.AABCAEAW(AAS),

：.AW=BC,：.WE^CA,VCA^AG,：.WE=AG,VEW//AG,:.NWEN=/AGN,

在AWEN和AAGN中，ZWEN=ZAGN,WE=AG,ZENW=GNA,J.NWEN^AAGA^(ASA),

EN=GN,即N為EG的中點，WN^AN,：.BC=AW=2AN,

AABC=AEAW><*.S^EWA=SAACB，\WEN=AAGN,S^WEN=SAAGN，

SAACB=S/^EWA=SRAEN+S\EWN=SAAEN+SAAGN=SAAEG<>

(法2:三垂直模型法)作EX，AN,交AN的延長線于X,作GVLAN,將AN于九

'：AMYBC,：.ZABM+ZBAM=90°,VZEAB=90°,ZEAN+ZBAM=90°,：.ZABM=ZEAN

在RtAABM和RtNEAX中，ABM=ZEAN,：.ZAEX=ZBAM；

itRt\ABMRt\EAX,ZBAM=ZAEX,AB=EA,ZABM=ZEAX；

：.RtNABM^Rt\EAX(ASA),：,AM=EX,同理可證：:.RtAAYGqRtACMA(ASA),GY=AM；

'：AM=EX,：.GY=EX,在&△￡沖和&AGIW中，ZENX=ZGNY,ZEXN=ZGYN,EX=GY；

：.RtNEXNgRt\GYN(AAS),；.EN=GN,即N為EG的中點；

\RtNABM^RtNEAX,：.SI.ABM^S^EAx，BM=AX,,:RtAAYG"RtACMA,：.S^AYG=S^CMA，CM^AY；

,：RtNEXN也RtAGYN,：.SAEXN=SAGYN，XN=YN；

??SAABC=SAABM+SACMA=S\EAX+S\AYG=SAEAN+S&ENX\SAANG-S&GNY=S&AEG;

:.BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。

其實該模型也可以模仿模型1)中的倍長中線法，有興趣的同學們可以自己去嘗試以下哦！

模型運用

例1.（24-25九年級上?江蘇南通?階段練習）如圖，點A的坐標為（6,0）,點8為V軸的負半軸上的一個動點，

分別以02,A3為直角邊在第三、第四象限作等腰RtZ\O3尸、等腰RtZWE,連接斯交丫軸于尸點，當

點3在>軸上移動時，則PB的長度為（）

【答案】C

【分析】本題考查圖形與坐標，涉及全等三角形的性質和判定、等腰直角三角形的定義、坐標與圖形性質

等知識點的應用，作硒_Ly軸于N,求出NNBE=NBAO,證△ABgABEN,求出

NOBF=NFBP=NBNE=90°,證ABFWJVEP,推出BP=NP,即可得出答案.主要考查學生綜合運用性

質進行推理和計算的能力，有一定的難度，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全

等三角形的對應角相等，對應邊相等.

【詳解】解：作軸于N,如圖所示：

,/等腰RtAOBF、等腰RtAABE,OB=BF,AB=BE,ZABE=ZOBF=90°,

:.NENB=ZBOA=ZABE=90。,:.NOBA+ZNBE=90。,ZOBA+ZOAB=90°,:.ZNBE=ZBAO,

ZAOB=NBNE

在，ABO和一BEN中，/BAO=NNBE,ABO^BEN(AAS),：.OB=NE=BF.

AB=BE

ZFPB=ZEPN

在AMP和NNEP中，＜NFBP=ZENP=90°,BFP—NEP(\AS),;,BP=NP,

BF=NE

又丁點A的坐標為（6,0）,:.OA=BN=6,:.BP=NP=3,故選C.

例2.（2024?重慶渝中.二模）如圖，以VABC的邊AC、BC為邊向外作正方形ACDE和正方形5CGF,連

接4G、3。相交于點0,連接CO、DG,取AB中點連接MC并延長交0G于點N.下列結論：①

AG=BD,@MNVDG-,@CO^NDCG；④S4ABe=ZCDG;⑤ZAOC=45。.其中正確的結論有（填

寫編號）.

【答案】①②④⑤.

【分析】由“S4S”可證△ACGZZXDCB,可得AG=3D,故①正確，通過證明點。，點A,點C,點O四點共

圓，可得NAOC=/AOC=45。，故⑤正確；由角的和差關系可得C。不一定平分/OCG,故③錯誤；由“SAS”

可證xACg^CDG,可得S/ABC=S/AC"=S/COG,ZACH=ZCDG,故④正確；由余角

的性質可求/C￡W+/DCN=90。，可得MN_LOG,故②正確；即可求解.

【詳解】解:如圖，連接A。，延長CM至H,使MH=CM,連接A”，

?.,四邊形ACDE是正方形，四邊形BCGP是正方形，

：.AC=CD,BC=CG,ZACD=ZBCG=90°,/ADC=45°,:.NACG=/BCD,

AAACG^ADCB(SAS),：.AG=BD,ZCAG=ZCDB,ZDBC=ZAGC,故①正確；

?：ZCAG=ZCDB,.?.點D,點A,點C,點。四點共圓，

ZDOA=ZACD=90°,ZADC=ZAOC=45°,故⑤正確；

ZBOC=45°-ZAOC,ZAGC+ZOCG^ZDCO+ZODC,

:?△ACB是任意三角形，；.AC不一定等于BC,即。C與BC不一定相等，

.?./COB與/AGC不一定相等，，/OC。與NGCO不一定相等，，CO不一定平分/OCG,故③錯誤;

丁點M是的中點，AM=BM,又：CM=MH,ZCMB=ZAMH,：.4BCMmAAHM(SAS),

：.AH=BC=CG,ZH=ZBCH,ZABC=ZHAM,SABCM=SAAMH,Z.S^4BC=SZACH,

VZDCG+ZACM+ZBCM=180°,ZH+ZCAH+ZACM=18O°,：.ZCAH=ZDCG,

又,：AC=DC,CG=AH,:.AAC啥ACDG(SAS),

：.SAACH=SACDG,ZACH=ZCDG,：.SAABC=SACDG,故④正確；

ZACD=9Q°,ZDCN+ZACM=90°,ZCDN+ZDCN=90°,

：.MN±DG,故②正確，故答案為①②④⑤.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，四點共圓，余角的性質

等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵.

例3.（2024.山東泰安.中考真題）如圖1,在等腰Rt^A5c中，ZABC=90°,AB=CB,點、D,E分別在AB,

CB上，DB=EB,連接AE,CD,取AE中點尸，連接郎.

圖1圖2

⑴求證：CD=2BF,CD±BE；（2）將“DBE繞點、B順時針旋轉到圖2的位置.

①請直接寫出即與。的位置關系：；②求證：CD=2BF.

【答案】（1）見解析（2）①跖，CD；②見解析

【分析】（1）先證明，ABE&C3。得到AE=CD，NFAB=NBCD,根據直角三角形斜邊中線性質得到

CD=AE=2BF,根據等邊對等角證明NFa4=N3CD,進而可證明跳」CD；

（2）①延長叱到點G,使尸G=",連結AG,延長8E到“，使BE=BM,連接AM并延長交CD于點

N.同（1）證明AAGB四△3DC得到/ABG=N3CD,然后利用三角形的中位線性質得到3尸〃AN,則

ZABG=ZBAN=ZBCD,進而證明AN_LCD即可得到結論；

②延長所到點G,使FG=BF,連接AG.先證明尸注一￡?尸，得至“NFAG=NEEB,AG=BE,進而

AG//BE,AG=BD.證明AAGB絲△3DC得到CD=5G即可得到結論.

【詳解】(1)證明：在qABE和△(?即中，AB=BC,ZABE=NCBD=90°,BE=BD,

:.ABE與CBD(SAS),:.AE=CD,NFAB=NBCD.

尸是RtAABE斜邊AE1的中點，:.AE=2BF,:.CD=2BF,

BF=-AE=AF,:.ZFAB=ZFBA.:.NFBA=/BCD,

2

ZFBA+ZFBC=90°,:.NFBC+/BCD=90°.BFLCD-

(2)解：?BF±CD；理由如下：延長B尸到點G,使/G=37"連結AG,延長BE到M