專題16全等三角形模型之婆羅摩笈多模型

婆羅摩笈多(Brahmagupta)是七世紀時的印度數學家，在世時間約是公元598年?660年。

他編著了《婆羅摩修正體系》《肯達克迪迦》。《婆羅摩修正體系》中有關數學的部分涉及到有關三角

形、四邊形、零、負數、一階和二階方程的研究，《肯達克迪迦》則是天文方面的著作，研究了關于

月食、日食、行星的合等問題。他提出的一些概念在世界數學史上也有很高的地位，比如負數。以

他命名的婆羅摩笈多定理又稱“布拉美古塔“定理。本專題我們講的就是由婆羅摩笈多定理演化而來的“婆羅

摩笈多，，模型。

目錄導航

例題講模型-

1.........................................................................................................................................................2

模型1.“婆羅摩笈多”模型.....................................................................2

習題練模型］

.......................................................................................................................................................15

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

例題講模型

模型1.“婆羅摩笈多”模型

模型解讀

婆羅摩笈多定理：如果一個圓內接四邊形（即對角互補的四邊形）的對角線互相垂直且相交，那么從

交點向某一邊所引垂線的反向延長線必經過這條邊對邊的中點（反之亦能成立）。

模型特征：（1）ABCP和是兩個等腰直角三角形，且直角頂點重合.

模型1）知中點證垂直

條件：分別以三角形/8C的邊/8、4c為邊,向三角形外側外做正方形和正方形/C歹G,N

為EG的中點，M、4、N三點共線。結論：AM±BC；BC=2AN；S“BC=S“EG。

證明：（倍長中線法）延長NN到憶NW=NA,連接￡火。

在△用EN和A/GN中，NW=NA（已作），ZWNE=ZANG（對頂角）,EN=GN（已知）

AWEN^\AGJV（SAS）,：.EW=GA,ZEWN=ZGANo

'：ZEWN=ZGAN：.EWIIGA,N用以+NE4G=180。（平行線同旁內角）。

VZGAC=90°,ZEAB=90°,：.ZEAG+ZCAB=180°,：.ZWEA=ZCABo

"：EW=GA,y.'：GA=AC,：.EW=AC.

在AEJE4和A/C8中：EA=AB,ZWEA=ZCAB,EW=AC,：.\EWA^ACB(SAS).

：.WA=CB,ZEAW=AABC,"：NABCKEAW,:.S&EWA=SAACB。

AWEN=AAGN,S\WEN=S\AGN>?-S\ACB=S\EWA=S\AEN+S\EWN=S\AEN+S\AGN=SAAEGO

VWN=AN,：.BC=2AN,"：ZWAB=ZEAB+ZEAWo

又；/WAB=/ABM+/AMB(三角形外角性質),：.ZEAB+ZEAW=ZABM+ZAMB.

'：ZEAW=ZABC(ZABC即AABM),：.ZEAB+Z.ABM=ZABM+ZAMBo

AZEAB=ZAMB,：,ZAMB=90°,即NA/_L5C。

模型2)知垂直證中點

條件：分別以zVLBC的邊48、/C為邊，向二角形外側外做正方形和正方形/CFG,AMLBC.

結論：N為EG的中點；BC=2AN；SAABC=SAAEG。

證明：(法1:平行線法)作￡%7/G,交/N的延長線于憶\'EW//AG,：.ZWEA+ZEAG=ISO°,

；/E/2和/G/C為正方形的角，所以兩個角均為90。，ZEAG+ZBAC=1SQ°,

：.ZWEA=ZBAC,'：EWHAG,：.ZEWN=ZGAN,

VZGAN+ZMAC=9Q°,,：AMLBC,：.ZMAC+ZMCA=90°,：.ZMCA=ZGAN,：.ZMCA=ZEWN,

在A/8C和△￡/少中，ZBCA=ZAWE,ZCAB=ZWEA,AB=EA,：.\ABCAEAW(AAS),

：.AW=BC,：.WE=CA,'：CA=AG,：.WE=AG,'：EWHAG,：.ZWEN=ZAGN,

在△腔N和MGN中，ZWEN=ZAGN,WE=AG,ZENW=GNA,：.AWEN^AAGN(ASA),

：.EN=GN,即N為EG的中點，WN=AN,：.BC=AW=2AN,

AABC以AEAW,：.SAEWA=SAACB,"：AWEN義^AGN,：.S^EN=SAAGN,

S\ACB=S\EWA=S\AEN+SAEWN=SAAEN+SAAGN=SAAEG。

(法2:三垂直模型法)作￡X_LNN,交/N的延長線于X,作GY_L/N,將NN于九

"：AMLBC,：.ZABM+ZBAM=9Q°,VZEAB=9Q°,：.ZEAN+ZBAM=90°,：.ZABM=ZEAN

在Rt\ABM和Rt\EAX中，：NABM=/EAN,：.ZAEX=ZBAM；

在Rt\ABM和Rt\EAX中，ZBAM=ZAEX,AB=EA,ZABM=ZEAX；

J.RtNABM^RtAEAX(4"),：.AM=EX,同理可證：：.Rt\AYG^RtACMA(ASA),：.GY=AM；

"：AM=EX,：.GY=EX,在和MAGKV中，ZENX=ZGNY,ZEXN=ZGYN,EX=GY；

：.RtAEXN且RtNGYN(AAS),：.EN=GN,即N為EG的中點；

RtAABM義Rt\EAX,SAABM=SAEAX,BM=AX,'：RtAAYGgRt\CMA,SAAYG=SACMA,CM=AY；

RtAEXN烏RtNGYN,：.SREXN=SAGYN,XN=YN；

SAABC=SAABM+S\CMA=S^EAX+SAAYG=S\EAN+SAENX+SXANG-SAGNY=SNAEG;

：.BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN.

其實該模型也可以模仿模型1)中的倍長中線法，有興趣的同學們可以自己去嘗試以下哦！

模型運用

例1.（24-25九年級上?江蘇南通?階段練習）如圖，點A的坐標為（6,0）,點B為V軸的負半軸上的一個動點,

分別以08,N8為直角邊在第三、第四象限作等腰Rt^OBF、等腰連接跖交N軸于P點，當

點8在V軸上移動時，則P8的長度為（）

【答案】C

【分析】本題考查圖形與坐標，涉及全等三角形的性質和判定、等腰直角三角形的定義、坐標與圖形性質

等知識點的應用，作EN_Ly軸于N,求出=證AAB0咨ABEN,求出

ZOBF=ZFBP=ZBNE=90°,詼xBFP為NEP,推出=即可得出答案.主要考查學生綜合運用

性質進行推理和計算的能力，有一定的難度，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,

全等三角形的對應角相等，對應邊相等.

【詳解】解：作丁軸于N,如圖所示：

?.?等腰Rt^OB尸、等腰Z.OB=BF,AB=BE,AABE=ZOBF=90°,

AENB=ZBOA=ZABE=90°,NOBA+NNBE=9Q°,ZOBA+ZOAB=90°,ANBE=ABAO,

ZAOB=ZBNE

在AABO和&BEN中，\ZBAO=ZNBE,:△ABO%BEN(AAS),：.OB=NE=BF.

AB=BE

ZFPB=ZEPN

在ABFP和ANEP中,,NFBP=ZENP=90P,FBFP%ANEP(A0,：,BP=NP,

BF=NE

又?點A的坐標為(6,0),.?.O4=JBN=6,，臺尸二沏二？，故選C.

例2.(2024?重慶渝中?二模)如圖，以V/BC的邊NC、8c為邊向外作正方形/CDE和正方形8CGF,連

接4G、AD相交于點O,連接CO、DG,取48中點M,連接并延長交。G于點N.下列結論：①

AG=BD；②MNJLDG；③CO平分NDCG；?S^ABC^S^CDG；⑤入1OC=45。.其中正確的結論有

(填寫編號).

【答案】①②④⑤.

【分析】由“S4S'可證A/CGg△DC2,可得/G=3。，故①正確，通過證明點。，點4,點C,點。四點共

圓，可得N4DC=N/OC=45。，故⑤正確；由角的和差關系可得C。不一定平分入DCG,故③錯誤；由

可證A8CM之4ACH會ACDG,可得S/2C=S-CTtS.COG,ZACH=ZCDG,故④正確；由余角

的性質可求NCrm/OCN=90。，可得MN_LOG,故②正確；即可求解.

【詳解】解:如圖，連接N。，延長CM至“，使M7=CM,連接/〃，

:四邊形/CDE是正方形，四邊形8CGF是正方形，

：.AC=CD,BC=CG,ZACD=ZBCG=90°,ZADC=45°,AZACG=ZBCD,

：.AACG^ADCB(SAS),：.AG=BD,ZCAG=ZCDB,NDBC=NAGC,故①正確；

'：ZCAG=ZCDB,.?.點。，點/,點C,點。四點共圓，

AZDOA=ZACD=90°,ZADC=ZAOC=45°,故⑤正確；

ZBOC=45°=ZAOC,：.ZAGC+ZOCG=ZDCO+ZODC,

???△ZC8是任意三角形，二/。不一定等于8C,即。C與8C不一定相等，

...NCD8與N/GC不一定相等，.../。。0與/6。0不一定相等，；.CO不一定平分NOCG,故③錯誤；

丁點M是48的中點，:.AM=BM,又?：CM=MH,ZCMB=ZAMH,:.叢BCMQ叢AHM(SAS),

：.AH=BC=CG,ZH=ZBCH,ZABC=ZHAM,SABCM=SMMH,：.S^ABC=SAACH,

VZDCG+ZACM+ZBCM=ISO°,ZH+ZCAH+ZACM=180°,：.ZCAH=ZDCG,

又；AC=DC,CG=AH,：./XACH^/XCDGCSAS),

：.SAACH=SACDG,ZACH=ZCDG,：.S^ABC=SACDG,故④正確；

VZACD=90°,ZDCN+ZACM=9Q°,：.ZCDN+ZDCN=90°,

：.MN±DG,故②正確，故答案為①②④⑤.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，四點共圓，余角的性質

等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵.

例3.（2024?山東泰安?中考真題）如圖1,在等腰Rt448C中，NABC=90°,AB=CB,點、D,E分別在

C2上，DB=EB,連接/E,CD,取/E中點尸，連接8F.

（1）求證：CD=2BF,CDLAP；（2）將ADBE繞點8順時針旋轉到圖2的位置.

①請直接寫出3尸與的位置關系：；②求證：CD=2BF.

【答案】（1）見解析（2）①5尸，CD；②見解析

【分析】（1）先證明也ACBD得到/E=CD,ZFAB=ZBCD,根據直角三角形斜邊中線性質得到

CD=AE=2BF,根據等邊對等角證明NFS/=/SCO,進而可證明AF_LCD；

（2）①延長3尸到點G,使尸G=BF,連結/G,延長8E到M,使BE=3〃，連接并延長交CD于點

N.同（1）證明△NG3四△BDC得到/ABG=/BC。，然后利用三角形的中位線性質得到8尸〃/N,則

ZABG=ZBAN=ZBCD,進而證明/N_LCD即可得到結論；

②延長5尸到點G,使FG=BF,連接/G.先證明A/G廠名AEB尸，得至"NF4G=NFEB,AG=BE,進而

AG//BE,AG=BD.證明A/GB四△8DC得到CD=3G即可得到結論.

【詳解】（1）證明：在AA8E和△CBD中，VAB=BC,AABE=ZCBD=90°,BE=BD,

:.AABE%CBD[SAS）,AE=CD,NFAB=/BCD.

?.?尸是RtZ\48E斜邊ZE的中點，AE=2BF,CD=2BF,

■：BF=-AE=AF,NFAB=NFBA.:.NFBA=NBCD,

2

ZFBA+ZFBC=90°,ZFBC+ZBCD=90°./.BFLCD■,

（2）解：①BFLCD；理由如下：延長3尸到點G,使.FG=BF,連結/G,延長BE到M,使BE=BM,

連接AM并延長交CD于點、N.

證明AAGB義/XBDC（具體證法過程跟②一樣）.二NABG=ZBCD,

?.?尸是4E中點，8是EAf中點，二8廠是中位線，:.BF//AN,

ZABG=ZBAN=ZBCD,:./ABC=NANC=90°,AN1CD,

BF//AN,BFLCD.故答案為：BF_LCD；

②證明：延長3尸到點G,使尸G=AF,連接NG.

VAF=EF,FG=BF,NAFG=NEFB,-.^AGF^EBF（SAS）,

ZFAG=ZFEB,AG=BE,:.AG//BE,：.ZGAB+ZABE=180°,

ZABC=ZEBD=90°,/4BE+/DBC=18。°,ZGAB=ZDBC.

---BE=BD,:.AG=BD.在A/G3和ABDC中，

AG=BD,ZGAB=ZDBC,AB=CB,:.^AGB^ABDC（SAS）,CD=BG,

■：BG=2BF,CD=2BF.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形的判定與性質、三角

形的中位線性質、平行線的判定與性質等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關知識的聯系與

運用，靈活添加輔助線構造全等三角形是解答的關鍵.

例4.（23-24八年級上?陜西西安?階段練習）（1）如圖1于N,3BC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

等腰直角A/BC的頂點。、8分別在射線MN,射線N。上滑動（頂點。、3與點N不重合）在滑動過程中,

點/到直線的距離/&CN（填“>”、“<”或

（2）如圖2,在（1）的條件下，等腰直角中，ZECF=90°,且△￡€下的頂點C、尸也分別在射線

NM、射線酒上滑動（頂點C、/與點N不重合），連接NE交于點。，試探究/D與ED的數量關系,

并證明你的結論.

（3）如圖2,AB=4cm,EF=6cm,在和A/BC保持原來滑動狀態的過程中，的面積是否有

最大值？若有，請求出△NCE的最大面積并求此時8尸的長度；若的面積沒有最大值，請說明理由.

【分析】(1)求出//CH=/C8N,證明ZUS絲△CBN即可得到4F/=CN；

(2)同(1)可證絲△CBN,4ECI沿4CFN,然后可得N〃=CN=E/,利用AAS證明△￡7D烏△/〃￡>

即可得到AD=ED；(3)根據全等三角形的性質證明S“CE=S“CH+S.ECI=S^CBN+$&CFN=S&CFB，過點歹作

F7J_2C交8c延長線于T,可得F0FT,則當FC=F7=3也，即FC與2C垂直時，&皿最大，然后可

求出面積的最大值，最后利用勾股定理求出8尸即可.

【詳解】解：(1);△48C是等腰直角三角形，ZACB=90°,：.AC=BC,ZACH+ZBCN=9Q°,

■:MN1PQ于N,：.ZMNQ=90°,ZBCN+ZCBN=9Q°,：.ZACH=ZCBN,

ZACH=ACBN

在44cH和4CBN中，<NAHC=NCNB=9S,；.AACH”ACBN(AAS),；.AH=CN,故答案為：=；

AC=BC

(2)AD=ED,證明：過點/作于點”，過點￡作￡/?于點/,

同(1)可證△/CH■四△CBN,XECI%ACFN,：.AH=CN,EI=CN,：.AH=EI,

又,：NEDI=/ADH,NEID=/AHD=90。,：.4EID沿4AHD(AAS),:.AD=ED；

(3)V^5=4cm,￡F=6cm,.?.由勾股定理可得8c=2&，CF=372,

如圖，也△?ACHCBN，

CBN,KECI^/XCFN,:S.=S.S^ECI=S^CFN,

?^EID=i^AHDy..S*EID=S*AHD，?,S&ACE=S?ACH+SaECI=S.CBN+SaCFN=^^CFE,

過點F作FTIBC交BC延長線于T,則S^CFB=^BC-FT,

'：FC>FT,，當FC=FT=3C，即尸C與8C垂直時，$.用最大，

此時S.CFB=；BC.FC=；x2JIx36=6,

的最大面積為6,此時夕尸=+FC?=J(2亞『+(3白『=726.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，三角形的面積計算，勾股定

理等知識，作出合適的輔助線，構造出全等三角形是解題的關鍵.

例5.（2024?湖北?二模）【特例發現】如圖1,在△ASC中，/GL2C于點G,以/為直角頂點，分別以48,

NC為直角邊，向A/8C外作等腰和等腰MA/CF,過點￡、/作射線G/的垂線，垂足分別為P、

Q.求證：EP=FQ.

【延伸拓展】如圖2,在ZU8C中，/6,8。于點6,以/為直角頂點，分別以/C為直角邊，向A/BC

外作用■和必A/CF,射線G/交跖于點X.若AB=kAE,AC=kAF,請思考/ffi與//F之間的數量關

系，并直接寫出你的結論.

【深入探究】如圖3,在A/BC中，G是邊上任意一點，以N為頂點，向A/BC外作任意A/8E和

射線G/交于點〃若/E4B=/AGB,ZFAC=ZAGC,AB=kAE,AC=kAF,上一問的結論還成立嗎？

并證明你的結論.

【應用推廣】在上一間的條件下，設大小恒定的角分別與的兩邊NE、/尸分別交于點M、N,

若△4BC為腰長等于4的等腰三角形，其中/A4c=120。，且/IHJ=/AGB=9=6Q°,k=2；

求證：當/〃力在旋轉過程中，AEMH、AffiWN和AFW均相似，并直接寫出線段九W的最小值（請在答題

卡的備用圖中補全作圖）.

【答案】（1）證明參見解析；（2）HE=HF；（3）成立，證明參見解析；（4）證明參見解析，兒W最小值為1.

【分析】特例發現：易證4AFQ2ACAG,即可求得EP=/G,FQ=AG,即可解題；

延伸拓展：②易證△/CGSZ\E4。，得至I］尸￡=；/G,FQ=^-AG,即可求解；

深入探究：判斷得至AAQF^ACGA,FQ=,得至|J尸0=J/G,再判斷△EPH/

kk

△FQH,即可；

應用推廣：由前一個結論得到a4防為正三角形，再依次判斷△M77NS△mWs/XAffi”,即可.

【詳解】特例發現解：VZPEA+ZPAE=90°,ZGAB+ZPAE=90°,：.ZPEA=ZGAB,

VZEPA=ZAGB,AE=AB,:.△PEA妾/\G4B,：.PE=AG,

同理，4QE4/AGAC,：.FQ=AG,：.PE=FQ；

延伸拓展過點E作EPLHG于P,過點尸作FQLHG于。，

B

VZPEA+ZPAE=90°,ZGAB+ZPAE=90°,：.ZPEA=ZGAB,

PEAE

：.ZEPA=ZAGB,.??△PEAS^GAB,：.——=——,

AGAB

PEAE1FOAF

,:AB=kAE,----=------,:?PE=—AG,同理,LQFA^/\GAC,—,

AGkAEk?AQAC

■:AC=kAF,：.FQ=-AG,：.PE=FQ；

k

深入探究如圖2,在直線ZG上取一點尸，使得/EP4=/4GB,作EQJIPE,

VZEAP+ZBAG=\SO°-ZAGB,ZABG+ZBAG=1SO°-ZAGB,：.ZEAP=ZABGf

PEAE1

VZEPA=ZAGB,:?△APES^BGA,：.——=——,?：AB=kAE,:?PE=—AG,

AGABk

FOAF

由于4FQZ=N￡4C=N4GC=1800-NZG5,同理可得，"QFsACGA,：.-=——，

AGC

?:AC=kAF,:?FQ=；AG,：?EP=FQ,?:EP〃F。,：.ZEPH=ZFQH.

k

■:/PHE=/QHF,:?△EPHmAFQH,：.HE=HF；

應用推廣如圖3,在前面條件及結論，得到，點、H是EF中點、，：.4E=4F,

:NEAB=NAGB,/E4C=NAGC,：.AEAB+AFAC=\^°,

，NE/尸=360°-(ZEAB+ZFAC)-ZBAC=60°,

：./\AEF為正三角形.；.ZHEM=ZHFN=60°=ZMHN,

■:點、H是EF中點:.NEHM+NFHJ=12O°,ZFNH+ZFHJ=12Q°,：.ZEHM=ZFNH.

AAHMEH

.AAEF=Z.AFE,:.叢HEMs叢NFH,——=一,

HNFN

HMFH

'：EH=FH,：.——=——，且/MHN=/HFN=60°,:.△MHNS△HFN,

HNFN

:.叢MHNs叢HFNs&MEH,在.4HMN中,ZMHN=60°,

根據三角形中大邊對大角，.?.要MN最小，只有△力必是等邊三角形，.../4W=60。，

VZAEF=60°,J.MN//EF,；A4EF為等邊三角形,

：.MN為“EF的中位線，；.MN=-EF=-x2=l.

min22

【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查全等三角形的性質和判定，相似三角形的判定和性質，特殊三

角形的性質，根據條件判定三角形全等和相似是解本題的關鍵.

例6.(23-24九年級上?福建廈門?期中)定義:如圖13,在AABC中，把43繞點A順時針旋轉?(00<?<180°)

得到/Q，把4c繞點N逆時針旋轉"得到/C',連接8'C'.當a+￡=180。時，我們稱△/9。是“3C的

“旋補三角形"，△48'C'邊8'C'上的中線AD叫做“3C的“旋補中線''，點/叫做“旋補中心

(1)在圖1中，△48'C'是"8C的“旋補三角形"，AD是的“旋補中線”，若。8C為等邊三角形，貝U

與的數量關系為：AD=BC.

(2)在圖2中，當“3C為任意三角形時，猜想/。與3c的數量關系，并給予證明.

(3)如圖3,在四邊形48CD中，DS=90°,4=150。，BC=U,AB=2^>,AD=6.若四邊形內部恰好

存在一點尸，使是△PDC的“旋補三角形”，請直接寫出△PDC的“旋補中線”長是.

【答案】⑴-2）ND=；3c⑶屈

【分析】（1）根據等邊三角形和旋轉的性質得到對應邊相等，根據等腰三角形三線合一的性質和含30。的直

角三角形性質即可求得；（2）延長中線得平行四邊形，利用平行四邊形性質和旋補角度關系得

ZBAC=ZAB'M,即可證明AA4c也即利用對應邊相等求得答案；（3）作延長線、中垂線、垂線

及中線，利用含30。角的直角三角形性質證明邊與角之間的關系，等到Aq尸會V3E4,再利用全等性質證

明/Pq為平行四邊形，根據角度得出△4PO為等邊三角形，貝腹為△尸DC的旋補三角形，利用勾股

定理即可求得解

【詳解】（1）解：：為等邊三角形，:.AB=BC=CA=AC'=AB',ZBAC=60°,

：是的“旋補中線"，AB'D=CD,：.AD1B'C,

?：ABAC=60°,NB'AB+/C'AC=180°,;.NB'AC'=120°,：.ZB'=ZC=30°,則.

22

（2）延長/。到點〃，使得4D=DM,連接Md，MB',如圖，

B'D=CD,AD=DM,四邊形NBC。為平行四邊形，B'M=AC=AC,ZB'AC+ZAB'M=180°,

■：NB'AB+ZC'AC=180°/.ZB'AC+ABAC=180。，；.ABAC=ZAB'M,

BA=B'A

在4c和V/3'M中，[NBAC=NAEM：.ABAC公YAB，M,：.BC=AM,則==工8(7.

22

AC=B'M

(3)延長D4,CB交點M,作CEL4D交4D于點￡,作線段BC的垂直平分線交CE于點尸，交BC于點、

F,連接尸￡＞、PA、PB,作APNB的中線尸N,連接/尸交尸2于點O,如圖，

VZDAB=150°,ZMAB=30°,在必中，AB=2也，AABM=90°,貝!]=4,8"=2,AM=60°,

在心△〃￡(?中，由MC=Affi+8C=2+12=14,AM=60°,^EM=1,NMCE=30°,

：?EA=ME—MA=7—4=3,u：AD=6,:,ED=3,

\CE^AD,：.PA=PD,9：PF1BC,：.PB=PC,

BF6

在Rt/\FBA中，由ZB=273,BF=6tanZ.BAF---=—點=m,即Z_BAF=60°，

AB2j3

NDAF=ZDAB-NABF=150°-60°=90°,即ZEAF=NCED,/.CE//AF,：.NBCE=NBFA,

ZPBC=NPCF,：.NPBF=NAFB,:ZBFA+ZBAF=90°,ZFBP+ZBPF=90°,

：.ZBPF=ZBAF=60P,貝!]A尸8P絲V5E4,:.BA=PF,又；N2〃尸尸，.?.四邊形4W喈為平行四邊形;

,/ZABF=90°,ZBAP=90°,；.ZDAP=60°,貝UAAPD為等邊三角形,；.ZDPA=60°,

---ZCPF=ABPF=60°,則NC尸8=120°,：.ZAPD+ZBPC^180°,貝U為△尸DC的旋補三角形，

在RiAPAN中，PA=AD=6,AN=C，?-PN=^AP2+AN2=739.

【點睛】本題主要考查等邊三角形性質、旋轉的性質、含30。的直角三角形性質、平行四邊形的判定和性質

和延長中線等知識點，利用題目給定知識點和判定線段和角度之間關系，解題的關鍵點為結合給定定義作

輔助線證明結論成立.

習題練模型

1.（23-24九年級上?浙江溫州?期中）婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數學家，他研究過對角線互相

垂直的圓內接四邊形，我們把這類四邊形稱為“婆氏四邊形”.如圖，在O。中，四邊形/BCD是“婆氏四邊

形”，對角線/C,8。相交于點￡,過點E作即，DC于點“，延長HE交于點R則二的值為（）

【答案】A

【分析】先證明=,再根據同弧所對的圓周角相等推出NE4￡=NFEN,則/尸=￡尸，再證

FFFF1

明NBEF=NEBF,得到EF=BF,則片=，一°一=/?

ADAr+Dr2

【詳解】解：?/ACLBD,EH1.CD,：.ZCED=ACHE=90°,

ZCEH+ZECH=90°=ZEDC+ZECH,ZEDC=ZCEH,

'：ZBAC=NBDC,NAEF=ZCEH,ZFAE=ZFEA,AF=EF,

,/ZAEB=90°,二ZFAE+/ABE=90°=/FEA+ZBEF,

EFEF1

：.NBEF=NEBF,..EF=BF,..—=------------=一，故選A.

ABAF+BF2

【點睛】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，等腰三角形的判定，同角的余角相等，直角三角形兩銳

角互余，證明/尸=斯，E尸=8歹是解題的關鍵.

2.（23-24九年級下?江西南昌?期末）婆羅摩笈多是公元7世紀的古印度偉大數學家，曾研究對角線互相垂

直的圓內接四邊形，我們把這類四邊形稱為“婆羅摩笈多四邊形”.如圖，四邊形A8CD是。。的內接四邊形,

且是“婆羅摩笈多四邊形”、AB2+BC-+CD2+=8,則。。的半徑為.

A

C、J

【答案】1

【分析】連接/C,BD交于點、E,連接CO并延長交OO于R連接。歹，設。。的半徑為r,根據圓周角定

理的推論得出442。=48。尸，然后求出F，再利用勾股定理得出4笈+少2=4產，同理可得

BC2+AD2=4r2,然后得出N爐+叱2+（7￡?2+及2=8/=8,即可求出O。的半徑.

【詳解】解：連接/C,8。交于點E,連接CO并延長交OO于尸，連接。尸，設。。的半徑為r,

C

；。廠是直徑，ZCDF=ZBDC+ZBDF=90°,由題意知ZC/8。，ABAC+ZABD=90°,

'：ABAC=ZBDC,：.ZABD=ZBDF,:.俞=箴,/.AB=DF?AB=DF,

'：ZCDF=90°,；.AB2+CD2=DF2+CD2=CF2=（2r）2=4r2,

222

同理可得8。2+=4/，...AB^+BC+CD+DA=8/=8,

：.r=l,即OO的半徑為1,故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理的推論，圓心角、弧、弦的關系，勾股定理，作出合適的輔助線，證

明尸是解題的關鍵.

3.（23-24八年級?江蘇?假期作業）如圖，以AASC的邊45,ZC為腰分別向外作等腰直角、/CD,

連接ED,BD,EC,過點/的直線/分別交線段DE,BC于點、M,N,以下說法：①當48=/C=BC時,

4即=30。；②EC=BD；③當直線U3C時，點M為線段DE的中點.正確的有.（填序號）

EMiD

【答案】①②③

【分析】此題重點考查等腰直角三角形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、等角的余

角相等、等角的補角相等等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.由=AC=8C,得"4C=60。,

因為4E=4B,AC=AD,ZBAE=ACAD=90°,所以/E=AD,ZEAD=120°,貝UN/EO=NADE=30°,

可判斷①正確；由NC/D=N8/E=90。，推導出/C4E=ND/8,可證明AC4E包。得EC=BD,可判

斷②正確；當直線/L8C時，作直線兒W/8C于點N,過點。作DGLMN于點。，過點￡作即，血乂于

點、H,證明■均/BN(AAS)及A/CN今加G,再求解可判斷③正確，于是得到問題的答案.

【詳解】①當/8=/C=8C時，AA8C是等邊三角形，

二ZBAC=60°,：.ZEAD=360°-90°-90°-60°=120°,

:等腰直角A/5￡、AACD,：.BA=AE,AC=AD,：.AE=AD,

：.//￡。=乙4。￡=：、(180。一120。)=30。.故①正確.

②：等腰直角△ABE、"CD,：.AB=AE,AD=AC,ZBAE=ADAC=90°,

ABAD=NEAC,；.ABAD均EAC,：.EC=BD.故②正確.

③如圖所示，作直線兒W」8c于點N,過點。作DGLMN于點。，過點E作即，于點

,?ZBAE=90°,MNIBC,：.NABN+ZBAN=90°,又NEAM+ABAN=90°,ZEAM=AABN,

又,：EA=4B,：.^EAH^ABN(AAS),同理得“CN絲AD4G,

Z.GD=AN,AG=CN,EH=AN,AH=BN,

,?NEMH=ZDMG,ZEHM=ZDGM=90°,:.AEHM4DGM(AAS),

：.EM=DM,即M是EZ)的中點，故③正確，故答案為：①②③.

4.(2024?湖北黃石?模擬預測)如圖，以A/BC的邊NC、BC1為邊向外作正方形/CDE和正方形3CGF,連

接/G、5。相交于點。，連接C。、DG,取中點M,連接并延長交。G于點N.下列結論：①/G

=BD；?MN±DG；③C。平分NDCG；④SAABC=S<DG；⑤N4OC=45。.其中正確的結論有

(填寫編號).

【答案】①②④⑤

【分析】利用正方形的性質，通過證明三角形全等以及利用四點共圓的判定和圓周角定理逐一判斷即可得

出正確答案.

［詳解】解：；正方形ACDE和正方形BCGF,：.CB=CG,AC=CD,ZACD=ZBCG；

ZACD+ZDCG=ZBCG+ZDCG,即N/CG=/BCD,A^CG四△DCB(&4S),

AAG=BD,NC1G=NCDB.?.①正確；:/CAG=NCDB,.?.點/、D、。、C四點共圓，

(注意如果沒有學習圓的相關知識也可以通過構造手拉手全等證明下面結論)

如圖，連接40,，N/OC=NNDC=45°,故⑤正確；同理可證NBOC=45°,

ZAGC+ZOCG=ZBDC+ZOCD=45°,由△^CG絲△。C3(S4S)知//GC=/。8C,

而/D2C與NBDC不一定相等，與/OCD不一定相等，因此③不一定成立；

如圖，延長。0至〃，使MH=CM,連接■點是48的中點，；.AM=BM,

又■；/AMH=/BMC，：./\AMH=/\BMC(S45),SAAMH=S^BMC,S^AHC=5Alsc

：.AH=BC,ZMAH=ZMBC：.AH=CG,ZCAH=ZCAM+ZMAH=ZCAM+ZMBC,

ZCAM+ZMBC+ZACB=180°,ZDCG+ZACB=360°-90°-90°=l80°,

ZCAM+ZMBC=ZDCG,即Z.CAH=ZDCG,：.^AHC^^CGD(SAS),SAAHC=SACGD,

?:S^CMSACGD，故④正確；由AAHC咨ACGD(SAS),：./ACH=/CDN,

：.ZCDN+ZDCN=ZACM+ZDCN=\^0°-ZACD=90°,:?NCND=90°，故②正確;

因此①②④正確；故答案為：①②④⑤.

【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、四點共圓的判定、圓周角定理、倍長中線

法構造全等三角形等內容，本題綜合性較強、需要學生熟練掌握相關知識并進行靈活運用，本題蘊含了數

形結合的思想方法等.

5.（2024?河南新鄉?模擬預測）閱讀下列材料，完成相應的任務.

婆羅摩笈多定理：

如圖，四邊形/BCD內接于OO,對角線NC18。，垂足為如果直線MEL8C,垂足為￡,并且交邊力。

于點尸，那么"=①）.

B

/0?\）證明：VAC1BD,MELBC,

V

D

：.ZCBD+ZBCM=90°,ZCME+ZBCM=9Q°.

：.ZCBD=ACME.

又＜2CBD=Z①（同弧所對的圓周角相等）

ACME=NAMF,

ZCAD=ZAMF.

二/尸二②一....

任務：（1）材料中①處缺少的條件為,②處缺少的條件為；

（2）根據材料，應用婆羅摩笈多定理解決下面試題：

如圖，已知中，ABAC=90°,AB=AC=2,BC,/C分別交O。于點。，E,連接ND,BE交于

點尸.過點、P作MN〃BC,分別交DE,48于點M,N.若ADLBE,求/N的長.

【答案】⑴①CAD；②MF（2）1

【分析】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，等腰三角形的判定和性質，直角三角形斜邊的性

質，關鍵是能熟練應用圓的有關性質，掌握相應角的定義和計算是關鍵.（1）根據圓周角定理和等角對等

邊的性質可得結論；（2）應用（1）的結論，圓內接四邊形的性質，可求解..

【詳解】（1）證明：MELBC,

：.ZCBD+ZBCM=90°,ZCME+ZBCM=9Q°.：.ZCBD=ACME.

XVZCBD=ZCAD,（同弧所對的圓周角相等）ZCME=ZAMF,

：.ZCAD=ZAMF.：.AF=MF.…故答案為：①CZD；②MF；

（2）解：,??四邊形4RDE是。。內接四邊形，.?.NB/C+NaDE=180。，

■：ZBAC=9Q°,ABDE=90°,即D￡_LC3,

■：NM//CB,:.MNIDE,■;ADYBE,AN=BN,：.PN=-AB=1.

2

6.（2024?湖北?一模）問題背景：數學興趣小組活動時，王老師提出了如下問題：如圖（1）,在V/5C中,

4B=8,AC=6,求5c邊上的中線4D的取值范圍.

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法，作A/CD關于點。中心對稱的圖形，其中點A的對應

點是點請你幫助小明完成畫圖和后面的解答.

嘗試運用：如圖（2）,4。是V/BC的中線，AB=AE,ACAF,ZBAE=ZCAF=90°,試判斷線段

與斯的關系，并加以證明.

ArAp1

遷移拓展：如圖（3）,4。是V/BC的中線，%=喂=左，NBAE=NCAF=90。，直接用含左的代數式寫

ABAC

出與A/CD之間的面積關系.

【答案】(1)作圖見解析，1<40<7(2)EF=2AD,EFLAD(3)~^=2k2

^^ACD

【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定與性質，三角形的三

邊關系，中心對稱圖形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

(1)由中心對稱的性質知AMDB也A4DC,可得8A/=/C=6,再根據三角形的三邊關系即可求解，

(2)利用SAS證明AABM%AEAF,可得=EF/BAM=ZAEF,再根據平角的性質可得

ZBAM+ZEAN=90°,進而可求解；(3)證明△以/尸，再根據相似三角形的的性質可得

SAF

—=(右7)2=斤2,再推出S"B"=2S/S，即可求解.

【詳解】解：(1)問題背景：作圖如圖.

由中心對稱的性質知^MDBaADC,BM=AC=6.

在ANBN中，AB-BM<AM<AB+BM,<8+6,即2</胡<14,:.1<AD<7.

(2)嘗試運用：EF=2AD,EF1AD.

理由如下：如圖，延長4D到點使得。河=/。，延長DA交EF與點、N,連接

由前面知，ABDM沿人CDA,：.BM=AC,/BMA=/CAM,AC/IBM,NBAC+NABM=180。，

???ZBAE=ZFAC=90°,ABAC+ZEAF=1^0°,ZABM=ZEAF,

?：AC^AF,BM=AF,-.?AB=EA,:.AABMmAEAF,:.AM=EF,NBAM=NAEF.

AM=2AD:.EF=2AD,;NBAM+NEAN=9S,ZAEF+ZEAN=90°,：.ZENA=90°,EFVAD■,

(3)遷移拓展：如圖，延長4D到點“，使得。M=4D,延長交EF與點N,連接,

AFApAEAF,

由(1)可知：BM=AC,v——=——=k----=-----=k,

ABACABBM

又由(2)可知/ABM=ZEAF,:SAM^￡\AEF,

???DM=AD,,S&ABM=2S.BDM，又YAMBD沿AACD=2sA4,..gp"EF=2k2

coS^ACD

7.（2023福建?模擬預測）求證：對角線互相垂直圓內接四邊形，自對角線的交點向一邊